上海市育才中学2017-2018学年高一上学期12月考数学试
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
上海市育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考英语试题(含答案)
英语阶段性练习（Unit1Book1）（65分钟）I. Listening ComprehensionSection A1. A. At a bus station. B. At a gas station.C. At a military museum.D. At a mobile phone shop.2. A.3. B.5. C.8. D.11.3. A. He had difficulty going to sleep at night.B. He stayed up late watching TV series.C. He produced an attractive TV series.D. He had to buy a new sleeping pillow.4. A. The woman should clean up the closet.B. The woman has bought too many new clothes.C. The woman should put on some weight.D. The woman should buy more clothes.5. A. The sunlight will burn up the jacket. B. The beach is too cold.C. She is proud of her dark skin color.D. The sunlight is helpful to her.6. A. Many activities were arranged in the bookshop.B. Many people were listening to a writer’s lecture.C. The bookshop was popular because of the book resources.D. People went to the bookshop to get free books.7. A. Customers can pay cash. B. There are more varieties of goods.C. Customers can get a bargain price.D. Customers can receive the goods faster.8. A. Peter isn’t in his hometown himself.B. Peter isn’t their good friend.C. Peter is unlikely to appear to pick them up.D. Peter owns an empty house in his hometown.9. A. Do a part-time job on campus.B. Borrow money from the woman.C. Obtain financial assistance from school.D. Study a practical case on campus.10. A. The man had a bad time eating with his boss.B. The man had a stomachache after lunch.C. The man enjoys eating with co-workers.D. The man is particular about the food he eats.Section BQuestions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. Users can choose height range.B. Users can improve their eyesight.C. Users can select the SPF of the cream.D. Users can get a full exposure to the cream.12. A. The laziness of the inventor. B. The needs of the hotels.C. The fund the inventor obtained.D. The online usage video.13. A. Inserting coins into the equipment.. Paying cash to the inventor.C. Buying Snappy Screen card.D. Paying for the hotel room.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. He got a medal for courage. B. He would become a French citizen.C. He got a position in the fire service.D. He received a large sum of money.15. A. He was playing a game. B. He was sleeping in the balcony.C. He was staying with his family.D. He was injured.16. A. The balcony was not strong enough.B. The boy's father left him alone at home.C. The house was on fire.D. Firemen broke into the house.Questions 17 through 20 are based on the following conversation.17. A. The origin of AI technology.B. The bad influences AI might bring.C. The changes AI brings to humans.D. The waterproof feature of AI technology.18. A. Too few people he has interviewed.B. The inferior AI products on the market.C. The lack of resources on AI theory.D. The lack of fund for the study.19. A. It is located in the downtown area.B. It has professional staff.C. It offers great online resource.D. It opens to general public free of charge.20. A. To prove that the applicant has legal income.B. To guarantee applicant’s ability to pay overdue fine.C. To use the bank card as the membership card.D. To pay the membership fee.II. VocabularyA. aliveB. ashamedC. clipD. livingE. keenF. mattersG. objectH. recordingI. reflectionJ. routine K. typicalIn today's digital era, the act of clipping and recording moments from our lives has become a ___31___ . It's not just about preserving memories; it's a way to keep those moments __32___. What truly _____ 33 _____ is theability to reflect on these recordings later, revisiting those _____ 34_____ days filled with joy or sorrow.Many are _____ 35_____ on capturing every _____ 36_____ and view that catches their eye, whether it is a sunset's colors or a child's innocent laughter. Such practices not only enrich our personal archives but also serve as reminders of the beauty and complexity of life.Occasionally, when we run across an old _____ 37_____ in the phone or computer, it can stimulate emotions we thought were long forgotten. It's in these moments that we realize how __38___ we might have been to let certain experiences go unnoticed. ____39___ , therefore, becomes a powerful tool for self- ____40___ and appreciation of the present, ensuring that our stories remain vivid and our memories forever fresh.III. ClozeThe United Nations is an international organization founded in 1945 and committed to maintaining international peace and security, developing friendly relations among nations; promoting social progress, better living standards and human rights.Due to its unique international ____41______ , the Organization takes action on a wide range of issues, and provides a forum for its 193 Member States to express their views, through the General Assembly, the Security Council, the Economic and Social Council and other bodies and committees.The work of the United Nations ___42___ every comer of the globe and focuses on a broad range of fundamental issues, like sustainable development, protection of the environment and refugees and disaster relief.In September 2015, world leaders gathered at the United Nations Headquarters in New York and adopted the 2030 Agenda for Sustainable Development, a new universal standard for development that will ____43____ no one is left behind. 17 Sustainable Development Goals（SDGs）___ 44___ the cornerstone of the historic Agenda. Building on the success of the Millennium Development Goals （MDGs）, the SDGs aim to go further to end all forms of poverty. Universal and indivisible, the SDGs call for action by all countries -- developed, developing and middle-income - to promote ___45___ while protecting the planet over the next fifteen years.The SDGs officially came into ___46__ on 1 January 2016. Gove mm ents, businesses and civil society have started to make efforts to achieve the goals, by adopting plans to achieve them. If you are ___47___ to take concrete action for global peace and development, take a look at the United Nations Volunteers （UNV）programme.Every year, up to 8,000 qualified and experienced women and men of some 160 different nationalities volunteer at least six months of their lives to help others. These UN Volunteers work in about 130 countries promoting peace, __48__ to disasters, empowering communities and helping to build sustainable livelihoods and lasting development.UN Volunteers come from ___49__ professional backgrounds but all of them are pushing for the positive changes. They are ____50___ to be creative and entrepreneurial, and foster volunteer is m for peace and development both within and beyond their assignments. They work at the heart of communities in __51____ with governments, United Nations entities ad civil society.Being a UN Volunteer is not a career, but it is rich with opportunities and experience and offers huge personal ____52____ .As a UN Volunteer, you receive a Volunteer Living Allowance（津贴）（VLA）, which ___ 53 ___ basic needs, housing and utilities. ___ 54 __, UNV will provide a settling-in-grant, life, health, and permanentdisability __55___, return airfares and a nominal resettlement allowance.41. A. character B. quantity C. cooperation D. celebrity42. A. moves B. reveals C. touches D. passes43. A. assure B. set C. measure D. ensure44. A. undergo B. sign C. represent D. reduce45. A. poverty B. prosperity C. property D. popularity46. A. force B. time C. usage D. attention47. A. delivered B. organized C. challenged D. inspired48. A. progressing B. responding C. applying D. serving49. A. similar B. unique C. typical D. various50. A. encouraged B. developed C. entitled D.made51. A. partnership B. citizenship C. relationship D. hardship52. A. awards B. presents C. rewards D. supplies53. A. takes B. covers C. engages D. respects54. A. However B. Therefore C. Nonetheless D. Furthermore55. A. insurance B. guarantee C. maintenance D. assuranceⅣ. Reading（A）‘A cannon（大炮）sounded as Jonny Fry took off on his horse through the streets of St. Joseph, Missouri. Crowds lined the streets, cheering and waving. Fry rode west for 90 miles at full speed. He then passed a leather bag full of letters to another rider. Eventually a chain of riders carried the letters across nearly 2,000 miles of wilderness, and the Pony Express was born.Between California and the rest of the U.S. lay a vast wilderness. Mail service was slow and often delayed. As war among the states seemed likely, people wanted news more quickly.In December 1859, William Russell, owner of a transport company, decided to meet that need. He and partners William Waddell and Alexander Majors worked constantly for months. They selected a route from St. Joseph, Missouri, to Sacramento, California. Then they purchased 400 horses, hired workers and set up relay stations （导站）every 10 to 15 miles. Riders would change horses at these stations, and every 90 to 120 miles a new rider would take over.Shortly before Jonny Fry set out, another Pony Express rider set off from Sacramento for St. Joseph. These first deliveries reached their destinations in close to the 10 days Russell had promised.But the route was far from safe. On April 18, 1860, a rider’s horse stumbled （绊倒）and fell on the rider, killing him. Riders faced rivers, mountains, extreme temperatures-and very unfriendly natives.In May 1860,tensions between the settlers and Native Americans turned into fighting. Native Americans attacked several Pony Express stations, forcing some of them to close temporarily.Despite the risks, the Pony Express lost only one delivery during its one and a half years in operation. And when Abraham Lincoln was elected president, the Pony Express carried the news to California in only five days. It also spread news of the beginning of America's Civil War.The Pony Express service ended in October 1861 after a telegraph line across the U.S. was completed.Yet the riders' courage and accomplishments still hold a place in legend（传奇）.56. The passage is mainly about the _____ of the Pony Express.A. functionB.influenceC. historyD. operation57. To _____, William Russell decided to set up the Pony Express.A. shorten the time of sending mailB. deliver mail farther and more safelyC. meet people's different needsD. help people keep in contact in war58. What might Russell have promised about the first deliveries?A. To make the destinations closer.B. To make the deliveries within 10 days.C. To ensure the deliveries with two riders.D. To complete the deliveries before the war.59. What can be learned from the passage?A. The Pony Express had an insignificant position in the development of mail service.B. The fighting between the settlers and Native Americans ended the Pony Express.C. The Pony Express became successful as a result of the dangers on the route.D. The Pony Express not only delivered mail but spread news as well.