中考数学必考34个考点专题7：二元一次方程组及其应用

专题07 二元一次方程组及其应用
专题知识回顾
1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程整式方程叫做二元一次。

方程一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。

3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

5．消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

（1）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

专题典型题考法及解析
【例题1】（2019年福建省）解方程组．
【答案】方程组的解为．
【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组利用加减消元法求出解即可．
，
①+②得：3x＝9，即x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
【例题2】（2019年浙江省丽水市）解方程组
【答案】∴
【解析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；
，
将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，
②+③，得y＝1，
将y＝1代入②，得x＝3，
∴
【例题3】（2019年湖南省怀化市）解二元一次方组：
【答案】见解析。

【解析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．
，
①+②得：
2x＝8，
解得：x＝4，
则4﹣3y＝1，
解得：y＝1，
故方程组的解为：．
【例题4】（2019年山东省潍坊市）己知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．
【答案】k＜5．
【解析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．
①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，
∵x ＞y ， ∴x ﹣y ＞0． ∴5﹣k ＞0． 解得：k ＜5．
【例题5】（2019年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？ 【答案】“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元． 【解析】设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克y 元， 由题意得：
解得：
【例题6】（2019年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价。

【答案】去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元； 【解析】设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x 元、y 元， 由题意得：
解得：
；
所以去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元。

一、选择题
1.（2019湖北孝感）已知二元一次方程组{x +y =12x +4y =9
，则x 2−2xy+y 2x 2−y 2的值是（ ）
专题典型训练题
A ．﹣5
B ．5
C ．﹣6
D ．6
【答案】C 【解析】{
x +y =1①
2x +4y =9②
，
②﹣①×2得，2y ＝7，解得x =7
2， 把x =7
2代入①得，7
2+y ＝1，解得y =−5
2， ∴
x 2−2xy+y 2
x 2−y 2
=(x−y)2
(x+y)(x−y)=x−y
x+y =
72+52
1
=6．
2.（2019广西贺州）已知方程组23
25x y x y +=⎧⎨-=⎩
，则26x y +的值是( )
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
【答案】C
【解析】两式相减，得32x y +=-，2(3)4x y ∴+=-，即264x y +=-，故选：C ．
3.（2019湖南邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0~2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( ) A ．716
1328x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．(72)16
1328x y x y +-=⎧⎨+=⎩
C ．716(132)28x y x y +=⎧⎨+-=⎩
D ．(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
【答案】D
【解析】设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元， 则所列方程组为(72)16
(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
4.（2019四川省雅安市）若a ︰b=3︰4，且a+b=14，则2a －b 的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．20 D ．14 【答案】A
【解析】由a ︰b=3︰4，设a=3x ，b =4x ，∴3x+4x=14，∴x=2，∴a=6，b=8，则2a-b=12-8=4，故选A ． 5.（2019山东东营）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比
赛中得到16分．若设该队胜的场数为x ，负的场数为y ，则可列方程组为（ ） A ．=102=16x y x y ，ì+ïïíï+ïî B ．=102=16x y x y ，－ì+ïïíïïî C ．=102=16x y x y ，－ì+ïïíïïî D ．=102=16
x y x y ，ì+ïïíï+ïî 【答案】A
【解析】设该队胜的场数为x ，负的场数为y ，由“10场比赛”可得方程x+y=10，由“胜1场得2分，负1
场得1分”与“得到16分”列方程2x+y=16，故方程组为=102=16x y x y ，
ì+ïïí
ï+ïî
．故选A ． 6.（2019湖北仙桃）把一根9m 长的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．9种
【答案】B
【解析】解：设2m 的钢管b 根，根据题意得：a +2b ＝9， ∵a 、b 均为整数，
∴{a =1b =4，{a =3b =3，{a =5b =2，{a =7
b =1
． 7. （2019黑龙江省龙东地区）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ） A ．4种 B ．3种 C ．2种 D ．1种
【答案】B
【解析】根据题意可列二元一次方程，再根据问题的实际意义，取正整数解即可. 设分配一等奖x 个，二等奖y 个，依题意得6x+4y=34， 其正整数解有17x y =⎧⎨=⎩，34x y =⎧⎨=⎩，5
1x y =⎧⎨=⎩
，故选B.
8.（2019吉林长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为 A.⎩⎨
⎧=+=+y x y x 166119 B.⎩⎨⎧=-=-y x y x 166119 C.⎩⎨⎧=-=+y x y x 166119 D.⎩⎨⎧=+=y
x y x 16611-9
【答案】D.
【解析】设人数为x ，买鸡的钱数为y ，
可列方程组为：
9-11616x y x y
=⎧⎨
+=⎩
二、填空题
9.（2019贵州黔西南州）已知{x =a y =b 是方程组{2x +y =6
x +2y =−3的解，则a +b 的值为 ．
【答案】1
【解析】解：把{x =a y =b 代入方程组{2x +y =6
x +2y =−3得：{2a +b =6①a +2b =−3②，
①+②得：3a +3b ＝3，a +b ＝1
10.（2019江苏常州）若1
2x y =⎧⎨=⎩
是关于x 、y 的二元一次方程ax ＋y ＝3的解，则a ＝______．
【答案】1
【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义， 将1
2
x y =⎧⎨
=⎩代入方程ax ＋y ＝3，得a ＋2＝3，a ＝1，
因此本题答案为1．
11.（2019·湖南张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 【答案】12．
【解析】二元方程组的应用；整体思想；完全平方公式。

