人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念

6.1 平面向量的概念
课后·训练提升 基础巩固
1.(多选题)下列说法中,正确的是( ) A.若四边形ABCD 是平行四边形,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.若|a|=|b|且a ∥b,则a=b C.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C 三点共线 D.若a ∥b,则a 与b 的方向相同或相反 答案:AC
解析:当四边形ABCD 是平行四边形时,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,长度相等,因此有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 中说法正确;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B 中说法错误;选项C 中说法显然正确;0与任一向量平行,但零向量的方向是任意的,故选项D 中说法错误. 2.在同一平面内,把所有单位向量的起点固定在同一点,则其终点形成的轨迹是( ) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线
答案:A
解析:平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
3.如图,在3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)中,若起点和终点都在方格的顶点处,则与AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有( )
A.12个
B.18个
C.24个
D.36个 答案:C
解析:由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角线长为√2,每个小正方形中存在两个与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.
4.如图所示,在等边三角形ABC 中,点P,Q,R 分别是线段AB,BC,AC 的中点,则与向量PQ
⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )
A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗
B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗
C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗
D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:B
解析:向量相等要求模相等且方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.
5.设a 0,b 0是两个单位向量,则下列结论正确的是( ) A.a 0=b 0
B.a 0=-b 0
C.|a 0|+|b 0|=2
D.a 0∥b 0
答案:C
解析:因为a 0,b 0是单位向量,所以|a 0|=1,|b 0|=1. 所以|a 0|+|b 0|=2.故选C.
6.(多选题)下列条件中,能使a ∥b 成立的有( ) A.a=b
B.|a|=|b|
C.a 与b 方向相反
D.|a|=0或|b|=0
答案:ACD
解析:若a=b,则a 与b 长度相等且方向相同,所以a ∥b;若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,方向不确定,因此不一定有a ∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,若a 与b 方向相反,则有a ∥b;零向量与任意向量都平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a ∥b.
7.已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若∠ABC=90°,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:√3
解析:在Rt △ABC 中,由勾股定理可知,BC=√AC 2-AB 2=√3,故|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. 8.将向量用具有同一起点M 的有向线段表示,当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,且|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2时,|MF
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= .
答案:3或1
解析:当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 同向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|EF ⃗⃗⃗⃗ |=3; 当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 反向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|EF ⃗⃗⃗⃗ |=1.
9.如图,O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都是正方形,在右图的向量中:
(1)分别找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量; (2)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (3)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量; (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否相等? 解:(1)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有BF ⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE
⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量有CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO
⃗⃗⃗⃗⃗ 不相等,因为它们的方向不相同. 10.已知一架飞机从A 地沿北偏东30°方向飞行2 000 km 后到达B 地,再从B 地沿南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地,再从C 地沿西南方向飞行1 000√2 km 到达D 地.作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求出向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向.
解:以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系.
据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD
⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示, 由已知可得,△ABC 为正三角形,所以AC=km. 又∠ACD=45°, CD=1000√2km,
所以△ADC 为等腰直角三角形, 所以AD=1000√2km,∠CAD=45°.
故向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2km,方向为东南方向.
能力提升
1.若a 为任一非零向量,b 为单位向量,下列各式正确的是( ) A.|a|>|b| B.a ∥b C.|a|>0 D.|b|=±1
答案:C
解析:因为a 为任一非零向量,所以|a|>0.
2.(多选题)已知A={与a 共线的向量},B={与a 长度相等的向量},C={与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,下列关系中正确的是( ) A.C ⊆A
B.A∩B={a}
C.C ⊆B
D.(A∩B)⊇{a}
答案:ACD
解析:因为A∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向量,所以B 中的关系错误.
3.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式中成立的是( )
A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗
B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗
C.PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗
D.EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 答案:D
解析:根据相等向量的定义,分析可得,选项A,B 中的等式不成立;选项C 中,PE ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 不成立;选项D 中,EP ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 成立. 4.已知点D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点,则|PD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )
A.1
2
B.1
3
C.1
D.2
答案:C
解析:因为四边形ABPC 是平行四边形,且点D 为对角线BC 与AP 的交点,所以点D 为AP
的中点,所以|PD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
的值为
1.
5.若四边形ABCD 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是 (填四边形ABCD 的形状). 答案:矩形
解析:∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ∥BC,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴四边形ABCD 是平行四边形.
又由|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,知该平行四边形的对角线相等,故四边形ABCD 是矩形. 6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= . 答案:0
解析:平行向量又叫共线向量,因为A,B,C 是不共线的三点,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,而与不共线向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都共线的向量只能是零向量. 7.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.
(1)与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)6
解析:(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|EC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=6. 8.在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是CD,AB 的中点,如图所示.
(1)写出与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (2)求证:BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .
(1)解:与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EA
⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ∥CD,且AB=CD.又点E,F 分别是CD,AB 的中点,所以ED ∥BF,且ED=BF,所以四边形BFDE 是平行四边形,故BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .
拓展创新
如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与BD 的交点,设点集
M={O,A,B,C,D},向量的集合T={PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |P,Q ∈M,且P,Q 不重合},则集合T 有 个元素.
答案:12
解析:根据题意知,由点O,A,B,C,D 可以构成20个向量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T 中有12个元素.。