2025年教师资格考试高中学科知识与教学能力数学试题与参考答案

2025年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力复
习试题(答案在后面)
一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、下列哪个函数的图象不属于周期函数？
A、y = sin x
B、y = cos 2x
C、y = tan x
D、y = x² + 1
2、方程x² - 4x + m = 0 恰好有唯一解，则 m 的值为：
A、2
B、4
C、-4
D、-2
3、直线若在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积为1，则表示直线的方程是（）。

A. y=-2x+1
B. 2x+y-1=0
C. y=2x+1
D. y=-2x-1
4、在长方体中，相邻的三条棱的长分别是2，3，4，那么这个长方体的外接球的
体积（ ）。

A. 36π3
B. 24π32
C. 18π3
D. 12π3
5、函数y =sin (2x +π4)的周期为()
A 、π
B 、π2
C 、2π
D 、π4
6、设在锐角三角形ABC 中，sinA =35,cosB =45, 则tanC 等于()
A 、34
B 、43
C 、125
D 、512
7、下列关于三角函数的性质，说法正确的是：
A. 正弦函数在y 轴的右侧单调递增
B. 余弦函数在y 轴的右侧单调递减
C. 正切函数在y 轴的右侧无单调性
D. 以上说法都不正确
8、已知直线l:y=kx+b,其中k 、b 为常数，且kb <0.若直线l 与坐标轴交于点A(0,b)、B(1/k,0),则以下哪个选项是正确的？
A. 直线l 与x 轴的夹角为锐角
B. 直线l与y轴的夹角为钝角
C. 直线l与坐标轴的交点不在同一个象限内
D. 以上说法都不正确
二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）
第一题
请简述在高中数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

第二题
请简述高中数学教学中“问题解决”能力的培养策略。

第三题
题目：
在高中数学教学中，如何有效地实施“数形结合”的教学策略？请结合具体的教学案例加以说明。

答案及解析：
第四题
题目：
在高中数学教学中，如何有效地实施“数形结合”的教学策略？请结合具体的教学案例加以说明。

第五题
已知函数f(x)={1
x
,x≠0
0,x=0
，求证函数f(x)在x=0处连续，并说明其原因。

答案与解析
三、解答题（10分）
题目：计算下列极限：
lim x→0e x−1−x
x2
四、论述题（15分）
题目：
高中数学教学中，如何运用多种数学模型，激发学生的学习兴趣，并引导他们理解数学的本质？请结合具体的例子说明。

五、案例分析题（20分）
请根据以下案例，回答相关问题：
案例：
某高中数学教师在上《圆锥曲线》（椭圆的概念）这一节时，发现学生对椭圆的几何定义理解困难。

该教师决定采用小组合作学习的方式来改善这一状况。

具体步骤如下：
1.教师首先向学生介绍了椭圆的几何定义，即“当两个定点F1和F2之间的距离小于或等于一个定点P（不通过F1和F2）与F1和F2之间连线段的长度之和时，点的集合称为椭圆”。

2.然后，学生被分成几个小组，每个小组被要求独立探究椭圆的尺度关系。

学生通过实验和计算，逐一确定椭圆的长轴、短轴和焦点之间的相应比例关系。

3.小组完成探究后，每组学生上台展示他们的发现，并解释了为什么这些比例关系是对的。

此外，教师在学生展示时进行了适时的引导和追问。

4.最后，教师将各小组的发现整合为椭圆的基本性质，帮助学生建立起对椭圆概念的深入理解。

问题：
请分析该教师在课堂上采用小组合作学习方式的教学策略，并评价该策略的有效性。

六、教学设计题（30分）
题目：
请根据以下教学目标设计一节高中数学课程，并简要说明你的教学过程。

教学目标：
1.知识与技能：
•掌握函数的基本概念和性质。

•能够运用函数的思想解决实际问题。

2.过程与方法：
•通过观察、分析和归纳，培养学生的逻辑思维能力。

•鼓励学生合作学习，共同探讨数学问题。

3.情感态度与价值观：
•激发学生对数学的兴趣和好奇心。

•培养学生的自主学习能力和数学应用意识。

教学过程：
1.导入新课：
•通过生活中的实例（如速度、时间、距离的关系）引出函数的概念。

•提问学生：“你们能想到哪些实际问题可以用函数来描述吗？”
2.新课讲解：
•讲解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。

