2023-2024学年山东省聊城市聊城高二下学期5月月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省聊城市聊城高二下学期5月月考数学
模拟试题
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（）．
A.120种
B.90种
C.80种
D.60种
【正确答案】D
【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【详解】首先安排甲场馆的3名同学，即3
620C =；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即1
33C =；
最后安排2名同学到丙场馆，即2
21C =.所以不同的安排方法有：203160⨯⨯=种.故选：D.
2.6
2x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中含4x 项系数是（
）
A.12
B.60
C.192
D.240
【正确答案】A
【分析】利用展开式的通项公式直接求解.
【详解】6
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式66216622r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，
令6-2r =4,解得：r =1,
所以6
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中含4x 项系数是11
6212C =.
故选：A
二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．3.已知随机变量(
)2
~2,X N σ，()40.84P X <=，则(X 0)P ≤的值为（
）A.0.16 B.0.32
C.0.68
D.0.84
【正确答案】A
【分析】根据正态密度曲线的特征和曲线的性质得到曲线的对称轴为直线2x =，
(0)(4)P X P X ≤=≥=1(4)10.840.16P X -<=-=.
【详解】
由(
)2
~2,X N σ
，得正态密度曲线的对称轴为直线2x =，
如上图，则(0)(4)P X P X ≤=≥=1(4)10.840.16P X -<=-=.故选：A.
4.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产1
2，乙、丙两厂各生产1
4，而且各厂
的次品率依次为2%，2%，4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为（）A.0.025 B.0.08 C.0.07
D.0.125
【正确答案】A
【分析】利用全概率计算公式即可求解.
【详解】设A 1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B 表示次品，
则P (A 1)＝0.5，P (A 2)＝P (A 3)＝0.25，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.02，P (B |A 3)＝0.04，∴P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故选：A ．
5.已知67
017(1)()...x a x a a x a x +-=+++，若017...0a a a +++=，则3
a =
A.5-
B.20
- C.15
D.35
【正确答案】A
【分析】令1x =，可得66
017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，把二项式
化为66(1)(1)x x x +--，再利用二项展开式的通项，即可求解．
【详解】由题意，令1x =，可得66
017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，
所以二项式为666
(1)(1)(1)(1)x x x x x =++---所以展开式中3x 的系数为3322
66(1)(1)20155C C -+-=-+=-，故选A ．
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是
415，刮风的概率为215
，在下雨天里，刮风的概率为3
8
，则既刮风又下雨的概率为（）
A.
8
225
B.
12
C.
110
D.
34
【正确答案】C
【分析】根据条件概率的定义即可求得两事件同时发生的概率.【详解】解析：记“该地区下雨”为事件A ，“刮风”为事件B ，则P (A )=
415，P (B )=215
，P (B |A )=38，
所以P (AB )=P (A )P (B |A )=43115810
⨯=.故选：C.
7.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，当第n 次摸取到的是红球时，1n a =-；当第n 次摸取到的是白球时，1n a =，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7=3的概率为（
）
A.25
57
1233C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
B.25
27
2133C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.25
571133C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D.22
271233C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【正确答案】B
【分析】根据S 7=3知7次摸球中摸取红球和白球的次数，结合古典概型概率求出每次摸球时摸到红球的概率和摸到白球的概率，从而可选出正确答案.
【详解】解析：由S 7=3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，每次摸红球的概率为
23，摸取白球的概率为13，则S 7=3的概率为25
2
72133C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选:B .关键点睛:
本题关键是求出7次摸球中摸取红球和白球的次数，结合组合的思想进行求解.
8.已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（）
A.
()1,0- B.
()
2,∞+ C.
()
0,1 D.
()
,3-∞-【正确答案】A 【分析】
分四种情况讨论，分别判断x a =两边导函数值的符号，判断()f x 在x a =处是否取得极大值，即可筛选出a 的取值范围.
