拟赋范线性空间的商空间

拟赋范线性空间的商空间
郑玉秋
【摘要】在拟赋范线性空间的商空间上重新定义一个拟范数,该商空间仍然是一个拟赋范线性空间,同时又证明了该商空间完备的等价条件.
【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(035)003
【总页数】2页(P495-496)
【关键词】拟赋范空间;商空间;完备性
【作者】郑玉秋
【作者单位】东北石油大学数学与统计学院,黑龙江大庆 163318
【正文语种】中文
【中图分类】O173.3+9
由于赋范空间中定义的范数不满足三角不等式，这样可以定义一个拟范数建立了一个新的空间-拟赋范空间。

在赋范空间中我们定义了商空间，讨论了其完备.这样将此推广到拟赋范空间中，在拟赋范空间中讨论商空间仍是完备的.
定义1[1]：设E是数域k上的线性空间，如果在E上定义了一个非负函数，记为‖‖，满足：
(1)‖x‖≥0，且有‖x‖=0⟺x=θ
(2)‖x+y‖≤c(‖x‖+‖y‖)∀x,y∈E
(3)‖ax‖≤|a|‖x‖∀a∈k,x∈E
这时称‖x‖若为x的拟范数，而定义了拟范数的空间称为拟赋范空间。

定义2[1]：设E为线性空间，E0为E的线性子空间，称元x1,x2∈E对于子空间E0等价，是指有x1-x2∈E0，记为x1～x2(E0).
定义3[2]：设E为线性空间，E0为E的线性空间，如果记则称为的等价类，在这些等价类的计划中，可以定义加法和乘除如下：
∀αx,∀x,y∈E,α∈K
则这些等价类的全体亦成为线性空间，称为E以E0为模的商空间，记为E/E0. 定理1[2]：设E为拟范数的空间，E0⊂E为其闭线性子空间。

在商空间中定义：证明 (1)一方面*式显然有‖‖≥0，且‖‖‖x‖≤‖θ‖=0；另一方面，当‖‖=0时由*式即有‖x/c‖=0用即‖x‖=0，因而对任意n，有使得0≤x≤c/n∀n∈N，此即
x(n)→0(n→∞)
注意到{x(n)}⊂故当取定x⊂由商∀元定义有，x(n)=x+yn yn∈E0，由上可知
x+yn→θ，即yn→-x，由E0是闭的有-x∈E0.由商元定义有
(2)|α|‖‖=|α|‖x/c‖=‖αx/c‖=‖αx/c‖=‖‖
(3) 对∀有，∀ε>0,∃使得‖x0/c‖<‖‖+ε/2;∃使得‖y0/c‖<‖‖+ε/2，由此，对∀有‖‖=‖x1+x2‖‖x/c‖=
‖(x1+x2)/c+y‖≤‖(x0+y0)/c‖≤
‖x0‖+‖y0‖=c(‖x0‖/c+‖y0‖/c)≤
c(‖‖+‖‖+ε)
由ε的任意性有，‖‖≤c(‖‖+‖‖).
综上可知‖‖为一拟范数，而E/E0成为拟赋范空间.
引理1[3]：设E为拟范线性空间，则若E是完备的，对于任意的元列{xk}，如果‖xi‖<∞，则有存在(也即存在).
定理2[3]：如果E为拟范空间E0⊂E为其闭线性子空间，空间E完备充要条件是
子空间E0和商空间E/E0均完备.
证明：设E为完备的拟范空间，则E0的闭性，立即可知E0也是完备空间，下面验证商空间E/E0的完备性。

对任意Cauchy列⊂E/E0,由Cauchy性质，必存在‖(xnk+1-xnk)/c+yk‖<1/2k∀k∈N,因而有‖xnk+1-xnk/c+yk‖<∞，由定理2[3]及E的完备性可知即存在z0∈E，使得也即令(x0-xn1)/c=z0，则有再由||为||的子例子，立即得出即商空间E/E0是完备的.
另一方面，设E0和E/E0均完备，下面证E必完备.事实上，对任意的Cauchy列{xn}⊂E，由商元拟范数的定义有‖‖≤‖xn-xm‖→0,n,m→∞，此即{xn}为商元空间E/E0中的Cauchy列.因而，由假设知：存在元x0∈E/E0，使得令
d(,=‖xn/c-(x0/c+y)‖=(xn-x0/c-y)‖=‖(xn-x0/c+y)‖=‖xn-x0‖=‖(-)‖→0,n→∞由此可以得到，对任意的n∈N，必存在yn∈E0，使得‖xn/c-(xn/c+yn)‖综上得到
‖(yn-ym)‖≤c‖xm/c-(x0/c+ym)‖+
‖xn-xm/c‖+‖xn/c+yn-x0/c‖)
→0,n,m→∞
也即{yn}为子空间E0的Cauchy列，故从E0的完备性可知：存在y0∈E0，使得yn→y0,n→∞最后，从上面得到的结果及y0的取法立即得出
‖xn-(x0+y0)‖≤c(‖xn-(x0+yn)‖+
‖yn-ym‖+‖ym-y0‖)≤c(c‖(-‖+
‖yn-ym‖+‖ym-y0‖))→0,n,m→∞
即xn→x0+y0,因而E是完备的.
【相关文献】
[1] 定光桂.巴拿赫空间引论[M].北京：科学出版社，1984.
[2] 定光桂.泛函分析新讲[M].北京：科学出版社，2007.
[3] James R C.A non-refiexive Banach space sisometic with its second conjugate space.Proc Nat Acad Sci USA195137:174-177.。