设矩形的长为x 步，宽为y 步，根据题意，得864
60
xy x y =⎧⎨
+=⎩，
从而(x ＋y )2
－4xy ＝602
－4×864＝3600－3456＝144， 即(x －y )2
＝144，于是，x －y ＝12．
12.（2019湖北咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为 ． 【答案】{
x +4.5=y x −1=1
2y
．
【解析】设木条长x尺，绳子长y尺，
依题意，得：{x+4.5=y x−1=1
2
y．
13.（2018云南）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．
【答案】．
【解析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=435元，②篮球的单价﹣足球的单价=3元，根据等量关系列出方程组即可．
设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
．
三、应用题
14.（2019年山西省）解方程组：
【答案】见解析。

【解析】①+②得，4x＝﹣8，∴x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得，﹣6﹣2y＝﹣8，
∴y＝1，
∴．
15.（2019年广东省广州市）解方程组：．
【答案】见解析。

【解析】运用加减消元解答即可．
，
②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程组的解为．
16.（2018海南）解方程组：
【答案】见解析。

【解析】根据二元一次方程组代入消元解方程即可.
,
由①得：x=-2y ③
将③代入②得：3（-2y）+4y=6，
解得：y=-3,
将y=-3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为：
17.（2019年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】见解析。

【解析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n＝．
又∵m，n均为正整数，
∴．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
18.（2018四川乐山）某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】见解析。

【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．
（1）根据题意得：，
解得：；
（2）①由题意得：y=（x﹣20）[100﹣5（x﹣30）]
∴y=﹣5x2+350x﹣5000，
②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125，
∴当x=35时，y最大=1125，
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
19.（2019年江苏省淮安市）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节）所用汽车数量（辆）运输物资总量（吨）第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【答案】每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；
【解析】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．
设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，
根据题意，得，
∴，
∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨。

20.（2019年山东省淄博市）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
A B
成本（单位：万元/件） 2 4
售价（单位：万元/件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【答案】A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．
【解析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；
由题意得：，
解得：；
所以A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．
21.（2019湖北荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车乙型客车
载客量（人/辆）35 30
租金（元/辆）400 320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】见解析。

【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，根据“若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论。

依题意，得：{14x +10=y 15x −6=y
， 解得：{x =16y =234
． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）利用租车总辆数＝师生人数÷35结合每辆客车上至少要有2名老师，即可得出租车总辆数为8辆。

∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），
∴租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
（3）设租35座客车m 辆，则需租30座的客车（8﹣m ）辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为w 元，根据租车总费用＝400×租用35座客车的数量+320×租用30座客车的数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
依题意，得：{35m +30(8−m)≥234+16400m +320(8−m)≤3000
， 解得：2≤m ≤512． ∵m 为正整数，
∴m ＝2，3，4，5，
∴共有4种租车方案．
设租车总费用为w 元，则w ＝400m +320（8﹣m ）＝80m +2560，
∵80＞0，
∴w 的值随m 值的增大而增大，
∴当m ＝2时，w 取得最小值，最小值为2720．
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．。