2016版高考数学大一轮复习 第五章 第5节 数列的综合应用课件概要

二、解答数列应用题的步骤 1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际 问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． 3．求解——求出该问题的数学解． 4．还原——将所求结果还原到原实际问题中．
1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，且 4a1,2a2， a3 成等差数列，则 S4＝( A．7
规律方法 2
数列与函数的综合问题主要有以下两类：
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函 数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要 充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另 外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的 思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列， 因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．
由已知得：a2＝3Байду номын сангаас，a3＝3q2， b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，
3q＝3＋3d， 2 3q ＝3＋12d q＝1＋d， ⇒ 2 q ＝1＋4d
⇒q＝3 或 q＝1(舍去)，
所以此时 d＝2，所以 an＝3n，bn＝2n＋1.
(2)由题意得：cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， Sn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－1)n 1(2n－1)＋(－1)n· (2n
【答案】 C
)
B．③④
C．①③
D．②④
6．(2013· 江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵， 若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则 需要的最少天数 n(n∈N*)等于
【答案】 6
．
考向一 [096]
等差数列与等比数列的综合应用
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 常数 λ＞0， a1≠0， 且 λa1an＝S1＋Sn 对一切正整数 n 都成立． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 λ＝100，当 n 大？
故数列lg
1 an的前 6 项的和最大．
规律方法 1
1.(1)本题的切入点是求 a1，从而得 an 与 Sn
的关系，转化成等比数列求通项公式；(2)递减的等差数列的 前 n 项和有最大值，运用函数思想求解． 2．等差数列与等比数列的联系： (1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公 比为 ad，其中 a 是常数，d 是{an}的公差．(a＞0 且 a≠1)． (2)若数列{an}是等比数列，且 an＞0，则数列{logaan}是 等差数列，公差为 logaq，其中 a 是常数且 a＞0，a≠1，q 是 {an}的公比．
为何值时，数列lg
1 的前 n 项和最 an
【尝试解答】
(1)当 n＝1 时，λa2 1＝2S1＝2a1，
2 ∵a1≠0，∴a1＝ λ ， 2 从而 2an＝ λ ＋Sn，① 2 当 n≥2 时，2an－1＝λ ＋Sn－1，② 由①－②，得 2an－2an－1＝an， ∴an＝2an－1(n≥2)， 2 故数列{an}是公比为 2，首项 a1＝ λ 的等比数列， 2 n －1 2 n 因此 an＝ λ · 2 ＝λ.
a11－33 13 1 1 － － 得 ＝ 3 ，解得 a1＝3.所以 an＝3×3n 1＝3n 2. 1－3
(2)由(1)可知 an＝3n－2，所以 a3＝3. 因为函数 f(x)的最大值为 3，所以 A＝3； π 因为当 x＝6时 f(x)取得最大值， 所以
π sin2×6＋φ＝1.
对点训练
(2015· 潍坊模拟)在等比数列{an}中，已知 a1
＝3，公比 q≠1，等差数列{bn}满足 b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记 cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
【解】
(1)设等差数列{bn}的公差为 d.
考向二 [097]
数列与函数的综合应用
x 设函数 f(x)＝2＋sin x 的所有正的极小值点从小 到大排成的数列为{xn}． (1)求数列{xn}的通项公式； (2)设{xn}的前 n 项和为 Sn，求 sin Sn.
【尝试解答】
1 (1)令 f′(x)＝2＋cos x＝0，
1 所以 cos x＝－2， 2 解得 x＝2kπ±3π(k∈Z)． 由 xn 是 f(x)的第 n 个正极小值点知， 2 xn＝2nπ－3π(n∈N*)．
1 (2)当 λ＝100 时，令 bn＝lg a ， n 100 由(1)知，bn＝lg 2n ＝2－nlg 2， 于是数列{bn}是公差为－lg 2 的递减数列． 100 100 b1>b2>…>b6＝lg 26 ＝lg 64 >lg 1＝0， 100 100 当 n≥7 时，bn≤b7＝lg 27 ＝lg 128<lg 1＝0.
1 1 1 1 1 于是a ＋a ＋…＋a ≤1＋3＋…＋ n－1 3 n 1 2 1 3 3 1 1 1 3 ＝2 1－3n <2.所以a ＋a ＋…＋a <2. n 1 2
规范解答之十 ——————————
数列的实际应用问题 [1 个示范例] ——————
(12 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品 的生产．该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生 产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后奖金年增长率与第 一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底 企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元．
【答案】 － 3
．
4．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列
1 (n∈N*)的前 fn
n 项和是
．
【答案】
n n＋1
5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，如果对于 任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x)为 “保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的 如下函数： ①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝ |x|； ④f(x)＝ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( A．①②
1 － － ∴an＝16×2n 1＝25 n.
