单摆教学中的摆钟问题
高一物理单摆运动知识点及典型例题
26 单 摆【考纲要求】1、了解单摆的结构，知道单摆是一种理想化的物理模型，学会用恰当的方法建立物理模型；2、知道单摆做简谐运动的条件，知道单摆的回复力，学会用近似处理方法来解决相关物理问题；3、理解单摆振动的规律及其周期公式，能利用单摆周期公式对有关物理情景进行分析；4、知道等时性的概念，能利用单摆规律分析时钟走时快慢的问题；5、知道用单摆测重力加速度的实验原理和实验步骤。
【考点梳理】 考点一、单摆定义：在一条不可伸长的轻绳下端栓一个可视为质点的 小球，上端固定，摆球做小角度摆动，这样的装置叫单摆。
要点诠释：（1）单摆是一个理想化的物理模型。
（2）单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角10θ<。
（3）回复力来源：重力沿切线方向分力，如图所示。
在10θ<时，sin xF mg mg kx lθ=-≈-=-回， 其中mgk l=考点二、单摆的周期实验证明单摆的周期与振幅A 无关，与质量m 无关，随摆长的增大而增大，随重力加速度g 的增大而减小。
荷兰物理学家惠更斯总结出单摆周期公式：2T =几种常见的单摆模型：在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s 2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
1、等效摆长如图所示，三根等长的绳1l 、2l 、3l 共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d 。
2l 、3l 与天花板的夹角30α<。
（1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在1O 处，故等效摆长 12dl +，周期12T =（2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为12sin 2dl l α++，周期22T =2、等效重力加速度（1）公式中的g 由单摆所在的空间位置决定。
由2MGg R=知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g '代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2。
机械摆钟和摆的研究
改变的条件：摆锤重量 不变的条件：摆绳长度、摆幅大小、 每次摆动时间：15秒
实验材料：铁架台、塑料球、 金属球、秒表 实验建议：
1、做好人员分工——实验员、计时员、计数员、记录员。 2、摆一旦碰到其它物体，本次实验无效，重新开始实验。 3、塑料球和金属球这两个不同的摆的摆绳长度必须相同。 4、每个摆各做3次，每次摆动的时间为15秒。
发现： 摆锤重量不同的摆在相同的时间内 ★结论
摆动次数是一样的。 ：摆的快慢和摆锤重量无关系。
研究主题（3）：
摆的快慢和摆绳长度有关吗？ 改变的条件：摆绳长度 不变的条件：摆锤重量、摆动幅度 、 每次摆动时间15秒
发现：摆绳越短，摆摆动得越快，
摆绳越长，摆摆动得越慢。 ★结论：摆的快慢和摆绳长短有关系
小组合作，合理分工 分计时员，操作员，记录员，汇报员
我们的发现
1. 同一个摆每分钟摆动的次数是相同的。 2.不同的摆每分钟摆动的次数是不同的。
★ 单摆具有等时性：同一个单摆 每摆动一次所需的时间是相同的。
二、摆的研究
★在相同时间内， 摆的次数越多，说明这个摆摆动的速度越快; 摆的次数越少，说明这个摆摆动的速度越慢。
一、机械摆钟
钟摆每分钟摆动的 次数相同吗? ★结论： 钟摆每分钟摆动 的次数相同。各种摆 钟的摆每分钟都是摆 60次。
观察我们的摆:
制作一个简单的摆: 拿一条细线，上端固 定，下端挂上一个小重物， 就组成了一个简单的摆。
摆幅
摆绳Leabharlann 摆各部分名称摆锤实验方法
让我们的摆自由摆动，用秒表计时， 每隔15秒时间记录一次摆动的次数。 要求：
你知道吗？
摆的快慢与摆幅大小（无关 ）。 摆的快慢与摆锤轻重（ 无关）。 摆的快慢与摆绳长度（有关 ）。 摆线越短，摆摆动得越（ 快 ）。 摆线越长，摆摆动得越（ 慢 ）。