•通过例题和练习题，帮助学生理解函数的图像、性质和应用。

3.合作探究：
•将学生分成小组，每组选择一个实际问题，如购物中的价格问题、行程问题等。

•每组需要设计一个函数模型来描述问题，并通过计算和验证来解决问题。

4.展示交流：
•每组选派一名代表展示他们的解决方案，并解释模型的选择和应用。

•其他小组提问和质疑，教师给予点评和指导。

5.总结归纳：
•总结本节课的重点和难点。

•强调函数思想在实际问题中的应用价值。

6.作业布置：
•布置课后练习题，包括函数的基本概念、性质和应用题。

•鼓励学生回家后与家人分享本节课的内容，培养数学应用意识。

答案及解析：
2025年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力复
习试题与参考答案
一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、下列哪个函数的图象不属于周期函数？
A、y = sin x
B、y = cos 2x
C、y = tan x
D、y = x² + 1
•答案：D
•解析：周期函数是指函数值在一定周期内重复出现的函数。

只有选择一项，y = x² + 1 随着自变量的增加，函数值呈现的是单调递增的趋势，没有周期性。

2、方程x² - 4x + m = 0 恰好有唯一解，则m 的值为：
A、2
B、4
C、-4
D、-2
•答案：B
•解析：二次方程有唯一解的条件是判别式等于零。

Δ= b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * m = 16 - 4m = 0，解得 m = 4。

3、直线若在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积为1，则表示直线的方程是（）。

A. y=-2x+1
B. 2x+y-1=0
C. y=2x+1
D. y=-2x-1
答案：B
解析：设直线方程为2x+y+c=0，由已知|c|=1，又∵c ＞00＜c ＜2，代入验证，可知选B
4、在长方体中，相邻的三条棱的长分别是2，3，4，那么这个长方体的外接球的体积（ ）。

A. 36π3
B. 24π32
C. 18π3
D. 12π3
答案：C
解析：长方体的对角线的长为r4+3+22＝52，所以外接球的半径为a ＝52，其体积V ＝43πa （℃）＝43π×5（cm ）＝18π（cm ），选C 。

5、函数y =sin (2x +π4)的周期为()
A 、π
B 、π2
C 、2π
D 、π4
答案：C
解析： 通常，sin (ax +b )的周期为2π|a |. 在本题中，a =2, 所以周期为2π|2|=π.
6、设在锐角三角形ABC 中，sinA =35,cosB =45, 则tanC 等于()
A、3
4
B、4
3
C、12
5
D、5
12
答案：A
解析：利用三角函数的互余关系，可得cosA=√1−sin2A=4
,sinB=
5
√1−cos2B=3
.
5
和sinC=sin(180∘−A−B)=sin(A+B), 利用余弦定理或正弦根据tanC=sinC
cosC
定理进行化简，可以最终得到tanC=3
.
4
7、下列关于三角函数的性质，说法正确的是：
A. 正弦函数在y轴的右侧单调递增
B. 余弦函数在y轴的右侧单调递减
C. 正切函数在y轴的右侧无单调性
D. 以上说法都不正确
答案：B
解析：根据三角函数的性质，余弦函数在y轴的右侧单调递减。

8、已知直线l:y=kx+b,其中k、b为常数，且kb<0.若直线l与坐标轴交于点A(0,b)、B(1/k,0),则以下哪个选项是正确的？
A. 直线l与x轴的夹角为锐角
B. 直线l与y轴的夹角为钝角
C. 直线l与坐标轴的交点不在同一个象限内
D. 以上说法都不正确
答案：C
<0,因此直线l与坐标轴的交点不在同一个象限内。

解析：由于kb<0,所以b
k
二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）
第一题
请简述在高中数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

