2020年中考“事件的概率”专题解题分析

2020年中考“事件的概率”专题解题分析
涛摘要：对2020年全国各地区中考试卷中的“事件的概率”试题进行基本统计分析，得到了关于
考点、试题情境等统计分析结果，同时对试题进行解法分析与思路总结，并以此对2021年的专题复习提出相关建议.
关键词：事件的概率；数据分析；解题思路；解法赏析；复习建议收稿日期：2020-10-26
作者简介：黄涛（1975—），男，中学正高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.
概率与统计的相关内容在初中数学课程中越来越受到重视，同时也是高中数学课程体系中的重要组成部分.统计的核心是数据分析，概率的核心是随机事件，其知识点覆盖范围较广，大多数具有实用性的特点，与实际生活问题紧密结合，注重对基本概念和统计量计算的实践应用，从而为科学决策提供依据，对于培养学生的生活判断意识有非常大的作用.
“事件的概率”是中考的必考内容之一，与“数与代数”“图形和几何”相比，概率的内容在中考中所占分值不多，考查难度相对较低.
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的要求，“事件的概率”的课程内容为：（1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；（2）知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.从最新的考评趋势来看，试题侧重考查学生运用统计与概率知识分析和解决实际问题的能力，主要从基础知识出发，考查学生的基础知识应用能力及推理能力，试题的命制也越来越灵活和综合，在试题情境设置方面侧重时事情境与游戏（比赛）情境，在考点方面侧重用画树状图法或列表法分析、计算事件的概率，用样本估计总体的统计思想的应用，以及概率公式的理解与应用等.
一、基本情况分析
基于《标准》，本文选取了2020年全国各地区43份中考试卷中的46道“事件的概率”试题为研究对象，采用比较分析法和定量分析法，从知识点与题型、情境设置及其主要解法三个视角对2020年全国各地区中考中的“事件的概率”试题进行多角度分析，以揭示试题的分布规律和特点.
1.知识点与题型分析
43份试卷的相关基本情况如表1所示.其中，若该
试题包含多个知识点，则在不同的知识点间进行重复计算.
表1：知识点与考查题型基本情况分析表
随机事件概率计算公式几何概型
列表法或画树状图法求概率
用样本估计总体游戏公平性概率的意义合计
选择题2415000
12填空题1505300
14解答题220
1441124平均难度0.560.630.700.620.600.500.600.60
分值24463
14458138
286占比
10%22%2%
48%14%2%2%1
从表1中可以得到以下的结果.
从试题类型上看，考查的题型主要为解答题，所
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占比例接近一半，填空题次之.在所统计的试卷当中，广东深圳卷、广西南宁卷、湖南岳阳卷中“事件的概率”相关内容出现了两次考查，其他皆为每份试卷考查1道试题，说明各份试卷对于“事件的概率”的考查为必考，但所占比例不大.
从考查的知识点类型来看，大部分试题注重利用列表法或画树状图法列出所有事件的可能性，以及求对应特定事件的概率，占到了48%，次之为概率计算公式（22%），符合《标准》的内容要求，同时有14%的试题考查了概率公式的应用.在几何概型、游戏的公平性、概率的意义方面，都只有1道试题对其进行考查.
从考查的难度来看，所有试题的平均难度为0.60，其中占据主要地位的列表法或画树状图法求概率的难度为0.62，略低于平均难度.另外，考查难度最高的为游戏的公平性，次之为随机事件的理解及其应用，体现了学生对事件的概率背后的实际意义缺乏认知和理解.
2.情境设置、主要解法情况分析
本部分内容从情境设置及主要解法角度进行分析.其中，情境分为时事情境（国家政策、国家大事等）、游戏（比赛）情境、知识点情境（教材知识点）、普通生活情境（旅游景点选择、工作安排等）四大类，具体情况如表2和表3所示.