（B）Please Choose Cloud ServicesFinding the Cloud service can be difficult as there are so many available.Consumers need to consider and compare each service’s features, storage possibilities, free space and best price. You may be unsure, or you do not know where to begin. Trying every Cloud service would take a lot of time and work. But, the website might help.CloudDrop-box Google-Drive One-DriveBoxBest For LightweightUsersTeams AndCollaborationDevotedWindowsUsersEnterpriseSolutionsFree Storage Space2GB15GB15GB10GBCheapest PremiumOption1TB100GB100GB100GB One valuable feature is the protection of digital files, including photos, videos, documents, music and more. If the worst happens and your computer crashes, or gets lost or damaged, your files can still be found in the Cloud.Cloud services let you access your files from almost anywhere. No need to worry about a file stored on your computer when you are away from your desk. If you have an Internet connection, you can open your files from any computer, or from a phone, when they are stored using a Cloud service.Using a Cloud service makes sharing files easier. If you send documents to a group using emails, you may then wonder which version everyone is working with. When sharing files using a Cloud service, everyone will see the same document and the latest version.The first thing to consider is the amount of storage space you need. Check how much space you are currently using on your computer and mobile devices. If your computer or phone is filled with photos and you have little free space, you may want to move your photos to the Cloud. Some Cloud services are free. But, if you need a lot of space, you will probably need one that costs money.Even if everyone you have ever met is a Windows user, you still probably want a Cloud service that works with many platforms. You might become friends with anAndroid user or start a job with a company that computes on Apple!60. Which of the following is true according to the passage?A. Google-Drive users can obtain 100GB for free.B. Most Cloud services can send files to both the Cloud and the local computer.C. It's hard to transfer your file when you turn on the computer if it is stored in the Cloud.D. Never worry about finding your files in the Clouds if the computer system crashes.61. What will you have to do if you need more space to store more files in the Cloud?A. To use your own Cloud services.B. To share Cloud space with others.C. To spend money buying space.D. To buy the latest version of the service.62. How can consumers find the Cloud service that suits them best?A. By learning more information about the space occupied by files.B. By comparing Cloud’s function, storage, available space and prices.C. By sending files to a group of people via e-mail inquiring about the Cloud service.D.By making friends with Android users who use Apple computers.（C）Every day, Lucy Dong and her best friend Amy Zhu wake at 7 a.m. -- 7.10 a.m.If they are lucky---rush through their breakfast of steamed buns and noodles, and head off to what may be the best schooling system in the world.The 10-year-olds, who are natives of Shanghai, study in 35-minute bursts from around 8 a.m. to 4 p.m., with a small break for lunch -- and a class meeting --- sandwiched in the middle.Outside school hours, the girls' lives are lots of extra-curricular activities: English class, flute class, drumming class, handwriting class, calligraphy class, Taekwondo training, modelling lessons and choir practice.Shanghai was crowned --- for the second time …the champion of the Programme for International Student Assessment （PISA., which compares the maths, reading and science skills of some 510,000 secondary school students around the world）.Some experts question the value of comparing cities and countries. Others point out that Shanghais relatively well-funded schools and well-paid teachers are not representative of the Chinese education system as a whole.Even so, the latest results are likely to see more and more educators flock east in search of the mega-city's magic formula.Professor Kong Lingshuai of the College of Education at Shanghai Normal University has studied the city'sPISA successes. He says that the secret is a mix of "traditional elements and modern elements". The former is related to the high expectations of "tiger" parents, and a belief in Chinese children from a young age that effort is crucial to gaining a good education. The "modern elements" include Shanghai's willingness to constantly adapt its curriculum and teaching practices; its focus on improving under-achieving schools by pairing them with those that excel; its openness to foreign ideas; and the introduction of performance-related pay.An obsession with training has also been the key, says Prof. Kong. As of last year, new teachers have to undergo a standardized, one-year training course before starting in the classroom. Once qualified, they are required to complete at least 240 hours' training in their first five years, including online learning, paper reading, essay writing and so on. Teachers are also encouraged to attend each other's classes to promote a culture of "idea sharing, exchanging and positive competition".Outsiders often dismiss China's education system as a pressure-cooker-style craze of exams that places too much emphasis on rote-learning and does little to stimulate creativity. But in Shanghai at least, that may be starting to change. Authorities are attempting to move away from testing that relies too heavily on memorizing facts and figures, and some schools are also giving students more time to play, rather than just study.63. The author mentions Lucy Dong and Amy Zhu in the first 3 paragraphs to ________.A. praise the industriousness of these two girlsB. give readers the whole picture of Chinese educationC. illustrate what education in Shanghai looks likeD. criticize the burden the education brings on them64. Why do some experts challenge the result that Shanghai ranked 1st in PISA test?A. Because the value of PISA, which only tests 510,000 students globally, is cast doubt on.B.Because Shanghai has drawn more attention and resources from the central government.C. Because only maths, reading and science skills are compared in PISA test, which is not enough.D. Because Shanghai has a better system of financial support for schools as well as for teachers.65. Which of the following is closest in meaning to "dismiss"in the last paragraph?A. To consider something inferior.B. To stop thinking about something.C. To give the credit for something.D. To claim the features of something.66. Which of the following statements is true according to the passage?A. Strict parents contribute little to the academic success of their children.B. Students have more free time to spend on their interest across China.C. Many education researchers are getting to Shanghai to study the phenomenon.D. Under-achieving schools are usually substituted by those academically superior schools.（D）A. Holidays are when my family gathers and has a good time together,B. School education has civilized me with a mind for peace and calm.C. My parents raised me with a lot of beliefs that have had an effect on who I am today.D. Summer is the time when we always organize some special events as a big family.E. However, I know that it is important to follow the golden rule and to treat others with dignity and respect.F. We take care of each other and try to treat others with respect.What Makes Me "Me"?My culture comes from where I am from and where I was raised. I am an American.I was born and raised in Alaska. My ethnic background is German, English, and Scottish. Culture is all about family. It is a family's belief systems, the cultural traditions that are celebrated, and the special holidays and events that occur in the year._____67_____These are the beliefs that don't just belong to my culture, but they come straight from the values of my family. I believe that women are more intelligent than men because my mother is a strong woman. I was raised to believe that through hard work I could become successful and have a good life. I strive to do this every day and to be good at my life and my jobs. I'm not really religious. _____ 68_____ I believe that if you are a good person to others you will be rewarded for it in many ways.There are a lot of cultural traditions that my family has. Some are from my cultural background and some are from the place where I was raised. I raise my son to have manners and to be well behaved. I raise him to know that hard work is important and that he is expected to put his best effort into things._____69_____We gather every summer in Haines so that all the cousins can grow up together. Birthdays were always important events while growing up. My mom was excited to celebrate every holiday. Trick or treating on Halloween, hiding baskets on Easter, passing out cards to classmates on Valentine's Day, wearing green on St. Patrick's Day, and of course loads of presents under the tree on Christmas morning. My parents always made holidays a big deal so now my son also gets to be excited for them every year.My culture makes me a person that celebrates life. My family has a lot of good friends and we are usually a good part of the community. ______70____ We like to go outdoors and have adventures. My belief systems, cultural traditions, and special events have made me a happy person who is fun to be around and who can have a positive impact on others.Keys31-35 JAFKE36-40 GCBHICloze41-45 ACDCB46-50 ADBDA 51-55 ACBDAReadingA:56-59 CABD B:60-62 DCB C:63-66 CDAC D:67-70 CEAF。
高一数学月考试题及答案
第一学期10月检测考试高一年级数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上.一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知{}{}|24,|3A x x B x x =-<<=>，则A B =（ ）A. {}|24x x -<<B. {}|3x x >C. {}|34x x <<D. {}|23x x -<<2.设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，则在映射f 下，B 中的元素20是A 中哪个元素对应过来的（ ）A.2B.3C.4D.53.满足关系{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 的个数 （ ）A.5个B.6个C.7个D.8个4.方程260x px -+=的解集为M,方程260x x q +-=的解集为N,且M ∩N={2},那么p q +等于（ ）A.21B.8C.6D.75. 在下列四组函数中,()()f x g x 与表示同一函数的是 ( )A. ()()211,1x f x x g x x -=-=+ B. ()()()01,1f x g x x ==+C. ()(),f x x g x ==D. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f6. 函数13()f x x =-的定义域是（ ） A. [)23, B.()3,+∞ C.[)()233,,+∞ D.()()233,,+∞7. 设0abc>,二次函数2()f x ax bx c=++的图象可能是8.设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a=+=++-且{2}M N =,则a值是( )A.1或-2B. 0或1C.0或-2D. 0或1或-29. 设全集，，则下列结论正确的是A.B. C. D.10. 已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2]11. 若()f x是偶函数，且对任意x1，x2∈),0(+∞(x1≠x2)，都有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则下列关系式中成立的是（）ABC D12.已知函数,1()(32)2,1axf x xa x x⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，在（—∞，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是( ) A．30,2⎛⎤⎥⎝⎦B．30,2⎛⎫⎪⎝⎭C．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二．填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 已知集合{(,)|2},{(,)|4},A x y x y N x y x y M N =+==-==则_____________.14. 已知3()4f x ax bx =+-，其中b a ,为常数，若4)3(=-f ，则)3(f =___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-323)2()(x x x f x f x ，则()=-2f .16．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为___________.三．解答题（本题共6个题，共70分.要求写出必要的文字说明和解题过程.）17．(本题满分10分)已知全集U R =，集合A=}023{2>+-x x x ，集合B=}13{≥-<x x x 或,求A ∪B ，A C U ，()U C A B .18．(本题满分12分) 设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B A =，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）若函数)(x f 是定义在[-1，1]上的减函数，且0)12()1(<---a f a f ,求实数a 的取值范围.20. （本题满分12分）定义域为（-1，1） 证明:(1)函数f (x)是奇函数；(2)若1,a = 试判断并证明f (x)在（-1，1） 上的单调性.21．（本题满分12分）已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x <时2()21f x x x =++.（I ）求函数()f x 的表达式；（II ）请画出函数()f x 的图象；（Ⅲ）写出函数()f x 的单调区间.22．（本题满分12分）若二次函数满足(1)()2(0)1+-==且.f x f x x f(1) 求()f x的解析式；(2) 若在区间[-1,1]上不等式()2x mf x>+恒成立，求实数m的取值范围.高一年级数学参考答案一、CCDA CCDC BDAC二．13. {}(3,1)- 14.-12 15．11616.(1,0)(0,1)- 三．解答题 17．解：A={}21|}023{2><=>+-x x x x x x 或， 分2∴A ∪B=R ， 分4A C U =}21{≤≤x x ， 分6B A ⋂={}23|>-<x x x 或 8分 )(B AC U ⋂={}23|≤≤-x x 10分18．解：A={}4,0-，B B A =⋂ A B ⊆∴1o当B=ϕ时，0<∆ ∴[]0)1(4)1(222<--+a a 1-<∴a ---------------------------------------3分 2o当B={}0时，由韦达定理 22(1)0010a a -+=+⎧⎨-=⎩ 得a= -1----------------------------------------------6分 3o当B={}4-时，由韦达定理 ⎩⎨⎧=--=+-018)1(22a a 得到a 无解-------------------------------------------9分 4o当B={}4,0-时，由韦达定理 ⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 得到a=1 综上所述a 1-≤或者a=1---------------------------------------------------------12分19．解：因为0)12()1(<---a f a f所以)12()1(-<-a f a f ………………………………1分又因为)(x f 是定义在[-1,1]上的减函数………………………………2分所以有⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤-->-1121111121a a a a ……………………………………8分 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤≤≤321020a a a ……………………………………………………11分 所以320<≤a 即满足条件的a 的取值范围为20<≤a ……………………………………12分 112211(1)((1)(x x x x -<<+∴-()f x ∴-21.解：设20,0,()21x x f x x x >-<∴-=-+则又()f x 是定义在R 上的奇函数,故()()f x f x ∴-=-所以2()21,(0)f x x x x =-+->当0x =时,(0)0f = 所以()f x =2221,00,021,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩………………………………6分图象………………………10分 递增区间是(1,0),(0,1)-递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞………………………………12分 22. 解：（1）设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则c x b x a x f ++++=+)1()1()1(2 11)0(=∴=c f ……………………………2分又x x f x f 2)()1(=-+∴-++++c x b x a )1()1(2x c bx ax 22=--即x b a ax 22=++⎩⎨⎧=+=∴022b a a 解得1,1-==b a …………………………4分 1)(2+-=∴x x x f …………………………6分（2）不等式()f x >2x+m 化为m x x >+-132在区间[-1,1]上不等式()f x >2x+m 恒成立∴在区间[-1,1]上不等式m x x >+-132恒成立………………………8分只需min 2)13(+-<x x m在区间[-1,1]上，函数45)23(1322--=+-=x x x y 是减函数 ∴ 1)13(min 2-=+-x x ………………………10分所以，1-<m .………………………12分谢谢观看! 欢迎您的下载，资料仅供参考,如有雷同纯属意外。
