八年级数学下册第1章二次根式13二次根式的运算1学案浙教版

1.3 二次根式的运算（1）
一、课前测试 1、知识回忆： 二次根式的性质： 1）； 2）； 3）； 4）。

2、知识巩固： 1）()
()2
2
3255--
-- 2）8 3）8
1
1
4）)18()2(-⨯- 5）001.0 6）4
27
32
二、自主学习一
1、101.0⨯=101.0⨯=
3
03.0 =
3
03
.0= 得出规律：b a ⨯=（）；
b
a =（）
2、例1：（看例题，模仿练习）
（1）62⨯；（2）
1027321⨯；（3
模仿练习：
（1）324⨯；（2）
3
510
7.2103⨯⨯；
（3）67
；
（4）5
2
41
1⨯
三、自主学习二
例2：一个正三角形路标如图。

若它的边长为22个单位，求这个路标的面积。

四、自主练习
1、5.25.0⨯
2、2
2
3、5
2103102.1⨯⨯⨯ 4、()
7249÷
五、自主提高
1、)32(2-
2、解方程：2422-=x
3、已知等腰直角三角形的斜边长为2，求它的面积。

2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（ ）
A ．第一天
B ．第二天
C ．第三天
D ．第四天
2．已知a ＞b ，且a ≠0，b ≠0，a+b ≠0，则函数y ＝ax+b 与
a b
x
+在同一坐标系中的图象不可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．下列二次根式计算正确的是（ ） A ．
－
＝1
B ．
＋
＝
C ．
×＝
D ．
÷＝
4．若函数y=kx+b 的图象如图所示，则关于x 的不等式kx+b>0的解集为（ ）
A ．x ＜2
B ．x ＞2
C ．x≤2
D ．x≥2
5．如图的ABC ∆中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E F 、在AB 上，直线AG 分别交DE BC 、于
M N 、两点. 若90,4,3,1B AB BC EF ∠=︒===，则BN 的长度为()
A．4
3
B．
3
2
C．
8
5
D．
12
7
6．正方形具有而菱形不具有的性质是（）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
7．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
8．如果多项式29
x mx
-+是一个完全平方式，那么m的值为()
A．3-B．6-C．3±D．6±
9．人体血液中，红细胞的直径约为0.0000077m．用科学记数法表示0.0000077m是（）A．0.77×10﹣5B．7.7×10﹣5C．7.7×10﹣6D．77×10﹣7
10．关于x的分式方程
5
22
x m
x x
-
=
++
有增根，则m的值为()
A．0 B．5-C．2-D．7-二、填空题
11．分式方程
12
1
x x
-=
-
的解是_____．
12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BC=16，CD=6，则AC=_____．
13．如果直线 y=-2x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积是 9，则 k的值为_____．
14．如图，在正方形ABCD中，点P、Q在对角线BD上，分别过点P、Q作边CD的平行线交BC于点E、H，作边AD的平行线交AB于点F、G. 若2
AB=，则图中阴影部分图形的面积和为_____.
15．定义运算a ⊕b ＝a 2﹣2ab ，下面给出了关于这种运算的几个结论： ①2⊕5＝﹣16； ②321⊕是无理数；
③方程x ⊕y ＝0不是二元一次方程： ④不等式组(3)10250
x x -⊕+>⎧⎨
⊕->⎩的解集是﹣5
3＜x ＜﹣14．
其中正确的是______(填写所有正确结论的序号)
16．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为 1m ，那么它的下部应设计的高度为_____． 17．已知矩形
，给出三个关系式：①
②
③
如果选择关系式__________作
为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是_______________________________ . 三、解答题
18．下面是小明化简221112111x x x
x x x x -+-÷⋅
-+-+的过程 解：221112111x x x x x x x -+-÷⋅-+-+＝221
(1)21x x x -÷--+ ①
＝
2
(1)(1)
(1)x x x --+- ② ＝﹣
1
1
x x +- ③ （1）小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步？ （2）求当x ＝
2
3
时原代数式的值． 19．（6分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.