答案：
一、培养学生的逻辑思维能力：
1.通过实例引入，引导学生观察、比较、分析，培养学生的逻辑思维能力。

2.在教学过程中注重数学知识的系统性，引导学生理解数学知识的内在联系，形成良好的认知结构。

3.通过问题解决教学，设计具有逻辑性的问题，让学生在解决问题的过程中锻炼逻辑思维能力。

二、培养学生问题解决能力：
1.创设问题情境，激发学生探索欲望，提高问题解决能力。

2.引导学生学会分析问题，抓住问题的关键信息，理解问题的本质。

3.教授问题解决的方法和策略，如尝试法、反证法、归纳法等，让学生逐步掌握解决问题的方法和技巧。

4.鼓励学生独立思考和合作学习，通过合作讨论，共同解决问题。

解析：
本题主要考查了高中数学教学中如何有针对性地培养学生的逻辑思维能力和问题
解决能力。

首先，对于逻辑思维能力的培养，可以从实例出发，引导学生通过观察、比较和分析来锻炼逻辑思考；同时注重数学知识的系统性，帮助学生形成良好的认知结构；另外，通过设计具有逻辑性的问题，让学生在解决问题的过程中锻炼逻辑思维能力。

其次，对于问题解决能力的培养，需要创设问题情境，激发学生的探索欲望；引导学生学会分析问题的本质和关键信息；教授问题解决的方法和策略；并鼓励学生独立思考和合作学习，共同解决问题。

这些内容都是教师在数学教学工作中应该关注和实践的重要方面。

第二题
请简述高中数学教学中“问题解决”能力的培养策略。

答案：
高中数学教学中培养学生的“问题解决”能力是一项重要任务，以下是一些策略：
1.激发兴趣：通过日常生活实例、相关故事、数学史等激发学生对数学问题的兴趣，使学生对问题解决产生好奇心和探究欲。

2.教授方法：教授学生基本的数学问题解决策略，如预测、假设、建模、检验假设等，使学生能够于遇到问题时有意识地采用科学的方法。

3.培养思维：鼓励学生进行批判性思维、创造性思维和逻辑推理，通过解题实践和讨论，不断培养学生的思维能力。

4.丰富资源：为学生提供多样化的数学问题解决资源，包括书籍、互联网、互动教学软件等，扩大学生的视野，丰富问题解决的经验。

5.实际操作：通过项目式学习、实验学案等形式，让学生在实际操作中学习运用数学知识解决问题。

6.加强引导：教师在教学中起到引导作用，引导学生发现问题、分析问题、提出假
设、验证猜想，并鼓励学生尝试多种解题方法。

7.正视错误：引导学生正确看待问题解决过程中的错误，鼓励学生从错误中学习，逐步形成错误是探索过程的一部分的认知。

通过上述策略的实施，能够在高中数学教学中有效地培养学生的“问题解决”能力。

解析：
问题解决是数学教育的一个重要目标，它不仅包括解决数学问题本身，还包括如何将数学知识运用到实际问题中，以及在学习过程中培养学生的创新能力和批判性思维。

因此，在教学中，教师需要采取多种策略，通过启发式教学，引导学生主动探索，培养其独立思考和解决问题的能力。

第三题
题目：
在高中数学教学中，如何有效地实施“数形结合”的教学策略？请结合具体的教学案例加以说明。

答案及解析：
答案：
1.创设情境，引入数形结合：
教师可以通过生活中的实际问题或数学史上的有趣案例来引入数形结合的概念。

例如，通过探讨面积和周长的关系来引出坐标系中的点与线段的结合。

2.直观感知，发展空间观念：
利用几何图形的直观性，帮助学生理解抽象的数学概念。

如，在讲解函数图像时，展示函数的图像变化，使学生更直观地理解函数的性质。

3.数形结合，解决实际问题：
通过具体的数学问题，引导学生将文字信息转化为数学语言，并利用数形结合的方法进行分析和求解。

例如，在解决最值问题时，通过画图来直观地找到极值点。

4.分层教学，关注个体差异：
根据学生的基础和理解能力，设计不同难度层次的问题，确保每个学生都能参与到数形结合的教学过程中。

对于基础较差的学生，可以从简单的图形开始，逐步引导；对于基础较好的学生，则可以提供更深入的挑战。

5.实践操作，培养探究能力：
组织学生进行数学实验和动手操作，如拼图、测量等，通过实际操作加深对数形结合的理解，并培养他们的探究能力和创新思维。

解析：
“数形结合”是高中数学中一种重要的解题策略，它能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。

