第23章 解直角三角形 23.1 锐角三角函数2022--沪科版数学九年级上册

2
5
95
∴在Rt△ABD中， sin ABC= AD 5 = 9 145 AB 29 145
B
F 作垂线
D CG
等面积法
例. 如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求 sin ABC 的值.
方法二
解： 由勾股定理易得 AB2 29，AC2 17，BC 2 5
E
设BD为x ，CD为 2 5 x ，在Rt△ABD和Rt△ACD中，
解： 如图，连接BE，AE ∵DE∥BC，DE=BC ∴四边形DEBC是平行四边形 ∴DC∥BE ∴∠ABE=∠APD 由勾股定理得 BE= 2 ，AE= 2 2，AB= 10
A
∵ AB2 BE2 AE2
∴∠AEB= 90 ∴在Rt△ABE中 tan APD tan ABE AE 2
BE
平行
2
2
又 12 2 23 2
∴30 45， 故选B.
例. 化简：
1 cos2 52 cos38
分析： sin2 cos2 1
1 cos2 52 sin 52
解： 原式= sin 52 cos38 = cos38 cos38 =
∵a为锐角时， 0＜cos＜l ∴ cos 38 0
例. 已知 sin 2， 是锐角，则下列答案正确的是（ B）
3
A. 30
B. 30 45 C. 45 60
D. 60
分析：
比较锐角大小
锐角三角函数的增减性 结合 30, 45 ,60的正弦值
得出结论
解： ∵在 0 90之间，锐角的正弦值随角度
的增大而增大，
且 sin 30 1 ，sin 45 2
∴AC AB2 BC2 102 82 6 ∴tan ACD tan A BC 8 4
AC 6 3
A
5
6
D 10
5
C
8
B
直角三角形斜边中线的性质
勾股定理 等角代换
例. 如图，在 边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
AB、CD相交于点P，求tan APD 的值 .
锐角三角函数
一、锐角三角函数的性质和相互之间的关系 1、锐角三角函数的概念
Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b， c
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦记作sinA＝A的对边 = 斜边
a c
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝A的邻边 = b
斜边 c
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝A的对边 邻边
cos 38 cos 38
平方关系
sin A cos(90 A)
锐角三角函数值的范围
sin 52 cos38
互余两角的正余弦之间的关系
例. 在 Rt△ABC中，∠BCA=90 ，CD是AB的中线，BC=8，CD=5，求 tan ACD .
分析： 根据CD是中线，CD 1 AB AD ，求出AB的长 2
AB 29 145
A
D CG
勾股定理法
例. 如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求 sin ABC的值.
E 总结：
通过分析，这两种方法适用于任何情形下求网格
线中的锐角三角函数，而面积法又是这两种方法中最
简单的一种，可以将其看成是求网格线中锐角三角函
B
数的万能方法。
F
A
D CG
例. 在 Rt△ABC中，∠C= 90 ，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b，c，根据下列条件求出直角三角
解： 如图，
∵Rt△ABC 中， tan A BC 3 AC 4
设BC 3k，AC 4k ∵AC2 BC2 AB 2，即(3k )2 (4k)2 10 2 解得 k 2 或 k 2（舍）
∴ BC 3k 6
A
4k
10
C
设k 法
3k
B
勾股定理
总结
锐角三角函数
锐角三角函数的性质 和相互之间的关系
0°＜ ＜90°，锐角的余弦值的范围是 0＜cos＜l ；
0°＜ ＜90°，锐角的正切值的范围是 tan ＞0 .
(2) 锐角三角函数的增减性 在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大； 在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小； 在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.
4、互余角的三角函数间的关系 (1) 互余两角的正余弦之间的关系：
sin A cos(90 A) ， cos A sin(90 A)
即任意一个锐角的正(余)弦值 , 等于它的余角的余(正)弦值.
(2)平方关系： sin2 cos2 1 (3) 商数关系： tan sin
cos
A
b
c
求锐角三角函数的 常见方法
通过锐角三角函数 求线段长、求角度
特殊角的三角函数值 增减性 互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系
定义法、参数法 等角代换法 利用网格求三角函数 已知一边和一锐角 已知两边
构造直角三角形 转化成在格点上的角 等面积法 勾股定理法
再见
（1）a 15 ， b 5 ； （2）b 10 ，∠A=60 .
