(新课标)2014届高三数学下学期第一次月考 理

2013-2014学年度下学期高三二轮复习数学〔理〕综合验收试题〔1〕【新课
标】
考试说明：本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷(非选择题)两局部，总分为150分，考试时间120分钟 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、某某号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.做答第1卷时，选出每一小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.做答第2卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.
第1卷〔选择题 共60分〕
一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设复数z 满足i z i 31)3(+-=-〔其中i 是虚数单位〕，如此z 的实部为〔 〕 〔A 〕6 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕6-
2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，如此一班和二班分别被抽取的人数是〔 〕 〔A 〕8，8 〔B 〕9，7 〔C 〕10，6 〔D 〕12，4
3．一个简单几何体的正视图、侧视图如下列图，如此其俯视图可能为： ①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆． 其中正确的答案是〔 〕 〔A 〕①② 〔B 〕②③ 〔C 〕③④ 〔D 〕①④ 4．函数x
x x f 1
ln )(-
=的零点所在区间是〔 〕 〔A 〕1(0,)2〔B 〕1(,1)2
〔C 〕(1,2)〔D 〕(2,3)
侧视图
正视图
2
3
2
2
5．执行如下列图的程序框图，假设输入n 的值为8，如此输出S 的值为〔 〕 〔A 〕4 〔B 〕8 〔C 〕10 〔D 〕12
6．“n ＝10〞是 “
n
〞的展开式中有常数项的〔 〕 〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件
7．双曲线22221x y a b
-=的渐近线与圆22
(2)1x y +-=相切，如此双曲线的离心率为〔 〕
〔A 〔B 〔C 〕2 〔D 〕3
8．函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，如此如下结论正确的答案是〔 〕 〔A 〕两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-
成中心对称 〔B 〕两个函数的图象均关于直线4
x π
=-
成轴对称 〔C 〕两个函数在区间(,)44
ππ
-
上都是单调递增函数 〔D 〕两个函数的最小正周期一样
9．设c b ,表示两条直线，βα,表示两个平面，如此如下命题是真命题的是〔 〕 〔A 〕假设αα//,c b ⊂，如此c b // 〔B 〕假设βαα⊥,//c ，如此β⊥c 〔C 〕假设c b b //,α⊂，如此α//c 〔D 〕假设α//c ，β⊥c ，如此βα⊥
10．等比数列{}n a 的前10项的积为32，如此以下说法中正确的个数是〔 〕
①数列{}n a 的各项均为正数； ②数列{}n a
③数列{}n a 的公比必是正数； ④数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1． 〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个
11．函数2
)(x e x f x
-=，b ax x g +=)((0>a )，假设对]2,0[1∈∀x ，]2,0[2∈∃x ，使得
)()(21x g x f =，如此实数a ,b 的取值范围是〔 〕
〔A 〕2502-≤<e a ,1≥b 〔B 〕25
02-≤<e a ,1≤b
〔C 〕252-≥e a ,1≥b 〔D 〕2
5
2-≥e a ,1≤b
12．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，两条曲线在第一象限的交点记为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．假设110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为
12,e e ，如此12e e ⋅的取值范围是〔 〕
〔A 〕)51,0( 〔B 〕)31,51( 〔C 〕1(,)3+∞ 〔D 〕1(,)5
+∞
第2卷〔非选择题 共90分〕
本卷包括必考题和选考题两局部，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分． 13．设n 为正整数，n n f 131211)(++++
= ，经计算得2
5)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ，2
7
)32(,3)16(>
>f f ，观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是____________ 14．设c b a ,,是单位向量，且c b a +=，如此向量b a ,的夹角等于____________
15．抛物线)0(2:2
>=p px y C 的准线为l ，过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与
C 的一个交点为B ，假设MB AM =，如此p 等于____________
16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球外表积为____________ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
〔17〕〔本小题总分为12分〕
函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的一段图象如下列图．
〔1〕求函数)(x f 的解析式；
〔2〕求函数)(x f 的单调减区间，并求出)(x f 的最大值与取到最大值时x 的集合； 〔18〕〔本小题总分为12分〕