《单摆》典型例题
《单摆》典型例题例1：关于单摆的说法，正确的是（）A．单摆摆球从平衡位置运动到正的最大位移处时的位移为A（A为振幅），从正的最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A．B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零出题目的：此题主要考查单摆摆动中的回复力掌握情况.解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，（摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零）．正确选项为C．例2：如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有（）．A．A球先到达C点B．B球先到达C点C．两球同时到达C点D．无法确定哪一个球先到达C点出题目的：此题考查单摆周期公式的灵活运用情况.解析：做自由落体运动，到C所需时间，R为圆弧轨道的半径．因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧作简谐运动（等同于摆长为R的单摆），则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即，所以A球先到达C点．例3：如图所示为一双线摆，它是在一水平天花板上用两根等长细线悬挂一小球而构成，每根摆线的长均为l，摆线与天花板之间的夹角为，当小球在垂直纸面的平面内做简谐运动时，其振动的周期是多少？出题目的：此题主要考查振动周期公式中摆长的实际确定.解析：双线摆可等效为摆长为的单摆，利用单摆振动的周期公式得双线摆的周期为。
例4：北京地区重力加速度，南京地区重力加速度。
摆钟快慢问题的通式解法
摆钟快慢问题的通式解法作者：胡道成来源：《物理教学探讨》2011年第07期摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，最终是由摆长和系统中的视重加速度的变化引起的。
在摆钟的机械构造不变的前提下，走时准确的摆钟每完成一次全振动，摆钟所显示的时间也就是摆钟的周期T;而走时快的摆钟周期小，在给定的时间内全振动的次数多，钟面上显示的时间就快；走时慢的摆钟周期大，在给定的时间内全振动的次数少，钟面上显示的时间就慢。
但无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期，即t显=N•Ts，这里N为全振动的次数，Ts为走时准确的摆钟的周期。
对于走时不准确的摆钟，当它完成N次全振动时，其经历的实际时间t=N•T非，也就是说，要计算走时不准确的摆钟的全振动次数，不能用钟面上显示的时间除以其不标准的周期，据此，笔者构建出如下通式t显Ts=tT非。
式中t显为钟面显示的时间，t为实际时间，Ts 为走时准确的摆钟的周期，T非为走时不准确摆钟的周期，用此通式解答摆钟快慢类问题十分方便快捷。
例1 甲、乙两只相同的摆钟同时记时，当甲钟指示45min时，乙钟指示1h，则甲、乙两钟的摆长之比l甲∶l乙=______。
解析设两钟经历的时间为t,周期分别为T甲、T乙，则45Ts=tT甲；60Ts=tT乙由以上两式得T甲/T乙=4/3又由T=2πl/g得l甲∶l乙=16∶9例2 摆钟、摆锤的运动可近似看做简谐运动，如果摆长为l1的摆钟在一段时间里快了nmin，另一摆长为l2的摆钟在同一时间里慢了nmin，则准确摆钟的摆长应为多少？解析设实际时间为tmin，周期分别为T1、T2，则t+nTs=tT1；t-nTs=tT2两式相加消去n得1T1+1T2=2Ts据T=2πl/g得1l1+1l2=2l整理此式得l=4l1l2/(l1+l2)2例3 两个做简谐运动的单摆，在同一地点同时开始振动，甲摆做15次全振动时乙摆全振动10次，两摆摆长相差50cm，则甲和乙的摆长分别是多少？