类别比例时事情境
29%
游戏（比赛）
情境
40%
知识点
情境
13%
普通生活
情境
18%
表2：情境设置基本情况分析表
主要解法1列举法
主要解法2
列表法或画树状图法
主要解法3
概率公式
表3：主要解法分析表
注：列举法指除了列表法或画树状图法外的其他形式的随机事件列举.
由表2和表3可以得到以下的结果.
从情境的设置方面来看，主要集中在游戏（比赛）情境及时事情境，占到全部试题的69%，知识点情境设置最少.
从主要解法来看，各地区将列表法或画树状图法求随机事件的概率作为主要解法考查，但多数地区将常规的列举法作为第一选择.
二、典型试题分析
2020年全国各地区中考对“事件的概率”的考查总体上延续了近几年的命题特点，即体现基础性、应用性和综合性，注重对随机事件的理解的考查，重视对概率意义的理解.在试题的考查上，设置了不同的情境作为载体，与生活联系紧密、情境新颖、立意创新是此类试题的亮点.
例1（江苏·扬州卷）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A，B，C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.
（1）小明从A测温通道通过的概率是；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.
例2（河北卷）如图1，甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动.
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位.
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从图1的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；
（3）从图1的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值.
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O
甲乙
东
图1
例1创设了防疫的时事情境，紧贴生活实际；例2创设了游戏情境，链接了数轴上的点的运动知识点，立意新颖.
1.“事件的概率”问题的求解思路分析
由于“事件的概率”试题具有典型的实际意义，
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与实际问题联系紧密，可以通过创设不同的情境进行事件概率计算的考查.因此，“事件的概率”问题可以归结为利用概率知识建立对应的概率计算模型，并进行实际问题的解决过程，类比用方程进行现实世界的数学模型的描述，事件的概率是用概率的计算方法对实际情境的一种数学描述与分析.
利用事件的概率解决实际情境问题，应该认真分析和理解具体的实际情境，关键是要找出与之对应的概率模型.目前在初中阶段考查的概率模型大致可以分为单次试验古典概型、有放回重复试验模型、无放回重复试验模型、几何概型四大类，由此将实际问题转化为概率计算的数学问题，然后通过列举法或列表法、画树状图法，以及几何比例的方法进行概率计算获得结论，最后利用数学结论分析或回答实际问题，这是一个“实际问题—事件的概率（模型）问题—实际问题”的过程.学生通过感受和体验转化过程，不仅可以加强对基础知识与基本技能的运用能力，而且可以进一步提升对基本数学活动经验的积累与理解，从而培养学生发现和提出问题的能力、分析与解决问题的能力，进而达到综合素质的提高.
根据以上的解题分析，我们可以建立利用概率知识解决实际问题情境的思路，如图2所示.
图2
进一步，我们可以通过以下的典型试题进行以上思路的具体分析，以期更好地剖析“事件的概率”试题的求解过程.
（1）对“实际问题情境”的理解和分析.
前述例1为当下的热点时事情境，例2创设了动点在数轴上移动的游戏情境.
例3（湖南·岳阳卷）在-3，-2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x-2中a 的值，则该二次函数图象开口向上的概率是.
例4（云南卷）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游.假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为P.
（1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；
（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求P的值.
例3以二次函数的开口方向作为考查载体，例4选择了普通的生活情境作为试题载体.则例1~例4的情境理解可以归结如表4所示.
题号
例1
例2
例3
例4
情境类型
时事情境
游戏情境
知识点情境
普通生活情境
情境理解
两位同学通过A，B，C三个不同的
测温通道所产生的随机事件计算
甲、乙两人根据两种猜测结果按照
游戏规则进行四种不同方式移动所产生
的随机事件计算
根据a的正负性从五个数中选取正
数所产生的随机事件计算
甲、乙两个家庭对三个旅游城市分
别进行选择所产生的随机事件计算表4
2020年全国各地区中考“事件的概率”试题以不同情境作为载体，联系实际及其他知识点，进行了不同知识点间的交会，丰富了考点，更加强调了知识间的联系及综合应用.