20．（6分）问题的提出：如果点P是锐角ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到ABC的三顶++的值为最小？
点的距离之和PA PB PC
()1问题的转化：把APC绕点A逆时针旋转60得到AP'C'，连接PP'，这样就把确定PA PB PC
++的
++的最小值的问题了，请你利用图1证明：
最小值的问题转化成确定BP PP'P'C
++=++；
PA PB PC BP PP'P'C
()2问题的解决：当点P到锐角ABC的三顶点的距离之和PA PB PC
++的值为最小时，求APB
∠和∠的度数；
APC
()3问题的延伸：如图2是有一个锐角为30的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
21．（6分）六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B 品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元；
(2)该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量
比购进A 品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A 品牌的服装多少套．
22．（8分）2019年4月25日至27日，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议。

我国准备将A 地的茶叶1000吨和B 地的茶叶500吨销往“一带一路”沿线的C 地和D 地，C 地和D 地对茶叶需求分别为900吨和600吨，已知从A 、B 两地运茶叶到C 、
D 两地的运费（元/吨）如下表所示，设A 地运到C 地的茶叶为x 吨，
A
B
C
35 40 D
30
45
（1）用含x 的代数式填空：A 地运往D 地的茶叶吨数为___________，B 地运往C 地的茶叶吨数为___________，B 地运往D 地的茶叶吨数为___________.
（2）用含x （吨）的代数式表示总运费W （元），并直接写出自变量x 的取值范围； （3）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案.
23．（8分）（1）读读做做：教材中有这样的问题，观察下面的式子，探索它们的规律，
1
12
⨯=1-12，
123⨯=1123-，134⨯=11
34
-……用正整数n 表示这个规律是______； （2）问题解决：一容器装有1L 水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出
12L 水，第二次倒出的水量是12
L 水的13，第三次倒出的水量是13L 水的14，第四次倒出的水量是14L 水的1
5，……，第n+1次倒出的水量
是1n L 水的1n 1
+，……，按照这种倒水方式，这1L 水能否倒完？ （3）拓展探究：①解方程：13x +115x +135x +163x =1x 1
+； ②化简：1123⨯⨯+1234⨯⨯+1
345
⨯⨯…+()()1n n 1n 2++．
24．（10分）已知5x y +=-，3xy =，求
y
x x y
+． 25．（10分）如图，菱形ABCD 的边长为2，60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，则PB+PE 的最小值为_____．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．B
【解析】
【分析】
根据图象中的信息即可得到结论．
【详解】
由图象中的信息可知，利润=售价﹣进价，利润最大的天数是第二天，
故选B．
2．B
【解析】
试题分析：根据两函数图象所过的象限进行逐一分析，再进行选择即可．
解：A、由函数y=ax+b过一、三、四象限可知，a＞0，b＜0；由函数的图象可知，a+b＞0，与已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，相吻合，故可能成立；
B、由函数y=ax+b过二、三、四象限可知，a＜0，b＜0；由函数的图象可知，a+b＞0，两结论相矛盾，故不可能成立；
C、由函数y=ax+b过一、三、四象限可知，a＞0，b＜0；由函数的图象可知，a+b＜0，与已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，相吻合，故可能成立；
D、由函数y=ax+b过一、三、四象限可知，a＜0，b＜0；由函数的图象可知，a+b＜0，与已知a＞b，且a≠0，b≠0，a+b≠0，相吻合，故可能成立；
故选B．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．3．C
【解析】
【分析】
本题需根据二次根式的乘除法和加减法分别进行判断，即可求出正确答案．
【详解】
A、∵－≠，故本选项错误；
B、∵＋≠，故本选项错误；
C、∵×＝．故本选项正确；
D、÷＝≠，故本选项错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘除法和加减法，在解题时要注意知识的综合应用是本题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据函数y=kx+b的图象可以判断，要使y>0，即图象在x轴的上方，此时对应x的取值范围即为不等式kx+b>0的解集．
【详解】
∵函数y=kx+b过点(2,0)，即当y=0时，x=2，由图象可知
x<2时，函数图象在x轴的上方，即此时y>0，
∴不等式kx+b>0的解集为x<2，
故选：A．
【点睛】
考查了一次函数的图象和性质，数形结合的方法求解一次不等式的解集，熟练掌握函数的图象和性质以及和对应的一次不等式之间的关系是解题关键．
5．D
【解析】
【分析】
由DE∥BC可得AE DE
AB BC
=求出AE的长，由GF∥BN可得
AE EF GF
AB BN
+
=，将AE的长代入可求得BN．
【详解】
解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴AE DE
AB BC
=①，
AE EF GF
AB BN
+
=②，
由①可得，AE1
43
=，解得：
4
AE
3
=，
把
4
AE
3
=代入②，得：
4
11
3
4BN
+
=，
解得：
12 BN
7
=，
故选择：D.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.
