用样本的频率分布估计总体分布 说课稿 教案

用样本的频率分布估计总体分布
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过实例体会分布的意义和作用．
(2)在表示样本数据的过程中学会列频率分布表画频率分布直方图，通过实例体会频率分布直方图的特征．
2．过程与方法
(1)会根据具体的样本特征选择合适的方式来表示样本分布．
(2)能通过对数据的分析为合理决策提供依据，体会统计在现实生活中的作用．
(3)能通过对现实生活中的问题的探究感知应用数学知识解决问题的方法及统计的思想、方法．
3．情感、态度与价值观
(1)通过对数据分析，为合理决策提供依据，初步感受统计结果的随机性与规律性，体会统计思想与确定性思维的差异．
(2)通过样本频率分布直方图，对总体估计的过程进一步体会统计思想，感受数学对实际生活的应用及对实际问题解决的指导作用，体会数学知识与现实生活的联系．
●重点难点
通过以上分析，确定本节课教学的重点是：会列频率分布表，画频率分布直方图．教学难点是：能通过样本的频率分布估计总体的分布．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的频率知识，不断地观察、比较、分析，采用分组讨论的方式，学生独立画出频率分布直方图，明确其特征，学会对总体进行估计，同时引导学生进行解题方法的总结从而化解难点．引导学生回答所提问题，学生通过小组讨论，教师指导以及对例题的研究与分析，学会列频率分布表，画频率分布直方图从而强化了重点．
●教学建议
通过对现实生活中实际例子的讲解，以及前面知识的回顾，教会学生观察——猜想——发现——概括(归纳)的学习方法，让学生进一步了解“转化”的数学思想方法，在教学中培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，并在教学中逐步提高学生论证问题的能力．根据本节内容较抽象，学生不易理解的特点，本节教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、讲练结合法．
采用这种方法的原因是高一学生的领会思想的能力比较差，通过对现实生活中实际例子的讲解，以及前面知识的回顾，使其理解并掌握本节知识．本节课让学生通过熟知的一组数据的代表－众数，中位数，平均数下，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在只能得到频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征．在课堂结构
上，根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究—小组讨论—总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标．
●教学流程
课标解读1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．
2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．(重点) 3．能够利用图形解决实际问题．(难点)
频率分布直方图
【问题导思】
美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51, 54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
1．上述44个数据中最大值与最小值的差是多少？
【提示】69－42＝27.
2．若将上述数据分成下列几组，[41.5,45,5)，[45.5,49.5)，[49.5,53.5)，[53.5,57.5)，[57.5,61.5)[61.5,65.5)，[65.5,69.5)．各组中数据个数是多少？
【提示】各组数据的个数依次为2,7,8,16,5,4,2.
3．在直角坐标系中，能否将各组统计的数据直观地表示出来？
【提示】可以．
画频率分布直方图的步骤
频率分布折线图和总体密度曲线
1.频率分布折线图
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．
2．总体密度曲线
随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．
茎叶图
茎叶图中的茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数.
频率分布表和频率分布直方图
例1(单位：cm)如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
【思路探究】找出此组数据的最大值和最小值，确定分组的组距和组数，列出频数分布表，再由频率分布表绘制频率分布直方图．
【自主解答】(1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；
确定组距为4，组数为8，频率分布表如下：
分组频数频率
[150.5,154.5)10.025
[154.5,158.5)50.125
[158.5,162.5)50.125
[162.5,166.5)100.250
[166.5,170.5)130.325
[170.5,174.5)40.100
[174.5,178.5)10.025
[178.5,182.5]10.025
合计40 1.000 (2)频率分布直方图如下．
规律方法
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
(1)若极差
组距
为整数，则
极差
组距
＝组数；
(2)若极差
组距
不为整数，则
极差
组距
的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．变式训练
某中学同年级40名男生的体重(单位：千克)如下：
61 60 59 59 59 58 58
57 57 57 57 56 56 56
56 56 56 56 55 55 55
55 54 54 54 54 53 53
52 52 52 52 52 51 51
51 50 50 49 48
列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图，画出频率分布折线图．
【解】(1)计算最大值与最小值的差：61－48＝13.
(2)决定组距与组数，取组距为2.