2024-2025学年上海市西中学高一上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1市西中学2024学年第一学期高一年级数学月考2024.09一、填空题（本大题满分36分）只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1．已知集合{}1,a 与{}2,b 相等，则a b += ．2．设全集U R =，集合{}|02A x x x ≤>或，则用区间表示A ，结果是 ． 3．设x ，y R ∈，用列举法表示x y xy+所有可能取值组成的集合，结果是 ．4．已知集合{}(,)|210A x y x y =+=，{}(,)|35B x y x y =−=，则A B = ．5．已知α：素数都是奇数，则α的否定形式是 ．6．设x ，y R ∈，已知33:x y β<，则β的一个充分必要条件是 ． 7．设U 为全集，A ，B ，C U ⊆，用含有A 、B 、C 的运算式子表示如图的阴影部分，结果是 ． 8．已知集合{}|A x y x Z ==∈，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则AB = ．9．设集合{},,,,,,A a b c d e f g =，{},B a c =，集合M 满足AM B M =，则这样的集合M 共有 个． 10．设集合(,0)(1,)A =−∞+∞，{}|(25)()0B x x x a =+−<，若{}2,1ABZ =−−，则实数a 的取值范围是 ．11．设k R ∈，已知集合{}22|(1)(4)x x x k −−=恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则k =________．12．若两个正整数的正公因数只有1，则称这两个正整数互素．将与105互素的所有正整数组成集合{}123,,,,,n a a a a ，且123n a a a a <<<<，则100a = ．2二、选择题（本大题满分12分）本大题共4题，每题3分． 13．设x R ∈，则“1x ≠”是“2320x x −+≠”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知抛物线2y ax =与直线1x =、2x =、1y =、2y =围成的正方形有公共点，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．已知非空集合{}|135A x a x a =+≤≤−，{}|116B x x =≤≤，则使得()A A B ⊆成立的实数a 的所有取值组成的集合是（ ） A ．{}|07a a ≤≤ B ．{}|37a a ≤≤C ．{}|7a a ≤D ．∅16．定义集合运算{}|,A B x x A x B −=∈∉，将()()A B A B B A ∆=−−称为集合A 与B的对称差．命题甲：()()()A B C AB AC ∆=∆；命题乙：()()AB C AB ∆=∆()AC ．则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ．甲、乙都不是真命题三、解答题（本大题满分52分）．17．（本题满分8分）已知集合{}2|8160,,A x kx x k R x R =−+=∈∈只有一个元素，求k 的值并用列举法表示集合A ．318．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 设a R ∈，已知集合{}|12A x x =−<<，{}22|20B x x ax a =−−=． （1）若{}1A B =，求a 的值；（2）若A B A =，求a 的取值范围．19．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）如图，在直角坐标系xOy 中，过点(0,1)F 的直线与抛物线24x y =相交于点11(,)M x y 、22(,)N x y 自M 、N 引直线l ：1y =−的垂线，垂足分别为1M 、1N ．（1）用1y 分别表示线段1MM 、MF 的长； （2）证明：11M F N F ⊥．420．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）设a R ∈，已知α：关于x 的一元二次方程220ax x a ++=有两个相异正根；β：对任意实数x ，不等式2(1)(1)10a x a x −−−−<恒成立． （1）若α为真命题，求实数a 的取值范围；（2）判断α⇒β、β⇒α是否成立？给出你的结论，并说明理由．21．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 己知实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，满足123455x x x x x ++++=． （1）证明：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中至少有一个不小于1；（2）设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 两两互不相等，集合{}12345,,,,A x x x x x =，B 是A 的非空子集，记()M B 是B 中所有元素之和，对所有的B ，求()M B 的平均值．5参考答案一、填空题1.3;2.(](),02,−∞⋃+∞;3.{}2,0,2−;4.(){}3,4;5.存在一个素数不是奇数;6.x y <;7.A C B ⋂⋂;8.{}1,0,1,2−;9.32; 10.(]1,2−； 11.7412.202 11．设k R ∈，已知集合{}22|(1)(4)x x x k −−=恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则k =________． 【答案】74【解析】设2x y =,原方程变为()2540y y k −+−=,设此方程有实根,(0)αβ<α<β,则原方程的四个实根为，(=即9β=α,又5,4k α+β=αβ=−, 由此求得74k =且满足254160Δk =+−>,7.4k ∴=故答案为:74.二、选择题13.B 14.B 15.C 16.B15．已知非空集合{}|135A x a x a =+≤≤−，{}|116B x x =≤≤，则使得()A A B ⊆成立的实数a 的所有取值组成的集合是（ ） A ．{}|07a a ≤≤ B ．{}|37a a ≤≤ C ．{}|7a a ≤ D ．∅【答案】C【解析】由集合{}|135A x a x a =+≤≤−，{}116B x =≤≤当A =∅时,A B ⋂=∅,满足条件A A B ⊆⋂,此时135a a +>−,即26a <,解得3a <； 当A ≠∅时，若A A B ⊆⋂，则135113516a a a a +≤−⎧⎪+≥⎨⎪−≤⎩,等价于260321a a a ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,即30,7a a a ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩解得37a ≤≤；6故a 的取值范围是{}|7a a ≤，综上所述,答案选择:C16．定义集合运算{}|,A B x x A x B −=∈∉，将()()A B A B B A ∆=−−称为集合A 与B的对称差．命题甲：()()()A B C AB AC ∆=∆；命题乙：()()AB C AB ∆=∆()AC ．则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ．甲、乙都不是真命题【答案】B【解析】对于甲：()()A B C A B C B C A ⋂∆=⋂⋃−⋂=⋂()()B C A B C ⋃−⋂⋂()()A B A C =⋂⋃⋂()()()()A B A C A B A C −⋂⋂⋂=⋂∆⋂,故甲是真命题;对于乙,如下图所示:所以,()()()A B C A B A C ⋃∆≠⋃∆⋃,故乙是假命题;.故选：B. 三．解答题17.当0k =时，{}2A =； 当1k =时，{}4A =； 18.（1）1a =−（2）1,12⎛⎫− ⎪⎝⎭19.（1）1MM =11MF y =+ （2）略 20．（1）()1,0− （2）α⇒β21．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 己知实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，满足123455x x x x x ++++=．7（1）证明：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中至少有一个不小于1；（2）设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 两两互不相等，集合{}12345,,,,A x x x x x =，B 是A 的非空子集，记()M B 是B 中所有元素之和，对所有的B ，求()M B 的平均值． 【答案】（1）见解析 （2）8031【解析】(1)证明:12245,,,,x x x x x 中的每一个数都小于1, 可得122455x x x x x ++++<,这与123455x x x x x ++++=矛盾, 故12245,,,,x x x x x 中至少有一个实数不小于1;(2)集合{}12345A x ,x ,x ,x ,x =的非空子集个数为32131−=,由于()M B 是B 中所有元素之和,可得()()1234516165M B x x x x x =++++=⨯80= 则()M B 的平均值为8031.。
2020年高一高二数学百所名校好题分项解析汇编专题02 解三角形应用举例(必修5)(原卷版)
高一数学（必修5）百所名校速递分项汇编专题02 解三角形应用举例一、选择题1．【上海市徐汇区南洋模范中学2017-2018学年高一（下)期中】张晓华同学骑电动自行车以24m/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2m B．C．3m D．2．【四川省南部县五校2017-2018学年高一下学期期末】某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为A．B．C．D．3．【辽宁省凌二中2017-2018学年高一下学期期末】某船开始看见灯塔时，灯塔在船南偏东方向，后船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在船正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．B．C．D．4．【安徽师大附中2017-2018学年高一下学期期末】在地平面上有一旗杆(在地面),为了测得它的高度,在地平面上取一基线,测得其长为,在处测得点的仰角为,在处测得点的仰角为,又测得,则旗杆的高等于( )A．B．C．D．5．【重庆市大学城第一中学校2017-2018学年高一下学期期中】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向B．南偏西方向C．南偏西方向D．南偏西方向6．【华南师范大学附属中学南海实验高中2017-2018学年高一第二学期期中】如图所示,为测一树的高度,在地上选取两点,从两点分别测得望树尖的仰角为，且两点之间的距离为,则树的高度为（）A．B．C．D．7．【山东省德州市平原县第一中学2017-2018学年高一下学期期末】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得米，并在测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（）A．米B．米C．米D．米8．【四川省遂宁市2017-2018学年高一下学期期末教学水平监测】如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，此时测得点的仰角为再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是A．10B．10C．10D．109．【山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期末】如图，为了测量，两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度：，，，，且与互补，则的长为__________．10．【安徽省巢湖市柘皋中学2017-2018学年高一下学期第一次月考】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度______二、填空题11．【江苏省扬州市2017-2018学年高一下学期期末】如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A、B两处观察山顶C的仰角分别是和，两个观察点A、B之间的距离是100米，则此山CD的高度为_______米.12．【四川省绵阳市南山中学2017-2018学年高一下学期期末】南山中学高一某同学在折桂楼（记为点)测得南山公园八角塔在南偏西的方向上，塔顶仰角为，此同学沿南偏东的方向前进到博雅楼（记为点)，测得塔顶的仰角为，则塔高为__________米.13．【山东省栖霞二中2017-2018学年高一下学期期末】如图，已知两条公路的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁（异于点）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设.（1）试用表示，并写出的范围；（2）当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.（注：）14．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高一下学期期末】如图，一直一艘船由岛以海里/小时的速度往北偏东的岛形式，计划到达岛后停留分钟后继续以相同的速度驶往岛.岛在岛的北偏西的方向上，岛也也在岛的北偏西的方向上.上午时整，该船从岛出发.上午时分，该船到达处，此时测得岛在北偏西的方向上.如果一切正常，此船何时能到达岛？（精确到分钟）15．【安徽省淮北市第一中学、合肥市第六中学2017-2018学年高一下学期期末】如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度. 16．【四川省攀枝花市2017-2018学年高一下学期期末】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为m/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过80s后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（）A．B．C．D．三、解答题17．【北京东城北京二中2016-2017学年高一下学期期中】在游学活动中，在处参观的第组同学通知在处参观的第组同学：第组正离开处向的东南方向游玩，速度约为米/分钟．已知在的南偏西方向且相距米，第组同学立即出发沿直线行进并用分钟与第组同学汇合．（）设第组同学行进的方位角为，求．学&科网（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）（）求第组同学的行进速度为多少？18．【四川省眉山第一中学2017-2018学年高一下学期期末】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.（1）求A、C两地的距离；（2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)19．【江西省上高县第二中学2017-2018学年高一下学期期末】某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米.（1）请计算原棚户区建筑用地的面积及的长；（2）因地理条件的限制，边界不能更改，而边界可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地的面积最大，并求出最大值.20．【江苏省盐城市2017-2018学年高一下学期期末】如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点在边的三等分处（靠近点），百米，，，百米，.（1）求区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过点铺设一条水管至道路上，求当水管最短时的长．。
上海市区域四校联考2023_2024学年高一第一学期12月月考数学测检测模拟试题(附解析)
f (x) f (x) ax2 2x, x 1 ，分
类讨论此时函数的值域即可.
【详解】函数
f
(x)
x 1, x 1 ax2 2x, x
1 的值域为
R
，
当 x 1 时， x 1 2 ， f x2, ，
( , 2] f (x) f (x) ax2 2x, x 1
则有
，
a 0 时， f (x) 2x, x 1 ，不合题意，
要 x0 R ， f (x0 ) M ，命题②错误；
若对于任意的 x1, x2 R x1
x2 ，都有
f
x1 f x2 0
x1 x2
成立，
则任意的 x1 x2 ，有 x1 x2 0 ，都有 f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 ，
所以 y f (x) 在 R 上严格递减，命题③正确；
(3)当 a 0 时，求函数 y f (x) 在区间[2,4] 上的最小值.
20．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双
sinh(x) ex ex
cosh(x) ex ex
曲余弦函数，其中双曲正弦：
2 ，双曲余弦.
2 （ e 是自然对数
的底数， e 2.71828… ）
． 二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 18 分，其中第 13、14 题每题 4 分，第 14、15 题每题 5 分） 13．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ）
A． f (x) x 与 g(x) = elnx
g(x) 2x2
B． f (x) 2 | x |与
|x|
C． f (x)
即 a 的取值范围为 (, 2) (2, ) ，
高一数学课时同步练习第四章第4节对数函数
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第四章 指数函数与对数函数第4节 对数函数一、基础巩固1．（2020·全国高一课时练习）函数2log (2)y x =-的定义域是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(2,)+∞D ．[)4,+∞ 【答案】C【解析】由对数函数的定义域只需20x ->，解得2x >，所以函数的定义域为(2,)+∞ . 2．（2020·吉林长春�高三二模（文））下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =【答案】C【解析】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合.3．（2019·海南龙华�海口一中高二月考）函数()()ln 31y x x =-+的定义域是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．(][),13,-∞-+∞【答案】A【解析】在对数函数()()ln 31y x x =-+中，真数()()()()310310x x x x -+>⇒-+<，所以()1,3x ∈-. 4．（2020·西藏拉萨�高三二模（文））下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A．y =B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =【答案】C【解析】对于A选项，函数y =()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数.5．（2020·上海高一课时练习）若1log (1)1x x ++=，则x 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞B ．(1,0)(0,)-+∞C ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞D ．(,0)(0,)-∞+∞【答案】B【解析】111log (1)110110,11x x x x x x x x ++=+⎧⎪+=∴+>∴>-⎨⎪+>+≠⎩且0x ≠ 6．（2020·绥德中学高二月考（文））下列函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是（ ） A ．ln(2)y x =+ B．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+【答案】A【解析】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合； 对B，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 7．（2020·北京高一期末）函数()2log f x x =是（ ） A ．()0,∞+上的增函数B ．()0,∞+上的减函数C ．R 上的增函数D ．R 上的减函数【答案】A【解析】2log y x =的定义域为(0,)+∞, 又21>,故2log y x =在(0,)+∞上为增函数, 故选:A.8．（2020·安徽宿州�高一期末）函数()()()log 201a f x x a =+<<的图象必不过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由01a <<可判断()()log 2a f x x =+为减函数，再根据函数平移法则，()()log 2a f x x =+应由()log a f x x =向左平移两个单位，如图，故()()()log 201a f x x a =+<<的图象必不过第一象限9．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））函数()log 4=f x x 与()=4xf x 的图象（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】D【解析】由4log y x =得4y x =，即4x y =，∴4xy =与4log y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称． 故选：D.10．（2020·全国高一课时练习）函数2log ||y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数2log y x =是偶函数，且在()0,∞+上为增函数，结合各选项可知A 正确． 故选A11．（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则a ，b ，c ，d 的关系是（ ）．A ．01a b d c <<<<<B ．01b a c d <<<<<C ．01d c a b <<<<<D ．01c d a b <<<<<【答案】D【解析】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向x 轴靠近， 所以01c d a b <<<<<．12．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）若函数()y f x =与10x y =互为反函数，则()22y f x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【解析】函数()y f x =与10xy =互为反函数，∴()lg y f x x ==，则()()222lg 2y f x x x x =-=-，根据同增异减的性质，可设()lg f t t =，22t x x =-，可知外层函数为增函数，则内层函数应在定义域内取对应的减区间，即2202x x x ->⇒>或0x <，应取0x < 13．（2019·浙江高一期中）函数12()log (2)f x x =-的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞B ．(,0)-∞C ．(2,)+∞D ．(0,)+∞【答案】A【解析】由20x ->，得到2x <，令2t x =-，则2t x =-在(,2)-∞上递减，而12log y t =在(0,)+∞上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到12()log (2)f x x =-在(,2)-∞上递增，14．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知函数f （x ）=ln （–x 2–2x +3），则f （x ）的增区间为 A ．（–∞，–1） B ．（–3，–1） C ．[–1，+∞） D ．[–1，1）【答案】B 【解析】由，得, 当时，函数单调递增，函数单调递增；当时，函数单调递减，函数单调递减,选B.15．（2020·浙江高一课时练习）函数2()log 31()x f x =+的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】30x >，311x ∴+>，()2log 310x∴+>，∴函数()f x 的值域为(0,)+∞.故选：A16．（2020·浙江高一课时练习）若[0,1]x ∈，且[]2222log log (22)2x x +++为整数，则满足条件的实数x 的个数为（ ）． A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】令[]2222()log log (22)2x f x x +=++，[0,1]x ∈，则()f x 为增函数，且(0)4f =，(1)17f =，故()f x 的值域为[4,17]． 又[]2222log log (22)2x x +++为整数，则一共能取14个整数值，故相应的x 有14个．17．