【详解】由()f x 在x a =处取得极大值可知，当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，
其等价于①存在(),,b x b a ∀∈，使得(1)()0a x x a +->，且②存在(),,c x a c ∀∈，使得(1)()0a x x a +-<；
若0a >时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，不满足②即不存在(,)x a c ∈，使得(1)()0a x x a +-<，故0a >时()f x 在x a =不是极大值；
若10a -<<时，(1)()0a x x a +->的解集为(1,)a -，(1)()0a x x a +-<的解集为
(,1)(,)a -∞-⋃+∞，满足①②，故10a -<<时，()f x 在x a =处取得极大值；
若1a =-，(1)()a x x a +-恒小于等于0，不满足①，故1a =-时，()f x 在x a =取不到极大值；若1a <-时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)a -，不满足②，故1a <-时，()f x 在x a =处取不到极大值.
综上，a 的取值范围是()1,0-.故选：A.
求函数()f x 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于,N m n *∈关于下列排列组合数，结论正确的是（）
A.C C m
n m
n n
-= B.1
1C C C m
m m n n
n
-+=+C.A C A m m m n n m = D.1
1A (1)A m m
n n
m ++=+【正确答案】ABC
【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】对于A ，由组合数的性质知，C C m n m
n n -=成立，A 正确；
对于B ，
1!!!(1)!
C C (1)!(1)!!()!!(1)!!(1)!m m n n n n m n n m n m n m m n m m n m m n m -⋅-+⋅+=
+=+
--+--+-+1(1)!C !(1)!
m n n m n m ++==-+，B 正确；对于C ，因A C A m n
m m n
m
=，因此A C A m m m n n m =成立，C 正确；
对于D ，因11
(1)!()!1()A (!
1!)A m n m n n n m n n m m n +++-=⋅=+≠+-，即11A (1)A m m n n m ++=+不成立，D 不正确.
故选：ABC
10.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
A.1-是函数()f x 的极小值点
B.3-是函数()f x 的极小值点
C.函数()f x 在区间()3,1-上单调递增
D.函数()f x 在0x =处切线的斜率小于零【正确答案】BC 【分析】
根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.【详解】由图象得3x <-时，()0f x '<，3x >-时，()0f x '，故()f x 在(,3)-∞-单调递减，在(3,)-+∞单调递增，故3x =-是函数()f x 的极小值点.对选项D ：显然()00f '>，故D 错误.故选：BC ．
本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.
11.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布2
11(,)N μσ，2
22(,)N μσ，
其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（）
附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D.若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587【正确答案】ACD
【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由图象可知，甲的图象关于75x =对称，乙的图象关于85x =对称，所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故选项A 正确，B 错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，
所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，故选项C 正确；
若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为10.6826
0.15872
-≈，故选项D 正确．故选：ACD ．
12.已知函数()ln x
f x e a x =+，其中正确结论的是（
）
A.当1a =时，()f x 有最大值；
B.对于任意的0a >，函数()f x 是()0,∞+上的增函数；
C.对于任意的a<0，函数()f x 一定存在最小值；
D.对于任意的0a >，都有()0f x >.【正确答案】BC
【分析】利用导数研究函数的性质即可.【详解】()x
a f x e x
'=+
，当1a =时，()ln x
f x e x =+，函数x y e =，ln y x =都是单调递增函数，
易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值，故A 错误；对于任意的0a >，函数x y e =，ln y a x =都是单调递增函数，则函数()f x 是()0,∞+上的增函数，故B 正确；
当0x →时，1x e →，ln x →-∞，故()f x →-∞，D 错误；
对于任意的a<0，()'x
a
f x e x
=+
，易知()'f x 在()0,∞+单调递增，
当x →+∞时，()f x →+∞，当0x →时，()f x →-∞，∴存在()0'0f x =，当00x x <<时，()'0f x <，函数单调递减，
0x x <<+∞，()'0f x >，函数单调递增，∴()()0min f x f x =，故C 正确，
故选：BC
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，属于中档题.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.计算22222
23456C C C C C ++++=______.
