【世纪金榜】(教师用书)2014高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在同步课时训练 北师

【世纪金榜】（教师用书）2014高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存
在同步课时训练北师大版必修1
(30分钟50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( )
(A)(0,0),(4,0)(B)0,4
(C)(-4,0),(0,0),(4,0)(D)-4,0,4
2.（2012·高考）函数f（x）＝
1
2
x-(
1
2
)x的零点个数为( )
（A）0（B）1（C）2（D）3
2.(2012·黄冈高一检测)函数f(x)=x3-(1
2
)x的零点个数是( )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个
3.若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则增加下列哪个条件可确定f(x)有唯一零点( )
(A)f(3)<0
(B)f(－1)>0
(C)函数在定义域内为增函数
(D)函数在定义域内为减函数
4.函数f(x)=
2
x2x3,x0
2lnx,x0
⎧+-≤
⎨
-+
⎩＞
的零点个数为( )
(A)2(B)3(C)4(D)5
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.(2012·某某高一检测)若函数y=mx2-6x+2的图像与x轴只有一个公共点，则m=___________.
6.(2012·株洲高一检测）如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则该函数的零点是___________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.二次函数y=f(x)的图像如图所示．
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3）试比较f(-4)·f(-1)，f(0)·f(2)与0的大小关系．
8.（易错题）已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，某某数a的取值X围.
(1)函数有2个零点;
(2)函数有3个零点;
(3)函数有4个零点.
【挑战能力】
(10分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.
（1）求k的值;
(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根，某某数a的取值X围.
答案解析 1.【解析】选D.由f(x)=x(x 2-16)=0，得x=0,±4.
∴函数f(x)=x(x 2-16)的零点为-4,0,4.
2.【解析】选B.函数f （x ）＝12x -(12)x 的零点个数，是方程12x -(12)x =0的解的个数，是方程12x =(12
)x 的解的个数，也就是函数y=1
2x 与y=(
12
)x 的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.
2.【解析】选B.作出y=x 3与y=(12
)x 的图像，两个函数的图像只有一个交点，所以函数只有一个零点. 3.【解析】选D.根据f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，可画出函数f(x)图像的草图，由图可知f(x)在区间(1,2)上必有一零点，而题中要求f(x)只有唯一零点，因此函数在定义域内可以单调递减．
4.【解题指南】作出分段函数的图像，利用数形结合解题.
【解析】选A.f(x)=()22x 14,x 0x ln ,x 0e
⎧+-≤⎪⎨⎪⎩，＞，绘制出图像大致如图所示，
所以零点个数为2.
【一题多解】令f(x)=0，则
（1）当x ≤0时，x 2
+2x-3=0，
∴x=-3或x=1（舍去）；
（2）当x ＞0时，-2+lnx=0，
∴x=e2.
综上所述：函数f(x)有两个零点.
5.【解析】(1)当m=0时,y=-6x+2，显然图像与x轴只有一个公共点.
(2)当m≠0时，由题意可知，Δ=36-8m=0,
∴m=9
2
.
综上可知m=0或9
2
.
答案：0或9 2
6.【解析】由函数图像可知，该函数的零点为2.
答案：2
7.【解析】（1）由图像可知此函数的零点是：-3，1．
（2）由（1）可设f(x)=a(x+3)(x-1)
∵f(-1)=4,∴a=-1,
∴f(x)=-(x+3)(x-1)．
即这个二次函数的解析式为f(x)=-x2-2x+3．
（3）∵f(-4)=-5，f(-1)=4，
f(0)=3，f(2)=-5，
∴f(-4)·f(-1)=-20＜0，f(0)·f(2)=-15＜0．
8.【解题指南】因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0的根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数g(x)=|x2-2x-3|与函数h(x)=a 的交点个数问题.
【解析】设g(x)=|x2-2x-3|和h(x)=a，分别作出这两个函数的图像(如图所示)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.
(1)若函数有2个零点，则a=0或a>4.
(2)若函数有3个零点，则a=4.
(3)若函数有4个零点,则0<a<4.
【挑战能力】【解析】(1)由题意知f(-x)=f(x)，即log4
x
x
41
41
-+
+
=2kx,
从而4(2k+1)x=1在x∈R上恒成立，即k=-1
2
.
(2)由题意知，原方程可化为
x
x
41
a2a
+
-
=
x
2
4=2x且
a·2x-a＞0
即:令2x=t＞0有
()2
1a t at10 at a0
⎧-++=
⎪
⎨
-
⎪⎩
①
＞②
函数y=(1-a)t2+at+1的图像过定点(0,1),
(1,2)如图所示:
若方程①仅有一正根，只有如图的三种情况，
可见:a＞1，即二次函数y=(1-a)t2+at+1的开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式②，当二次函数y=(1-a)t2+at+1的开口向上，
只能是与x轴相切的时候,
此时a＜1且Δ=0，即2也满足不等式②
综上：a＞1或2.。