解析设实际时间为t，两摆周期分别为T甲、T乙，则15TsTs=tT甲；10TsTs=tT乙由以上两式得15T甲=10T乙又据T=2πl/g得15l甲=10l乙整理得l甲∶l乙=4∶9容易看出l乙＞l甲，于是l乙-l甲=50cm得l甲=40cm，l乙=90cm例4 某栋高层大楼的电梯服务员是一位一丝不苟的人，他为了按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上，电梯向上加速和向下加速的时间相同（按照静止放置的钟），加速度大小也相同，试问该电梯的服务员是按时结束工作，还是超时或提前呢？解析设电梯的加速度为a，则电梯向上加速时摆钟周期为T1=2πl/g+a，电梯向下加速时周期为T2=2πl/g-a，静止放置的摆钟周期Ts=2πl/g，设实际经历的时间为t，摆钟向上加速和向下加速时显示的时间分别为t1和t2，则t1Ts=tT1；t2Ts=tT2由以上两式得t1+t2=(T1+T2)TsT1T2t将T1、T2和Ts代入上式得t1+t2=(g+a+g-a)/g•t=t2+21-a2g2＜2t，说明摆钟显示的时间比实际的时间少，所以服务员是推迟下班。
机械摆钟.反思(优.选)
《机械摆钟》教学反思执教者：彭春苗一、目标的落实情况本课我在科学概念目标设定为：同一个单摆，每摆动一次所需要的时间是相同的，根据单摆的等时性，人们制成了摆钟，使时间的计量误差更小。
我让学生通过观察自己做的摆，测前20秒和后20秒的摆动的次数，在通过实验的数据分析，大部分学生发现：同一个摆，在相同时间内摆动的次数接近20.、18、22等。
从而板书学生出现最多的数据，得出同一个摆，在相同时间内摆动次数是相同的，这是摆的等时性，这样一来，学生基本能建构这个科学概念。
在情感态度价值观方面的目标我主要设定为：理解重复实验的意义。
这也是本课的重点所在，本课通过三个实验：机械摆钟的摆、老师的摆、我们的摆。
第一个实验初步建立重复实验的意义，第二个实验强化重复实验的意义，第三个实验巩固和应用重复实验的意义。
每个实验都通过三次实验，学生明白实验难免会存在误差，1次试验的偶然性太大了，三次实验能够排除一些误差较大的值。
为了突出这个重复实验的意义，我还特地设计了板书，结合板书，发现出现最多的值，更好地表达重复实验的意义。
二、重难点的突出情况本课的教学难点：一是如何处理学生错误的数据。
由于时间的关系，我只处理了一组错误的数据，由于学生取的值是平均值，而我在上课的时候也没有之间分析，采纳了学生的数据，这样的处理时不合理的。
我应该告诉学生，可以多做几次实验，会有发现的。
而在最后没有处理学生的错误数据，如果时间够的话，我会分析学生出现错误数据的原因，让学生明白实验存在误差，实验可以做第四次、第五次……找出出现最多的值。
二是实验的操作难度大。
正因为这样，我特地设计了温馨提示来突破难点，这个温馨提示能够清楚地展现出学生怎样分工、怎样实验，这样学生一看就明白实验该怎么做，怎么记录，再怎么计算，能够顺利地完成这个实验。
三、不足之处：细节1、语言不够科学。
第一个实验：机械摆钟的摆，让学生汇报第一次的数据后，“60次”，“55次”，“59次”……我就说，有这么多不同的数据，是不是有人数错了？第二次汇报后，还是说，会不会有人数错了。
《机械摆钟》教学设计及教学反思
《机械摆钟》教学设计及教学反思教学目标：科学概念：同一个单摆，相同的时间里摆动的次数是相同的。
过程与方法：重复观察和测量摆钟每分钟的摆动次数动手制作一个单摆观察和测量在相同时间内摆摆动的次数情感态度价值观：理解重复实验的意义。
发展对计时工具摆的研究的兴趣课前准备：教师演示材料：秒表、摆钟、铁架台（贴了双面胶）、棉线绑吊桶学生实验材料：铁架台（贴双面胶）、棉线绑吊桶、书（记录单一、二）、秒表一、（复习）导入师：现在几点了？你们知道古人是怎样来测量时间的吗？生1：通过观察影子的长短变化（发明了日晷）师：你知道的真多！生2：用水来测量，我就做过一个水钟。
师：你真了不起，不仅知道，还做了一个，值得我们学习！生3：还有蜡烛钟和沙漏都能用来计时。
师：知识真丰富！小结：的确，你们刚才所说的方法古人都曾用来测量时间（只能知道大概的时间），但聪明的古人没有停止过思考，他们在不断创造，发现的过程中还想到了一种更加精确的方法——机械摆钟（板书）【设计意图：复习导入，一方面了解学生已有知识情况，一方面引出本课所学的内容。