(2)∵bn＝log2an＝5－n， ∴bn＋1－bn＝－1， b1＝log2a1＝log216＝log224＝4， ∴{bn}是以 b1＝4 为首项，－1 为公差的等差数列， n9－n ∴Sn＝ 2 .
n9－n Sn 9－n (3)由(2)知 Sn＝ 2 ，∴ n ＝ 2 . Sn Sn Sn 当 n≤8 时，n ＞0；当 n＝9 时，n ＝0；当 n＞9 时，n ＜ 0. S1 S2 S3 Sn ∴当 n＝8 或 9 时， 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ n ＝18 最大． S1 S2 Sn 故存在 k∈N ， 使得 1 ＋ 2 ＋…＋ n ＜k 对任意 n∈N*恒成
4 Sn＝－sin2mπ－3π＝－
3 2；
当 n＝3m－1(m∈N*)时， sin
2 Sn＝－sin2mπ－3π＝
3 2；
当 n＝3m(m∈N*)时，sin Sn＝－sin 2mπ＝0. 3 * － 2 ，n＝3m－2m∈N ， 综上所述，sin Sn＝ 3 * ， n ＝ 3 m － 1 m ∈ N ， 2 * 0 ， n ＝ 3 m m ∈ N .
1 3 又 a1＋2＝2，
1 3 所以 an＋2 是首项为2，公比为
3 的等比数列．
3n－1 1 3n an＋2＝ 2 ，因此{an}的通项公式为 an＝ 2 .
1 2 (2)由(1)知a ＝ n . 3 － 1 n 因为当 n≥1 时，3 －1≥2×3
n n－1
1 1 ，所以 n ≤ － . 3 －1 2×3n 1
π 又 0＜φ＜π，故 φ＝6. 所以函数 f(x)的解析式为
π f(x)＝3sin2x＋6.
考向三 [098]
数列与不等式的综合应用
在等比数列{an}中， an＞0(n∈N*)， 公比 q∈(0,1)， 且 a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn； S1 S2 Sn (3)是否存在 k∈N ，使得 1 ＋ 2 ＋…＋ n ＜k 对任意 n∈
2 (2) 由 (1) 可知， Sn ＝ 2π(1 ＋ 2 ＋ … ＋ n) － 3 nπ ＝ n(n ＋ 1)π － 2nπ 3 ， 所以 sin
2nπ Sn＝sinnn＋1π－ 3 .
因为 n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积， n(n＋1)一定为 2nπ 偶数，所以 sin Sn＝－sin 3 . 当 n＝3m－2(m∈N*)时， sin
*
立，k 的最小值为 19.
规律方法 3 求和的最大值．
Sn 1.第(3)问求解，利用 n 的单调性，转化为
2．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相 联系，最后利用函数的单调性求解． 3． 以数列为背景的不等式证明问题， 多与数列求和有关， 有时利用放缩法证明．
对点训练
【答案】 C
) C．15 D．16
B．8
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个 病毒的同时将自身分裂为 2 个， 现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( A．6 秒钟 C．8 秒钟
【答案】 B
)
B．7 秒钟 D．9 秒钟
3． 已知数列{an}为等差数列， 且 a1＋a7＋a13＝4π， 则 tan(a2 ＋a12)的值为
*
N*恒成立，若存在，求出 k 的最小值，若不存在，请说明理 由．
【尝试解答】
(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
2 2 ∴a2 3＋2a3a5＋a5＝25，∴(a3＋a5) ＝25，
又 an＞0，∴a3＋a5＝5，又 a3 与 a5 的等比中项为 2， ∴a3a5＝4，而 q∈(0,1)， 1 ∴a3＞a5，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝2，a1＝16，
(2014· 课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1＝
1，an＋1＝3an＋1.
1 (1)证明an＋2是等比数列，并求{an}的通项公式；
1 1 1 3 (2)证明a ＋a ＋…＋a <2. n 1 2
1 1 证明：(1)由 an＋1＝3an＋1 得 an＋1＋2＝3an＋2.
第五节
数列的综合应用
[ 考情展望]
1.结合函数、不等式、方程、几何等知识，
综合考查数列的相关性质，如最值、不等关系的证明等 .2.在 具体情景中， 借助等差或等比数列的有关知识解决实际问题．
一、数列应用题常见模型 1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时， 该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定 的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关 系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推 关系，还是前 n 项和 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
－
＋1)＋3＋32＋…＋3n， 3n 1 3 3n 1 3 当 n 为偶数时，Sn＝n＋ 2 －2＝ 2 ＋n－2，
＋ ＋
3n 1 3 3n 1 当 n 为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋ 2 －2＝ 2 －n
＋ ＋
n＋1 3 3 ＋n－2，n为偶数， 2 7 －2，所以 Sn＝ n＋1 7 3 －n－2，n为奇数. 2
对点训练 13 ＝3.
已知等比数列{an}的公比 q＝3，前 3 项和 S3
(1)求数列{an}的通项公式； π (2)若函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在 x＝6处取 得最大值，且最大值为 a3，求函数 f(x)的解析式． 13 【解】 (1)由 q＝3，S3＝ 3 ，