（2020·浙江高一课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称．而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ）A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e【答案】D【解析】∵函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称，∴函数()y g x =与xy e =互为反函数，则()ln g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，∴()()ln f x x =-，又∵()1f m =-，∴()ln 1m -=-，1m e=-，故选B. 18．（2020·全国高三其他（理））已知函数()22,0()ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D【解析】作出()y f x =的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使|()|ax f x ≤，则0a ≤，且22(0)ax x x x ≤-<，即2a x ≥-对任意0x <恒成立，所以2a ≥-.综上，20a -≤≤. 故选：D.19．（2020·全国高三一模（理））已知函数()3x f x n -=+，())2log 1g x x =，若对任意[]14,25t ∈，存在[]21,1t ∈-，使得()()21f t g t ≤，则实数n 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．5,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】解：∵对任意[]14,25t ∈，存在[]21,1t ∈-，使得()()21f t g t ≤，∴ ()()min min g x f x ≥ ∵())2log 1g x =，∴ ()()min40g x g ==，∵()3x f x n -=+，∴ ()()min 113f x f n ==+∴ 103n +≤，解得13n ≤-， 故选：A.20．（2020·江苏盐城�高一期末）设函数1,0()log (2),0a ax x f x x x --≤⎧=⎨+>⎩ 若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1(,)[1,)2-∞⋃+∞ B ．1[,1)2C ．1(0,)2D ．()10,1,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题知：0a >，设()1=--h x ax ，此时()h x 为减函数. 当01a <<时，设()()log 2a g x x =+，此时()g x 为减函数， 若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立， 只需满足()()00g h >，即log 21>-a ，解得102a <<. 当1a >时，此时恒有12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 综上：102a <<或1a >. 21．（2019·河北路南�唐山一中高三期中（文））函数()()13,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ） A ．()1,2 B ．4(,)3-∞C ．4(1,)3D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】因为()1f x >，所以121x x e -<⎧⎨>⎩或()32log 11x x ≥⎧⎨-->⎩因此210x x <⎧⎨->⎩或21013x x ≥⎧⎪⎨<-<⎪⎩，12x <<或x ∈∅，即12x <<故选:A22．（2020·辽宁高三三模（文））设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，解得1a =，所以，当0x ≥时，32()log (1)f x x x =++．当[0,)x ∈+∞时，函数3log (1)y x =+和2yx 在[0,)x ∈+∞上都是增函数，所以()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，由奇函数的性质可知，()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故()(34)5(34)2f x f x f +>-⇔+>-，即有342x +>-，解得2x >-．故选：D ．23．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数12()log f x x =与1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(0,)+∞上的衰减情况的说法中错误的有（ ）A ．()f x 的衰减速度越来越慢, ()g x 的衰减速度越来越快B ．()f x 的衰减速度越来越快，()g x 的衰减速度越来越慢C ．()f x 的衰减速度越来越慢，()g x 的衰减速度越来越慢D ．()f x 的衰减速度越来越快，()g x 的衰减速度越来越快 【答案】ABD【解析】在平面直角坐标系中画出()f x 与()g x 图象如下图所示：由图象可判断出衰减情况为：()f x 衰减速度越来越慢；()g x 衰减速度越来越慢 故选：ABD24．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知函数2222()(log )log 3f x x x =--，则下列说法正确的是（ ） A ．(4)3f =-B ．函数()y f x =的图象与x 轴有两个交点C ．函数()y f x =的最小值为4-D ．函数()y f x =的最大值为4E.函数()y f x =的图象关于直线2x =对称 【答案】ABC【解析】A 正确，2222(4)(log 4)log 433f =--=-；B 正确，令()0f x =，得22(log 1)(log 3)0x x +-=， 解得12x =或8x =，即()f x 的图象与x 有两个交点； C 正确，因为22()(log 1)4(0)f x x x =-->，所以当2log 1x =，即2x =时，()f x 取最小值4-； D 错误，()f x 没有最大值；E 错误，取1x =，则(1)3(3)f f =-≠.25．（多选题）（2020·全国高一开学考试）已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（ ）A ．当0a =时，()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞B ．()f x 一定有最小值；C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4|a a ≥- 【答案】AC【解析】对A ,当0a =时,解210x ->有()(),11,x ∈-∞-+∞,故A 正确 对B ,当0a =时,()()2lg 1f x x =-,此时()(),11,x ∈-∞-+∞,()210,x -∈+∞,此时()()2lg 1f x x =-值域为R ,故B 错误.对C ,同B ,故C 正确.对D , 若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增,此时21y x ax a =+--对称轴22ax =-≤. 解得4a ≥-.但当4a =-时()()2lg 43f x x x =-+在2x =处无定义,故D 错误.故选AC二、拓展提升1．（2020·上海高一课时练习）求下列各式中x 的取值范围： （1）21log 1ax -； （2）2log (3)x x +-； （3）()2xx +.【解析】（1）21log 1ax -, 210x ∴->,解得：1x >或1x <，x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞.（2）2log (3)x x +-302021x x x ->⎧⎪∴+>⎨⎪+≠⎩，解得：321x x x <⎧⎪>-⎨⎪≠-⎩， x 的取值范围是(2,1)(1,3)--⋃-.（3）)2x x +20301x x x ⎧+>⎪∴+>⎨≠，解得：0132x x x x ><-⎧⎪>-⎨⎪≠-⎩或， x 的取值范围是(3,2)(2,1)(0,)--⋃--⋃+∞.2．（2020·陕西咸阳�高一期末）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象过点1,24⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求a 的值；(2)计算12lg lg 5a a --+的值.【解析】(1)()()log 0,1a f x x a a =>≠的图像过点1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1log 24a ∴=，214a ∴=，得12a =. (2)由(1)知，12a =，112211lg lg5lg lg5lg 2lg5122a a --⎛⎫∴-+=-+=+= ⎪⎝⎭. 3．（2019·安徽庐阳�合肥一中高一期中）己知函数()()log 01a f x x a a =>≠,. （1）若()()23f a f a +=，求实数a 的值（2）若()()232f f >+，求实数a 的取值范围.【解析】解：（1）由()()23f a f a +=得()1log 23a a +=，即()log 22a a =， 故log 21a =，所以2a =；（2）由()()232f f >+得log 2log 32a a >+，即22log 2log 3a a a >=，当1a >时，223a <，无解； 当01a <<时，223a >，得13a <<； 综上，实数a的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭． 4．（2020·山西应县一中高二期中（文））设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f .(1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【解析】解：(1)∵(1)=2f ，∴(1)log 2log 2log 42a a a f =+==，∴2a =；(2)由1030x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-， ∴函数()f x 的定义域为(1,3)-，22222()log (1)log (3)log (1)(3)]log [[(1)4]f x x x x x x =++-=+---+=， ∴当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数；当3(1,)2x ∈时，()f x 是减函数， ∴函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2(1)log 42f ==． 5．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设f （x ）＝log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0，a ≠1）且f （1）＝2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间[0,32]上的最大值和最小值． 【解析】（1）由题意知，1030x x +⎧⎨-⎩＞＞， 解得﹣1＜x ＜3；故f （x ）的定义域为（﹣1,3）；再由f （1）＝2得，log a （1+1）+log a （3﹣1）＝2； 故a ＝2.综上所述：函数定义域为()1,3-，2a =. （2）f （x ）＝log 2（1+x ）（3﹣x ）， ∵x ∈[0,32]，∴（1+x ）（3﹣x ）∈[3,4]，故f （x ）在区间[0,32]上的最大值为f （1）＝2；f （x ）在区间[0,32]上的最小值为f （0）＝log 23．。
2024-2025学年上海杨浦高级高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1杨浦高中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.不等式211x −>的解集是________.2.已知集合102x P x x ⎧⎫+=≤⎨⎬−⎩⎭，(,)Q a =+∞，若P Q ⊂，则实数a 的取值范围是________.3.若平面向量(3,4)a =，2b =，6a b ⋅=−，则向量a b 、的夹角为________.4.在(2)n x +的展开式中（其中n 是正整数），各项的系数和为729，则4x 项的系数 为________.5.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()32x f x e x =+−，当0x <时，()f x =________.6.已知2z i =+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程240x x m −+=的一个根，Im()m z ⋅=________.7.等差数列{}n a 的首项13a =，公差为d ，若34a =，则111n n d a +∞−=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑________.8.已知a βγ、、是不同的平面，l m n 、、是不同的直线，下列命题中：(1)若,,,l m l α⊥βαβ=⊥则m ⊥β；(2)若//,,,m n αβ⊂α⊂β则//m n ；(3)若,,//,l m l m ⊥αβγ=则β⊥α且γ⊥α；(4)若,,,l α⊥βγ⊥βαγ=则l ⊥β，所有真命题的序号是________.9.已知(,6)P m 是第二象限角α终边上的一个点，且24tan 27α=−，将OP 绕原点O 顺时针旋转4π至OP '，则点P '的坐标为________.210.如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A 、B ，岛上安装了信号接收塔.舰艇P 沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A 、B 是曲线的焦点.当P 在小岛B 正北方向1P 处时，测得距小岛B 3海里.当舰艇航行至小岛B 西偏南60︒的2P 处时，测得距小岛B 1.5海里.在以线段AB 中点为圆心、1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P 在航行的过程中，会放下巡逻船Q ，巡逻船在以PB 为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是________.11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期是（ ） A ．6πB ．3πC ．32πD ．32π 14.下列函数在区间(0,)+∞上为严格减函数的是（ ） A ．cos y x =B ．2x y =C ．2y x −=D ．21y x =−15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2B．C ．3D．316.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F ，则2PQ QF +的最小值为（ ） A ．6B．2+C．D．4+三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，且365a a =−，816S =−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(),21,12,2n n na n kb k N k n k =−⎧=∈≥⎨=⎩，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 对于函数()y f x =，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x −=−，则称()y f x =为“准奇函数”. （1）已知函数()31x f x x −=+，试问()y f x =是否为“准奇函数”？说明理由； （2）若()3x g x m =+为定义在[]1,1−上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围.419.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =. （1）证明：AD ⊥平面BOP ；（2）若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角 O BP A −−的余弦值.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知函数()22x x af x =+，其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =； （2）讨论函数()y f x =的奇偶性；（3）当1a =时，用定义证明函数()y f x =在[0,)+∞上是严格增函数，并解不等式()(2)1f x f x >+.521.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题（i ）问满分6分，（ii ）问满分8分.中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用.门、窗装饰图案成为园林建筑中最有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆1C 和圆2C 组成，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，圆2C 以线段12F F 为直径. （1）设计如图所示的洞窗，椭圆1C 的离心率应满足怎样的范围? （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.（i ）从1F 射出的任意一束光线1F A 照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB ，B 为切点，然后用量角器探究猜测1AF B 是定值，请帮他们证明上述猜想;（ii ）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点P 是1C 上的一个动点，P 、Q 关于原点对称，过P 和Q 分别做圆的切线，交于R 、S ，求四边形装饰PRQS 面积S 的取值范围.图1 图2 图36参考答案一．填空题 1.(,0)(1,)−∞+∞ 2.1a <− 3.3arccos 5π− 4.60 5.32x e x −−++ 6.5−7.348.（3）、（4）9.( 10.无论P 在何处，以PB 为直径的圆均与布满暗礁的圆外切 11.2 12.69 11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 【答案】2【详解】由题意知()211124c c c c +−⎛⎫−≤= ⎪⎝⎭，当12c =时取等号， 故()()2124419119119122228a b a b ab bc c ab b ab b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+≥+=+=+=+=++ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭1911010288b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当33b a ==时取等号， 综上，当11,3,2a b c ===时，()211ab bc c +−的最小值为2. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个. 【答案】69【详解】设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项， 由已知m n k a a a =，设12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+，则由等差数列定义得()2121k k a a xd k k d −==−⋅.因为0d ≠，所以21x k k Z =−∈， 即数列{}n a 的每一项均是整数，所以数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数.7由题意，设38k a =，则138k a d +=+是数列{}n a 中的项， 所以38(38)d ⋅+是数列{}n a 中的项.设38(38)m a d =⋅+，则38(38)38383738()m k a a d d m k d −=⋅+−=⨯+=−⋅， 即(38)3837m k d −−⋅=⨯.因为*38,m k Z d N −−∈∈，故d 是3837⨯的约数. 所以1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，.当1d =时，138(1)0a k =−−≥，得1,2,,38,39k =⋯，故138,37,,2,1,0a =⋯，共39种可能；当2d =时，1382(1)0a k =−−≥，得1,2,,18,19,20k =⋯，故138,36,34,,4,2,0a =⋯，共20种可能；当19d =时，13819(1)0a k =−⨯−≥，得1,2,3k =，故138,19,0a =，共3种可能； 当37d =时，13837(1)0a k =−−≥，得1,2k =，故138,1a =，共2种可能； 当38d =时，13838(1)0a k =−⨯−≥，得1,2k =，故138,0a =，共2种可能； 当237d =⨯时，138237(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当1937d =⨯时，1381937(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当3837d =⨯时，1383837(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能. 综上，满足题意的数列{}n a 共有392032211169+++++++=（种）. 经检验，这些数列均符合题意. 二、选择题13．A 14．C 15．C 16．C15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在8三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2 B．C ．3D．【答案】C【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,3A ，()3,3,0B ，()0,0,0D ，()3,0,0A ，()3,1,0E ， ()3,3,0DB ∴=，()13,0,3DA =，()10,0,3AA =，设A 关于平面1A BD 的对称点为(),,A x y z '，则()13,,3A A x y z '=−−−，()3,,AA x y z '=−，设平面1A BD 的法向量(),,n a b c =，则1330330DB n a b DA n a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，解得：1b =−，1c =−，()1,1,1n ∴=−−，A ∴与A '到平面1A BD 的距离1133AA n A A n x y d nn'⋅⋅−++====，又AA //n '，3x y z ∴−=−=−，1x ∴=，2y =，2z =，()1,2,2A '∴，3PA PE PA PE A E ''∴+=+≥==（当且仅当,,A P E '三点共线时取等号），即PA PE +的最小值为3.16.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F，则2PQ QF +的最小值为（ ） A．6 B ．2+C ．D ．4+【答案】C9【详解】由抛物线2:4C y x =，可得焦点坐标为(1,0)F ，又由圆2210210x y x +−+=， 可化为22(5)4x y −+=，可得圆心坐标为(5,0)E ，半径2r =， 设定点(,0)M t ，满足12QF QM =成立，且00(,)Q x y即=2200(5)4x y −+=，代入两边平方可得： 20(4)16t x t −=−，解得4,(4,0)t M =，所以定点M 满足12QF QM =恒成立， 可得22(|)PQ QF PQ QM +=+，如图所示， 当且仅当1,,M P Q 在一条直线上时， 此时PQ QM +取得最小值||PM ， 即22(|)2PQ QF PQ QM PM +=+≥，设(,)P x y ，满足24y x =，所以22PQ QF PM +≥=，2PQ QF +≥2x =时，等号成立。
2023-2024学年上海市高一上学期第一次月考(10月)数学质量检测模拟试题(含解析)
7．设集合 A x∣y 2 x 1 1 , B y∣y x2 2x 3 ，则 A B
．
8．已知全集U x∣x2 8x 20 0 ，集合 A x∣1 x2 0 且 x 0，则 ðU A
．
9．“集合 A x | ax2 3x 2 0 至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是
所以 ðU A {x | 2 x 1 或 0 x 10}，即 ðU A (2, 1] [0,10) . 故答案为. (2, 1] [0,10) 9．[9 , ) （答案不唯一）.
8 【分析】根据方程 ax2 3x 2 0 至多一个解，结合二次函数的性质，求得 a 的取值范围，进而得 到答案.
∴ b d d b ， b d ；同理 d f ，
∴ b d f ．由(1)(3)可得 a c e 0 b d f ．
∴ A B x c x b ， B C x e x d ， C A x e x b ．
A B C {x | c x e 或 b x d}． 故{x | c x e 或 b x d}
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐个判定，即可求解. 【详解】因为集合 Q 为有理数集， π 为无理数，所以 π Q ，所以①错误；
因为空间时任何非空集合的真子集，所以 ,10 ，所以②正确；
根据集合与之间的关系，可得2 1, 2,3, 4 ，所以③错误；
由集合 N 为自然数集， Z 为整数集，所以 N Z ，所以④正确. 故②④. 4． a 1或 b 1， 【分析】根据结论否定即可求解. 【详解】用反证法证明时，需要先假设所证命题的否定，由于 a b 1 的否定为 a 1或 b 1， 故 a 1或b 1， 5． 2 或 4 ## 4 或 2
i､j 1 i j m, ai aj 与 a j ai 至少一个属于 A .