还未发现其他方法!】二、认识机械摆钟师：你们见过机械摆钟吗？生：有/没有，下面有一个物体在摆（出示机械摆钟）师：（介绍）我们一起来看看庐山真面目，上面是一个钟面，下面是一个钟摆。
请你仔细观察钟摆，有什么发现？生1：摆一直不停地在运动生2：摆的下端是圆圆的，上面比较细师：你真会观察！这个圆圆的我们称它为“摆锤”，上面细的部分成为“摆绳”。
师（追问）：这个摆跟时间有什么关系吗？（如果学生没讲到）生3：一秒钟摆一次师：一分钟就可能摆多少次？你们认为他的发现怎么样？你们同意他的说法吗？生：同意/不同意，我认为一秒钟不能摆一次【设计意图： 1.认识机械摆钟由“钟面”和“钟摆”构成。
2.发现“机械摆钟能精确测量时间可能跟摆有关系”。
3.在学生互评中引出实验需求“用秒表测摆钟的摆每分钟摆动的次数”。
】三、用秒表测摆钟的摆每分钟的摆动次数1、师：好，我们来观察一次（由老师喊开始，你们在心里默数。
高中物理摆钟问题通解学法指导
摆钟问题通解浙江 袁海江有关摆钟计算问题是机械振动这一部分的重点和难点，很多同学对此普遍感觉较难，不是束手无策，就是乱套公式，为此笔者特从摆钟工作原理出发对此进行分析得出以下通用方法，以供大家参阅．原理分析：一口制好的摆钟其机械构造与传动特性不因外部物理条件（如重力加速度g 、摆长l ）的变化而变化，即摆钟钟摆摆动的次数与摆钟指针走过的格子数（摆钟指针走时的指示时间）成正比．公式推导：根据上述原理分析，我们不妨设钟摆摆动的次数与摆钟指针走过的格子数（摆钟指针走时的指示时间）的比值为n ，便于计算可设钟摆摆动n 次，指针走时1秒或1分．在某一物理条件（g 1，l 1）下，钟摆摆动的频率为111l g 21f π=。
①若摆钟的运行时间为t 1的话，则摆钟的摆动次数为t 1f 1，那么摆钟指示时间为nft t 111='②在另一物理条件（g 2，l 2）下，钟摆摆动的频率为221l g 21f π=。
③若摆钟的运行时间为t 2的话，则摆钟的摆动次数为t 2f 2，那么摆钟指示时间为nf t t 222='．④ 由②÷④得221121f t ft t t =''。
⑤将①式和③式代入⑤式得12212121l g l g t t tt ⋅=''。
⑥应用⑥式就可解答所有的摆钟快慢问题．例1 某摆钟当摆长调到30.00cm 时，12h 内慢了150.00s 。
（1）当摆长调到29.50cm 时，在一昼夜内摆钟快了还是慢了多少时间？ （2）要使摆钟走时准确，则摆长应调整到多少？ 解析：（1）该钟调整前的摆长l 1=30.00cm ，运行时间t 1=12h ，指示时间s 43050s )150360012(t 1=-⨯='；调整后的摆长l 2=29.50cm ，运行时间t 2=24h ，指示时间为'2t ，调整前后重力加速度未变，即21g g =，由⑥式12212121l g l g t t t t ⋅=''得'⋅⋅='121122t l l t t t 。
单摆运动特性的研究
单摆运动特性的研究摆，是一种常见的物理实验，它通过重力和弹性来进行运动，具有一定的特性。
单摆是指一个简单的摆，由一质量均匀的细绳或细棒，悬挂一质量很小的铅球或细棒，在重力作用下呈现周期性振动的运动。
单摆的特性主要包括以下方面：一、振幅周期规律单摆的振动过程类似于简谐运动，具有振幅和周期的规律。
振幅是摆球摆动的最大偏离角度，单位为弧度（rad）。
振幅越大，周期也会相应地变大。
周期是指摆钟摆动一次所花费的时间，单位为秒（s）。
实验表明，同一长度下，摆球重量越大，周期越长；摆球离支点越远，周期越长；摆球的起始摆幅越大，周期也越长。
二、振动范围单摆的运动范围受到振动幅度的限制，振动幅度越大，运动范围越广。
在小振幅摆动时，单摆的运动可以用简谐运动来描述，而在大振幅时，单摆则不再服从简谐运动规律，因为重力不再是一个恒定的力。
三、微小摆幅的方向性在微小振幅下，单摆在任意方向上均可进行运动，而且振幅和周期都不会受到摆球离支点的影响。
这个特性被称为单摆的方向性。
四、与重力的关系单摆的运动与重力紧密相关。
单摆的周期只与摆长和重力加速度有关，而与质量和振幅没有关系。