A
5b
c
A 10 b 60
解： （1）如图，由勾股定理 c a2 b2 2 5 sin A a 3 c2
∴∠A= 60，∠B= 90 A 30
c
（2）如图，∠B= 90 A 30
C
a
15
BC
a
B c b 2 10 , a b 30
c a b a2 b2 sin A sin B
2、已知两边：
已知条件
解法步骤
A
b
c
1、b c2 a2
斜边 c 和直角边 a 2、利用sin A a ，求A
两
c
边
3、B 90 A
Ca
B
两条直角边 a 和 b
1、c a2 b2 2、利用 tan A a，求 A
b 3、B 90 A
E 解： 如图，过点A作AD⊥BC于点D，连接AC
还有其他方法吗？ A
∵SABC S矩形AEFG SABE SBCF SACG
20 1 2 5 1 2 4 1 1 4 9
2
2
2
∴
SABC
1 BC 2
AD
9
，∵ BC 2 5
∴ 1 2 5 AD 9 ，AD 9 5 ，又 AB 29
等角代换
C
P
D
B
E
在格点上的角
例. 如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求sin ABC 的值.
分析： ∠ABC不在直角三角形中
E
过点A做垂线
AD
B 利用等面积法: SABC S矩形AEFG SABE SBCF SACG
求出垂线段的长 F
由锐角三角函数的定义求解
A
D CG
例. 如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求sin ABC 的值.
三、通过锐角三角函数求线段长、求角度
1、已知一边和一锐角：
(1) 已知斜边c和一锐角∠A：
B=90 A
A
a c sin A c cos B
b
c
Ca B
b c sin B c cos A c2 a2
(2) 已知直角边a和一锐角∠A： B=90 A
b a tan B a tan A
由勾股定理得 AB2 BD2 AD2，AC2 CD2 AD2
B
∴AB2 BD2 AC2 CD2，即 29 x2 17 (2 5 x)2
∴ x 8 5 ， AD2 29 64 81， AD 9 5 Nhomakorabea5
55
5
F
95 ∴在Rt△ABD中， sin ABC= AD 5 = 9 145
=
a b
A
b
c
C aB
2、特殊角的三角函数值
锐角
30°
45°
60°
锐角三角函数
A
30°
3
2
sin A cos A tan A
1
2
3
2
2
2
60°
C 1B
3
2
1
C
2
2
2
1
1
3
1
3
3
45°
45°
A
2
B
3、锐角三角函数的增减性 (1) 锐角三角函数的范围
0°＜ ＜90°，锐角的正弦值的范围是 0＜sin ＜l，
Ca
B
∠A+∠B=90°
a
a
sinA= c cosB= c
sinA=cosB
二、求锐角三角函数的常见方法
1、定义法：
当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求解。
2、参数法：
锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转
化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，
得出△ADC是等腰三角形，∠A=∠ACD
A
D 5
再根据勾股定理求出AC的长
C
8
B
由等角代换和锐角三角函数的定义求解
例. 在 Rt△ABC中，∠BCA= 90，CD是AB的中线，BC=8，CD=5，求 tan ACD.
解： 如图所示
∵Rt△ABC中，BCA 90, CD是中线，CD=5，
∴ AB=2CD=10，AD=5 ∴△ADC是等腰三角形， ∴∠A=∠ACD ∵在Rt△ABC中，BC=8，AB=10
sin B
tan B
勾股定理
锐角三角函数
例.
在
Rt△ABC
中，∠C=
90 ，tan
A
3 4
，AB=10，则
BC
的长为多少?
分析：
画出草图
A
已知一锐角的正切值，可得两直角边的倍数关系
用设 k 法表示直角边
再结合勾股定理求解
C
B
例.
在
Rt△ABC
中，∠C=
90， tan
A
3 4，AB=10，则
BC
的长为多少?
分析： P点不在网格线的格点上
A
可以将∠APD转化为一个顶点在格点上的角
利用网格线构造平行 , 连BE，AE
C
P
D
B
得到相等角∠ABE
E
由锐角三角函数的定义求解
例. 如图，在 边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
AB、CD相交于点P，求 tan APD的值 .
形的其他几个元素：
（1）a 15， b 5；
（2）b 10，∠A=60 .
分析：
画出草图
A
5b
c
A
10 b 60
c
先确定斜边 结合勾股定理、锐角三角函数定义
C
a
15
BC
a
B
得出结果
例. 在 Rt△ABC中，∠C= 90 ，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，根据下列条件求出
直角三角形的其他几个元素：
然后结合相关条件解决问题。
3、等角代换法：
A
当一个锐角的三角函数不能直接2求k 解或锐角5k不在直角三角形中时，可将此角通过等
角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也
相等”来解决。
C
tan
k A
1
B
2
4、利用网格求三角函数值： （1） 构造直角三角形
锐角三角函数反映了直角三角形中边与角的关系，所以要求三角函数值，必须将 这个角放到直角三角形中。 （2） 转化成在格点上的角 （3） 面积法 （4） 勾股定理法