湖南省永州市2019-2020学年八年级第二学期期末检测数学试题含解析

湖南省永州市2019-2020学年八年级第二学期期末检测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．分式方程
的解是（ ）
A ．3
B ．-3
C ．
D ．9
2．下列说法正确的是（ ）
A ．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B ．某蓝球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C ．“明天我市会下雨”是随机事件
D ．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
3．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于
1
2
AB 的长为半径作弧，两弧相交于两点EF ；②作直线EF 交BC 于点D 连接AD ．若AD ＝AC ，∠C ＝40°，则∠BAC 的度数是（ ）
A ．105°
B ．110°
C ．I15°
D ．120°
4．①y kx =；②2
3
y x =；③()1y x x x =--；④21y x =+；⑤22y x =-，一定是一次函数的个数有( ) A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．定义一种新运算：当a b >时，a b ab b ⊕=+；当a b <时，a b ab b ⊕=-.若()320x ⊕+>，则x 的取值范围是（ ） A ．11x -<<或2x <- B ．2x <-或12x << C ．21x -<<或1x >
D ．2x <-或2x >
6．下列命题正确的是（ ）
A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．一组邻边相等的矩形是正方形
7．已知A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加2，则A ，B 两个样本的下列统计量对应相同的是（ ）
8．已知不等式组12212
3x a x x -≥⎧⎪
+-⎨>⎪⎩的解集如图所示（原点未标出，数轴的单位长度为1），则 a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米
B ．15平方千米
C ．75平方千米
D ．750平方千米
10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，E 是CA 延长线上一点，F 是CB 上一点，AE=12，BF=8，点P ，Q ，D 分别是AF ，BE ，AB 的中点，则PQ 的长为( )
A ．213
B ．4
C ．6
D ．35
二、填空题
11．矩形的长和宽是关于x 的方程27120x x -+=的两个实数根，则此矩形的对角线之和是________． 12．使24x -有意义的x 的取值范围是_____．
13．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_______，面积为________.
14．如图，在ABC 中，分别以点A B ，为圆心，大于
1
2
AB 的长为半径画弧，两弧交于点M N ，，作直线MN 交AB 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ．若64AF FC ==，，连接点E 和AC 的中点G ，则
EG 的长为_______．
15．已知一个样本中共5个数据，其中前四个数据的权数分别为0.2，0.3，0.2，0.1，则余下的一个数据
16．观察下面的变形规律：
＝
－1，
＝
－
，
＝
－
，
＝
－
，…
解答下面的问题：
（1） 若为正整数，请你猜想
＝________；
（2） 计算：
17．如图，在ABC △中，4AC AB ==，AH BC ⊥垂足为15H AH =，，BD 是中线，将CBD 沿直线BD 翻折后，点C 落在点E ，那么AE 为_________.
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，过点B （6，0）的直线AB 与直线OA 相交于点A （4，2）.
（1）求直线AB 的解析式. （2）求△OAC 的面积.
（3）在y 轴的负半轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由.
19．（6分）在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄
挂果数量x （个） 频数（株） 频率 25≤x ＜35 6 0.1 35≤x ＜45 12 0.2 45≤x ＜55 a 0.25 55≤x ＜65 18 b 65≤x ＜75
9
0.15
请结合图表中的信息解答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x ＜45”所对应扇形的圆心角度数为 °； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x ＜65”范围的番茄有 株． 20．（6分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由． 21．（6分）（1）若k 是正整数，关于x 的分式方程122x k k
x x
++=+-的解为非负数，求k 的值；
22．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AB ∥ CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形ABCD是正方形.（直接写出一个符合要求的条件）.
（3）对角线AC和BD交于点O，∠ ADC =120°，AC=8， P为对角线AC上的一个动点，连接DP，将DP 绕点D逆时针方向旋转120°得到线段DP1，直接写出A P1的取值范围.
23．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．
24．（10分）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，
（1）请你求出该正比例函数的解析式；
（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；
（3）请你判断点P（﹣3
2
，1）是否在这个函数的图象上，为什么？
25．（10分）在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．A
【解析】
【分析】
方程两边同时乘以x+3，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.