因此，重力加速度的理论值为9.8m/s²的测量误差会对单摆周期的预测产生显著影响。
五、受阻力作用的影响单摆在空气中运动时，往往会受到阻力作用的影响，这会使得摆受到的有效力不再与支点到摆球的垂直距离成比例。
实验发现，受到阻力作用后，周期会缩短，而振幅会随着时间的推移逐渐减小。
六、单摆的共振现象在某些特定的条件下，单摆会发生共振现象，即摆球的振幅会迅速增加到极大值。
共振现象发生的条件主要包括振动频率与摆的自然频率相等，以及阻力作用较小等。
综上所述，单摆运动具有周期、振幅、方向性、重力相关、阻力影响和共振现象等特性。
对单摆的这些特性的研究，不仅有助于深入理解单摆的基本运动规律，也可以为物理实验教学提供有力的支持。
同时，单摆研究还有着广泛的应用领域，如计时、密度测量、万有引力测定等。
例谈摆钟的快慢问题
例谈摆钟的快慢问题
作者：李金瑞
来源：《物理教学探讨》2007年第15期
摆钟是单摆在实际生活中的应用，摆钟的快慢问题也是中学物理中的常见问题。
很多师生感觉此类问题难讲难懂，实际上，只要从摆钟是机械传动这一基本原理出发，运用比例法，问题还是很容易解决的。
1 摆钟的计算公式
引起摆钟的误差原因之一是因为气候的变化，金属的热胀冷缩，摆长变化；原因之二是由于地理位置的变化，重力加速度g的变化，从而导致摆钟的周期改变，引起误差。
由摆钟的机械结构知，无论摆钟走时准确与否，钟摆每振动一次，指针所指示的时间均相同（即表盘上指针走的格数相同），造成指针所指示的时间差是由于在相同的时间t内振动的次数不同，设相同时间t内振动次数分别为N
2 应用举例
例1 一物体在某星球表面受到的万有引力是它在地球表面受到万有引力的14，在地球上走时准确的摆钟搬到此星球上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际是多少？
例3 有一摆钟摆长为l1时，在某一标准时间内快a分钟，若摆长为l2时，在同一标准时间内慢b分钟，求为使其准确，摆长应为多长？
解设准确钟的摆长为l，显示时间为t，则由公式（6）得：
（栏目编辑罗琬华）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
”。
有关单摆的案例分析
有关单摆的案例分析孙茂森在中学阶段，单摆是一种常见的理想化物理模型。
单摆问题多为综合性问题，涉及的知识面广，要求的能力较高，特别是涉及单摆的实验是高考的热点问题。
一、单摆概念的考查——深刻理解单摆的概念例1．（原创）一个单摆，周期是T ，下列说法中正确的是 A ．如果摆球质量增到2倍，周期不变B ．如果摆的振幅增到2倍（摆角仍小于5°），周期变为2TC ．实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
D ．单摆振动的回复力就是重力和拉力的合力【解题思路】掌握单摆模型的特点和单摆的等时性【解】在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关，所以A 对， B 错；单摆由一根不可伸长的细线，系一可视为质点的摆球构成。
显然，它是一种抽象化了的理想模型。
实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，可看成质点，可以认为是一个单摆。
所以C正确；单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力，因此D 不正确。
答案：AC二、单摆周期公式的理解 例2．(01年高考)细长轻绳下端栓一小球构成单摆，在悬挂点正下方l /2摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图1所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法正确的是A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B ．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C ．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D ．摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍。