【详解】
根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，
故选B．
【点睛】
考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．
7．A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【详解】
解：由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
A、∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，
ABC BAD
AB BA
CAB DBA
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，
C D
ABC BAD
AB BA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D 、在△ABC 与△BAD 中，BC AD ABC BAD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，△ABC ≌△BAD （SAS ），故D 正确；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．D
【解析】
分析：完全平方差公式是指：()2
22b 2ab a a b ±=±+，根据公式即可得出答案．
详解：根据完全平方公式可得：－m=±
6，则m=±6，故选D ． 点睛：本题主要考查的是完全平方公式，属于基础题型．明白完全平方公式的形式是解题的关键． 9．C
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解： 60.00000777.710-=⨯，
故选C ．
10．D
【解析】
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+2=0，得到x=-2，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值即可．
详解：方程两边都乘（x+2），
得：x-5=m ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母：x+2=0，
解得x=-2，
当x=-2时，m=-1．
故选D ．
点睛：此题考查了分式方程增根的知识．注意增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二、填空题
11．2x =
【解析】
【分析】
两边都乘以x(x-1)，化为整式方程求解，然后检验.
【详解】 原式通分得：2(1)0(1)
x x x x --=- 去分母得：()210x x --=
去括号解得，2x =
经检验，2x =为原分式方程的解
故答案为2x =
【点睛】 本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x 的值后不要忘记检验.
12．1
【解析】
【分析】
作DE ⊥AB 于E ．设AC=x ．由AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，推出DC=DE=6，由BC=16，推出BD=10，在Rt △EDB 中，BE==8，易知△ADC ≌△ADE ，推出AE=AC=x ，在Rt △ACB 中，根据AC 2+BC 2=AB 2，可得x 2+162=（x+8）2，由此即可解决问题．
【详解】
解：作DE ⊥AB 于E ．设AC=x ．
∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴DC=DE=6，
∵BC=16，
∴BD=10，
在Rt △EDB 中，BE=
=8， 易知△ADC ≌△ADE ，
∴AE=AC=x ，
在Rt △ACB 中，∵AC 2+BC 2=AB 2，
∴x 2+162=（x+8）2，
∴x=1，
∴AC=1．
故答案为1；
【点睛】
本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键。

13．±1．
【解析】
试题分析：当x=0时，y=k ；当y=0时，2
k x =，∴直线2y x k =-+与两坐标轴的交点坐标为A （0，k ），B （2k ，0），∴S △AOB =2
1922
k ⨯=，∴k=±1．故答案为±1． 考点：一次函数综合题．
14．2
【解析】
【分析】
首先根据已知条件，可得出矩形BEPF 和矩形BHQG 是正方形，阴影部分面积即为△ABD 的面积，即可得解.