在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，得分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分〞，某考生每道题都给出一个答案，该考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求该考生 〔1〕选择题得60分的概率；
〔2〕选择题所得分数ξ的分布列和数学期望．
〔19〕〔本小题总分为12分〕
如下列图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为等边三角形，平面
⊥PAD 平面ABCD ，且2,60=︒=∠AB DAB ，E 为AD 的中点．
〔1〕求证：PB AD ⊥；
〔2〕在棱AB 上是否存在点F ，使EF 与平面PDC 成角正弦值为，假设存在，确定线段AF 的长度，不存在，请说明理由．
〔20〕〔本小题总分为12分〕
椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦
长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B 〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕设P 为椭圆上一点，且满足〔O 为坐标原点〕，当3||<AB 时，求实数t 的取值范围．
〔21〕〔本小题总分为12分〕
函数x
e x g x x
f ==)(,ln )( 〔1〕假设函数1
1
)()(-+-
=x x x f x ϕ，求函数)(x ϕ的单调区间；
〔2〕设直线l 为函数)(x f 的图像上的一点))(,(00x f x A 处的切线，证明：在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切．
请考生在题〔22〕〔23〕〔24〕中任选一题作答，如果多做，如此按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 〔22〕〔本小题总分为10分〕选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CA BD ,的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：〔1〕2
CE CE AC DE BE =⋅+⋅； 〔2〕B C F E ,,,四点共圆．
〔23〕〔本小题总分为10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y t x 322〔t 为参数〕，直线l 与曲线
1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点
〔1〕求||AB 的长；
〔2〕在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)4
3,22(π
，求点P 到线段AB 中点M 的距离．
〔24〕〔本小题总分为10分〕选修4—5：不等式选讲
函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-= 〔1〕当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；
〔2〕当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1A 2B 3D4C 5 B6A7C8C 9D10A 11D12C 二、填空题13、22)2(+≥n f n
14、3
π
15、2 16、313π 三、解答题
17．〔本小题总分为12分〕 解〔1〕由图知ππ
π4
15
4
44
3,3=
-
==T A ， ∴π5=T ，∴52=
ω，∴)5
2
sin(3)(ϕ+=x x f …… 2分 ∵)(x f 的图象过点)3,4(-π，∴)5
8sin(
33ϕπ
+=-， ∴
Z k k ∈-=+,2258ππϕπ，∴Z k k ∈-=,10
212ππϕ， ∵2
||πϕ<
，∴10
πϕ-
=，∴)10
5
2
sin(3)(π
-
=x x f …… 6分
〔2〕由Z k k x k ∈+≤-≤
+
,2
3210522
2ππππ
π 解得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈++
],45,2
35[πππ
π，…… 9分 函数)(x f 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为},2
35|{Z k k x x ∈+=π
π.…… 12分 18〔本小题总分为12分〕
解：〔1〕设得分为60分为事件A …… 1分
得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为
1
2
，有1道题答对的概率为
13，还有1道答对的概率为1
4
，…… 4分 所以得分为60分的概率为24
1
413121)(=⋅⋅=
A P …… 5分
〔2〕依题意，该考生得分ξ的取值范围为｛45，50，55，60｝ …… 6分 得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，
所以概率为24
6
433221)45(=
⋅⋅=
=ξP …… 7分 得分为50分的概率为2411
413221433121433221)50(=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξP …… 8分
得分为55分的概率为246
413121413221433121)55(=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξP …… 9分
得分为60分的概率为24
1
413121)60(=⋅⋅==ξP …… 10分
所以得分ξ的分布列为
ξ 45 50 55 60
P
246 1124 624 124
数学期望11161605
45505560424242412
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=
…… 12分 19．〔本小题总分为12分〕
解〔1〕证明：连接PE ，EB ，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，E 为AD 的中点，所以⊥PE 平面ABCD ，AD PE ⊥…… 2分
