k-拟加sugeno积分刻画广义函数列的一致可积性
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CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol. 36 No. 6 Dec. 2019
doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2019.06.006
文章编号: 1005-3085(2019)06-0667-11
K-拟加 Sugeno 积分刻画广义函数列的一致可积性∗
收稿日期: 2017-09-27. 作者简介: 李艳红 (1965年5月生)，女，硕士，教授. 研究方向：模糊积分理论. ∗基金项目: 国家自然科学基金 (61374009)；辽东学院科研基金重点项目 (2017ZD009).
668
工程数学学报
第36卷
本文主要在文献 [10,11] 工作的基础上，借助于诱导算子重新定义一种新型非可加积 分—K-拟加 Sugeno 积分，并基于 K-拟加 Sugeno 积分、一致可积和一致有界概念给出广 义函数列一致可积的充要条件，同时也研究了广义函数列一致可积和一致有界的蕴含关 系．这些结果在非可加广义积分理论中将发挥重要作用．
−1
( K
(a)
+
) K(b) ,
a
⊗
b
=
K
−1(K
(a)K
) (b) .
由此定义，对任意的 a, b, c, d ∈ R+，不难推得以下结论成立： 1) a ⊕ b = b ⊕ a, a ⊗ b = b ⊗ a, a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c); 2) a ⊕ 0 = a, a ⊗ 0 = 0, a ⊗ 1 = a; 3) 若 a ≤ b, c ≤ d，则 a ⊕ c ≤ b ⊕ d, a ⊗ c ≤ b ⊗ d; 4) K(a ⊕ b) = K(a) + K(b), K(a ⊗ b) = K(a) · K(b); 5) K−1(a + b) = K−1(a) ⊕ K−1(b), K−1(a · b) = K−1(a) ⊗ K−1(b). 定 义 3[7] 设 (X, ℜ) 是 任 一 可 测 空 间 ，K 是 给 定 的 诱 导 算 子 ， 集 函 数 µˆ : ℜ → [0, +∞]，若满足条件： 1) µˆ(∅) = 0; 2) 若 A, B ∈ ℜ，且 A ∩ B = ∅ ⇒ µˆ(A ∪ B) = µˆ(A) ⊕ µˆ(B); 3) 若 {An}∞ n=1 ⊂ ℜ，且 An ↑ A, ⇒ µˆ(An) ↑ µˆ(A); 4) 若 {An}∞ n=1 ⊂ ℜ, An ↓ A= 0 · (+∞) = 0.
显然，K 的逆算子 K−1 存在，且 K−1 也是诱导算子，具体例子参见文献 [7,8]． 定义 2[7,8] 设 K 是给定的诱导算子，对任意的 a, b ∈ R+，界定 a 与 b 的 K-拟加运 算 ⊕ 与 K-拟乘运算 ⊗ 为
a
⊕
b
=
K
2 预备知识
设 X 是 给 定 的 一 经 典 集 合 ，R+ = [0, +∞]，ℜ 是 论 域 上 X 若 干 子 集 构 成 的 σ-代 数，(X, ℜ) 代表给定的任一可测空间．F (R+) 表示 R+ 上全体模糊数构成的集合．
定义 1[6,7] 设 K : R+ → R+ 是严格增加的连续函数，且满足条件： 1) K(0) = 0, K(1) = 1； 2) lim K(x) = +∞，则 K 称为 R+ 上的诱导算子，并约定
李艳红
(辽东学院师范学院数学系，辽宁 丹东 118003)
摘 要: K-拟加 Sugeno 积分是借助于诱导算子定义的一种新型非可加积分，它在广义积分理 论和一些实际应用中发挥重要作用．为克服 K-拟加测度不具有可加性的先天性不足， 本文建立一类新的非可加积分模型“K-拟加 Sugeno 积分”，从而为进一步研究非可 加积分理论开辟一个新途径．一方面，在 K-拟加测度空间上通过诱导算子对广义可测 函数定义了 K- 拟加 Sugeno 积分，并利用该积分的解析表示讨论了广义函数列的一致 可积性和一致有界性．另一方面，在 K-拟加测度空间上证明了非负广义函数列的一致 有界性蕴含着一致可积性，进而在 K-拟加 Sugeno 积分意义下给出了非负广义函数列 一致可积的一个充要条件．