2023-2024学年上海建平中学高一上学期数学月考试卷及答案(2023.12)
1建平中学2026届第一学期高一年级12月数学月考2023.12一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合{}{}21,0,1,2,1,,A B x x x =−=−，且B A ⊆，则x =______． 2．已知一个扇形的圆心角大小为3π，弧长为23π，则其面积为______． 3．已知幂函数()()212222m m f x mm x+=−−在[)0,+∞上是增函数，则m =______．4．已知角α的终边经过点()1,0P −，则角α的余弦值为______． 5．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}{}22320,A x xx Bx xx =−+===，则A B = ______． 6．若函数()f x =+为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为______．7．定义在()1,2−上的函数()y lg x a =+不存在反函数，则实数a 的取值范围是______． 8．若"23""2"x x a −<<−<<是的充分不必要条件，则a 的取值范围是______． 9．如果关于x 的一元三次方程3232100a x a x a x a +++=（,0,1,2,3i a R i ∈=且30a ≠）有三个实数根123,,x x x ，则12233112x x x x x x x x +++=______（用0123,,,a a a a 表示）10．已知定义在R 上的函数()2224x x x f a x e ae −−=，其中0a >，如果函数()f x 与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围是______．11．已知函数()21,02,0x a x x f x x ax x ++−>= −+≤的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为______． 12．已知函数()()2,f x x g x ax x ==−，其中0a >，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则实数a 的取值范围是______． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．用反证法证明命题“设,a b N ∈，如果ab 能被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整2除”，假设应该是（ ） A ．,a b 都能被5整除 B ．,a b 至多有一个能被5整除 C ．a 或b 不能被5整除D ．,a b 都不能被5整除14．在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于2π的角一定是锐角，②钝角一定是第二象限的角，③第一象限的角一定不是负角，④第二象限角一定大于第一象限角，其中假命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个15．已知函数()2,,x x f x x x =为无理数为有理数，有下列两个命题： ①()f x 的值域为R ；②对任意正有理数a ，函数()()g x f x a =−存在奇数个零点；则下列判断正确的是（ ） A ．①②均为真命题B ．①②均为假命题C ．①为真命题②为假命题D ．①为假命题②为真命题16．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(),a b 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17．（8分）求下列关于x 的方程的解集． （1）()31lgx lg x ++=；（2）()()2295134x x log log +=++．318．（10分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈−∞时，()x f x e −=． （1）求证：()f x 在定义域内是严格减函数：（2）若()()2610f tx f tx +−−≥对[]1,4x ∈恒成立，求实数t 的取值范围．19．（10分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()110P x x =+，日销售量．．．．()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示： x10 15 20 25 30 ()Q x5055605550（1）给出以下四个函数模型：①()Q x ax b =+；②()Q x a x m b =−+；③()Q x a bx =−；④()b Q x a log x =⋅．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域．．．； （2）设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），求()f x 的最小值．420．（12分）已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∈−∞= +∈−（1）写出()f x 的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）： （2）解不等式()20ff x +<；（3）若()12,,2x x ∈−∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．521．（12分）设函数()f x 定义域为D ，如果存在常数K 满足：任取12,x x D ∈，都有()()1212f x f x K x x −≤−，则称()f x 是L 型函数，K 是这个L 型函数的L 常数．（1）判断函数()[]2,1,2f x x x =∈−是不是L 型函数，并说明理由；如果是，给出一个L 常数； （2）设函数()y f x =是定义在区间[],m n 上的L 型函数，a 是一个常数，求证：函数()yf x a =+也是L 型函数；（3）设函数()f x 是定义在[]0,1上的L 型函数，其L 常数(]0,1K ∈，且()f x 的值域也是[]0,1，求()f x 的解析式．6参考答案一、填空题 1.1−； 2.23π； 3. 1−； 4. 1−； 5.{}1； 6.1a >； 7. 12a −<<； 8.()3,+∞； 9.103a a a −； 10.1,2 +∞；11. {[]211,−−∪−； 12.；5443,11. 已知函数()21,02,0x a x x f x x ax x ++−>= −+≤ 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为______．{[]211,−−∪−（1）若0…a −,即0…a 时,()21,0121,1,2,0……a x f x x a x x ax x +< =+−> −+()f x ∴在(]0,−∞上单调递减,最小值为()02f =,在()0,+∞上最小值为1a +,故只需21…a +即可,解得01剟a ;(2)若01…a <−,即10…a −<时,则()221,01,121,12,0………x a x aa a x f x x a x x ax x −−+<− +−<<=+− −+ ()f x ∴在(]0,−∞上先减后增,最小值为2224a a f=−,在()0,+∞上最小值为1a +, 故只需2214…a a −+即可,解得22a −−−+又10,10剟a a −<∴−<, (3)若1a −>,即1a <−时,()221,011,1,21,2,0………x a x a x a f x x a x a x ax x −−+< −−<<−= +−− −+()f x ∴在(]0,−∞上先减后增,最小值为2224a a f=−,()f x 在()0,+∞上的最小值为10a −−>7而()f x 的最小值为10a +<,故只需令2214a a −=+即可,解得2a =−−2a =−+舍),综上,a的取值范围是{[]211,−−∪−.故答案为:{[]211,−−∪−.12. 已知函数()()2,f x x g x ax x ==−，其中0a >，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则实数a 的取值范围是______．5443,依题意,()()()()1212f x f x g x g x =,可等价于()()()()1212f x g x g x f x =，令()()221,11x ax xh x m x ax ax x ax x −====−−−则问题等价于对任意的[]113x ,∈,总存在[]214x ,∈,使得()()1h x m x =成立,其中0a >, 所以()h x 的值域是()m x 的值域的子集,又当[]0,1,3a x >∈时,()[]()110131311h x ,a ,a a a ∈∉−− −−当[]0,1,4a x >∈时,()[]141m x a ,a ∈−−,所以11311411a a a a ≥− − ≤− −(1),依题意可知,1a −与31a −同号,当1a >时,解(1)式可得,5443a ,∈;当103a <<时,此时(1)式无解.综上,5443a , ∈ ;故答案为:5443,.二、选择题13.D ； 14.A ； 15. D ； 16. B 15. 已知函数()2,,x x f x x x = 为无理数为有理数，有下列两个命题：8①()f x 的值域为R ；②对任意正有理数a ，函数()()g x f x a =−存在奇数个零点；则下列判断正确的是（ ） A ．①②均为真命题B ．①②均为假命题C ．①为真命题②为假命题D ．①为假命题②为真命题D由于()f x 的值域为R ,故(1)为假命题;当0…a 时,()()0g x f x a =−=,即()f x a =,此时方程无解,所以()g x 没有零点;当0a >时,()()0g x f x a =−=,即()f x a =,此时方程有2个解,即()g x 有2个零点,故(2)为假命题.16. 已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(),a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个B若不等式()2…f x 在[]1,5x ∈上恒成立,则必须满足()()()()()()212212,1232,2932,2,25222552,3f a b f a b f a b −≤≤−≤++≤−≤≤−≤++≤−≤≤−≤++≤ 即由()()212,12932,2a b a b −≤−−−≤ −≤++≤ ,两式相加,得482462,剟剟a a −+⇒−−(4), 再由()()5232932,2252,a b a b −≤−−−≤ −≤++≤ 两式相加,得41624106剟剟a a −+⇒−−(5), 结合(4),(5)两式可知,6a =−,代入不等式得()()()252,292,25213,2b b b −≤−+≤−≤−+≤−≤−+≤ 解得7b =,经检验,当6,7a b =−=时,()()226732f x x x x −+−−,9则()()()()()152,32max min f x f f f x f =====−满足()2…f x 在[]15x ,∈上恒成立,综上,满足要求的有序数对()a,b 为()67,−,共一个. 故选:B . 三、解答题17.（1）2x = （2）1x =18.（1）证明略 （2）13t ≥19.（1）()2060Q x x =−−+ （2）441 20. 已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∈−∞= +∈−（1）写出()f x 的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）： （2）解不等式()20ff x +<；（3）若()12,,2x x ∈−∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．见解析（1）递增区间(],1−∞；递减区间[)1,2和[)2,+∞；(2) 由题意210,11厔?x x −−, ①[]10x ,∈−,不等式()20f f x +<,即22120x x −−<,解得x <x >,所以1x , ∈−− ; ②(]01x ,∈,不等式()20ff x +<,即22120x x −+<,解得x ∈∅;综上,1x , ∈−− ;10(3)证明:函数()(](),123,122x x x ,f x x ,x ∈−∞= +∈ −的大致图象如图, 当(]1x ,∈−∞时,函数单调递增,当()12x ,∈时,函数单调递减,所以若()12,2x x ,∈−∞满足()()12f x f x =,则1212x x <<<,由图象知, ①若10…x ,则显然122x x +<;②若10x >,要证明122x x +<,则要证212x x <−,注意到21,21x x −>,且()f x 在()12,递减,则可证明()()212f x f x >−, 因为()()12f x f x =,则可证明()()112f x f x >−, 构造函数()()()2F x f x f x −−,()01x ,∈,则()223F x x x=−−,任取12,x x ,使1201x x <<<,则 ()()()()()()()2112121212121212121222222,2x x F x F x x x x x x x x x x x x x x x x x −−=+−−=+−+=−+−1201x x <<<因为所以12120,02x x x x −<<+<()121212222,0x x x x x x >+−< 所以()()12121220,x x x x x x−+−<即()()()()12120,F x F x F x F x −<<所以()F x 在()0,1上单调递减,又因为()()()1110,F f f =−=所以当()01x ,∈时,()()10F x F >=, 即()()2f x f x >−,所以()()212f x f x >−,从而122x x +<,得证.21．（12分）设函数()f x 定义域为D ，如果存在常数K 满足：任取12,x x D ∈，都有()()1212f x f x K x x −≤−，则称()f x 是L 型函数，K 是这个L型函数的L 常数．11 （1）判断函数()[]2,1,2f x x x =∈−是不是L 型函数，并说明理由；如果是，给出一个L 常数；（2）设函数()y f x =是定义在区间[],m n 上的L 型函数，a 是一个常数，求证：函数()y f x a =+也是L 型函数；（3）设函数()f x 是定义在[]0,1上的L 型函数，其L 常数(]0,1K ∈，且()f x 的值域也是[]0,1，求()f x 的解析式．（1）是，4K ≥；（2）见解析；（3）(),01f x x x =≤≤或()1,01f x x x =−≤≤；（1）定义域内任取12,x x ，221212x x K x x −≤−。
2024-2025学年上海洋泾中学高一上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1洋泾中学2024学年第一学期高一年级数学月考2024.09一、填空题（每小题3分，满分30分）1．用列举法写出所有小于13的素数组成的集合：________．2．若等式3232234x x x ax bx cx d +++=+++对任意实数x 恒成立，则abcd =________． 3．已知{}240,2,a a ∈，则a =________． 4．已知集合(){},|3A x y y x ==+，(){}2,|3B x y y x==+，则AB =________．5．用反证法证明命题“若1x >且1y >，则2x y +>”时，第一步应该假设________． 6．若{}2|210M x ax x =+−=有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．7．已知:1p a x a −<<+，:24q x −<<，若p 的一个充分非必要条件是q ，则实数a 的取值范围为________．8．已知一元二次方程2520x x −+=的两个实数根分别为1x ，2x ，则221211x x +=________． 9．设集合{}12345,,,,S a a a a a =，若集合S 的所有非空真子集的元素之和是300，则12345a a a a a ++++=________．10．设集合{}1,2,3,,n U n =，n 为正整数，记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：①n A U ⊆，②若x A ∈，则2x A ∉，③若x A ∈，则2x A ∉，则()16f =________． 二、选择题（每小题4分，满分16分） 11．下列命题为真命题的为（ ）． A ．若11x y=，则x y = B ．若21x =，则1x = C ．若x y == D ．若x y <，则22x y <212．已知全集U AB =中有m 个元素，()()U UC A C B 中有n 个元素，若AB ≠∅，则A B 的元素个数为（ ）． A ．mn B ．n m −C ．m n +D ．m n −13．设U 为全集，A ，B 为集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，B C ⊆”是“A B ⊆”的（ ）条件． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．设非空集合{}|S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，2x S ∈，给出如下三个结论： ①若1m =，则{}1S =；②若12m =−，则114n ≤≤；③若12n =，则0m ≤≤．则其中正确的结论的个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（5个大题，总分54分） 15．（本题满分8分）已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程2440x x m −+=和2244450x mx m m −+−−=，证明：1m =是上述两个方程的根都是整数的充要条件．316．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）已知集合122A x x ⎧⎫=−<<⎨⎬⎩⎭，{}|21B x m x m =≤≤+． （1）当0m =时，求A B ，A B ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．17．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分） 若一元二次方程()22110x k x k +++−=的两个实数根为1x ，2x ． （1）若123x x −=，求实数k 的值；（2）若120x x ≠，请根据实数k 的不同取值范围讨论12x x +的值．（用k 表示）418．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）已知{}:|A a b c α==，{}|B b b c ==， m AB ∈．β：关于x 的方程2320x x m +++=的解集中最多有一个元素． （1）若β⇒α，求实数c 的取值范围；（2）若1c =，α和β中有且仅有一个成立，求实数m 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分） 已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n N =≥∈，如果A 中的元素()1,2,,i a i n =满足1212n n a a a a a a +++=⨯⨯⨯，就称A 为“完美集”． （1）判断：集合{11−−−+是否是“完美集”，并说明理由；（2）1a ，2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，求证：1a 、2a 至少有一个大于2； （3）若()1,2,,i a i n =均为正整数，求满足条件的所有“完美集”A ．5参考答案一、填空题1.{}2,3,5,7,11;2.24;3.2−;4.()(){}0,3,1,4;5.2x y +≤;6.0或-1;7.[)3,+∞;8.214; 9.20; 10.256； 10．设集合{}1,2,3,,n U n =，n 为正整数，记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：①n A U ⊆，②若x A ∈，则2x A ∉，③若x A ∈，则2x A ∉，则()16f =________． 【答案】256【解析】任取偶数n x U ∈,将x 除以2,若商仍为偶数，再除以2,，经过k 次后，商必为奇数,此时商为m , 从而2k x m =⋅,其中m 为奇数,*k N ∈,由题意知,若m A ∈,则x A ∈等价于k 为偶数;若m A ∉,则x A ∈等价于k 为奇数, 所以x 是否属于A ,由m 是否属于A 确定,设m Q 是n U 中所有奇数的集合,所以()f n 是n Q 的子集个数, 当n 为偶数（或奇数）时，n U 中奇数的个数为2n1,2n +⎛⎫ ⎪⎝⎭或所以()2122,2,nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数奇数,所以()8162256f ==,故答案为:256.二、选择题11.A 12.D 13.C 14.D14．设非空集合{}|S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，2x S ∈，给出如下三个结论： ①若1m =，则{}1S =；②若12m =−，则114n ≤≤；③若12n =，则0m ≤≤．则其中正确的结论的个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．36【答案】D【解析】由定义设非空集合{}S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈知，符合定义的参数m 的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m S ∈时，有2m S ∈即2m m ≥，符合条件的n 的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n S ∈时，有2n S ∈ 即2n n ≤，正对各个命题进行判断：对于①21,1m m S ==∈故必有21n nn ⎧≤⎨≥⎩,可得{}1,1n S ==,对于②211,24m m S =−=∈,则214n nn⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,解之可得114n ≤≤；对于③若12n =,则221212m m m m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎩,解之可得0m ≤≤所以正确命题有3个。
2018松江区高考数学一模试卷
