函数的最大(小)值 说课稿 教案 教学设计

单调性与最大(小)值
第2课时函数的最值
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解函数的最大(小)值；
(2)了解闭区间[a，b]上的连续函数f(x)在[a，b]上必有最大、最小值；了解函数的最值存在的可能位置；
(3)掌握用图象法、单调性法求函数的最大值与最小值的方法和步骤．
2．过程与方法
(1)在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识；
(2)培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．
3．情感、态度与价值观
(1)认识事物之间的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想；
(2)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．
●重点难点
重点：函数最大(小)值的定义、函数的最值存在的可能位置及用图象法和单调性法求闭区间上的连续函数的最值．
难点：最值定理的理解及其求解方法．
重难点的突破：以学生熟知的二次函数为切入点，采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合思想，层层深入，通过学生自主观察、讨论、探究得出最值定理；同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．
课标解读1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点) 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
函数的最大值
【问题导思】
函数f(x)＝－x2＋1，x∈R的图象如图所示，观察其图象回答下列问题．1．函数图象有最高点吗？
【提示】有．
2．其最高点的坐标是多少？
【提示】(0,1)．
3．对任意的自变量x∈R，f(x)与f(0)什么关系？
【提示】f(x)≤f(0)＝1.
函数的最大值
已知：函数y＝f(x)的定义域为I，存在实数M.
条件：(1)对任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论：M是函数y＝f(x)的最大值．
几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．
函数的最小值
【问题导思】
1．观察函数f (x )＝x 2－1的图象，你能指出该函数的最小值吗？并说明理由． 【提示】 该函数的最小值为－1.因为对任意的x ，都有f (x )≥f (0)＝－1. 2．不等式x 2>－1总成立吗？－1是不是函数f (x )＝x 2的最小值？
【提示】 不等式x 2>－1一定成立．－1不是函数f (x )＝x 2的最小值，因为不存在x 使x 2＝－1.
函数的最小值
已知：函数y ＝f (x )的定义域为I ，存在实数M . 条件：(1)对任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 结论：M 是函数y ＝f (x )的最小值．
几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标.
图象法求函数的最值
已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并
写出值域．
【思路探究】 去绝对值→分段函数→作图→识图→结论 【自主解答】
y ＝－|x －1|＋2＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3－x ，x ≥1
x ＋1，x <1，
图象如图所示，
由图象知，函数y ＝－|x ＋1|＋2的最大值为2，没有最小值． 所以其值域为(－∞，2]．
1．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标． 2．图象法求最值的一般步骤： 作图象→找单调区间→确定最值
已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
1x
(0<x <1)
x (1≤x ≤2).
(1)画出f (x )的图象；
(2)利用图象找出该函数的最大值和最小值． 【解】 (1)函数f (x )的图象如图
(2)由图象可知f (x )的最小值为f (1)＝1，无最大值．
利用单调性求函数的最值
已知函数f (x )＝x ＋1
x .
(1)求证f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值．
【思路探究】 定义法证明单调性→求最小值→求最大值 【自主解答】 (1)设1≤x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.
∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，
∴x 1x 2－1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2， 当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝17
4.
综上所述，f (x )在[1,4]上的最大值是17
4，最小值是2.
1．利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．
(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0,2])有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．4 B ．6 C ．1
D ．2
【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[0,2]上是增函数∴在x ∈[0,2]时f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2,∴f (x )max ＝f (2)＝8＋a ＝8－2＝6
【答案】 B.
与最值有关的应用问题
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部
租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆
每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【思路探究】 读题→提取信息→建模→解模→实际问题
【自主解答】 (1)当每辆车的月租金为 3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 000
50
＝12，所以此时租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元，租赁公司的月收益为
y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50，整理得 y ＝－x 250＋162x －21 000＝－1
50(x －4 050)2＋307 050，
所以当x ＝4 050，即每辆车的租金为4 050元时，租凭公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．
1．本题建立的是二次函数模型，应利用配方法求函数的最值． 2．解函数应用题的一般程序是：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
(5)反思回顾：对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
图1－3－3
如图1－3－3所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30m ，问每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍
面积y 达到最大？每间最大面积为多少？
【解】由题意知笼舍的宽为x m ，则笼舍的总长为(30－3x )m ，每间笼舍的面积为 y ＝12x (30－3x )＝－3
2(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)． 当x ＝5时，y 取得最大值37.5，
即每间笼舍的宽度为5m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5m 2.
分类讨论思想在求二次函数最值问题中的应用
(12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【思路点拨】 可变对称轴x ＝a ――→相对位置关系定区间[0，2] 【规范解答】 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .
① ② ③ ④
①当a <0时，由图①可知，
f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .3分 ②当0≤a <1时，由图②可知，
f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .6分 ③当1≤a ≤2时，由图③可知，
f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.9分 ④当a >2时，由图④可知，
f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.12分
求二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值的一般思路(其中f (x )max 表示最大值，f (x )min 表示最小值)
(1)对称轴x ＝h 在区间[m ，n ]左侧，即h <m 时，f (x )max ＝f (n )，f (x )min ＝f (m )．
(2)对称轴x＝h在区间[m，n]右侧，即h>n时，f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)．
(3)对称轴x＝h在区间[m，n]之间，即m≤h≤n时，f(x)min＝f(h)＝k.
小结
1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：
(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．.。