【详解】
解：由已知条件，得∠DBC=∠ABD=∠BPE=∠BQH=45°，
∴矩形BEPF 和矩形BHQG 是正方形，
又∵BP 、BQ 分别为正方形BEPF 和正方形BHQG 的对角线
∴BPE BPF S S =△△，BHQ BGQ S S =△△
∴阴影部分的面积即为△ABD 的面积，
∴1122222
S AD AB ==⨯⨯= 故答案为2.
【点睛】
此题主要考查正方形的判定，然后利用其性质进行等量转换，即可解题.
15．①③④
【解析】
【分析】
先认真审题．理解新运算，根据新运算展开，求出后再判断即可．利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
①2⊗5=22-2×2×5=-16，故①正确；
②2⊗1=22-2×2×1=00=是有理数，故②错误；
③x ⊗y=x 2-2xy=0，是二元二次方程，不是二元一次方程，故③正确；
④不等式组()310
250x x ⎧-⊗+>⎨⊗->⎩变形为96104450
x x ++>⎧⎨-->⎩，解得53-＜x ＜14-，故④正确. 故的答案为：①③④
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，涉及了开方运算，方程的判断，不等式组的解集等，解此题的关键是能理解新运算的意义，题目比较好，难度适中．
16．122
- 【解析】
【分析】 设雕像的下部高为x m ，则上部长为（1-x ）m ，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：设雕像的下部高为x m ，则题意得：
11x x x -=， 整理得：210x x +-=，
解得：112x =- 或 212
x =- (舍去)；
∴它的下部应设计的高度为12
-.
故答案为：
122
-. 【点睛】 本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
17．① 一组邻边相等的矩形是正方形
【解析】
【分析】
根据正方形的判定定理添加一个条件使得矩形是菱形即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=BC ，
∴矩形ABCD 为正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．
故答案为：①，一组邻边相等的矩形是正方形．
【点睛】
本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理即可得到结论．
三、解答题
18．（1）第①步（2）1
5
【解析】
【分析】
（1）根据分式的乘除法可以明确小明在哪一步出错了，从而可以解答本题；
（2）根据分式的乘除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
（1）小明的解答不正确，错在第①步；
（2）221112111x x x
x x x x -+-÷⋅-+-+ ＝2(1)(1)11(1)11x x x x
x x x +--
-⋅⋅-++ ＝11x
x -+，
当x ＝23时，原式＝
2
11
3
2513
-=+．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19． (1)作图见解析，C 1的坐标C 1（-1,2）, C 2的坐标C 2（-3,-2）；（2）y=-x.
【解析】
分析：（1）①利用正方形网格特征和平移的性质写出A 、B 、C 对应点A 1、B 1、C 1的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到△A 1B 1C 1.
②根据关于原点对称的点的特征得出A 2、B 2、C 2的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到△A 2B 2C 2.
（2）根据A 与A 3的点的特征得出直线l 解析式.
详解：（1）如图所示， C 1的坐标C 1（-1,2）, C 2的坐标C 2（-3,-2）
（2）解：∵A （2,4），A 3（-4，-2），
∴直线l 的函数解析式：y=-x.
