【轻松突破120分】2014高考数学精炼24 文

2014高考数学（文）轻松突破120分24 一、选择题 1．已知直线l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，则直线l 1与l 2( )
A ．通过平移可以重合
B ．不可能垂直
C ．可能与x 轴围成等腰直角三角形
D ．通过绕l 1上某一点旋转可以重合
解析： l 1的斜率sin α∈[－1,1]，l 2的斜率为2，不可能相等，即两直线不可能平行，必相交，l 1绕交点旋转可与l 2重合．
答案： D
2．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )
A.13
B.43
C.23
D.53
解析： 直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8
＝a ·(－9)－2，a ＝23
. 答案： C
3．直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－
1)，则直线l 的斜率为( )
A ．－32B.32
C.23D ．－23
解析： 由中点坐标公式：－1＝1＋y ′2
，y ′＝－3， 将y ′＝－3代入x －y －7＝0得x ′＝4，即l 与x －y －7＝0的交点为(4,3)，所以k PQ ＝－1－－31－4＝－23
，故选D. 答案： D
4．(2009·某某模拟)若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )
A ．(1，－2)
B ．(1,2)
C ．(－1,2)
D ．(－1，－2)
解析： 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－k －2，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．
答案： A
5．若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ．32
B ．2 2
C ．33
D ．4 2
解析： 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程
为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2
⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2
＝3 2. 答案： A
6．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析： 要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可． 若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4；
若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16
； 若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；
若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，
则m ＝－1或m ＝23
. 综上可知，m 值最多有4个，故应选D.
答案： D
二、填空题
7．已知直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0，l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，若l 1∥l 2，则θ＝________. 解析： ∵l 1∥l 2，∴1×1＝2sin θ×sin θ，
∴sin 2θ＝12.∴sin θ＝±22
， ∴θ＝k π±π4
(k ∈Z)． 答案： k π±π4
(k ∈Z) 8．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________．
解析： 设所求直线l ：x －y ＋m ＝0， 由|m ＋2|2
＝22，∴m ＝2或－6. 答案： x －y ＋2＝0或x －y －6＝0
9．已知点P 在直线2x －y ＋4＝0上，且到x 轴的距离是y 轴距离的23
，则点P 的坐标为________．
解析： 设点P (a,2a ＋4)． 由题意得|2a ＋4|＝23
|a |， 解得a ＝－3或a ＝－32
， ∴P 点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，1或(－3，－2)． 答案： ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，1或(－3，－2) 三、解答题
10．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程．
(1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；
(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.
解析： (1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k 1＝－34
， 又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34. ∴直线l ′：y ＝－34
(x ＋1)＋3， 即3x ＋4y －9＝0.
(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在x 轴上的截距为b ，则l ′在y 轴上的截距为－43
b ， 由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－43b ＝4，∴b ＝± 6. ∴直线l ′：y ＝43x ＋6或y ＝43
x － 6. 11．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．
【解析方法代码108001104】
解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2， ∴l 1，l 2交点为(1,2)．
设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，
即kx －y ＋2－k ＝0，
∵P (0,4)到直线距离为2，
∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.
12．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：
(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；
(2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．
【解析方法代码108001105】
解析： (1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，
则k BB ′·k l ＝－1，即b －4a
·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，b ＋42， 且在直线l 上，
∴3×a 2－b ＋42
－1＝0，即3a －b －6＝0.② 解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．
于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4
，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝5.
即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．∴点P (2,5)即为所求．
(2)如图所示，设C 关于l 的对称点C ′，
求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. ∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0， AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，26
7，
故所求P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，26
7.。