【正确答案】35
【分析】根据组合数的性质11m m m
n n n C C C -++=计算可得；【详解】解：22222
23456
C C C C C ++++32222
33456C C C C C =++++3222
4456C C C C =+++322
556C C C =++32
66C C =+37765
35
321
C ⨯⨯==
=⨯⨯故35
本题考查组合数的性质，属于中档题.14.在()4
111x x ⎛⎫+
+ ⎪⎝
⎭
的展开式中的常数项是________.【正确答案】5
【分析】把4(1)x +按照二项式定理展开，即可得到4
1(1)(1)x x
++的常数项.【详解】因为4
432
1
1(1)(1)(1)(4641)x x x x x x
x
++=+++++，所以展开式中的常数项是1
1145x x
+= .故5
本题主要考查二项式定理，熟练掌握二项式的展开式为解题的关键，属于简单题.15.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，
若1()3
E X =，则(31)D X +的值是______
x -101p
a
b
c
【正确答案】5
【分析】由条件求出111
,,632
a b c =
==，然后算出()D X ，然后可得(31)D X +.【详解】 a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，又1a b c ++=，且1
()3
E X a c =-+=，联立以上三式解得：111,,632
a b c =
==，()2
2
2
11111151013633329D X ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
则()2
5
(31)3959
D X D X +==⨯=故5
16.已知函数32()(1)31f x x a x ax =+--+，若()f x 在1x =处取得极值，则曲线()y f x =在点
(0,(0))f 处切线方程为________.
【正确答案】310x y +-=；
【分析】求导得到2'()32(1)3f x x a x a =+--，根据'(1)0f =得到1a =，计算()'03f =-，
()01f =得到切线方程.
【详解】32()(1)31f x x a x ax =+--+，则2'()32(1)3f x x a x a =+--，故'(1)32(1)30f a a =+--=，解得1a =，3()31f x x x =-+，2'()33f x x =-.故()'03f =-，()01f =，故切线方程为：31y x =-+，即310x y +-=.故答案为.310
x y +-=本题考查了函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知()7
270127x m a a x a x a x -=++++ 的展开式中4x 的系数是-35，
（1）求127a a a +++ 的值；（2）求1357a a a a +++的值.
【正确答案】（1）1（2）6
13572
a a a a +++=【详解】试题分析：（1）本题主要考查二项式定理，首先根据通项公式写出
()717,07,r
r r
r T C x m r r Z -+=-≤≤∈，令74r -=，从而求出m 的值为1，于是问题转化为
()
7
1x -的展开式，采用赋值法，首先令0x =，求出0a 的值，再令1x =，可以求出
0127a a a a ++++ 的值，这样得出127a a a +++ 的值；（2）两次赋值，分别令1x =，=1x -，
两个式子相减得到1357a a a a +++的值.
试题解析：∵()717,07,r
r r r T C x m r r Z -+=-≤≤∈，∴()3
3735C m -=-，∴1m =.
（1）令1x =时，()7
127110a a a +++=-=，①令0x =时，()7
011a =-=-.∴1271a a a +++= .
（2）令1x =-时，()7
7017112a a a -+-=--=- .②
①-②得613572a a a a +++=.
18.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？【正确答案】（1）256（2）24（3）144
【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；（2）由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案；
（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.
【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，（2）每个盒子不空，共有4
424A =不同的方法，
（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有23
44144C A =种不
同的放法．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.19.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．【正确答案】(1)
10
21
；(2)ξ
1
2
3
P
5421021514121
【分析】(1)用古典概型概率计算公式直接求解；
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应取值时的概率，最后列出分布列.