上海市松江区2018届高三一模数学试卷2017.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算：2lim31n nn →∞=-2. 已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则A B =3. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =，则10S =4. 已知函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，且1(2)1f -=，则实数a =5. 已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ， 则cos2α=6. 图为一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输 出的结果是7. 函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[0,2]π 上交点的个数是8. 若直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且23AB =，则a =9. 在ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∆的面积为1，若BM MC =，4BN NC =，则AM AN ⋅ 的最小值为10. 已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为 11. 定义(,)a a bF a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）① 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数； ② 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数； ③ 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数； ④ 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数；12. 已知数列{}n a 的通项公式为2n n a q q =+（0q <，*n N ∈），若对任意*,m n N ∈都有1(,6)6m n a a ∈，则实数q 的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若2i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则q 的值为（ ）A. 5-B. 5C. 3-D. 314. 已知()f x 是R 上的偶函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x -=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件15. 若存在[0,)x ∈+∞使221xxm x<成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. [1,)+∞16. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A. (,1][0,1)-∞-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在ABC ∆中，6AB =，AC =，18AB AC ⋅=-. （1）求BC 边的长； （2）求ABC ∆的面积.18. 已知函数()|1|af x x=-（0x ≠，常数a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当0a >时，研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.19. 松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客量为400人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为6()150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时， 该线路每分钟的净收益最大？20. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)2，其左焦点为(3,0)F -，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，若四边形ACBD 的面积为43，求直线l 的方程； （3）设1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证：12λλ+为定值.21. 已知有穷数列{}n a 共有m 项（2m ≥，*m N ∈），且1||n n a a n +-=（11n m ≤≤-，*n N ∈）.（1）若5m =，11a =，53a =，试写出一个满足条件的数列{}n a ；（2）若64m =，1=2a ，求证：数列{}n a 为递增数列的充要条件是642018a =； （3）若10a =，则m a 所有可能的取值共有多少个？请说明理由.参考答案一. 填空题1. 232. [2,3)3. 1004. 35. 12- 6. 2 7. 48. 0 9. 45 10. a > 11. ②③④ 12. 1(,0)4-二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17．解：（1）由cos 18AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=-，且6,AB AC == ………2分BC ===………6分（2）在ABC ∆中，6,AB AC ==BC =222cos 2AB AC BC A AB AC +-===⋅⋅ ………10分sin 2A == ……… ……… ……… ………12分所以11sin 69222ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅=……… ……… ………14分18． 解：（1）当0=a 时，()1(0)f x x =≠， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，()1()f x f x -==， )(x f ∴为偶函数．………3分当0≠a 时，()0f a =，()2f a -= ……… ……… ………………4分 ()(),()()f a f a f a f a ∴-≠-≠- ……… ……… …………………5分∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． ……… ……… ……………6分 （2）0a >时，()f x 在(0,)x a ∈内单调递减，在[,)x a ∈+∞内单调递增．……8分此时，当(0,)x a ∈时，0x a << ，()1af x x=- ……… ……… ………10分 由()ag x x=单调递减知()f x 单调递减 ……… ……… …………………11分 当[,)x a ∈+∞时，0a x << ，()1af x x=- ……… ……… ……………13分由()ag x x=- 单调递增知()f x 单调递增 ……… ……… …………………14分19. 解：（1）由题意知2400(10)210()4001020k t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩（k 为常数 ）………2分∵ 2(2)400(102)272p k =--= ∴2k = ……… ………4分∴ 24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩………5分 ∴2(6)4002(106)368p =--=（人） ………7分 （2）由6()150060p t Q t -=-可得21(12180300)2101(60900)1020t t t t Q t t t⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩ ………9分 当210t ≤<时，300180(12)18060Q t t=-+≤-=， 当且仅当5t =时等号成立 ………11分 当1020t ≤≤时，90060609030Q t=-+≤-+=，当10t =时等号成立 ………13分 ∴当发车时间间隔5t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为60元.………14分20. 解：（1）由题意得222231413a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ (2)解得2241a b ⎧=⎨=⎩ ………3分 ∴椭圆E 的方程为 2214x y += ………4 设直线l ：(y k x =+, 112(,),(A x y B x 由2244(x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 消去y 得2222(14)1240k x x k +++-=， ………6分 则212214x x k +=-+，212212414k x x k -⋅=+，……（*） ………8分 （2）224(1)14k AB k +==+ 同理224(1)1k CD k+=+……10分 ∴222218(1)42(4)(14)3k S AB CD k k +=⋅==++ ∴422520k k -+=解得22k =或212k =∴k =k = 因为0k >,所以k =2k = ∴直线AB的方程为0x -+=0y -+= ………12分 （3）1MA AF λ=，得111()x x λ=-，222()x x λ=∴1λ=，2λ=………14分128λλ+=-==-.………16分21．解：（1）1,2,4,7,3和1,0,2,1,3-； ………4分 （2）证明：必要性 若{}n a 为递增数列，由题意可得 ………5分211a a -= 322a a -= … 646363a a -=于是得到641(163)6320162a a +⨯-==，因为12a =，所以642018a =； ………7分 充分性 由题意*1,163,n n a a n n n N +-=≤≤∈，所以211a a -≤ 322a a -≤ (646363)a a -≤………8分因此6412016a a -≤，即642018a ≤，又因为642018a =，所以*1,163,n n a a n n n N +-=≤≤∈，因此{}n a 是递增数列；综上：结论得证； ………10分 （3）解：由题意得211a a -=±，322a a -=±，，1(1)m m a a m --=±-，假设1231m m a b b b b -=++++，其中{}*,,(,11)i b i i i N i m ∈-∈≤≤-，显然，max (1)()12(1)2m m m a m -=+++-=， min (1)()12(1)2m m m a m -=-----=-………12分若 m a 中有k 项123,,,,k s s s s b b b b 取负值，则有123max ()2()k m m s s s s a a b b b b =-++++ ………(*)因此，m a 的所有可能值与max ()m a 的差必为偶数 ………14分下面用数学归纳法证明m a 可以取到(1)2m m --与(1)2m m -之间相差2的所有整数，由(*)知，只需证明从1,2,3,,1m -中任取一项或若干项相加，可以得到从1到(1)2m m -的所有整数值即可 当2m =时，显然成立，①当3m =时，从1,2中任取一项或两项相加，可以得到从1,2,3，结论成立，………15分 ②假设*(3,)m k k k N =≥∈时，结论成立， 即从1,2,3,,1k -中任取一项或若干项相加，可以得到从1到(1)2k k -的所有整数值， 则当1m k =+时，由假设，从1,2,3,,1k -中任取一项或若干项相加，可以得到从1到(1)2k k -的所有整数值，用k 取代1,2,3,,1k -中的1k -，可得(1)12k k -+，用k 取代1,2,3,,1k -中的2k -，可得(1)22k k -+，…用k 取代1,2,3,,1k -中的1，可得2(1)2(1)(1)1222k k k k k k k -+-++-==-，将1,2,3,,1,k k -全部相加，可得(1)2k k +， 故命题成立………17分因此，m a 可取的值共有1(1)(1){[]}1222m m m m ----+=222m m -+ 个………18分。
精选练习部编统编高中数学必修A版第一册第二章《一元二次函数方程和不等式》课后作业同步练习含答案解析
【新教材统编版】高中数学必修A版第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章课后练习（含答案解析）第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．【2018-2019学年银川一中】下列说法正确的是( ) A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <" B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >" C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥" D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥"2．【2018-2019正定一中期中】3.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定3. 【2018-2019莆田二中期末】某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，用不等式组可以表示为( )A ．8580x y >⎧⎨⎩ B ．8580x x <⎧⎨⎩C ．8580x y ⎧⎨>⎩ D ．8580x y >⎧⎨<⎩ 4．【2018-2019湖南师大附中月考】有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是( )A ．65x y z ++=B ．65x y z x zy z ++=⎧⎪>⎨⎪>⎩C ．6500x y z x z y z ++=⎧⎪>>⎨⎪>>⎩D ．65656565x y z x y z ++=⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪<⎩ 5. 【2018-2019六安中学月考】若2x ≠-且1y ≠,则2242M x y x y =++-的值与5-的大小关系是( )A. 5M >-B. 5M <-C. 5M ≥-D. 5M ≤-6．【2018-2019攀枝花市级联考】某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2018年底这位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年二、填空题7．【2018-2019银川一中】若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 8.【2018-2019学年山东威海市期中】一辆汽车原来每天行驶xkm ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程将超过2200km ，用不等式表示为 ． 9．【2017-2018学年上海市金山中学】如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来__________10．【2018广西玉林高一联考】近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可）三、解答题11．【陕西省安康市高级中学检测】有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案,甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算?参考答案： 1. 【答案】C【解析】对于,A x 应满足 2 000,x ≤故A 错;对于,,B x y 应满足x y <,故B 不正确; C 正确; 对于,D y 与a 的关系可表示为y a ≤,故D 错误. 2. 【答案】B【解析】由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.故选B3. 【答案】A 【解析】语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，8580x y >⎧∴⎨⎩，故选：A ． 4. 【答案】C 【解析】一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，65x y z ∴++=，0x z >>，0y z >>．故选：C ．5. 【答案】A【解析】()225425M x y x y --=++-+()()2221x y =++-,∵2,1x y ≠-≠,∴()220x +>,()210y ->,因此()()22210x y ++->.故5M >-. 6. 【答案】C【解析】设这位职工工龄至少为x 年，则2400160010000(110%)25%x +>+⨯， 即40016003025x +>，即 3.5625x >，所以至少为4年．故选：C ． 7. 【答案】x 1＋x 2≤12【解析】∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.8. 【答案】8(19)2200x +> 【解析】汽车原来每天行驶xkm ，该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，∴现在汽车行驶的路程为19x km +，则8天内它的行程为8(19)x km +， 若8天内它的行程将超过2200km ，则满足8(19)2200x +>； 故答案为：8(19)2200x +>； 9. 【答案】()2212a b ab +> 【解析】(1)中面积显然比(2)大,又(1)的面积()222211,2S a b a b =+=+ (2)的面积2S ab =,所以有()2212a b ab +> 10. 【答案】乙【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为3362a b a b++=， 乙购买产品的平均单价为2021010aba b a b=++，由条件得a b ≠． ∵()()22022a b a b ab a b a b -+-=>++， ∴22a b aba b+>+，即乙的购买方式更优惠． 11. 【答案】见解析；【解析】 设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2b a +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2=ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大. 12. 【答案】见解析；【解析】设该家庭除户主外,还有()x x x N ∈人参加旅游, 甲、乙两旅行社收费总金额分别为12,y y ,—张全票的票价为a 元,则只需按两家旅行社的优惠条件分别计算出12,y y ,再比较12,y y 的大小即可.∵()120.55,0.751y a ax y x a =+=+,而()120.550.751y y a ax x a -=+-+()0.2 1.25a x =-. ∴当 1.25x >时. 12y y <;当 1.25x <时, 12y y >.又x 为正整数,所以当1x =时, 12y y >,即两口之家应选择乙旅行社; 当()1x x x N >∈时, 12y y <,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.2.1等式性质与不等式性质（第2课时）一、选择题1．（2019湖南高一期中）若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（ ） A ．c b d a ->-B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a bd c> 2．（2019·福建高二期末）若,0a b c ac >><，则下列不等式一定成立的是 A ．0ab >B ．0bc <C ．ab ac >D ．()0b a c ->3．（2019·哈尔滨市呼兰区第一中高一期中）设11b a -<<<，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．11b a> B ．11b a< C ．22b a < D ．2b a <4．（2019安徽郎溪中学高一期末）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b <B ．11a b> C ．2211ab a b<D ．11a b a>- 5.（2019福建三明一中高一期中）已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <6（2019浙江绍兴一中高一月考）已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]二、填空题7．【2019咸阳中学高一检测】已知不等式：①a 2b <b 3；②1a>0>1b；③a 3<ab 2，如果a >0>b 且a 2>b 2，则其中正确不等式的个数是_______；8．（2019·吉林省实验高二期中（文））已知a ，b ，x 均为正数，且a ＞b ，则b a ____b xa x++（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．（2019·浙江绍兴一中高一月考）已知1260a <<,1536b <<,则ab的取值范围为__________.10．（2019·上海高一期末）已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____． 三、解答题11．（2019·福建高一期中已知下列三个不等式： ①ab >0；②ca >db ；③bc >ad ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】已知f (x )=ax 2−c,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.参考答案： 1.【答案】A【解析】由题意，因为a b >，所以a b -<-，即b a ->-， 又因为c d >，所以c b d a ->-， 故选：A ． 2. 【答案】C【解析】取1,0,1a b c ===-代入，排除A 、B 、D ，故选：C 。
宁夏育才中学勤行校区2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
5()4()3()2()1()宁夏育才中学2021-2022-1高一班级12月月考 数学试卷(试卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟)一． 选择题（本题共12题，每个题目只有一个正确选项，每题4分，共48分）。
1.下列说法不正确的．．．．是 （ ） A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是肯定是平行四边形；B.同一平面的两条垂线肯定共面；C. 过直线上一点可以作很多条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.2.点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 若AC=BD ，且AC 与BD 成900，则四边形EFGH 是 （ ） A ．菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四边形 3.有下列四个命题：（1）过三点确定一个平面（2）矩形是平面图形（3）三条直线两两相交则确定一个平面 （4）两个相交平面把空间分成四个区域其中错误命题的序号是 （ ）． A ．（1）和（2） B ．（1）和（3） C ．（2）和（4） D ．（2）和（3） 4.下列命题正确的是 （ ）． A ．空间中两直线所成角的取值范围是：0°<θ≤ 90° B ．直线与平面所成角的取值范围是：0°≤θ≤90° C ．直线倾斜角的取值范围是：0°<θ≤180°D ．两异面直线所成的角的取值范围是：0°<θ< 90°．5．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于 （ ） A ．0 B ．45° C ．90° D ．不存在 6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A ．2B ．1C ．23D ．137. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 （ ）A.3πB.4πC.2πD.π8.如图，将无盖正方体纸盒开放，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交且垂直C ． 异面D ．相交成60°9．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．在长方体''''D C B A ABCD -中，3'=BB ,1''=C B ,则'AA 与'BC 所成的角是（ ）A ．︒90B ．︒45C ．︒60D ．︒3011．如下图所示，最左边的几何体有一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，所截得的截面图形可能是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（1）（5）12.已知直角三角形ABC ，其三边分为a,b,c,（a>b>c ）。