∵13
2＝6
1
2，∴共分7组．
(3)决定分点，分成如下7组：
[47.5～49.5)，[49.5～51.5)，[51.5～53.5)，[53.5～55.5)，[55.5～57.5)，[57.5～59.5)，[59.5～61.5]．
(也可以分为[48,50)，[50,52)，[52,54)，[54,56)，[56,58)，[58,60)，[60,62]7组)
(4)列出频率分布表：
分组频数频率
[47.5～49.5)20.05
[49.5～51.5)50.125
[51.5～53.5)70.175
[53.5～55.5)80.2
[55.5～57.5)110.275
[57.5～59.5)50.125
[59.5～61.5]20.05
合计40 1.00
(5)作出频率分布直方图如图．
(6)取各小长方形上端的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图．
茎叶图的绘制及应用
例2某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
【思路探究】题中数据均为两位数，可用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，然后根据茎叶图分析两人成绩．
【自主解答】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好．
规律方法
1．绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如本题中数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．
2．利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑．
变式训练
某良种培育基地正在培养一种小麦新品种A，将其与原有一个优良品种B进行对照实验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产量数据(单位：千克)如下：
品种A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,4 45,445,451,454
品种B：
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,4 15,416,422,430
(1)画出两组数据的茎叶图；
(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量用其稳定性进行比较，写出统计结论．
【解】(1)茎叶图如图所示．
(2)
体数据．
(3)通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均亩产量约为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克．由此可知品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高，但品种A的
亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在平均亩产量附近．
频率分布直方图、折线图的综合应用例3为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：
[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25，11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)4；[11.55,11.65]，2.
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
(3)据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几？
(4)数据小于11.20的可能性是百分之几？
【思路探究】根据画频率分布直方图的步骤先画频率分布直方图，再画折线图，然后结合直方图的特征解决(3)(4)．
【自主解答】(1)频率分布表如下：
分组频数频率
[10.75,10.85)30.03
[10.85,10.95)90.09
[10.95,11.05)130.13
[11.05,11.15)160.16
[11.15,11.25)260.26
[11.25,11.35)200.20
[11.35,11.45)70.07
[11.45,11.55)40.04
[11.55,11.65]20.02
合计100 1.00
(2)频率分布直方图及频率分布折线图，如图
(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为1－(0.03＋0.09)－(0.07＋0.04＋0.02)＝0.75＝75%，即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.
(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x，
则(x －0.41)÷(11.20－11.15) ＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)， 所以x －0.41＝0.13，即x ＝0.54， 从而估计数据小于11.20的可能性是54%. 规律方法
频率分布直方图的性质：
1．因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
2．在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. 3．频数/相应的频率＝样本容量．
4．在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比．
变式训练
为了解某校高一年级学生的体能情况，抽取部分学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图2－2－1)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
图2－2－1
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 【解】 (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3
＝0.08.
又因为第二小组的频率＝第二小组的频数
样本容量，
所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝12
0.08
＝150.
(2)由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为
17＋15＋9＋3
×100%＝88%.
2＋4＋17＋15＋9＋3
易错易误辨析
忽视频率直方图的特征而致错
有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图2－2－2所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为________．
图2－2－2
【错解】设样本数据落在区间[10,12]内的频率为x，
则(0.02＋0.05＋0.15＋0.19＋x)＝1，
解得x＝0.59，
所以样本数据落在[10,12]内的频数为0.59×200＝118.
【答案】118
【错因分析】在求解过程中，把频率分布直方图的纵轴含义误认为频率．
【防范措施】 1.明确频率分布直方图纵轴的含义．
2．提高识图能力，在频率分布直方图中每个小矩形的高为频率/组距．
【正解】设样本数据落在区间[10,12]内的频率为x.
则(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)×2＋x＝1，解得x＝0.18.
所以样本落在[10,12]内的频数为0.18×200＝36.
【答案】36
课堂小结
1．列频率分布直方图的步骤：
(1)计算数据中最大值和最小值的差．知道了极差就知道了这组数据的变动范围有多大；
(2)决定组数和组距．组距是指每个小组的两个端点之间的距离；
(3)决定分点；
(4)列频率分布表；
(5)绘制频率分布直方图．
2．列频率分布直方图的注意事项：
(1)组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．
(2)分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推.。