【解题思路】由于钉子的阻挡，摆球往返运动相当于两个单摆的运动，在运动过程中机械能守恒。
【解】由图可知，摆球往返一次运动的周期T ′′=21T +22T =πg l +πgl 2（线长设为l ），而无钉子时单摆周期gl T π2=，所以T ′＜T ′，A 对。
根据小球摆动过程中机械能守恒可知，小球在两侧能上升的最大高度相同，B 对。
2023年《摆》教学设计
2023年《摆》教学设计2023年《摆》教学设计1(一)教学目标1、科学概念：同一个单摆，每摆动一次所需要的时间是相同的，根据单摆的等时性，人们制成了摆钟，使时间的计量误差更小。
2、过程与方法：重复观察和测量摆钟每分钟的摆动次数;动手制作一个单摆;观察和测量在相同时间内摆动的次数。
3、情感态度价值观：理解重复实验的意义;发展对计时工具研究的兴趣。
(二)教学重难点重点：动手制作一个单摆并观察和测量单摆在相同时间内摆动的次数。
难点：相同时间间隔内摆摆动次数实验方法的正确理解和操作;通过观测理解摆的等时性。
(三)教学准备教师：大摆钟，数据汇总表，课件小组：螺帽一个，摆绳一根，铁架台一个，记录单，秒表一、引入1、故事导入：老师来给大家讲个故事，16世纪的时候有一位非常有名的科学家叫伽利略，在他17岁也就是1583年，有一次他在教堂里看到一个有趣的现象，天花板上挂着一盏吊灯，在微风的吹拂下，吊灯左右摇晃，就是这样一个看似平常的现象，伽利略通过认真的观察和实验，有了惊人的发现。
你们想知道他发现了什么吗?今天我们就回到1583年，跟着伽利略一起去研究这个现象。
2、展示一个摆，并介绍摆的结构：摆锤，摆绳，摆角，与当时的现象对应，并引出摆的概念。
3、演示摆的运动，让学生上台示范，并进行点评。
二、观察我们的摆1、制作一个摆：发放相关材料，强调一些注意点。
2、仔细观察摆的摆动，你有什么发现?(预设：摆的幅度越来越小，方向有所偏离，摆动次数减慢等)3、什么叫摆动一次?如何设计实验来证明摆动次数减慢了?(预设：分别测量0—10秒之间、10—20秒、20—30秒、30—40秒摆摆动的次数)。
4、学生实验我们小组的单摆摆动次数的观察记录(第组)预测：同一个摆在自由摆动过程中，相同的时间内摆动的次数会。
(变快、变慢、不变)摆动次数0～10秒次10～20秒次20～30秒次30～40秒次我们小组的发现：5、学生交流汇报：同一个摆在自由摆动过程中，相同的时间内摆动的次数不变—摆的等时性。
求解摆钟问题重在原理清楚
求解摆钟问题重在原理清楚
杜汉霄
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2016(000)012
【摘要】关于单摆模型，需要我们掌握以下四个基本性质。
1.等时性：单摆的小
角度摆动时可视为简谐运动，完成每次全振动所用的时间相等，即为单摆的周期。
单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆球的质量和振幅无关。
2．周期性：单摆的振动是具有周期性的。
振动过程中，振动的位移、速度、动量、动能、回复力都随时间周期性变化。
因此，在分析具体问题时，必须考虑到由于单摆运动的重复性造成的多解性。
【总页数】1页(P74)
【作者】杜汉霄
【作者单位】山东省肥城市第六高级中学高三(20)班
【正文语种】中文
【相关文献】
1.如何求解摆钟走时不准问题
2.基于等效原理求解介质球极化场问题
3.一个结构静力学问题的虚位移原理求解及其扩展
4.应用力系简化原理求解分布力向任意一点
简化问题的研究5.概念原理为本学科观念导向——谈球结合体问题求解的切入点因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
单摆问题加深