点睛：本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．
20．（1）证明见解析；（2）满足：APB APC 120∠∠==时，PA PB PC ++的值为最小；（3）点P 到7
【解析】
【分析】
()1问题的转化：根据旋转的性质证明△APP´
是等边三角形，则PP´=PA ，可得结论； ()2问题的解决：运用类比的思想，把APC 绕点A 逆时针旋转60度得到AP'C'，连接PP'，由“问题的
转化”可知：当B 、P 、P´、C´在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，确定当：APB APC 120
∠∠==时，满足三点共线；
()3问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角△ABC´
，利用勾股定理求AC´的长，即是点P 到这个三角
形各顶点的距离之和的最小值．
【详解】
问题的转化：
如图1，
由旋转得：∠PAP´=60°，PA=P´A ，
△APP´是等边三角形，
∴PP´=PA ，
∵PC=P´C ，
PA PB PC BP PP'P'C'∴++=++．
问题的解决：
满足：APB APC 120∠∠==时，PA PB PC ++的值为最小；
理由是：如图2，把APC 绕点A 逆时针旋转60度得到AP'C'，连接PP'，
由“问题的转化”可知：当B 、P 、P´、C´在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，
APB 120∠=，∠APP´=60°，
∴∠APB+∠APP´=180°，
B ∴、P 、P´在同一直线上，
由旋转得：∠AP´C´=∠APC=120°，
∵∠AP´P=60°，
∴∠AP´C´+∠A P´P=180°，
P ∴、P´、C´在同一直线上，
B ∴、P 、P´
、C´在同一直线上， ∴此时PA PB PC ++的值为最小，
故答案为：APB APC 120∠∠==；
问题的延伸：
如图3，Rt ACB 中，AB 2=，ABC 30∠=，
AC 1∴=，BC 3=，
把BPC 绕点B 逆时针旋转60度得到BP'C'，连接PP'，
当A 、P 、P´、C´在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，
由旋转得：BP=BP´，∠PBP´=60°，PC=P´C´，BC=B´C´，
BPP'∴是等边三角形，
∴PP´=PB ，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C´BP´=30°，
∴∠ABC´=90°，
由勾股定理得：AC´22222(3)7AB C B +=+='，
∴PA+PB+PC=PA+PP´+P´C´=AC´7
则点P 7．
【点睛】
本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
21．（1）A 、B 两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）17套．
【解析】
【分析】
（1）首先设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为（x-25）元，根据关键语句“用2000元购进A 种服装数量是用750元购进B 种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式（130-100）a+（95-75）（2a+4）＞1200，再解不等式即可．
【详解】
解：（1）设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为()25x -元，由题意得：
2000750225
x x =⨯-， 解得：100x =，
经检验：100x =是原分式方程的解， 251002575x -=-=，
答：A 、B 两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；
（2）设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装()24a +套，由题意得：
()()()1301009575241200a a -+-+>，
解得：16a >，
答：至少购进A 品牌服装的数量是17套．
【点睛】
本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A 、B 两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
22．（1）1000x -，900x -，400x -；（2）400900x ≤≤；（3）由A 地运往C 地400吨，运往D 地600吨；由B 地运往C 地500吨时运费最低
【解析】
【分析】
（1）从A 地运往C 地x 吨，A 地有1000吨，所以只能运往D 地（1000-x ）吨；C 地需要900吨，那么B 地运往C 地（900-x ），D 地需要600吨，那么运往D （x-400）吨；
（2）根据总运费=A 地运往C 地运费+A 地运往D 地运费+B 地运往C 地运费+B 地运往D 地运费代入数值或字母可得；
（3）根据（2）中得到的一次函数关系式，结合函数的性质和取值范围确定总运费最低方案。

【详解】
（1）1000x -，900x -，400x -
（2）()()()354090030100045400W x x x x =+-+-+-
1048000x =+ （400900x ≤≤ ）
（3）∵100k =>，
∴W 随x 的增大而增大。

∵400900x ≤≤
∴当400x =时，W 最小52000=.