2007年文献4在23基础上通过提升广义三角模的约束条件讨论了函数列的一致可积性和对应积分的一致有界性并针对文献3中主要收敛定理进行了改进曾在文献1基础上引入两种算子k和t算子建立了两类广义型的tk积分和kt分进而讨论了这两类积分的一些积分性质和收敛定理
第36卷 第6期 2019年12月
工程数学学报
关键词: 诱导算子；K-拟加 Sugeno 积分；一致可积；一致有界
分类号: AMS(2010) 26E50; 28A25
中图分类号: O159
文献标识码: A
1 引言
1987 年，Sugeno 和 Murofushi[1] 首次提出拟加及拟乘算子概念，并在拟加测度空间 上建立了一类非可加积分模型，这给进一步研究非可加模糊积分理论开辟了一个新途 径．1993 年，文献 [2] 通过公理化方法率先引入广义三角模概念，并把传统 Sugeno 模糊 积分中的取小运算用广义三角模替代给出了一种广义模糊积分的表示，继而文献 [3] 研究 了该积分的收敛定理．2007 年，文献 [4] 在 [2,3] 基础上，通过提升广义三角模的约束条 件讨论了函数列的一致可积性和对应积分的一致有界性，并针对文献 [3] 中主要收敛定 理进行了改进[5]．这些工作对进一步研究非可加模糊积分具有重要理论意义．此外，文 献 [6] 曾在文献 [1] 基础上引入两种算子 (K 和 t 算子) 建立了两类广义型的 tK 积分和 Kt 积 分，进而讨论了这两类积分的一些积分性质和收敛定理．2010 年，文献 [7] 对一类可积模 糊值函数定义了拟可加模糊值积分，并借助诱导算子研究了该积分的自连续性及其结构特 征．近些年来，围绕拓展三角模算子、加法和乘法运算问题陆续获得诸多有益结果[8-12]． 例如，文献 [10] 基于模糊值积分讨论了模糊值函数列的一致可积性；文献 [11] 给出了广义 拟 Sugeno 模糊积分的几种等价表示，并通过实例计算验证了等价性；文献 [12] 在一般模 糊集上讨论广义模糊积分的单调收敛定理及 Fatou 引理，进而给出模糊积分方程的求解条 件及其方法．这些有益工作为拓展广义模糊积分奠定了理论基础．
Vol. 36 No. 6 Dec. 2019
doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2019.06.006
文章编号: 1005-3085(2019)06-0667-11
K-拟加 Sugeno 积分刻画广义函数列的一致可积性∗
收稿日期: 2017-09-27. 作者简介: 李艳红 (1965年5月生)，女，硕士，教授. 研究方向：模糊积分理论. ∗基金项目: 国家自然科学基金 (61374009)；辽东学院科研基金重点项目 (2017ZD009).
668
工程数学学报
第36卷
本文主要在文献 [10,11] 工作的基础上，借助于诱导算子重新定义一种新型非可加积 分—K-拟加 Sugeno 积分，并基于 K-拟加 Sugeno 积分、一致可积和一致有界概念给出广 义函数列一致可积的充要条件，同时也研究了广义函数列一致可积和一致有界的蕴含关 系．这些结果在非可加广义积分理论中将发挥重要作用．
−1
( K
(a)
+
) K(b) ,
a
⊗
b
=
K
−1(K
(a)K
) (b) .
由此定义，对任意的 a, b, c, d ∈ R+，不难推得以下结论成立： 1) a ⊕ b = b ⊕ a, a ⊗ b = b ⊗ a, a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c); 2) a ⊕ 0 = a, a ⊗ 0 = 0, a ⊗ 1 = a; 3) 若 a ≤ b, c ≤ d，则 a ⊕ c ≤ b ⊕ d, a ⊗ c ≤ b ⊗ d; 4) K(a ⊕ b) = K(a) + K(b), K(a ⊗ b) = K(a) · K(b); 5) K−1(a + b) = K−1(a) ⊕ K−1(b), K−1(a · b) = K−1(a) ⊗ K−1(b). 定 义 3[7] 设 (X, ℜ) 是 任 一 可 测 空 间 ，K 是 给 定 的 诱 导 算 子 ， 集 函 数 µˆ : ℜ → [0, +∞]，若满足条件： 1) µˆ(∅) = 0; 2) 若 A, B ∈ ℜ，且 A ∩ B = ∅ ⇒ µˆ(A ∪ B) = µˆ(A) ⊕ µˆ(B); 3) 若 {An}∞ n=1 ⊂ ℜ，且 An ↑ A, ⇒ µˆ(An) ↑ µˆ(A); 4) 若 {An}∞ n=1 ⊂ ℜ, An ↓ A= 0 · (+∞) = 0.
