南昌市九年级(下)开学数学试卷含答案

开学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1.-2的倒数是（）
A. -2
B. -
C.
D. 2
2.一个空心的圆柱如图所示，则它的俯视图是（）
A.
B.
C.
D.
3.一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数
法表示为（）
A. 0.1008×106
B. 1.008×106
C. 1.008×105
D. 10.08×104
4.下列运算正确的是（）
A. 2a+a=2a2
B. （-a）2=-a2
C. （a2）3=a5
D. a3÷a=a2
5.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
那么A（-2，5）的对应点A′的坐标是（）
A. （2，5）
B. （5，2）
C. （2，-5）
D. （5，-2）
6.a，b，c为常数，且（a-c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 有一根为0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7.如果分式有意义，那么x的取值范围是______．
8.分解因式：x2y-2xy+y=______．
9.不等式组的解集为______．
10.一元二次方程x2-3x+1=0的两个根为m、n，则m2-mn+n2=______．
11.已知圆锥按如图放置，其主视图的面积为12，俯视图的周长为6π，
则该圆锥的侧面积为______．
12.如图，在一张长为14cm，宽为10cm的矩形纸片上，现要
剪下一个腰长为8cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的
一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形
的边上），则剪下的等腰三角形的面积为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
13.计算：（3-π）0+4sin45°-+|1-|．
四、解答题（本大题共10小题，共78.0分）
14.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，
交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．
15.先化简，再求值：（1+）÷，其中a=-3．
16.如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻
度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．
17.“你记得父母的生日吗？”这是我校在九年级学生中开展主题为“感恩”教育时
设置的一个问题，有以下四个选项：A．父母生日都记得；B．只记得母亲生日；C．只记得父亲生日；D．父母生日都不记得．在随机调查了（1）班和（2）班各50名学生后，根据相关数据绘出如图所示的统计图．
（1）补全频数分布直方图；
（2）据此推算，九年级共900名学生中，“父母生日都不记得”的学生共多少名？
（3）若两个班中“只记得母亲生日”的学生占22%，则（2）班“只记得母亲生日”
的学生所占百分比是多少？
18.小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3
个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是_____．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
19.如图，点A在函数y=（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数
y=图象于点B、C，直线BC与坐标轴的交点为D、E．当点A在函数y=（x＞0）
图象上运动时，
（1）设点A横坐标为a，则点B的坐标为______，点C的坐标为______（用含a 的字母表示）；
（2）△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积，若变化，请说明理由；
（3）请直接写出BD与CE满足的数量关系．
20.在⊙O中，直径AB=12，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且
OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
21.某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与
AD，AB平行的横向通道和纵向通道（通道面积不超过总面积的），其余部分铺上草皮．
（1）如图1，若设计两条通道，一条横向，一条纵向，4块草坪为全等的长方形，每块草坪的两边之比为3：4，并且纵向通道的宽度是横向通道宽度的2倍，问横向通道的宽是多少？
（2）如图2，为设计得更美观，其中草坪①②③④为全等的正方形，草坪⑤⑥为全等的长方形（两边长BN：BM=2：3），通道宽度都相等，问：此时通道的宽度又是多少呢？
22.给定关于x的二次函数y=kx2-4kx+3（k≠0），
（1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；
（2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB=2，求k的值；
（3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，
某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
23.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，
∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是______；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵-2×=1．
∴-2的倒数是-，
故选：B．
根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．2.【答案】A
【解析】解：从上边看是三个矩形，中间矩形两边是虚线，
故选：A．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3.【答案】C
【解析】解：100800=1.008×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A、应为2a+a=3a，故本选项错误；
B、应为（-a）2=a2，故本选项错误；
C、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、a3÷a=a2，正确．
故选：D．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
5.【答案】B
【解析】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，
∴AO=A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90°．
∵∠COC′=90°，
∴∠AOA′-∠COA′=∠COC′-∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC=A′C′，CO=C′O．
∵A（-2，5），
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2，OC′=5，
∴A′（5，2）．
故选：B．
由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，
∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵（a-c）2=a2+c2-2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c=0中，
△=b2-4ac≥-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故选：B．
利用完全平方的展开式将（a-c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．
本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2-4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．
7.【答案】x≠1
【解析】解：由题意，得
x-1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
8.【答案】y（x-1）2
【解析】解：x2y-2xy+y，
=y（x2-2x+1），
=y（x-1）2．
故答案为：y（x-1）2．
先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
9.【答案】-1＜x≤3
【解析】解：
由①得x＞-1，
由②得x≤3．
故原不等式组的解集为-1＜x≤3．
故答案为：-1＜x≤3．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
10.【答案】6
【解析】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0的两个根为m、n，
∴m+n=3、mn=1，
∴m2-mn+n2=（m+n）2-3mn=32-3×1=6．
故答案为：6．
根据根与系数的关系得出m+n=3、mn=1，将m2-mn+n2转化成只含m+n、mn的形式，代入数据即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=．11.【答案】15π
【解析】解：据俯视图的周长为6π，可知底面圆的直径为6．
而圆锥的主视图是一个以底面直径为底边，以两条母线为腰的等腰三角形，由于它的面积为12，可求得锥高为4，从而母线长为5，
即侧面展开扇形的半径为5，弧长为6π，
故面积为15π．
故答案为：15π．