2023-2024学年上海市位育中学高三上学期期中考试数学试卷含详解
2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.2.复数12i3i z -=+的模为__________．3.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________．4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．6.如图，在三棱柱111A B C ABC-中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14yx y 1-+的最小值是______9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x =+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．12.已知函数()ln 1f x b x =+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b 夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.362f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e xf x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.【答案】{}1【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】不等式1x ≤解得11x -≤≤，得{}11A x x =-≤≤，又{}2,1,3,5B =-，则{}1A B ⋂=.故答案为：{}12.复数12i3iz -=+的模为__________．【答案】22【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i 2,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故答案为：223.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】13【分析】由条件22sin 3α=-，α为第三象限角，可求出1cos 3α=-，再由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而可得答案.【详解】由22sin 3α=-，α为第三象限角,有1cos 3α==-.由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭故答案为：13【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________【答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.【点睛】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．【答案】5-【分析】根据()f x 为奇函数得到()f x 的对称中心为()0,0，再结合()()1F x af x =-得到()F x 的对称中心为()0,1-，然后利用对称性求()1F -即可.【详解】由()13F =可得0a ≠，因为()f x 为奇函数，所以()f x 的对称中心为()0,0，则()F x 的对称中心为()0,1-，又()13F =，则()15F -=-.故答案为：-5.6.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试卷分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据初等函数的性质，得到函数1()lg f x x x =-为单调递减函数，且(1)1f =，把不等式1(1)1f x-<转化为111x->，即可求解.【详解】由题意，函数1()lg f x x x=-，根据初等函数的性质，可得函数()f x 为单调递减函数，且(1)1f =，则不等式1(1)1f x -<等价于111x ->，即11220x x x--=>，解得102x <<，所以不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14y x y 1-+的最小值是______【答案】12【分析】由已知分离14y 14y 44144x y 1x y 1x y 1+--=-=+-+++，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足x y 1+=，则()14y 14y 44141144x y 14x y 1x y 1x y 12x y 1⎛⎫+-⎡⎤-=-=+-=+++- ⎪⎣⎦++++⎝⎭()1y 14x 11545442x y 122⎛⎫+=++-≥+-= ⎪+⎝⎭当且仅当y 14x x y 1+=+且x y 1+=即1y 3=，2x 3=时取得最小值是12故答案为12【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．【详解】由已知得2πtan 311tan4y x α'==-+≤=，由π)[0,a ∈得ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故答案为：ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．【答案】【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P ，球P 的半径为r ，圆锥的轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，332MO =，所以，223MA MB MO OA ==+=，所以，MAB △为等边三角形，11339332224MAB S MO AB =⋅=⨯⨯=△.由等面积法可得19933224MAB r S r AB =⋅⋅==，解得32r =，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 时，截得它的正方体的棱长为22a ，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以262322r a ==，所以2a =a 2．2．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y ，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x=+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．【答案】①②④【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f （x ）在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得OA、OB共线，即存在点A 、B 与点O 共线，结合4个函数的图象分别判断即可.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,OA OB x x y y OA B O ⋅=+= ，由题意可知·0OA OB OA OB -≥ ，即·OA OB OA OB ≥，即cos ,OA OB OA OB OA OB ≥ ，所以cos ,1OA OB ≥ ，又cos ,1OA OB ≤，所以cos ,1OA OB = ，即,OA OB 共线，亦即,,A O B 三点共线，也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.对于①，易知函数2y x =经过原点，且图象关于原点对称，存在点A 、B 与点O 三点共线，故①是与原点关联的函数；对于②，设过原点的直线为y kx =，作出函数sin y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数sin y x =图象在R 上有3个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故②是与原点关联的函数；对于③，设过原点的直线为y kx =，作出函数()()10f x x x x=+>与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数()()10f x x x x=+>图象在(0,)+∞上有1个交点，即不存在点A 、B 与点O 三点共线，故③不是与原点关联的函数；对于④，设过原点的直线为y kx =，作出函数ln y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数ln y x =图象在(0,)+∞上有2个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故④是与原点关联的函数；故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键.12.已知函数()1ln 1f x x b x =-+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由1ln 10m b m ---=，则(),P a b 在直线:1ln 10l m x y m -+--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则1ln 10m b m -+--=，所以点(),P a b 在直线1ln 10l m x y m -+--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，22ln 1ln 1m m a b OP mm++=≥，2e,e m 轾Î犏臌，设e,e t m ⎤=⎦，设()2ln 1t g t t+=，则()()212ln 0e,e tg t t t-⎤'=≤∈⎦，所以()g t 在e,e ⎤⎦上单调递减，所以()()min 3e eg t g ==，3e≥即2229e a b +≥，所以22a b +的最小值为29e ，故答案为：29e 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求a与b夹角为锐角时，x 的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.【详解】当()21240a b x ⋅=-+⨯>，解得：3x >-，且当//a b 时，()4140x --=，解得：2x =，所以“a与b夹角为锐角时，x 的取值范围是3x >-且2x ≠，所以“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件.故选：A14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）【答案】B【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题.15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.62f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据(),P s t ,()(),0Q r t t >在()sin2f x x =上,可得出222,r s k k Z ππ+=+∈,再根联立6r s π-=,得到s 的值,根据0t>缩小s 的取值范围,进而代入,66f s fs ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求值即可.【详解】解:由题知()sin2f x x =,T π∴=,()(),,,P s t Q r t 均在()sin2f x x =上,sin 2sin 20s r t ∴==>,644Tr s ππ-=<= ,0222Tr s ∴<-<,故有:222,Z r s k k ππ+=+∈,两等式联立有2226r s k r s πππ+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得2,Z 3s k k ππ∴=+∈,sin 20s t => ,1122,Z 3s k k ππ∴=+∈,3sin 2sin 2sin 2663332f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,sin 2sin 2sin 2066333f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,综上选项B 正确.16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012【答案】D【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到21012101240a b -≥，要想无实根，要满足240i i a b -<，结合根的判别式与基本不等式得到10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，从而得到结论.【详解】由题意得：220232023420230S T -⨯≥，其中()1202320231012202320232a a S a +==，()1202320231012202320232b b T b +==，代入上式得：21012101240a b -≥，要想()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 方程无实数解，则240i i a b -<，显然第1012个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程2202320230x a x b -+=的判别式分别为1∆和2023Δ，则()()()22221202311202320231202312023ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-≥+-+()()()()2212023101221202310121012101224824022a a ab b b a b +≥-+=-=-≥，等号成立的条件是12023a a =.所以10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.故选：D.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.【答案】（1）π（2）【分析】(1)运用辅助角公式进行化简为()sin A x ωϕ+的形式,进而求出最小正周期即可;(2)先由()1f A =,求得π3A =,再由2cos c a B =⋅用正弦定理,再将()sin sin C A B =+代入展开化简即可得π3A B C ===,故ABC 为等边三角形,再由6b =,即可求面积.【小问1详解】解:由题知()1cos cos 22f x x x x=-1sin 2cos 222x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()f x \的最小正周期2ππ2T ==;【小问2详解】由于在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()1f A =,()πsin 216f A A ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭,0πA << ,ππ11π2666A ∴-<-<ππ262A ∴-=,π3A ∴=,2cos c ac B = ,在ABC 中由正弦定理得,sin 2sin cos C A B =,又有()sin sin πC A B =-+⎡⎤⎣⎦()sin A B =+sin cos cos sin A B A B =+2sin cos A B =,sin cos cos sin 0A B A B ∴-=,()sin 0A B ∴-=,πA B k ∴-=,Z k ∈,,A B 中ABC 的内角,且π3A =,π3A B C ∴===,6a b c ∴===,ABC ∴的面积136622ABC S =⨯⨯⨯= .18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）【答案】（1）W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）9千件.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果；（2）由（1）中所求函数解析式，分段考虑函数最值，注意利用导数即可.【详解】（1）由题意得W ＝22110.8 2.710,010********* 2.710,103x x x x x x x x x ⎧⎛⎫-⨯--<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯--> ⎪⎪⎝⎭⎩即W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）①当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝28110x -＝(9)(9)10x x +-，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.②当x ＞10时，W ＝98－1000 2.73x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤98－38.当且仅当10003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及利用导数求利润的最大值，属基础题.19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故2DE =，BD ==所以222AD BD AB +=，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；【小问2详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD =，则()()(1,0,0,,0,0,A B P ，则(((,0,,0,0,AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{0n AP x n BP ⋅=-+=⋅==，可取)n = ，则5cos ,5n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）虚轴长2e =（2）证明见解析（3）1m =-【分析】（1）根据双曲线方程直接得虚轴长与离心率；（2）设点()00,A x y ，()00,B x y --，(),P m n ，分别表示PA k ，PB k ，再根据点P 在双曲线上，可得证；（3）当直线斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将0MA MB ⋅= 恒成立转化为()222243530m m k m k ---+=恒成立，所以224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，由0MA MB ⋅=可解得1m =-.【小问1详解】由双曲线方程为22:13y C x -=，可知1a =，b =，2c ==，所以虚轴长为2b =，离心率2ce a==；【小问2详解】则00PA n y k m x -=-，0PB n y k m x +=+，则220220PA PBn y k k m x -⋅=-，又点()00,A x y 与点(),P m n 均在双曲线上，则220033=-y x ，2233n m =-，所以()22220022220033333PA PBm x n y k k m x m x ----⋅===--，所以PA PB k k ⋅为定值3；【小问3详解】假设存在点(),0M m ，使0MA MB ⋅= 恒成立，由已知得()22,0F 当直线l 斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=，()()()222224434336360k k k k D =---+=+>，且k ≠，212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()222212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x k x x k ×=--+=-+++-++()2222243533m m k m k k ---+=-，若0MA MB ⋅= 恒成立，则()222243530m m k m k ---+=恒成立，即224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，()2,3MA m =-，()2,3MB m =--()2290MA MB m ⋅=--= ，解得1m =-或5m =，综上所述，1m =-，所以存在点()1,0M -，使0MA MB ⋅= 恒成立.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e x f x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.【答案】21.()1e x f x =是“T 函数”；()32f x x =不是“T 函数”，理由见解析22.()()()()312g a g a g a g a ++>+++，理由见解析23.证明见解析【分析】（1）利用定义直接判断各函数；（2）构造函数()()()1G x g x g x =+-，可证()G x 在R 上单调递增，即可得证；（3）设切点()11,A x y ，不妨设10x x >，由“T 函数”可知，()01,m x x ∃∈，使()()()1010f x f x F m x x -'=-，又()()()10110F x y F x F m x x -''=>-，化简即可得证.【小问1详解】()1e x f x =，得()1e x f x '=，是R 上的严格增函数，所以()1e xf x =是“T 函数”；()32f x x =，得()223f x x '=，不是R 上的严格增函数，所以()32f x x =不是“T 函数”；【小问2详解】由函数()y g x =是T 函数，可知()g x '是R 上的严格增函数，设()()()1G x g x g x =+-，则()()()10G x g x g x '''=+->，所以()G x 在R 上单调递增，所以()()2G a G a +>，即()()()()321g a g a g a g a +-+>+-，即()()()()312g a g a g a g a ++>+++；【小问3详解】过()00,P x y 作函数()y F x =的切线，设切点为()11,A x y ，不妨设10x x >则()()10110AP f x y F x k x x -'==-，由函数()y F x =是“T 函数”，所以()F x '是R 上的严格增函数，所以()()01F x F x ''<，则()01,m x x ∃∈，使()()()1010F x F x F m x x -'=-，所以()()1F m F x ''<，即()()()10101010F x F x F x y x x x x --<--，化简可得()00y F x <.。
上海市嘉定区安亭高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷
f (logm
3) 4
f (1) 0 恒成立，
求实数 m 的取值范围.
试卷第 4页，共 4页
六、填空题
11．已知 y f x 为定义在 R 上的偶函数，且 f 3 0 ，若 y f x 在0, 上严格减， 若 f x f x 0 ，则 x 的取值范围为
试卷第 1页，共 4页
12．设
x
R
，
x
表示不大于
x
的最大整数，如
π
3
，
1.2
2
，
1 2
0
，则使
x2 1 3 成立的 x 的取值范围
上海市嘉定区安亭高级中学 2023-2024 学年高一上学期 12 月 月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单空题
1．已知集合 A 0, 2, B 1,3 ，则 A B
.