【详解】
方程两边同时乘以x+3，得
x2-9=0，
解得：x=±3，
检验：当x=3时，x+3≠0，当x=-3时，x+3=0，
所以x=3是原分式方程的解，
所以方程的解为：x=3，
故选A.
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键.
2．C
【解析】
解：A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；
B．某蓝球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，但不能断定他罚球命中的概率一定为50%，故本选项错误；
C．明天我市会下雨是随机事件，故本选项正确；
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故该选项错误．
故选C．
3．D
【解析】
【分析】
利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据垂直平分线的性质可得DA＝DB，根据等腰三角形的性质可得∠B
内角和定理即可得答案． 【详解】
由作法得EF 垂直平分AB ， ∴DA ＝DB ， ∴∠B ＝∠DAB ， ∵AD ＝AC ，∠C=40°， ∴∠ADC ＝∠C ＝40°， ∵∠ADC ＝∠B+∠DAB ， ∴∠B ＝
1
2
∠ADC ＝20°， ∴∠BAC ＝180°-∠B-∠C=120°． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是基本尺规作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等的性质是解题的关键． 4．A 【解析】 【分析】
根据一次函数的定义条件解答即可． 【详解】
解：①y=kx ，当k=0时原式不是函数； ②2
3
y x =
，是一次函数； ③由于()2
1=y x x x x =--，则()1y x x x =--不是一次函数； ④y=x 2+1自变量次数不为1，故不是一次函数； ⑤y=22-x 是一次函数． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1． 5．C 【解析】 【分析】
分3>x+2即x<1和3<x+2即x>1两种情况，根据新定义列出不等式求解可得．
当3>x+2,即x<1时,3(x+2)+x+2>0，
解得：x>−2，
∴−2<x<1；
当3<x+2,即x>1时,3(x+2)−(x+2)>0，
解得：x>−2，
∴x>1，
综上，−2<x<1或x>1，
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C选项错误．
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点．
7．B
【解析】
试题分析：根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论：设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=x i+2，
则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2，只有标准差没有发生变化.
故选B.
考点：统计量的选择．
8．A
【解析】
【分析】
首先解不等式组，然后即可判定a的值.
1x a -≥，解得1x a ≥+
221
23
x x +->，解得8x ＜ 由数轴，得4a = 故选：A. 【点睛】
此题主要考查根据不等式组的解集求参数的值，熟练掌握，即可解题. 9．A 【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：1
2
×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选：A ．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 10．A 【解析】 【分析】
根据三角形中位线定理得到PD 、DQ ，PD ∥BC ，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA ，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】 ∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点P ，D 分别是AF ，AB 的中点， ∴PD=
1
2
BF=6，PD ∥BC ， ∴∠PDA=∠CBA ， 同理，QD=
1
2
AE=6，∠QDB=∠CAB ， ∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，
∴==
故选A ． 【点睛】
解题的关键．
二、填空题
11．1
【解析】
【分析】
设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=7，ab=12，利用勾股定理得到矩形的对角线
长5，则根据矩形的性质得到矩形的对角线之和为1．
【详解】
设矩形的长和宽分别为a、b，
则a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长，
所以矩形的对角线之和为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系, 矩形的性质,解题关键在于掌握运算公式.
12．x≥2
【解析】
【分析】
根据题意可得2x﹣4≥0，然后求解关于x的一元一次不等式即可.
【详解】
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2.
故答案为x≥2.
【点睛】
本题考查了算术平方根有意义，解一元一次不等式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
13．31
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求得高的长，从而再根据面积公式求得面积即可．
边上的高是3，则三角形的面积=12
×8×3=1．故答案为：3,1． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．综合运用等腰三角形的三线合一以及直角三角形的勾股定理是解答本题的关键．
14．1
【解析】
【分析】
由作图可知，MN 为AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=BF=6，且AE=BE ，由线段中点的定义得到EG 为△ABC 的中位线，从而可得出结果．
【详解】
解：∵由作图可知，MN 为AB 的垂直平分线，
∴AE=BE ，AF BF ==6，
∴6410BC BF CF =+=+=．
而EG 是ABC 的中位线，
∴152
EG BC ==． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了基本作图-作已知线段的垂直平分线：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．同时也考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的中位线的性质．
15．0.1
【解析】
【分析】
根据权数是一组非负数，权数之和为1即可解答.