∴由A 地运往C 地400吨，运往D 地600吨；
由B 地运往C 地500吨时运费最低。

【点睛】
本题考查了一次函数的应用，题目较为复杂，理清题中数量关系是解（2）题的关键，利用了一次函数的增减性，结合自变量x 的取值范围是解（3）题的关键。

23．（1）111(1)1n n n n =-++；（2）按这种倒水方式，这1L 水倒不完，见解析；（3）①x=45
；②()22n 3n 4n 3n 2+++ 【解析】
【分析】
（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）根据题意列出关系式，利用得出的规律化简即可；
（3）①方程变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出解；
②原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．
【详解】
（1）根据题意得：()1n n 1+=1n -1n 1
+； （2）前n 次倒出的水总量为
12+123⨯+134⨯+…+()1n n 1+=1-12+12-13+13-14+…+1n -1n 1+=1-1n 1+=n n 1
+， ∵n n 1
+＜1， ∴按这种倒水方式，这1L 水倒不完； （3）①方程整理得：[
12（1-13）+12（13-15）+12（15-17）+12（17-19）]•1x =1x 1+， [12（1-19）]•1x =1x 1
+， 49•1x =1x 1
+， 解得：x=45
，
经检验，x=
45
是原方程的解， ∴原方程的解为x=45； ②1123⨯⨯+1234⨯⨯+1345
⨯⨯…+()()1n n 1n 2++ =1111111113224335412n n n =12（112⨯-123⨯）+12（123⨯-134⨯）+12（134⨯-145⨯）+…+12[()1n n 1+-()()
1n 1n 2++] =12[112
⨯-()()1n 1n 2++] =()
22n 3n 4n 3n 2+++． 【点睛】
本题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，分式的混合运算，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．
24．3
【解析】
【分析】
由x ＋y ＝−5，xy ＝3，得出x ＜0，y ＜0，利用二次根式的性质化简，整体代入求得答案即可．
【详解】
∵x ＋y ＝−5，xy ＝3，
∴x ＜0，y ＜0，
+==(5)3
--=3． 【点睛】
此题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质，渗透整体代入的思想是解决问题的关键．
25．【解析】
【分析】
根据ABCD 是菱形，找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB+PE 的最小值，
根据勾股定理求出即可.
【详解】
解：如图，连接DE 交AC 于点P ，连接DB ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴点B 、D 关于AC 对称（菱形的对角线相互垂直平分），
∴DP=BP ，
∴PB+PE 的最小值即是DP+PE 的最小值（等量替换），
又∵ 两点之间线段最短，
∴DP+PE 的最小值的最小值是DE ，
又∵60DAB ︒∠=，CD=CB,
∴△CDB 是等边三角形，
又∵点E 为BC 边的中点，
∴DE ⊥BC （等腰三角形三线合一性质），
菱形ABCD 的边长为2，
∴CD=2，CE=1, 由勾股定理得22(1) DE=213-=， 3【点睛】
本题主要考查轴对称、最短路径问题、菱形的性质以及勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方），确定P 点的位置是解题的关键.
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ）．
A ．a=2，b=3，c=4
B ．a=4，b=4，c=5
C ．a=5，b=6，c=7
D ．a=5，b=12，c=13
2．如图，在ABC ∆中，90C =∠，30A ∠=，AB 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,D E ，若4AE =，则EC 的长是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．若正比例函数的图象经过(1，-2)，则这个图象必经过点( )
A ．(-1，-2)
B ．(-1，2)
C ．(2，-1)
D ．(-2，-1)
4．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在点F 处.连结CF ，当CEF ∆为直角三角形时，BE 的长是（ ）
A ．4
B ．3
C ．4或8
D ．3或6
5．下列选择中，是直角三角形的三边长的是（ ）
A ．1，2，3
B 253
C ．3，4，6
D ．4，5，6
6．在下列说法中：
①有一个外角是 120°的等腰三角形是等边三角形．
② 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．
③ 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．
④ 三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确的有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
7．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ） A ．()()35x x +-
B ．()()35x x -+
C ．()()235x x +-
D ．()()235x x -+
8．下列各图象中，（ ）表示y 是x 的一次函数．
A ．
B ．
C ．
D ．
9．将点P （2，1）沿x 轴方向向左平移3个单位，再沿y 轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（ ） A ．（1，1） B ．（-1，3） C ．（5，1） D ．（5，3）
10．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）
A ．∠A+∠B=∠C
B ．∠A ：∠B ：∠C=1：3：2
C ．a=2，b=3，c=4
D ．(b+c)(b-c)=a²
二、填空题
11．如图是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1，一个内角(∠O)为60°，△ABC 的各顶点都在格点上，则BC 边上的高为______．
