泰兴市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

泰兴市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩
则函数1
()32y f x x =-+的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2． 函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2，x ∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x 0，使f （x 0）≤0的概率是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3． 已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆
224x y +=截得的弦长为L
，若L ≥e 的取值范围是（ ） （A ） ⎥⎦
⎤
⎝⎛550， （ B ）
0⎛
⎝⎦
（C ） ⎥⎦⎤
⎝
⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤
⎝
⎛5540， 4． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
5． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
6． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．{5，8}
B ．{7，9}
C ．{0，1，3}
D ．{2，4，6}
7． 已知条件p ：|x+1|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1 D ．a ≤﹣3
8． 在复平面内，复数1z
i
+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --
B ．3i -+
C ．3i -
D ．3i +
9． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]
10．若三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，
SA=2，
AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．16π C ．12π D ．4π
11．设偶函数f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0
，则不等式＞0的解集为（ ）
A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
12．棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ） A
．=
B
．0S = C ．0122S S S =+ D ．20122S S S =
二、填空题
13．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：
1=
+
+，
1=
+
+
+，
1=
+
+
+
+，…依此方法可得：
1=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
，其中m ，n ∈N *
，则m+n= ．
14．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0
，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
15．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2
=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．
16．命题p ：∀x ∈R
，函数的否定为 ．
17．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
18．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为
三、解答题
1920142015CBA5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：
3分球的平均命中率；
（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．
20．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．
21．火车站北偏东方向的处有一电视塔,火车站正东方向的处有一小汽车,测得距离为31,
该小汽车从处以60的速度前往火车站,20分钟后到达处,测得离电视塔21,问小汽车到火车站还需多长时间？
22．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
23．求点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标．
24．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证：
（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD ．
泰兴市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
2． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）≤0⇔x 2﹣x ﹣2≤0⇔﹣1≤x ≤2， ∴f （x 0）≤0⇔﹣1≤x 0≤2，即x 0∈[﹣1，2]， ∵在定义域内任取一点x 0， ∴x 0∈[﹣5，5]， ∴使f （x 0）≤0的概率P==
故选C
【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键
3． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥
解得216
5
d ≤。

又因为
d =2
116,15k ≤+解得21
4k ≥。

于是222
222211c c e a b c k
===++，所以2
40,5e <≤解得0e <≤故选B ． 4． 【答案】D
【解析】解：由题意，S k+2﹣S k =
，
即3×2k =48，2k
=16，
∴k=4． 故选：D ．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础题．
5． 【答案】B 【解析】解：假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n
∴m ∥l 且n ∥l
由平行公理4得m ∥n
这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾 又因为点P 在平面内 所以点P 且平行于l 的直线有一条且在平面内
所以假设错误． 故选B ．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
6． 【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}， 所以（C U A ）∩（C U B ）={7，9} 故选B
7． 【答案】A
【解析】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x ≤1，即p ：﹣3≤x ≤1， 若p 是q 的充分不必要条件， 则a ≥1， 故选：A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
8． 【答案】D
【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算，21z
i i
=-+，(1)(2)3z i i i =+-=+，选D ． 9． 【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q ， ∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=
．
当q ＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b ∈（0，2]；
当q ＜0时，b =﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b ∈[﹣6，0）．
∴b 的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】A
【解析】解：如图，三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=
，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=1，
∵SA ⊥平面ABC ，SA=2
∴球O 的半径R=4，
∴球O 的表面积S=4πR 2
=64π．
故选：A ．
【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：∵f （x ）是偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）
不等式
，即
也就是xf （x ）＞0
①当x ＞0时，有f （x ）＞0
∵f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0 ∴f （x ）＞0即f （x ）＞f （2），得0＜x ＜2； ②当x ＜0时，有f （x ）＜0
∵﹣x ＞0，f （x ）=f （﹣x ）＜f （2）， ∴﹣x ＞2⇒x ＜﹣2
综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2） 故选B
12．【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
220()2()a S a h S a S a h
S '⎧=⎪+⎪
⎨'⎪=+⎪⎩
，解得=A ． 考点：棱台的结构特征．
二、填空题
13．【答案】 33 ．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
14．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y＝－3x＋z＋m与直线y＝－3x平行，且在y轴上的截距最小时，z才能取最小值，此时l经过直线2x－y＋2＝0与x－2y＋1＝0的交点A（－1，0），z min＝3×（－1）＋0＋m＝－3＋m＝1，
∴m＝4.
答案：4
15．【答案】（，）．
【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2
=1，①
∵点A （2，0），点B （0，3）， ∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．
如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．
则CF=≥，当且仅当2a=3b 时，取“=”，
∴a=
，②
联立①②求得：a=，b=，
故点C 的坐标为（，）．
故答案是：（
，
）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【答案】 ∃x 0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2
x 0+sin2x 0＞3 ．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x
0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2
x 0+
sin2x 0＞3，
故答案为：∃x
0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2
x 0+sin2x 0＞3，
17．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=532312S
=-++-+-=⨯+
)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
.
18．【答案】 5
【解析】解：由z=x ﹣3y 得y=
，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=
，
由图象可知当直线y=经过点C 时，直线y=
的截距最小，
此时z 最大，
由
，解得
，即C （2，﹣1）．
代入目标函数z=x ﹣3y ， 得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5， 故答案为：5．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：
=，
3分球的命中率为：
=．
（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3分球命中的概率分别为，， ξ的可能取值为0，2，3，5，
P （ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=（1﹣）×=，
P（ξ=5）==，
∴该运动员在最后1分钟内得分ξ的分布列为：
∴该运动员最后1分钟内得分的数学期望为Eξ==2．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥BC，
又AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
又AD⊂平面ACD，
∴AD⊥BC．
（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．
由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，
∴平面BCD的一个法向量是=，
设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，
由条件得，=，=（﹣2，0，a）．
∴即，
不妨令x=1，则y=，z=，
∴=．
又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，
∴．
∴=cosθ=，
∴==，解得a=2．
∴V ABCDE=V E﹣ADC+V E﹣ABC
=+
=+
=
=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．
【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．【答案】
【解析】
解:由条件=,设,
在中,由余弦定理得
.
=.
在中,由正弦定理,得（）
（分钟）
答到火车站还需15分钟.
22．【答案】（1） ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈ 试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，，
则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分
考点：利用导数求函数最值
23．【答案】
【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），
则线段A′A的中点B（，），
由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．
再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，
解①②做成的方程组可得：
m=﹣，n=，
故点A′的坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．24．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．
又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD
所以直线EF∥平面PCD．
（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．
所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．
又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．。