【详解】
∵一组数据共5个，其中前四个的权数分别为0.1，0.3，0.1，0.1，
∴余下的一个数对应的权数为1-0.1-0.3-0.1-0.1=0.1，
故答案为：0.1．
【点睛】
本题考查了权数的定义，掌握权数的定义是解决本题的关键．
16．（1）、
；（2）、1.
【解析】
试题分析：（1）根据所给等式确定出一般规律，写出即可；
（2）先将各式分母有理化，此时发现除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，故可求出答案. 解：（1）
﹣ （2）原式=[（
﹣1）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]（ +1） =（
﹣1）（ +1）
=（
）2﹣12 =2016﹣1
=1．
点睛：本题主要考查了代数式的探索与规律，二次根式的混合运算，根据所给的等式找到规律是解题的关键.
17．6
【解析】
【分析】
如图作AH ⊥BC 于H ，AM ⊥AH 交BD 的延长线于M ，BN ⊥MA 于N ，则四边形ANBH 是矩形，先证明△ADM ≌△CDB ，在RT △BMN 中利用勾股定理求出BM ，再证明四边形BCDE 是菱形，AE=2OD ，即可解决问题．
【详解】
解：如图作AH ⊥BC 于H ，AM ⊥AH 交BD 的延长线于M ，BN ⊥MA 于N ，则四边形ANBH 是矩形．
∵AB=AC=4，15AH =
∴CH=1，15，BC=2，
∵AM ∥BC ，
∴∠M=∠DBC ，
在△ADM 和△CDB 中，
M DBC ADM BDC AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADM≌△CDB(AAS)，∴AM=BC=2，DM=BD，
在RT△BMN中，∵
MN=3，
∴BM==∴
∵BC=CD=BE=DE=2，
∴四边形EBCD是菱形，
∴EC⊥BD，
EO=OC，
∵AD=DC，
∴AE∥OD，
【点睛】
本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的数学数学，利用三角形中位线发现AE=2OD，求出OD即可解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
18．（1）y=﹣x+6；（2）12；（3）点M的坐标为（0，-2）或（0，-6）.
【解析】
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分两种情形①过点A作AB的垂线AM交y轴与M．②过点B作BM′⊥AB交y轴与M′，求出点M 与M′坐标即可．
详解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：
42 60 k b
k b
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
解得：
1
6
k
b
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
则直线的解析式是：y=-x+6；
（2）在y=-x+6中，令x=0，解得：y=6，
S△OAC=1
2
×6×4=12；
（3）如图，
①过点A作AB的垂线AM交y轴与M．
∵直线AB的解析式为y=-x+6，
∴直线AM的解析式为y=x-2，
∴M（0，-2）．
②过点B作BM′⊥AB交y轴与M′，则直线BM′的解析式为y=x-6，
∴M′（0，-6），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，-2）或（0，-6）．
点睛：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题关键．
19．（1）15，0.3；（2）图形见解析；（3）72；（4）300.
【解析】
试题分析：（1）a=60-6-12-18-9=15，b=1-0.1-0.2-0.25-0.15=0.3；（2）根据（1）中a值可以补充完整；（3）利用360°×挂果数量在“35≤x＜45”的频率可以得到对应扇形的圆心角度数；（4）用1000×挂果数量在“55≤x ＜65”的频率可以得出株数.
试题解析：（1）a=15，b=0.3；（2）
（3）72；（4）300.
考点：1统计图；2频数与频率；3样本估计总体.
20．（1）每件衬衫应降价1元．（2）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用衬衣每件盈利×平均每天售出的件数=每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可． （2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．
【详解】
（1）设每件衬衫应降价x 元．
根据题意，得 （40-x ）（1+2x ）=110
整理，得x 2-30x+10=0
解得x 1=10，x 2=1．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x 1=10应略去，
∴x=1．
答：每件衬衫应降价1元．
（2）不可能．理由如下：
令y=（40-x ）（1+2x ），
当y=1600时，（40-x ）（1+2x ）=1600
整理得x 2-30x+400=0
∵△=900-4×400＜0，
方程无实数根．
∴商场平均每天不可能盈利1600元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
21．（1）1k =；（2）a 的值-1，2.