12．计算：35210-⨯=_________．
13．若0234a b c ==≠，则a b 的值为__________，a b c a b c
+--+的值为________. 14．如图，△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∠B=70°，则∠ADE= 度．
15．函数y ＝kx 与y ＝6–x 的图像如图所示，则k ＝________．
16．如图：使△AOB ∽△COD ，则还需添加一个条件是： ．（写一个即可）
17．如图，点O(0，0)，A(0，1)是正方形OAA 1B 的两个顶点，以对角线OA 1为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 2A 3B 3，…，依此规律，则点A 10的坐标是_____．
三、解答题
18．如图1，点O 是正方形ABCD 的中心，点E 是AB 边上一动点，在BC 上截取CF BE =，连结OE ，OF ．初步探究：在点E 的运动过程中：
(1)猜想线段OE 与OF 的关系，并说明理由．
深入探究：
(2)如图2，连结EF ，过点O 作EF 的垂线交BC 于点G ．交AB 的延长线于点I ．延长OE 交CB 的延长线于点H ．
①直接写出EOG ∠的度数．
②若2AB =，请探究BH BI ⋅的值是否为定值，若是，请求出其值；反之，请说明理由
19．（6分）为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；
（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．
20．（6分）已知：正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过O 点的两直线OE 、OF 互相垂直，分别交AB 、BC 于E 、F ，连接EF ．
（1）求证：OE=OF ；
（2）若AE=4，CF=3，求EF 的长；
（3）若AB=8cm ，请你计算四边形OEBF 的面积．
21．（6分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作//DE AC 且12
DE AC =
，连接CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F .
(1)求证:OE CD =;
(2)若菱形ABCD 的边长为2, 60ABC ∠=︒.求AE 的长.
22．（8分）在某超市购买2件甲商品和3件乙商品需要180元；购买1件甲商品和4件乙商品需要200元．购买10件甲商品和10件乙商品需要多少元？
23．（8分）已知23,23a b ==-b a a b
-的值． 24．（10分）（1）因式分解：x 3-4x 2+4x
（2）解方程：4233
x x x -=-- （3）解不等式组2(2)43251x x x x ->-⎧⎨-<-⎩
，并将其解集在数轴上表示出来 25．（10分）在菱形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，试分别在下列两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图．
（1）在图1中，过点E 画BC 的平行线；
（2）在图2中，连接BD ，在BD 上找一点P ，使点P 到点A ，E 的距离之和最短．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．D
【解析】
本题只有22251213+=，故选D
2．C
【解析】
【分析】
连接BE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE ，再根据等边对等角的性质求出∠ABE=∠A ，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBE ，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CE ．
【详解】
如图，连接BE ，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE ，
∴∠ABE=∠A=30°，
在△ABC中，∠CBE=180°-∠A-∠ABE-∠C=180°-30°-30°-90°=30°，
∴CE=1
2
BE=
1
2
×4=2，
故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．
【详解】
解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
因为正比例函数y=kx的图象经过点（1，-2），
所以-2=k，
解得：k=-2，
所以y=-2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x的图象上，
所以这个图象必经过点（-1，2）．
故选B．
【点睛】
本题考查正比例函数的知识．关键是先求出函数的解析式，然后代值验证答案．
4．D
【解析】
【分析】
当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到
∠EFC=90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB=EF，AB=AF=1，可计算出CF=4，设BE=x，则EF=x，CE=8-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在AD边上时，如图2所示．此时四边形ABEF为正方形．
【详解】
解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=8，
∴22
=10，
68
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE=∠B=90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，
∴EB=EF，AB=AF=1，
∴CF=10-1=4，
设BE=x，则EF=x，CE=8-x，
在Rt△CEF中，
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴BE=3；
②当点F落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE=AB=1．
综上所述，BE的长为3或1．
故选D．
【点睛】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
5．B
【解析】。