在教学过程中，教师应通过多种方式引导学生理解数形结合的思想和方法，并通过实践操作和实际问题来解决来巩固所学知识。

同时，教师还应关注学生的个体差异，分层教学，确保每个学生都能在数形结合的教学中受益。

第四题
题目：
在高中数学教学中，如何有效地实施“数形结合”的教学策略？请结合具体的教学案例加以说明。

答案：
在高中数学教学中，实施“数形结合”的教学策略是提高学生数学素养和解决实际问题的重要途径。

以下是一个具体的教学案例：
教学内容：
讲解函数的单调性，并引导学生通过数形结合的方法来理解函数的单调性。

教学步骤：
1.引入问题：教师提出一个问题：“为什么有些函数的图像是上升的，而有些函数的图像是下降的？”引导学生思考函数的单调性问题。

2.数形结合：
•教师在黑板上画出一个简单的函数图像（如一次函数(y=x)）。

•然后，教师在图像旁边标注出对应的函数表达式和定义域。

•接着，教师引导学生观察图像的变化趋势，解释函数单调性的概念。

3.具体例子：
•教师选择一个具体的函数（如二次函数(y=x2)），并让学生观察其图像。

•通过图像，学生发现当(x>0)时，函数值(y)随(x)的增大而增大，即函数在(x>0)的区间上是单调递增的。

•教师进一步引导学生将函数的表达式代入到不等式中，验证其单调性。

4.巩固练习：
•教师设计一系列练习题，要求学生用图像法解决函数的单调性问题。

•例如，给出一个函数图像，让学生判断其在不同区间的单调性，并解释原因。

解析：
通过数形结合的教学策略，教师可以将抽象的数学概念转化为直观的图形，使学生更容易理解和掌握。

在本案例中，教师通过画出函数图像，引导学生观察图像的变化趋势，解释了函数单调性的概念。

接着，教师通过具体的例子（如二次函数(y=x2)）进一步验证了单调性的概念。

最后，通过一系列的练习题，巩固了学生对数形结合方法的理解和应用。

数形结合不仅能够帮助学生更好地理解数学概念，还能培养他们的空间想象能力和逻辑思维能力。

在高中数学教学中，合理运用数形结合的教学策略，可以有效提高学生的学习效果和数学素养。

第五题
已知函数f(x)={1
x
,x≠0
0,x=0
，求证函数f(x)在x=0处连续，并说明其原因。

答案与解析
证明：
对于一个函数在某一点连续，需要满足三个条件：
1.函数在该点有定义；
2.函数在该点的极限存在；
3.函数在该点的极限等于函数在该点的函数值。

我们现在来检查这些条件是否在x=0处满足：
1.函数定义：f(0)=0，所以函数在x=0处有定义。

2.极限存在：
•从左边的极限：lim x→0−f(x)=lim x→0−1
x
=−∞
•从右边的极限：lim x→0+f(x)=lim x→0+1
x
=∞
由于左右极限都不相等，因此lim x→0f(x)不存在。

根据上述分析，函数 f(x) 在 x = 0 处不连续。

说明：
因为函数f(x)在x=0处的左右极限不一致，所以极限不存在，进而函数在该点也不连续。

题目：计算下列极限：
lim x→0e x−1−x
x2
答案：
lim x→0e x−1−x
x2
=
1
2
解析：
首先，我们回顾泰勒公式的基本形式。

e x在x=0处的泰勒展开为：
e x=1+x+x2
2!
+
x3
3!
+⋯
当我们要计算上述极限时，可以直接用泰勒展开进行替换。

由于我们只需考虑x→0，我们可以只考虑泰勒公式的前两项，因为更高的项在极限中会趋于0。

将泰勒公式中的e x替换到极限表达式中，我们得到：
lim x→0e x−1−x
x2
=lim
x→0
1+x+
x2
2!−1−x
x2
然后简化分子：
=lim
x→0x2 2 x2
接着，我们可以看到分子和分母都含有x2，因此可以进行约分：
=lim
x→01 2
最后，当x→0时，极限值为：
1
2因此，极限的值为1
2。