【详解】(1)所选3人中恰有一名男生的概率21
543
910
21
C C P C ⨯==；(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
()()()
2112
354544
333999
C C C C C 10511,2,3C 21C 14C 21P P P ξξξ⨯⨯=========∴ξ的分布列为:
ξ
0123
P
5421021514121
本题考查了古典概型概率计算公式、以及离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.20.已知函数()x
f x x e =⋅.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在[]2,1-上的最大值和最小值.
【正确答案】（1）增区间：()1,-+∞，减区间：(),1-∞-；（2）最小值为1
e
-
，最大值为e .【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数()f x 的单调区间；（2）先求出函数()f x 在区间[]
2,1-上的单调性，从而求出函数的最值问题.【详解】（1）()()()
()1x x x f x x e x e e x '''=⋅+⋅=+，
令()0f x ¢>，解得：1x -<，令()0f x '<，解得：1x <-；
∴函数()f x 的增区间：()1,-+∞，减区间.()
,1-∞-
（2）由（1）得：()f x 在[)2,1--递减，在(]1,1-递增，
故最小值为()11f e -=-
，又因()222f e
-=-，()1f e =，故最大值为()1f e =，因此函数()f x 在[]2,1-上的最小值为1e -
，最大值为e .21.为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为
16，第二种检测不合格的概率为110，两种检测是否合格相互独立．
（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利80-元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X 表示这3台产品的获利，求X 的分布列及数学期望．
【正确答案】（1）
14
；（2）分布列见解析，期望为30【分析】
（1）计算“每台新型防雾霾产品不能销售”的对立事件“每台新型防雾霾产品能销售”的概率，可得结果.
（2）列出X 所有可能取值，并计算每个值所对应得概率，然后列出分布列并计算期望，可得结果.
【详解】（1）设事件A 表示“每台新型防雾霾产品不能销售”事件A 表示“每台新型防雾霾产品能销售”所以()
113116104P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()()114
P A P A =-=
（2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为
3
4“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为1
4
X 所有的可能取值为：240-，120-，0，120
则()3
0311240464
P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭()2131391204464
P X C ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1223132704464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()333327120464
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为X
240-120-0120P 1
6496427642764
所以()()1927240120120646464EX =-⨯
+-⨯+⨯则30EX =本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，重点在于对随机变量的取值以及所对应概率的求取，同时掌握数学期望的公式，属基础题.
22.已知函数2()f x lnx mx =-，21()2
g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；
（2）若关于x 的不等式()1F x mx -恒成立，求整数m 的最小值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）2.
【分析】先求函数()f x 的导函数2
112()2mx f x mx x x -'=-=，再讨论①当0m 时，②当0m >时函数()f x 的单调区间及极值；
（2）不等式()1F x mx -恒成立等价于222(1)lnx x x m
x +++恒成立，再构造函数22(12)()lnx x h x x x +++=，利用导数求函数()h x 的最大值即可得解.【详解】解：（1）因为2()f x lnx mx =-，定义域为(0,)+∞，所以2
112()2mx f x mx x x -'=-=，①当0m 时()0f x '>恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，无极值，
②当0m >时令()0f x '>，0
x ∴<<，
令()0f x '<
，x ∴>
所以函数()f x
在
上为增函数，在，)∞+为减函数，
所以当x =1(21)2
ln m -+，无极小值，（2）：由()1F x mx -恒成立知222(1)lnx x x m
x +++恒成立，令22(12)()lnx x h x x x +++=
，则22
2(1)(2)()(2)x lnx x h x x x -++'=+，令()2x lnx x ϕ=+，因为11()4022
ln ϕ=-<，ϕ（1）10=>，()ϕx 为增函数．故存在01(2
x ∈，1)，使0()0x ϕ=，即0020lnx x +=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数，当0x x <时，()0h x '<，()h x 为减函数．所以0002000
2(1)1()()2max lnx x h x h x x x x ++===+，而01(2
x ∈，1)，所以01(1,2)x ∈，所以整数m 的最小值为2．
本题考查了利用导数研究函数的单调区间、极值及函数的最值，属综合性较强的题型.。