单摆问题加深单摆是一个很简单的装置，它的振动规律：在摆角很小（θ<5°）的条件下是简谐振动，因而其振动周期可表示为2T =2T π=中的“l ”和“g ” 在不同的情景中会有所不同，从而使单摆周期不能简单看成由摆长和重力加速度决定.而利用单摆的周期又可以进行相关计时，所以遇到单摆相关的问题时，要注意相应的变化.单摆的周期单摆周期公式中的“l ”和“g ”这两个量的如何确定下来周期也就确定下来了，如何确定“l ”和“g ”， 要弄楚单摆摆动时绕的摆动点或摆动轴；单摆摆动时的轨迹平面．关于摆长“l ”：摆长是指从悬点到球心的距离．其实，摆长应理解为等效摆长。
并不一定是绳长 (事实上很多情况根本无绳)，而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，可表现为以下几种情形：情形一：摆长变化．例１．如图13-1，摆长为l 的单摆，若在悬点O 的正下方A 点固定一颗钉子，A 点距悬点O 的距离为l /3，试求这个单摆完成一个全振动的时间是多少？分析与解：在摆角很小时，单摆的振动可视为简谐运动，当摆线不碰到钉子时，A 点成为“悬点”，单摆的摆长由L 变为2L/3。
由题意知，情形二：变形摆． 例２．如图13-2所示，用两根等长的轻线悬挂一个小球， 设l 和α已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为多少?分析与析： 此题是一个双线 摆，而我们知道单摆的周期．若 图 l 将双线摆摆长等效为单摆，则双线摆的周期就 可以求出．将双线摆摆长等效为单摆的摆长l = Lsina ，则双线摆的周期为22T ==例3.如图13-3，小球由细绳AC 和 BC 共同 悬挂于重力场中，摆线长度角度如图所示。
则 C 在垂直纸面方向上摆动的周期为多少?分析与解：小球绕AB 连线(摆动轴)摆动，又因小球摆动轨迹平面垂直纸面，由此可判定单摆 的等效摆的固定点为如图O点，则等效摆图13-2图13-1122222T T T ππππ=+=+=图13-3C摆长为OC ，由几何关系可得oc L =，因此周期22T ==情形三：变形摆例4．在光滑导轨上有个滚轮A ，质量为2m ，轴上系一根长为L 的轻线，下端悬挂一个质量为m 的摆球B ，如图13-4．今将B 稍微拉离竖直位置释放，摆球做小幅度的振动，不计空气阻力，则其摆动 周期为多少?分析与解：由于水平方向系统 动量守恒，A 、B 组成的系统质 心的水平坐标不变，而B 仅做微小的振动，系统竖直方向的动量 也近似守恒，因而质心竖直方向的位置也几乎不变，B 摆球到质心0的距离L l ，即为B 球做单摆振动的等效摆长，其值为：所以B 球振动的周期为：对公式中g 的理解: 公式中的g 应广义的理解为等效重力加速度'g ，即单摆相对于系统静止在平衡位置时的 “视重”所产生的“加速度”，用公式表达为'Fg m=，这和单摆所处的空间位置及动力学状态有关．情形一：斜单摆例5.如图13-5所示，一小球用长为L 的细线系于与水平面成α角的光滑斜面内，小球呈平衡状态，若使细线偏离平衡位置5oα<，然后将小球从静止释放，则小球到最低点所需时间为多少?分析与解：摆球受力如图13-６所示，摆球受重力 mg ，线的拉力T 和斜面支持力N 作用，把重力 分解成垂直斜面方向的分力mg ·cos θ和沿斜 面方向的分力mg ·sin θ，摆球静止时，视重大小等于绳的张力，此时．F=mgsin θ，单摆的等效重力加速度's i n F g g m θ==，则单摆的周期为2T =，小球摆至最低点所用的时间图13-4图13-5 图13-64T t ==情形二：斜杆摆例6．如图13-7所示为地震记录装置中的水平摆，质量为m 的重球固定在边长为L ，质量可 不计的三角形框架的顶角A 处，它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角θ，摆球可绕固定的轴BC 摆动，试求当摆角较小时(小于50)该摆绕固定轴BC 摆动的周期?解析：小球A 绕固定轴BC 摆动，摆动轨迹平面与BC 轴垂直，由此判定等效摆长如图中AD ，由几何知识有AD=2，小球静止不摆动时，分析小球受力，重力mg ，三角架对它的弹力Ｆ，F=mg ，沿等效摆线上的等效拉力 F ＇＝mgsin θ，有''sin F g g mθ== ，周期2T =情形三：在非惯性参照系中的变形单摆的 “等效重力加速度”的确定例7.