对于试题情境设置的理解，需要仔细审读试题，提取其中的情境信息，化繁为简，必要的时候需要联系生活实际辅助理解.
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题号例1
例2
例3
例4
情境理解
两位同学通过A ，B ，C 三个不同的测温通道所产生的随机事件计算
甲、乙两人根据两种猜测
结果按照游戏规则进行四种不同方式移动所产生的随机事件计算
根据a 的正负性从五个数中
选取正数所产生的随机事件计算
甲、乙两个家庭对三个旅
游城市分别进行选择所产生的随机事件计算
概率问题
A 测温通道通过的概率；
小明和小丽从同一个测温通道通过的概率
甲的位置停留在正半轴上的
概率
函数图象开口向上（a 为正数）的概率
甲家庭选择到大理旅游的概率；甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率概率模型单次试验古典槪型；有放回重复试验模型
单次试验古典槪型
单次试验古典槪型
单次试验古典槪型有放回重复试验模型
表5（2）对实际问题情境进行抽象概括，得到对应的概率模型.
对实际问题情境进行抽象概括，进而得到对应的概率模型，不仅需要从题干的实际问题情境出发，而且需要充分考虑试题所设置的概率问题，两者相结合才能更好地确定所对应的概率模型.
例如，例2的游戏情境，从题干来看，“甲、乙两人根据两种猜测结果按照游戏规则进行三种不同方式移动所产生的随机事件计算”中的甲、乙两人所产生猜测结果应该为单次试验古典概型（甲对乙对、甲对乙错、甲错乙对、甲错乙错），结合对应的问题“经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P ”需要对甲、乙的猜测结果进行考虑，进一步可以确定属于单次试验古典概型.
又如，下面的例5从题干分析甲、乙两人同时选择
景点整体来看可以归入到有放回重复试验类型，从问题“求甲选择的2个景点是A ，B 的概率”，可以对景点进行分步选择，故可以确定为无放回重复试验模型，所以需要对题干情境及问题共同进行分析才能准确得到对应的概率模型.因此，对情境的理解及对概率模型的确定是解决问题的第一个关键点及难点，同时也容易因为未能结合问题进行概率模型的确定而出错，故亦是此类题目的一个易错点.
例5（江苏·南京卷）甲、乙两人分别从A ，B ，C 这3个景点中随机选择2个景点游览.
（1）求甲选择的2个景点是A ，B 的概率；（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是.
根据以上分析，我们对例1~例4结合对应的概率问题进行概率模型的确定，如表5所示.
除了以上两种概率模型，同时还有以下的几何概型及不放回重复试验模型.
例6（山西卷）图3是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（
）.
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁图3
（A ）13（B ）14（C ）16（D ）1
8
例7（宁夏卷）有三张大小、形状完全相同的卡片.卡片上分别写有数字4，5，6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是
.
概括抽象出试题情境的概率模型是建立在对情境的充分理解下的，并且需要结合具体的问题才能准确完成，这是解决此类问题的一个关键点，同时也是一个易错点，需要学生对各种概率模型有充分的理解和判断能力，这需要教师在平时加强对题干概率模型的
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识别训练.
（3）事件概率的计算.
对实际情境进行概率模型的确定，对后续选用解决问题的方法具有很好地指引作用.由于《标准》的要求，很多概率问题都会在题干中进行求解方法的设定，但在对应的方法下，确定概率模型可以为具体的设定方法提供更有效、更清晰的帮助.根据前文所确定的概率模型，可以选择如表6所示的方法.