题目：
高中数学教学中，如何运用多种数学模型，激发学生的学习兴趣，并引导他们理解数学的本质？请结合具体的例子说明。

答案：
高中数学教学中，运用多种数学模型可以激发学生学习兴趣，引导他们理解数学的本质，这是有效提升数学教学质量的关键策略。

以下是几点建议和例子：
1.从日常生活中的问题入手，构建生动的数学模型:
•例如，学习函数时，可先从“学生与手机玩游戏时间的关系”这样一个学生感兴趣的例子入手，引导学生利用表格、图像等形式表现该关系，逐步引出函数的概念，并用函数表达式来描述时间与玩游戏的数量之间的依存关系。

这种方式让学生体会到数学是描述客观世界规律的工具，并将其与自身生活经验联系起来，更容易激发兴趣。

•在学习几何图形时，可以利用建筑、绘画、艺术品等现实例子，展示几何图形在不同领域的应用，例如：用圆柱模型讲解同花顺包装，用正八面体模型讲解骰子的设计原理，以此激发学生对几何图形的兴趣，并联想到其广泛的应用。

2.利用课外资源，构建多样化的数学模型:
•可以利用网络资源，展示一些有趣的数学图形、动画、视频，例如：康拓拓学中最有趣的数字“3-叶樱花”，三维图形的动态变化等，使学生感受到数学的奇妙与美丽，激发他们的学习热情。

•可以邀请校外专家或科技人员进行讲座，讲解当前领域中数学模型的应用，例如：计算机图形学、大数据分析、人工智能等，让学生了解数学在现代社会中的重要
作用，增强其学习动力。

3.鼓励学生自主探索，构建个性化的数学模型:
•可以将一些开放性问题留给学生自主思考，例如：如何用数学模型解释一个自然现象，如何用数学公式计算一个生活中遇到的问题等，鼓励学生运用所学知识进行探究，自主搭建数学模型，激发他们探索数学内在规律的思维能力。

•在课堂上，鼓励学生分组进行研究，并展示自己的模型，以这种方式，既提升了学生的协作能力，又使他们获得更深刻的理解。

总之，运用多种数学模型是高中数学教学中提高学生的学习兴趣、理解数学本质的关键方法。

教师需要善于结合学生实际情况，选择合适的模型，引导学生参与其中，激活他们的学习潜能，使数学不再是枯燥的公式和算法，而成为充满趣味和挑战的探索之旅。

五、案例分析题（20分）
请根据以下案例，回答相关问题：
案例：
某高中数学教师在上《圆锥曲线》（椭圆的概念）这一节时，发现学生对椭圆的几何定义理解困难。

该教师决定采用小组合作学习的方式来改善这一状况。

具体步骤如下：
1.教师首先向学生介绍了椭圆的几何定义，即“当两个定点F1和F2之间的距离小于或等于一个定点P（不通过F1和F2）与F1和F2之间连线段的长度之和时，点的集合称为椭圆”。

2.然后，学生被分成几个小组，每个小组被要求独立探究椭圆的尺度关系。

学生通过实验和计算，逐一确定椭圆的长轴、短轴和焦点之间的相应比例关系。

3.小组完成探究后，每组学生上台展示他们的发现，并解释了为什么这些比例关系是对的。

此外，教师在学生展示时进行了适时的引导和追问。

4.最后，教师将各小组的发现整合为椭圆的基本性质，帮助学生建立起对椭圆概念的深入理解。

问题：
请分析该教师在课堂上采用小组合作学习方式的教学策略，并评价该策略的有效性。

答案：
该教师在教学《圆锥曲线》（椭圆的概念）时，采用了小组合作学习方式，这一策略的实施如下：
1.明确目标：教师通过介绍椭圆的几何定义，明确了学习的具体目标。

2.分组合作：教师将学生分组，鼓励学生通过小组合作来探究椭圆的尺度关系，这种方法能够促进学生的沟通和协作。

3.动手实验：学生通过实践活动（实验和计算）来探索椭圆的性质，这种实践性的学习有助于学生更好地理解和记忆知识。

4.知识整合：学生在展示和教师的引导下，将小组内探索到的椭圆的基本性质进行整合，这一过程促进了知识的内化和深度学习。

评价有效性：
该策略的有效性主要体现在以下几个方面：
•促进深度学习：通过小组合作和动手实验，学生的学习不仅仅是停留在表层理解，而是深入到对椭圆的几何性质的深刻理解。

