优化方案(新课标)高考数学一轮复习 第九章 第3讲 知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第九章 第3讲 知
能训练轻松闯关
1．(2015·福建三明质量检测)已知集合M ＝{x |－2≤x ≤8}，N ＝{x |x 2
－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M ∩N ”的概率是( )
A ．110
B ．16
C ．310
D ．12
解析：选A ．因为N ＝{x |x 2
－3x ＋2≤0}＝[1，2]，所以M ∩N ＝[1，2]，所以所求的概率P ＝2－18＋2＝110．
2．(2015·沈阳市教学质量监测)一次试验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N ，其中有m (m ＜N )粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为( )
A ．m N
B ．2m N
C ．3m N
D ．4m N
解析：选D ．根据几何概型可知m N ＝πr 2
（2r ）2，π＝
4m
N
． 3．若k ∈[－3，3]，则k 的值使得过A (1，1)可以作两条直线与圆(x －k )2＋y 2
＝2相切
的概率等于( )
A ．12
B ．13
C ．23
D ．34
解析：选C ．点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切．故使圆心与点A 的距离大于半
径即可，即(1－k )2
＋1＞2，解得k ＜0或k ＞2，所以所求k ∈[－3，0)∪(2，3]，所求概率P ＝46＝23． 4．(2015·山西省第三次四校联考)向边长分别为5，6，13的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )
A ．1－π18
B ．1－π12
C ．1－π9
D ．1－π4
解析：选A ．在△ABC 中，设AB ＝5，BC ＝6，AC ＝13，则cos B ＝52
＋62
－（13）
2
2×5×6
＝
45，则sin B ＝35，S △ABC ＝12×5×6×3
5
＝9，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率P ＝S △ABC －1
2×π×12
S △ABC ＝1－π
18
．
5．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率为( )
A ．14
B ．1
2
C ．π4
D ．π8
解析：选C ．程序中不等式组⎩⎨⎧－2≤x ＋y ≤2－2≤x －y ≤2
表示的平面区域如图所示，面积为4×
1
2×2×2＝4．满足不等式x 2
＋y 2
≤1的点表示的区域如图中阴影部分所示，所占面积为π，
所以能输出数对(x ，y )的概率为π
4
．故选C ．
6．已知函数f (x )＝x 2
－x －2，x ∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．
解析：令x 2
－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝
2－（－1）5－（－5）
＝3
10
＝0．3． 答案：0．3
7．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ­ABCD 的体积小于1
6
的概率为________．
解析：正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设M ­ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝1
6
．
又S 四边形ABCD ＝1，∴h ＝1
2
．
若体积小于16，则h <1
2
，
即点M 在正方体的下半部分，
∴P ＝1
2V 正方体V 正方体＝12
．
答案：12
8．(2015·安徽合肥高三质检)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．
解析：(用几何概型，化概率为角度之比)当点P 在BC 上时，AP 与BC 有公共点，此时
AP 扫过△ABC ，所以所求概率P ＝∠BAC ∠BAD ＝30°90°＝1
3
．
答案：13
9．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．
(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2
＝1内的概率；
(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于2
2
的概率．
解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8．
因x 2＋y 2
＝1的面积S 1＝π，
故所求概率为P 1＝S 1S ＝π
8
．
(2)由题意|x ＋y |2
≤2
2，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴
影部分所示，面积S 2＝4，所求概率为P 2＝S 2S ＝1
2
．
10．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：
组别 候车时间 人数 一 [0，5) 2 二 [5，10) 6 三 [10，15) 4 四 [15，20) 2 五 [20，25] 1
(1)求这15(2)估计这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数；
(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
解：(1)115×(2．5×2＋7．5×6＋12．5×4＋17．5×2＋22．5×1)＝1
15
×157．5＝10．5，
故这15名乘客的平均候车时间为10．5 min ．
(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为2＋615＝8
15
，所以候
车时间少于10 min的人数为60×8
15
＝32．
(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，
其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，故所求概率为8
15．。