题号例1例2例3例4
概率模型
单次试验古典概型
有放回重复试验模型
单次试验古典概型
单次试验古典概型
单次试验古典概型
有放回重复试验模型
题目方法要求
无
列表法或
画树状图法
无
无
无
列表法或
画树状图法
方法选择
普通列举法
列表法或
画树状图法
普通列举法
普通列举法
普通列举法
列表法或
画树状图法
表6
选择了合适的事件的概率计算方法后，如何准确描述出所有随机事件成为了试题解决的另外一个关键，如何做到对所有随机事件统计的“不重不漏”将是学生必须重点关注的问题.
例如，例4第（1）小题为古典概型，甲可以选择的全部可能性为大理、丽江、西双版纳，则符合要求的只有大理，故概率为13；又如，例5第（1）小题中甲从
三个景点A，B，C中选择两个景点的全部随机事件为AB，AC，BC，符合条件的只有AB，则概率为13.以上两个例子比较简单，通过简单的逻辑就能统计出所有的随机事件.
利用列表法或画树状图法是课程要求当中描述试验的所有可能结果的重要方法，但在不同的概率模型中有不同的注意点.
例如，例4当中的有放回重复试验模型，记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为A，B，C，如表7所示.
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
表7
又如，求解例7时，使用列表法统计试验的所有可能结果如表8所示.由于例7属于不放回重复试验，故需要舍弃部分不符合要求的随机事件，这是一个易错点，在确定了概率的模型的情况下，就比较容易知道需要去除不符合要求的随机事件.
4
5
6
4
——
（5，4）
（6，4）
5
（4，5）
——
（6，5）
6
（4，6）
（5，6）
——
表8
再如，下述例9第（4）小题可以确定为不放回重复试验模型，但需要对统计对象进行区分，才能更好地对试验的所有可能结果进行描述，如可以将问题中的“2位男性，2位女性”记为“男1，男2，女1，女2”，进而通过画树状图法进行求解.
在确定了试题情境与问题求解的概率模型后，对试验的所有可能结果进行准确描述是求解此类试题的另外一个关键点.单次试验古典概型只需要对对象按照一定的规律进行普通列举就能做到不重不漏，几何概型亦是如此，随机事件的描述可以转为对线段程度或几何图形的面积的几何刻画.但对于不放回（重复）试验模型及放回重复试验模型要进行区分，关注是否需要去除不符合要求的部分随机事件，对象有混淆的时候需要对对象进行编号从而加以区分，这两点都是对试验的所有可能结果进行准确描述时的易错点.
（4）实际问题的解答.
对于大部分的“事件的概率”试题，只需要进行概率的计算，但也有部分试题需要利用所计算的概率进行对实际问题进一步的判断及决策，从而为实际问题的解决提供科学有效的决策建议.
例如，下述例8第（4）小题需要对摸出的两个球上的数字和为奇数的概率进行计算，并以该概率对游戏的公平性做出判断.
例8（四川·德阳卷）为了加强学生的垃圾分类
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意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传，为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.及格；D.不及格.根据调查统计结果，绘制了如表9所示的不完整的统计表.
测试等级
A.优秀
B.良好
C.及格
D.不及格百分比
5%
45%
n
人数
20
60
m
表9
试结合统计表，回答下列问题.
（1）（2）（3）略.
（4）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加.某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加.班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加.试用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.
对于第（4）小题的实际问题的解答，关键在于对事件的概率的计算，概率计算的准确与否直接决定了问题的解决.此类问题的设置具有很强的现实意义，对实践有较强的指导意义，这是此类试题的一个亮点，也充分体现了其实用性，培养了学生对基本概念和统计量计算的实践应用能力，进而积累为科学决策提供依据的基本活动经验.
2.“事件的概率”典型试题解法赏析
上述部分已经对“事件的概率”问题进行了整体的求解思路分析，明确了解答该类问题的主要步骤，并且对其中的关键点和易错点进行了举例说明.下面将以两道典型试题为例，对“事件的概率”问题进行解答和评析.
例9（甘肃·天水卷）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意、一般、满意，非常满意四类，回收、整理好全部
问卷后，得到不完整的统计图，如图4和图5所示
.