首先根据俯视图的周长为6π，得出圆的半径，进而得出锥高，再利用勾股定理得出母线长，再利用圆锥侧面积公式求出．
此题主要考查了圆锥的有关计算以及勾股定理的应用，熟练根据三视图得出三角形的高AC的长是解题关键．
12.【答案】32或8或8
【解析】解：①如图1，AE=AF=8时，
等腰△AEF面积为×8×8=32；
②如图2，EA=EF=8时，
在Rt△DEF中，DE=2，则DF=，
等腰△AEF面积为×8×2=8；
③如图3，EA=EF=8时，
在Rt△BEF中，BE=6，则BF=，
等腰△AEF面积为×8×2=8；
综上所述：剪下的等腰三角形的面积为32或8或8．
故答案为32或8或8．
根据题意分三种情况：①AD上截取AE=8，AF上截取AF=8，得到等腰△AEF；②AD上截取AE=8，以E为圆心，EA为半径画弧交DC于F点，△EAF是等腰三角形；③在AB 上截取AE=8，以E为圆心，以EA为半径画弧交BC于F点，△EAF为等腰三角形．最后选择8为底，利用勾股定理求出高，算出面积．
本题主要考查矩形、等腰三角形的性质、勾股定理，分情况讨论，画出正确的图形是解题的关键．
13.【答案】解：（3-π）0+4sin45°-+|1-|
=1+4×-2-1
=1-2+-1
=
【解析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（3-π）0+4sin45°-+|1-|的值是多少即可．
（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实
数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．14.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE，
∴DA=DE．
【解析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠E=∠DAE是解决问题的关键．
15.【答案】解：（1+）÷
=（1+）•
=+
=
=，
∵a=3，
∴原式=．
【解析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将a的值代入化简后的式子求值即可．此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
16.【答案】解：（1）直线m如图所示．
（2）直线n如图所示．
【解析】（1）连接FB、AE，FB交AE于K，直线OK即为所求；
（2）连接DF交OE于M，连接OP交CD于N，作直线MN交AF于K，直线EK即为所求；
本题考查作图-应用与设计，平行线的性质、等边三角形的性质、多边形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：（1）一班中A类的人数是：50-9-3-20=18（人）．
如图所示．
（2）（名）；
（3）设（2）班“只记得母亲生日”的学生有x名，依题意得：
，
解得x=13，
∴，
即（2）班“只记得母亲生日”的学生所占百分比是26%．
【解析】（1）利用总人数50减去其它各组的人数即可求解；
（2）利用总人数900乘以对应的比值即可求解；
（3）设（2）班“只记得母亲生日”的学生有x人，根据两个班中“只记得母亲生日”的学生占22%，即可列方程求得x，进而求得对应的百分比．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.【答案】（1);
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
∴建议小明在第一题使用“求助”．
【解析】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）见答案；
（3）见答案．
（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；
（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】（1）（a，），C（a，）；
（2）∵A（a，），则C（a，），B（，），
∴AB=a-=a，AC=-=，
∴S△ABC=AB•AC=×a×=，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为；
（3）BD=CE.
【解析】解：（1）∵点A横坐标为a，点A在函数y=（x＞0）图象上，
∴点A纵坐标为，
∵AB∥x轴，AC∥y轴，
∴点B的纵坐标为：，点C的横坐标a，
∴点B横坐标为：a；点C的纵坐标为：，
∴B点坐标为（a，），C（a，）；
故答案为：（a，），C（a，）；
（2）见答案；
（3）BD=CE，
如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴△ABC∽△EFC，
∴=，即=，
∴EF=a，
由（2）可知BG=a，
∴BG=EF，
∵AE∥y轴，
∴∠BDG=∠FCE，
在△DBG和△CFE中，
∴△DBG≌△CEF（AAS），
∴BD=CE．
故答案为：BD=CE．
【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y=可求得B
点与C点的坐标；
（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；
（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象的交点、平行线的性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．要（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用a表示出AB、AC的长是解题的关键，在（3）中证得BD=EC，构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20.【答案】解：（1）连
结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，
∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=2，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ=；
（2）连结OQ，如图2，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=3，
∴PQ长的最大值为=3．
【解析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=6tan30°=2，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=2；
（2）连结OQ，如图2，当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=3，所以PQ长的最大值=3．
本题考查了圆周角定理和勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了解直角三角形．
21.【答案】解：（1）设横向通道的宽度为xm，
则或，
解得：x=1或x=6.6（此时通道面积过大，舍去），
所以纵向通道的宽度为1m．
（2）设通道宽度为ym，BN=2am，
则，
解得，
所以此时通道的宽度为1 m．
【解析】（1）设横向通道的宽度为xm，根据每块草坪的两边之比为3：4列出关于x 的方程：或，再分别求解可得；
（2）设通道宽度为ym，BN=2am，根据矩形的长宽列出方程组，
解之可得．
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是根据题意确定出相等关系，并据此列出方程和方程组．
22.【答案】解：（1）∵二次函数y=kx2-4kx+3与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程kx2-4kx+3=0有两个相等的实数根，
∴△=（-4k）2-4×3k=16k2-12k=0，
解得：k1=0，k2=
k≠0
∴k=
（2）∵AB=2，抛物线对称轴为x=2
∴A、B点坐标为（1，0），（3，0）
将（1，0）代入解析式，可得k=1
（3）①∵当x=0时，y=3，
∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；
②∵抛物线的对称轴为x=2，
∴抛物线的对称轴不变，②正确；
③二次函数y=kx2-4kx+3=k（x2-4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，
令k的系数为0，即x2-4x=0，
解得：x1=0，x2=4，
∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．
综上可知：正确的结论有①②③．
【解析】（1）由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0．
（2）由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值．（3）通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断．
本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．
23.【答案】（1）
①DE∥AC；
②S1=S2 .
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°=2÷=，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，
故BF的长为或．
【解析】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）见答案；
（3）见答案．
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边
的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距
离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出
∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．。