显然，K 的逆算子 K−1 存在，且 K−1 也是诱导算子，具体例子参见文献 [7,8]． 定义 2[7,8] 设 K 是给定的诱导算子，对任意的 a, b ∈ R+，界定 a 与 b 的 K-拟加运 算 ⊕ 与 K-拟乘运算 ⊗ 为
a
⊕
b
=
K
2 预备知识
设 X 是 给 定 的 一 经 典 集 合 ，R+ = [0, +∞]，ℜ 是 论 域 上 X 若 干 子 集 构 成 的 σ-代 数，(X, ℜ) 代表给定的任一可测空间．F (R+) 表示 R+ 上全体模糊数构成的集合．
定义 1[6,7] 设 K : R+ → R+ 是严格增加的连续函数，且满足条件： 1) K(0) = 0, K(1) = 1； 2) lim K(x) = +∞，则 K 称为 R+ 上的诱导算子，并约定
李艳红
(辽东学院师范学院数学系，辽宁 丹东 118003)
摘 要: K-拟加 Sugeno 积分是借助于诱导算子定义的一种新型非可加积分，它在广义积分理 论和一些实际应用中发挥重要作用．为克服 K-拟加测度不具有可加性的先天性不足， 本文建立一类新的非可加积分模型“K-拟加 Sugeno 积分”，从而为进一步研究非可 加积分理论开辟一个新途径．一方面，在 K-拟加测度空间上通过诱导算子对广义可测 函数定义了 K- 拟加 Sugeno 积分，并利用该积分的解析表示讨论了广义函数列的一致 可积性和一致有界性．另一方面，在 K-拟加测度空间上证明了非负广义函数列的一致 有界性蕴含着一致可积性，进而在 K-拟加 Sugeno 积分意义下给出了非负广义函数列 一致可积的一个充要条件．
2007年文献4在23基础上通过提升广义三角模的约束条件讨论了函数列的一致可积性和对应积分的一致有界性并针对文献3中主要收敛定理进行了改进曾在文献1基础上引入两种算子k和t算子建立了两类广义型的tk积分和kt分进而讨论了这两类积分的一些积分性质和收敛定理
第36卷 第6期 2019年12月
工程数学学报
关键词: 诱导算子；K-拟加 Sugeno 积分；一致可积；一致有界
分类号: AMS(2010) 26E50; 28A25
中图分类号: O159
文献标识码: A
1 引言
1987 年，Sugeno 和 Murofushi[1] 首次提出拟加及拟乘算子概念，并在拟加测度空间 上建立了一类非可加积分模型，这给进一步研究非可加模糊积分理论开辟了一个新途 径．1993 年，文献 [2] 通过公理化方法率先引入广义三角模概念，并把传统 Sugeno 模糊 积分中的取小运算用广义三角模替代给出了一种广义模糊积分的表示，继而文献 [3] 研究 了该积分的收敛定理．2007 年，文献 [4] 在 [2,3] 基础上，通过提升广义三角模的约束条 件讨论了函数列的一致可积性和对应积分的一致有界性，并针对文献 [3] 中主要收敛定 理进行了改进[5]．这些工作对进一步研究非可加模糊积分具有重要理论意义．此外，文 献 [6] 曾在文献 [1] 基础上引入两种算子 (K 和 t 算子) 建立了两类广义型的 tK 积分和 Kt 积 分，进而讨论了这两类积分的一些积分性质和收敛定理．2010 年，文献 [7] 对一类可积模 糊值函数定义了拟可加模糊值积分，并借助诱导算子研究了该积分的自连续性及其结构特 征．近些年来，围绕拓展三角模算子、加法和乘法运算问题陆续获得诸多有益结果[8-12]． 例如，文献 [10] 基于模糊值积分讨论了模糊值函数列的一致可积性；文献 [11] 给出了广义 拟 Sugeno 模糊积分的几种等价表示，并通过实例计算验证了等价性；文献 [12] 在一般模 糊集上讨论广义模糊积分的单调收敛定理及 Fatou 引理，进而给出模糊积分方程的求解条 件及其方法．这些有益工作为拓展广义模糊积分奠定了理论基础．