高中数学2章末

2章章末归纳总结
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数为(其中a ≠0，b ≠0)( ) ①|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同 ②|a |＋|b |＝|a －b |⇔a 与b 方向相反 ③|a ＋b |＝|a －b |⇔a 与b 有相等的模 ④|a |－|b |＝|a －b |⇔a 与b 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C
[解析] 对于③当a 与b 互相垂直时，构成矩形时才有|a ＋b |＝|a －b |因此③错，对于④当a 与b 方向相同且|b |≤|a |时才有|a |－|b |＝|a －b |因此④错，①②正确，故选C.
2．(2010·广东文，5)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 [答案] C
[解析] (8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30. ∴x ＝4.故选C.
3．已知两个力F 1、F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )
A ．53N
B ．5N
C ．10N
D ．52N [答案] B
[解析] |F 1|＝|F |·cos60°＝5.
4．直角坐标系xOy 中，i 、j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量．若直角三角形ABC 中，AB →＝2i ＋j ，AC →
＝3i ＋k j ，则k 的可能值个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] B
[解析] 不妨取A (0,0)，则B (2,1)，C (3，k )，BC →
＝(1，k －1)． 当AB ⊥BC 时，AB →·BC →
＝2＋k －1＝0，∴k ＝－1. 当AB ⊥AC 时，AB →·AC →＝6＋k ＝0，∴k ＝－6. 当AC ⊥BC 时，AC →·BC →＝3＋k 2－k ＝0，无解． 所以满足要求的k 的可能值有2个．
5．已知|a |＝3|b |≠0，且关于x 的方程2x 2＋2|a |x ＋3a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤0，π6
B.⎣⎡⎦⎤π3，π
C.⎣⎡⎦⎤π3，2π3
D.⎣⎡⎦⎤π6，π [答案] B
[解析] ∵关于x 的方程2x 2＋2|a |x ＋3a ·b ＝0有实根，∴Δ＝4|a |2－24a ·b ≥0， 即|a |2≥6a ·b .
∴|a |2≥6|a |·|b |cos 〈a ，b 〉， 又∵|a |＝3|b |≠0. ∴cos 〈a ，b 〉≤12
，
∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴π
3
≤〈a ，b 〉≤π.
6．(2010·胶州三中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 [答案] C
[解析] λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.
7．(2010·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )
A ．菱形
B ．梯形
C ．矩形
D ．平行四边形 [答案] D
[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →
，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．
解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →
，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．
8．已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →
的最大值为( )
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．a 2 [答案] D
[解析] ∵AP →＝tAB →
，
∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →
＝(a －at ，at ) ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2. 二、填空题
9．已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(5－m ，－3－m )．若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．
[答案] m ∈R 且m ≠1
2
[解析] 若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线．
∵AB →＝(3,1)，AC →
＝(2－m,1－m )， ∴3(1－m )≠2－m ，∴m ≠1
2.
即实数m ≠1
2
，满足条件．
10．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角θ＝________.
[答案] 120°
[解析] a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2) ＝－6|e 1|2＋e 1·e 2＋2|e 2|2＝－72，
|a |＝(2e 1＋e 2)2＝7， |b |＝(－3e 1＋2e 2)2＝7， cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－1
2
，∴θ＝120°.
11．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则b 在a 方向上的投影为________． [答案]
13
[解析] b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝1313＝13.
三、解答题
12．如右图所示，在△AOB 中，若A ，B 两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C 在AB 上，且平分∠BOA ，求点C 的坐标．
[解析] 设点C 坐标为(x ，y )， 由于cos ∠AOC ＝cos ∠BOC ，且
cos ∠AOC ＝OA →·OC →|OA →|·|OC →|，cos ∠BOC ＝OB →·OC
→
|OB →|·|OC →|，
∴OA →·OC →|OA →|＝OB →·OC →
|OB →|，
∴
(2，0)·(x ，y )2＝(－3，4)·(x ，y )
5
，
∴y ＝2x .①
又∵BC →与AC →共线，BC →＝(x ＋3，y －4)，AC →
＝(x －2，y )，∴(x ＋3)·y －(x －2)·(y －4)＝0， ∴4x ＋5y －8＝0.②
由①，②联立解之得⎩⎨⎧
x ＝4
7
，y ＝8
7.
∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫
47，87.
13．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，求证：AF ⊥DE . [证明] 设AB →＝a ，AD →
＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，
由条件知，AE →＝12a ，BF →＝12b ，
∴DE →＝AE →－AD →＝1
2a －b ，
AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →
＝a ＋12b ，
∴DE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫12a －b ·⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝12a 2＋14a ·b －b ·a －1
2b 2＝0. 即DE →⊥AF →
，∴DE ⊥AF .
14．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角θ. [解析] ∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6.
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12
.∴θ＝120°.
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏
难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难
题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。