•培养团队合作：小组合作学习有助于学生学会与他人合作解决问题，培养了学生的团队精神和互助能力。

•增强参与感：每组学生都有机会上台展示，增强了学生参与课堂的积极性。

•提升探究能力：通过独立探究和小组讨论，学生的探究能力和逻辑思维能力得到了提升。

当然，任何教学策略都不能保证百分百的成功，可能会有一些学生因为不积极参与或理解力差异而导致效果不佳。

但是，总体上，该教师采用的教学策略是有效且值得肯定的。

六、教学设计题（30分）
题目：
请根据以下教学目标设计一节高中数学课程，并简要说明你的教学过程。

教学目标：
1.知识与技能：
•掌握函数的基本概念和性质。

•能够运用函数的思想解决实际问题。

2.过程与方法：
•通过观察、分析和归纳，培养学生的逻辑思维能力。

•鼓励学生合作学习，共同探讨数学问题。

3.情感态度与价值观：
•激发学生对数学的兴趣和好奇心。

•培养学生的自主学习能力和数学应用意识。

教学过程：
1.导入新课：
•通过生活中的实例（如速度、时间、距离的关系）引出函数的概念。

•提问学生：“你们能想到哪些实际问题可以用函数来描述吗？”
2.新课讲解：
•讲解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。

•通过例题和练习题，帮助学生理解函数的图像、性质和应用。

3.合作探究：
•将学生分成小组，每组选择一个实际问题，如购物中的价格问题、行程问题等。

•每组需要设计一个函数模型来描述问题，并通过计算和验证来解决问题。

4.展示交流：
•每组选派一名代表展示他们的解决方案，并解释模型的选择和应用。

•其他小组提问和质疑，教师给予点评和指导。

5.总结归纳：
•总结本节课的重点和难点。

•强调函数思想在实际问题中的应用价值。

6.作业布置：
•布置课后练习题，包括函数的基本概念、性质和应用题。

•鼓励学生回家后与家人分享本节课的内容，培养数学应用意识。

答案及解析：
答案：
1.导入新课：通过生活中的实例（如速度、时间、距离的关系）引出函数的概念。

•解析：函数是描述变量之间关系的重要工具，在现实生活中有广泛的应用。

通过引入实际问题，可以激发学生的学习兴趣和好奇心。

2.新课讲解：讲解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。

•解析：函数的定义是高中数学的基础知识，理解函数的三大要素对于后续学习至关重要。

通过例题和练习题，可以帮助学生更好地掌握函数的基本概念和性质。

3.合作探究：将学生分成小组，每组选择一个实际问题，设计一个函数模型来描述问题，并通过计算和验证来解决问题。

•解析：合作探究能够培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。

通过实际问题的解决，学生可以更好地理解和应用函数的思想和方法。

4.展示交流：每组选派一名代表展示他们的解决方案，并解释模型的选择和应用。

•解析：展示交流环节有助于培养学生的表达能力和自信心。

通过他人的展示，学生可以学习到不同的解题思路和方法，拓宽自己的视野。

5.总结归纳：总结本节课的重点和难点，强调函数思想在实际问题中的应用价值。

•解析：总结归纳能够帮助学生巩固所学知识，形成系统的知识体系。

通过强调函数思想的应用价值，可以提高学生的学习兴趣和动机。

6.作业布置：布置课后练习题，包括函数的基本概念、性质和应用题；鼓励学生回家后与家人分享本节课的内容，培养数学应用意识。

•解析：作业布置有助于检验学生的学习成果，巩固所学知识。

通过家庭分享活动，可以培养学生的沟通能力和数学应用意识。