如图13-8所示，一单摆固定在汽车的车厢顶部， 当汽车沿平直公路匀加速运动时，求单摆的周期．分析与解：取摆球为研 究对象，当摆球相对于'o 点静止时 (即单摆处于其摆的平衡位置)，其受力如图所示，则由牛顿第二定律和力的合成与分解可得o F =则此单摆在摆动过程中的等效重力加速度为：'F g m== 单摆的周期为2T =例8.如图13-9所示，一单摆固定在升降机的顶棚 上，求在升降机匀加速上升和匀加速下降时单摆的周期分别是多少?分析与解：升降机匀加速上升，小球相对于'o 点静止时()o F m g a =+ “等效重力加速度” 'g g a =+所以此时单摆的周期为2T =同理，升降机匀加速下降时，有：2T =a g =匀加速下降时，摆球处于 完全失重状态，则单摆不会摆动．图13-7图13-8图13-9例9．如图13-10所示，倾角为0的光 滑斜面上有一个挂有单摆的小车，已知单摆的摆长为l ，求小车下滑过程中单摆的周期．分析与解：当摆球相对于0 点静止时cos o F mg θ=,所以单摆的 “等效重力加速度”为'/cos o g F m g θ==，故此时单摆的周期为2T =情形四：在其它场中的单摆 例10．如图13-11，小球带正电，处于竖直向下的 匀强电场中．小球的受力与无电场时相比，多一个恒定的电场力 ，摆动时小球在切线方向上的受力变为()sin .F mg qE θ=+所以单摆的 “等效重力加速度”为'.qE g g m=+此时周期2T π=如图13-12，若悬点固定一正点电荷，小球也带正电，小球受到重力、绳的拉力及库仑力． 摆动时库仑力中沿法线方向，对切线方向的受力无影响，仍为sin mg θ，库仑力不影响回复力， k不变．小球运动周期仍为2T =. 若小球带正电，处于如图13-13方向的匀强磁场中．小球受重力绳的拉力及洛伦兹力(最大位置除外)，摆动中，洛伦兹力也总沿法线方向(指向悬点或背离悬点),也不影响回复力，因此摆动的周期不变．情形四：距某星球表面高为h 处的单摆的周期例11. 某星球质量为 半径为R ，今有一单摆， 摆长为l ，摆球质量为m ，摆球距该星体表面的高度为l ，求该单摆的周期．分析与解:取摆球为研究对象，摆球在平衡 位置0时受摆线的拉力F 1。
单摆运动的周期
单摆运动的周期单摆是物理学中常见的一个物体振动的示例，它可以用来研究重力和摆动周期之间的关系。
本文将介绍单摆运动的周期，包括其定义、影响因素以及相关公式和实际应用。
1. 定义单摆是由一个质点以一根不可伸缩且质量可忽略不计的细线悬挂在固定点上，形成的如钟摆一般的简谐运动。
单摆运动的周期是指振动完成一个完整的往复运动所需的时间。
2. 影响因素单摆运动的周期受以下几个因素的影响：2.1. 摆长摆长是指悬挂质点到摆点的距离，通常用字母L表示。
摆长越长，摆动的周期越长；摆长越短，摆动的周期越短。
这是因为摆长的增加会增加单摆系统的势能，使得同样的力下，质点的加速度变小，从而使振动周期变长。
2.2. 重力加速度重力加速度是地球表面上物体受到的重力加速度，通常用字母g表示。
重力加速度越大，摆动的周期越短；重力加速度越小，摆动的周期越长。
这是因为重力加速度的增加会增大质点下垂时的拉力，使得质点的加速度增大，从而使振动周期变短。
2.3. 质点质量质点质量是指悬挂在细线上的质点的质量，通常用字母m表示。
质点质量的增加会增大质点下垂时的重力作用力，从而使质点的加速度减小，振动周期变长。
3. 周期公式对于一个简单的单摆系统，其周期可以由以下公式计算得到：T = 2π√(L/g)其中，T表示周期，π是圆周率（约等于3.14159），L表示摆长，g 表示重力加速度。
需要注意的是，上述公式仅适用于小摆角条件下的近似计算。
当摆角较大时，由于单摆系统的非线性特性，需要采用更复杂的计算方法。
4. 实际应用单摆运动的周期在现实生活中有许多应用。
以下是其中几个例子：4.1. 地震学地震学家常常使用单摆装置来研究地震波和地壳的运动。
通过测量单摆运动的周期，可以推断出地震波的频率和振幅，进而分析地震活动的性质和原因。
4.2. 时间测量由于单摆运动的周期与摆长和重力加速度有关，可以利用单摆装置来测量时间。
例如，古代的摆钟就是利用单摆的周期来计时的。