二、填空题
2．若 log2 x 3 ，则 x
本 2500 万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本 C 万元，且
C
10 x 2 801x
400x, 0 x 40 10000 4300, 40
x
x
120
，由市场调研知，每一百辆车售价
800
万元，且全
年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出 2023 年的利润 y （单位：万元）关于年产量 x （单位：百辆）的函数关系；（利
．
七、单选题
13．下列函数中是同一个函数的是（ ）
A． y | x |与 y
2
x
B． y eln x 与 y x
C． y x 与 y 5 x5
2023-2024学年上海洋泾中学高一上学期数学月考试卷及答案(2023.12)
1洋泾中学2023学年第一学期高一年级数学月考2023.12一、填空题（第1题至第6题每题3分，第7题至第10题每题4分，共34分） 1．已知0x <+=______． 2．已知11f x x =+，则()2f =______．3．函数21x y a −=+（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点P ，则P 点坐标是______． 4．已知lg2a =，用a 表示5log 16=______．5．已知函数()()2log f x x m =−的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是______． 6．已知函数()2121x f x ax ax +=−+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______． 7．函数212x y=的值域为______．8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则()1f −=______． 9．已知()32023f x x x =+，若实数(),0,a b ∈+∞且113022f a f b −+−=，则11a b +的最小值是______．10．已知函数()3,,x x af x x x a > = ≤，给出以下四个结论：①存在实数a ，使函数()f x 无最小值；②当0a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；③对任意()0,1a ∈，都存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是______． 二、选择题（每题4分，共16分）11．设a R ∈，则“1a <”是“2a a <”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件2C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12．下列幂函数中，是奇函数，且在()0,+∞上是增函数的是（ ） A ．53y x−= B ．53y x = c ．34y x =D ．43y x =13．若方程()()0f x g x ⋅=的解集为M ，则以下结论一定正确的是（ ） （1）(){}(){}00M x f x x g x === （2）(){}(){}00M x f x x g x === （3）(){}(){}00M x f x x g x ⊆== （4）(){}(){}00M x f x x g x ⊇==A ．（1）（4）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（1）（3）（4）14．已知()22f x x x =−，若对于任意[]12,,1x x m m ∈+，均有()()121f x f x +≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],0−∞B ．1,2−∞C ．1,2 +∞D ．[)1,+∞三、解答题（本题共50分）15．解关于x 的方程：()2211log x log x +−=316．已知函数()()()22221mm f x m m x−−=+−．（1）若()f x 是幂函数，且是奇函数，求实数m 的值；（2）若()f x 在第一象限内是严格增函数，求实数m 的取值范围．17．某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式15y t =−；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式21,45,1 4.t y t t <<= −≤≤现对小白鼠时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和． （1）写出4小时内，该小白鼠血液中药物浓度y 与时间t 满足的函数关系式； （2）求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值．418．对于直角坐标平面上的两个点()()1122,,,P x y Q x y ，记()1212,d P Q x x y y =−+−． （1）若点(),A x y 在函数21y x =−图像上，点B 的坐标为()0,1，求满足(),3d A B ≥的x 的集合；（2）若()()1,32,5A B 、，点(),C x y 是直角坐标平面上的任意一点，求()(),,d A C d B C +的最小值，并指出取得最小值时的点(),C x y 的集合．519．对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[),x a ∈+∞，有()()1f x g x −≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[),a +∞上的弱渐近函数．（1）判断()g x x =是否是函数()f x =在区间[)1,+∞上的弱渐近函数，并说明理由． （2）若函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在函数()g x kx =，使得()g x 是函数()f x =在区间[)1,+∞上的弱渐近函数？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．6参考答案一、填空题 1.0; 2.32; 3.()2,2; 4.41a a−; 5.1m ≤−; 6. 01a ≤<; 7. 01a <≤; 8.3−; 9.4+③；10．已知函数()3,,x x af x x x a > =≤，给出以下四个结论：①存在实数a ，使函数()f x 无最小值；②当0a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；③对任意()0,1a ∈，都存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】③【解析】函数()3,,x x af x x x a> =≤ ,根据函数的性质,(1)当0a =时,()3,0,x x f x x x >=≤ ,函数的图象如图所示: (2)当0a >时,()3,,x x f x x x > =≤ ,函数的图象如图所示: (3)当0a <时,()3,0,x x f x x x >=≤ ,函数的图象如图所示: 对于①：无论a 取何值,函数()f x 都有最小值,故①错误; 对于②:当0…a 时,函数()f x 在()0,+∞上单调递增,故②正确;7对于③：对任意()01a ,∈,如上图(2),都存在实数m ,使方程()f x m =有2个不同的实根,故③错误. 故答案为:③. 二、选择题11.B 12.B 13.C 14.C13．若方程()()0f x g x ⋅=的解集为M ，则以下结论一定正确的是（ ） （1）(){}(){}00M x f x x g x === （2）(){}(){}00M x f x x g x === （3）(){}(){}00M x f x x g x ⊆== （4）(){}(){}00M x f x x g x ⊇==A ．（1）（4）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（1）（3）（4） 【答案】C【解析】根据题意,(){0M x f x ⊆=∣或()(){}(){}0}00,g x x f x x g x ===∪=∣∣ (){}(){}00.M x f x x g x ⊇=∩=∣∣故选:C .14．已知()22f x x x =−，若对于任意[]12,,1x x m m ∈+，均有()()121f x f x +≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],0−∞B ．1,2 −∞C ．1,2+∞D ．[)1,+∞【答案】C【解析】由题意在()22f x x x =−中,对称轴1x =,函数在()1,−∞上单调减,在()1,+∞上单调增,()()()2211211,f x x x x +=+−+=−对于[]12,1x x m,m ∀∈+,均有()()121,…f x f x +成立 即对于[]12,1x x m,m ∀∈+,均有()()()()22112…min max minmaxf x x f x x x +=−=−恒成立,8在()()211h x f x x =+=−中,对称轴0x =,函数在()0,−∞上单调减,在()0,+∞上单调增, 当10…m +即1…m −时，函数()h x 在[]1m,m +上单调减,函数()f x 在[,1m m +上单调减， ()()()2222222112,2,,,1minmax m m m mh x m m m f x m m m m +≥−=+−=+=−∴∈∅ ≤−解得10100m m m +> −<≤≤，即时函数()h x 在[)0m,上单调减,在(]01,m +上单调增,函数()f x 在[]1m,m +上单调减,()()2212,2,,,10min maxm mh x l f x m m m m −≥−∴=−=−∴∈∅−<≤解得 当011m m ≥ +≤ ,即0m =时,[][]101m,m ,+=,函数()h x 在[]01,上单调增,函数()f x 在[]01,上单调减,()()1,0,()()0min max h x f x h x l f x ∴=−=∴=−<=,故不符题意,舍去. 当1120m m m ++ <>,即102m <<时,函数()h x 在[]1m,m +上单调增,()21,min h x m =− 函数()f x 在[)1m,上单调减,在(]11,m +上单调增,()()22max f x f m m m ==−,2212102m m mm −≥− ∴ <<,解得m ∈∅, 当12m =时,[]13122m,m , += ,函数()h x 在1322,上单调增,()34minh x =− 函数()f x 在112, 上单调减,在312,上单调增,()3324max f x f ==− ,此时,()()31,42min max h x f x m =−=∴=符合题意, 当1121m m m++<≥,即112…m <时,函数()h x 在[]1m,m +上单调增,()21min h x m =−, 函数()f x 在[)1m,上单调减,在(]11,m +上单调增,()()211max f x f m m =+=−,9此时,()()21min max h x m f x =−=,112…m ∴<符合题意,当1…m 时,函数()h x 在[]1m,m +上单调增,函数()f x 在[]1m,m +上单调增,()()()()()2221,11,1,min max min max h x m f x f m m h x m f x ∴=−=+=−=−=此时1…m ∴符合题意.综上,实数m 的取值范围是12,+∞. 故选:C .三．解答题 15.2x = 16.（1）1m =（2）()11−∞∪∪+∞17.（1）5,01410,14t t y t t t −++<<=−−≤≤(2)max 26t ==当时，y 18．对于直角坐标平面上的两个点()()1122,,,P x y Q x y ，记()1212,d P Q x x y y =−+−． （1）若点(),A x y 在函数21y x =−图像上，点B 的坐标为()0,1，求满足(),3d A B ≥的x 的集合；（2）若()()1,32,5A B 、，点(),C x y 是直角坐标平面上的任意一点，求()(),,d A C d B C +的最小值，并指出取得最小值时的点(),C x y 的集合． 【答案】（1） 15,,33−∞−∪+∞（2）最小值为3，集合C 为(){12剟x,y x ∣且35}剟y .【解析】（1）由题意150223,,33x x x −+−≥⇒∈−∞−∪+∞10（2）()()()()1325123521533,…d A,C d B,C x y x y x x y y +=−+−+−+−=−+−+−+−−+−=1235,3,剟剟x y 当时取到最小值即集合C 为(){12剟x,y x ∣且35}剟y .19．对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[),x a ∈+∞，有()()1f x g x −≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[),a +∞上的弱渐近函数．（1）判断()g x x =是否是函数()f x =在区间[)1,+∞上的弱渐近函数，并说明理由． （2）若函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在函数()g x kx =，使得()g x 是函数()f x =在区间[)1,+∞上的弱渐近函数？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）是，见解析 （2）[]08, （3）不存在【解析】（1）()(f xg ∴−又1,0…x≥,1x ∴+≥,1≤,()()1…f x g x ∴−恒成立,()g x x ∴=是函数()f x =在区间[)1,+∞上的弱渐近函数;(2):函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数, [)()[)[)[)[)()[)4,33114,11,4,111,4,02,4,02,02,4,08,剟剟剟剟剟剟min m mx ,x x x ,x x m mx ,x ,x xx ,m x m x x ,m ∴∀∈+∞+−+∴∀∈+∞−∴∀∈+∞−−∴∀∈+∞∴∀∈+∞∴∈+∞∴11 ∴实数m 的取值范围为[]08,;(3)若存在实数k ,满足条件,则根据题意可得:[[)[)[)[)11,1,11,1,111111剟?剟x ,kx x ,kx x ,kx x ,kx x ,k ∀∈+−∴∀∈+∞−−∴∀∈+∞−−−−∴∀∈+∞+∴∀∈+∞≤≤t =,由[)1x ,∈+∞,可得(]01t ,∈,(]2201,剟t ,t t k t t ∴∀∈−+,()()(]22,01max min t t k t t t ,∴−≤≤+∈ 又()()211111224h t t t t t =−=−≤×−= 而()2m t t t =+在(]01t ,∈上单调递增,()()200m t t t m ∴=+>=,14…k ∴且0,…k k ∴无解,∴不存在实数k 满足题意.。
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育才中学2017学年高一数学第二学程考试卷
2017.11
一、填空题（每小题3分）
1、已知2
1)(--=x x x f 的定义域为________ 2、已知⎩⎨⎧≥-<=1
,120,)(2x x x x x f ，若4)(=a f ，则a =_______
3、已知2)(2--=x x x f ，2
1)(-=x x g ，则)()(x g x f ⋅=________ 4、已知24)32(x x f =+，则)(x f =________
5、函数2
1-=x y ，]10,3[∈x 的值域为________ 6、已知x x x f 2)(2-=，则单调递增区间为__________
7、已知)(x f y =定义域为]4,2[-，则)12()1(-++=x f x f y 的定义域为_________
8、已知1
1)1()(-+-=x x x x f 为____函数（填奇偶性） 9、已知)(x f 为偶函数，当0>x 时，114)(2+-=x
x x f ，则0<x 时，则)(x f =___________ 10、已知x kx x f 2)(2
-=在]2,1[上单调递减，则k 的取值范围为__________ 11、已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，且在),0(+∞上单调递增，下列命题正确的是________
（1）)(x f 在R 上单调递增 （2）)(x f 在)0,(-∞上单调递增
（3）)(x f 在),0[+∞上单调递增 （4）)(x f 在),0()0,(+∞-∞ 上单调递增
12、已知)(x f 为定义在]2,2[-上的偶函数，且在]2,0[上单调递增，若)3()12(+<+a f a f ，则a 的取值范围为________
二、选择题（每小题4分）
13、“0)0(=f ”是“函数)(x f y =，R x ∈为奇函数”的（ ）条件
A 、充分非必要
B 、必要非充分
C 、充要
D 、即非充分也非必要
14、下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、1=y 与0x y =
B 、1112-=+--=x y x x y 与
C 、2)(||x y x y ==与
D 、33x y x y ==与
15、已知函数)()(x g x f 、的定义域和值域都是R ，则“R x x g x f ∈<),()(”成立的充要条件是（ ）
A 、存在R x ∈0，使得)()(00x g x f <
B 、有无数多个实数x ，使得)()(x g x f <
C 、对任意R x ∈，使得)(2
1)(x g x f <+ D 、不存在实数x ，使得)()(x g x f ≥ 16、已知函数)(x f 对于任意21x x ≠，满足0)()(2
121>--x x x f x f ，则满足条件的函数可以是（ ） A 、12+-=x y B 、)0(1>=x x
y C 、)0(2>=x x y D 、||x y = 三、解答题（8分，8分，10分，10分，12分）
17、已知x
x x f 2)(2-
=，),1[+∞∈x ，判断函数的单调性，并证明
18、已知c b a ,,是不全相等的正数，且1=++c b a ，求证：
9111>--c
b a
19、已知函数ax x y 22-=，]1,2[-∈x （1）求最小值)(a g
（2）求)(a g 的最大值
20、某服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产销售权，每生产1百套成本为1万元，每
生产x （百套）的销售额)(x R 万元满足：⎪⎩
⎪⎨⎧>--≤<-+-=5,391550,144.0)(2x x x x x x R （1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？
（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装可获得利润多大？此时，利润为多少万元？
21、|||1|a x x y +--=
（1）讨论函数奇偶性，并说明理由
（2）若值域为)3,(-∞的子集，求a 的取值范围。