人数/
图4
非常满意
不满意
一般
满意
36%
图5
试结合图中的信息，解决下列问题.
（1）此次调查中接受调查的人数为；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分圆心角的度数为
；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性.试用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率.
考点：扇形统计图，条形统计图，列表法与画树状图法.
专题：概率及其应用，运算能力.
分析：（1）由非常满意的有18人，占总人数的36%，即可求得此次调查中接受调查的人数；
（2）用总人数减去其他满意程度的人数，求出“满意”的人数，从而补全条形统计图；
（3）用360°乘以满意的人数所占的百分比即可得出答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择回访市民为“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案.
解：（1）因为非常满意的有18人，占36%，
所以接受调查的人数为18÷36%=50（人）.
（2）此次调查中结果为满意的人数为50-4-8-
·
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18=20（人）.
补全条形统计图如图6所示.
图6
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为360°×2050=144°．
（4）将2位男性记为男1，男2，2位女性记为女1，女2.画树状图如图7所示.
开始
男1男2女1女2
男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1
图7
因为共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况，
所以选择回访的市民为“一男一女”的概率为812=23.
此题的前三道小题考查的是统计中的条形统计图与扇形统计图的知识，不做过多的点评.结合我们之前确立的解决“事件的概率”问题的基本思路和步骤，重点来关注下第（4）小题的解答.从以下三个方面进行分析.
第1方面：“事件的概率”问题解决的基本思路.
首先，试题的背景情境是针对热点问题创建全国文明城市的回访调查，从“不满意”的4位市民中（2男2女）随机选择2位进行回访，求2位回访市民是“一男一女”的概率.根据对问题情境的理解和分析，不难得出该问题为不放回重复试验模型.确定为不放回重复试验后，根据题干的要求，选用画树状图法分两步将该试验的所有等可能结果不重不漏地列出来，再找出符合“一男一女”事件的可能结果，最后利用概率公式即可求得答案.
第2方面：“问题的关键点和易错点.
对于“事件的概率”问题，一定要弄清是有放回的摸出或抽取还是无放回的摸出或抽取，强调“放回”试验中所选取的元素可以重复出现，而“不放回”试验中被选取的元素不可以重复出现，从而避免在列举时出现遗漏或重复.此题的情境，关键是要确定其为不放回重复试验，进而舍去一些不符合该试验的结果，准确地列出该试验的所有等可能结果.因此，将概率模型当成是有放回重复试验是此题的易错点之一，另外一个易错点在于用画树状图法列举所有可能结果时，没有对2位男性和2位女性进行编号，从而出现混乱，不能准确刻画该试验的所有等可能结果.
第3方面：“解题反思.
当学生对“事件的概率”问题情境足够熟悉时，更容易剔除试题背景中的干扰因素，明确其属于哪种概率模型（放回或不放回），从而在列举试验的所有可能结果时不会出现偏差.故学生要多关注社会热点问题，增加对“生活中的数学”的理解和认识，重视数学应用意识.
此题明确要求用画树状图的方法求概率，从《标准》的要求来看，学生必须掌握列表法和树状图法.该题若是用列表法，由于是不放回试验，故表格对角线的位置是没有内容的.学生还要特别注意一点，列举所有可能的结果并不是只有列表法或画树状图法两种方法，还有直接列举法.例如，此题可以直接列举所有可能结果：男1男2，男1女1，男1女2，男2女1，男2女2，女1女2，共有六种可能，而符合“一男一女”事件的
有四种可能，然后用概率公式也可以求得答案.直接列举法在某些利用列表法或画树状图法不太好呈现所有可能的结果时非常有效.但是由于这种方法用得较少，所以学生在平时的学习过程中要加强对一些基本方法的解法归纳和总结.
例10（内蒙古·呼和浩特卷）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，表10是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为（精确到0.1）；从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为时（精确到0.1），可
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