因为四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ，E 为AD 的中点，所以AD BE ⊥…… 4分
E BE PE = ，所以⊥AD 面PBE ，所以PB AD ⊥…… 6分
〔2〕以E 为原点，EP EB EA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系…… 7分
)3,0,0(),0,0,1(),0,3,2(),0,3,0(),0,0,1(P D C B A --
因为点F 在棱AB 上，设)0),1(3,(x x F -，面PDC 法向量),,(c b a u =
03=+=⋅c a DP u ，03=+-=⋅b a DC u
所以)1,1,3(-=u ，…… 9分
515)1(353
|,cos |2
2=
-+=
><x x EF u ，解得2
1
=x ，…… 11分 所以存在点F ，1=AF …… 12分 20〔本小题总分为12分〕
解〔1〕 由32c e a ==，所以2234c a
=，所以2222
4,3a b c b ==
所以22
2214x y b b
+= …… 1分
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为2
21b a
= 所以1b = …… 3分
所以2
214
x y += …… 4分 〔2〕设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y 设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得
整理得2
2
2
2
(14)243640k x k x k +-+-=
24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>
得2
1
5
k <22121222
24364,1414k k x x x x k k -+=⋅=++ …… 6分 1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++=121()x x x t =+=2
2
24(14)
k t k + []12122
116()()6(14)
k
y y y k x x k t t t k -=+=+-=+
由点P 在椭圆上得22222
(24)(14)
k t k ++22
221444(14)k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分
又由12AB x =-<, 所以2212(1)()3k x x +-<
22
1212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦
2
(1)k +242222
244(364)(14)14k k k k ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦
3< 22(81)(1613)0k k -+>
所以2
2
1
810,8
k k ->>
…… 10分
所以
211
85
k << 由22236(14)k t k =+得 22
22
369
91414k t k k ==-++
所以2
34t <<
，所以2t -<<
2t << …… 12分
21〔本小题总分为12分〕
解：〔1〕2
22)
1(1
)1(21)(-+=-+='x x x x x x ϕ…… 2分 1,0≠>x x ，0)(>'∴x ϕ，增区间为〔0,1〕和〔1，+∞〕…… 4分
〔2〕,1)(,1)(00x x f x x f ='∴=
' 切线方程为)(1ln 00
0x x x x y -=-①……6分 设)(x g y l =与切于点),,(11x
e x 010
ln ,1
,)(1
x x x e
e x g x x
-=∴=
∴=' ， l ∴方程0
0001ln 1x x x x x y ++=
，②…… 8分 由①②可得1
1
ln ,1ln 1ln 0000000-+=∴+=
-x x x x x x x ， 由〔1〕知，1
1
ln )(-+-
=x x x x ϕ在区间),1(+∞上单调递增， 又01
211ln )(<--=-+-=e e e e e ϕ，01311ln )(222
22
2>--=-+-=e e e e e e ϕ， 由零点存在性定理，知方程0)(=x ϕ必在区间),(2
e e 上有唯一的根，这个根就是0x ，故在区间
),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切…… 12分
22〔本小题总分为10分〕
证明：〔1〕,~CDE ABE ∆∆ DE AE CE BE ::=∴，
∴2CE CE AC DE BE =⋅+⋅…… 5分
〔2〕 AB 是⊙O 的直径，所以，BE CD 21=
∴， BF EF ⊥，BE FD 2
1
=∴，∴B C F E ,,,四点与点D 等距，∴B C F E ,,,四点共圆…… 10分 23〔本小题总分为10分〕
解〔1〕直线l 的参数方程化为标准型〔t 为参数〕…… 2分 代入曲线C 方程得01042
=-+t t
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，如此421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||21=-=t t AB …… 5分
〔2〕由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分 所以点P 在直线l ， …… 7分 中点M 对应参数为
22
2
1-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……10分 24〔本小题总分为10分〕
解〔1〕当5=a 时，求函数)(x f 的定义域，即解05|5||1|>--+-x x 不等式 …… 2分 所以定义域为21|{<
x x 或}2
11
>x …… 5分 〔2〕设函数)(x f 的定义域为A ，因为函数)(x f 的值域为R ，所以A ⊆+∞),0(…… 7分 由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1|…… 9分 所以04≤-a 所以4≥a …… 10分。