【解析】
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为非负数求出k 的范围，即可确定出正整数k 的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论a 的值，使分式方程无解即可．
【详解】
解：（1）由122x k k x x
++=+-得：()()()2224x k x k x x +--+=-， 化简得：22x k =-，
因为x 是非负数，所以220k -≥，即1k ≤，
又k 是正整数，所以1k =；
（2）去分母得：()322x a x ---=-，即()125a x a +=+，
若1a =-，显然方程无解；
若1a ≠-，251
a x a +=+， 当2x =时，a 不存在；
当3x =时，2a =，
综合上述：a 的值为-1，2.
【点睛】
此题考查了分式方程的解，始终注意分式分母不为0这个条件．
22． (1)见解析;(2)见解析;(3) 1438
AP ≤≤. 【解析】
分析：（1）先证明四边形ABCD 是平行四边形，然后证明它是菱形即可.
（2）由（1）已知四边形ABCD 是菱形，所以当△ABD 是直角三角形时，四边形ABCD 是正方形. （3）将线段AC 顺时针方向旋转60°得到线段CE ，并连接AE ，点到直线的距离垂线段最短，所以AP 1垂直CE 时，AP 1取最小值，点P 1在E 点，AP 1取最大值，即可求解.
详解：证明：（1） AB=AD ，CB=CD ，∴∠ABD=∠ADB ，∠CBD=∠CDB ，
∵AB ∥CD ，∴∠ABD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CBD ，
∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.
又∵AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形.
（2）要使四边形ABCD 是正方形，则∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，
∴当△ABD 是直角三角形时，即∠BAD=90°时，四边形ABCD 是正方形；
（3）以点C 为中心，将线段AC 顺时针方向旋转60°得到线段CE ，由题意可知，点P 1在线段CE 上运动.
连接AE ，
∵AC=CE ，∠ACE=60°，∴△ACE 为等边三角形，
∴AC=CE=AE=8，过点A 作
于点F ， ∴.当点P 1在点F 时，线段AP 1最短，此时；
. 当点P 1在点E 时，线段AP 1最长，此时AP 1=8， .143AP 8
≤. 点睛：本题主要考查了菱形的判定和正方形的判定，结合题意认真分析是解题的关键.
23．（1）见解析；（2）12.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，又由M ，N 分别是AB 和CD 的中点可得AM ＝∥CN ，即可得结论； （2）根据等腰三角形的性质可得CM ⊥AB ，AM ＝3，根据勾股定理可得CM ＝4，则可求面积．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，
∵M ，N 分别为AB 和CD 的中点，
∴AM=12AB ，CN=12
CD ， ∴AM=CN ，且AB ∥CD ，
∴四边形AMCN 是平行四边形；
（2）∵AC=BC=5，AB=6，M 是AB 中点，
∴AM=MB=3，CM ⊥AM ，
∴224AC AM -=，
∵四边形AMCN 是平行四边形，且CM ⊥SM ，
∴AMCN 是矩形，
∴S 四边形AMCN =12.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，关键是熟练运用这些性质解决问题． 24．（1）正比例函数解析式为y=﹣2x ；（2）m=﹣1；（3）点P 不在这个函数图象上，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）将点A 的坐标代入正比例函数解析式中求出k 的值，即可确定出正比例解析式；（2）将点B （m ，m+3）代入所求的解析式，即可求得m 的值；（3）把x=-
32
代入所求的解析式，求得y 的值，比较即可. 【详解】
（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得：
﹣k=2，k=﹣2，
则正比例函数解析式为y=﹣2x；
（2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2x，得：﹣2m=m+3，
解得：m=﹣1；
（3）当x=﹣时，y=﹣2×（﹣）=3≠1，
所以点P不在这个函数图象上．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式计算即可．
25．523
+
【解析】
【分析】
首先过点A作AD⊥BC，根据Rt△ADC和Rt△ABD的勾股定理分别求出CD和BD的长度，从而得出BC的长度
【详解】
过点A作AD⊥BC，则△ADC和△ABD为直角三角形
∵∠C=30° AC=4cm ∴AD=2cm CD=23cm
根据Rt△ABD的勾股定理可得：BD=22945
-=-=cm
AB AD
∴BC=BD+CD=（523
+）cm
【点睛】
本题考查直角三角形的勾股定理，解题关键在于能够构造出直角三角形.。