尼玛县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
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尼玛县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 设a ∈R ,且(a ﹣i )•2i (i 为虚数单位)为正实数,则a 等于( ) A .1 B .0 C .﹣1 D .0或﹣1
2. 二进制数)(210101化为十进制数的结果为( ) A .15 B .21 C .33 D .41
3. 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形,则该四棱锥的体积为( )
A .24
B .80
C .64
D .240
4. 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB=2,E 是棱PA 的中点,则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是( )
A .
B .
C .
D .
5. 已知集合{}{}
42
1,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+,且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素
x 对应,则,a k 的值分别为( ) A .2,3 B .3,4 C .3,5 D .2,5
6. 已知函数f (x )的图象如图,则它的一个可能的解析式为( )
A.y=2B.y=log3(x+1)C.y=4﹣D.y=
7.两个随机变量x,y的取值表为
若x,y具有线性相关关系,且y^=bx+2.6,则下列四个结论错误的是()
A.x与y是正相关
B.当y的估计值为8.3时,x=6
C.随机误差e的均值为0
D.样本点(3,4.8)的残差为0.65
8.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()
A.2=1 B.2=1 C.2=2 D.2=2
9.设函数的集合,平面上点的集合
,则在同一直角坐标系中,P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是
A4
B6
C8
D10
10.执行如图所示的程序框图,如果输入的t=10,则输出的i=()
A.4 B.5
C.6 D.7
11.若等式(2x ﹣1)2014=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2014x 2014
对于一切实数x 都成立,则a 0+
1+a 2+…+a 2014=( )
A .
B .
C .
D .0
12.已知双曲线的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,2] B .(1,2) C .[2,+∞) D .(2,+∞)
二、填空题
13.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=,且(0,2)
x ∈时2()1f x x =+,则(7)f 的值为 ▲ .
14.命题“若a >0,b >0,则ab >0”的逆否命题是 (填“真命题”或“假命题”.)
15.已知f (x )=
,则f (﹣)+f ()等于 .
16.某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合=0.9x+0.2(单位:亿元),预计今年该城市居民年收入为20亿元,则年支出估计是 亿元.
17.直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 .
18.若的展开式中含有常数项,则n 的最小值等于 .
三、解答题
19.如图,直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,D 、E 分别是AB 、BB 1的中点,AB=2,
(1)证明:BC 1∥平面A 1CD ;
(2)求异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小; (3)求三棱锥A 1﹣DEC 的体积.
20.已知函数f(x)=4x﹣a•2x+1+a+1,a∈R.
(1)当a=1时,解方程f(x)﹣1=0;
(2)当0<x<1时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围;
(3)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围.
21.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;
(2)求证:AC1∥平面CDB1.
22.已知关x 的一元二次函数f (x )=ax 2﹣bx+1,设集合P={1,2,3}Q={﹣1,1,2,3,4},分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对(a ,b ).
(1)列举出所有的数对(a ,b )并求函数y=f (x )有零点的概率;
(2)求函数y=f (x )在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
23.已知m ∈R ,函数f (x )=(x 2+mx+m )e x . (1)若函数f (x )没有零点,求实数m 的取值范围;
(2)若函数f (x )存在极大值,并记为g (m ),求g (m )的表达式;
(3)当m=0时,求证:f (x )≥x 2+x 3
.
24.(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲
如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于C B ,两点,弦AP CD //,BC AD ,相 交于点E ,F 为CE 上一点,且EC EF DE ⋅=2. (Ⅰ)求证:P EDF ∠=∠;
(Ⅱ)若2,3,2:3:===EF DE BE CE ,求PA 的长.
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识,意在考查逻辑推理能力.
尼玛县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
【解析】解:∵(a ﹣i )•2i=2ai+2为正实数, ∴2a=0, 解得a=0. 故选:B .
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题.
2. 【答案】B 【解析】
试题分析:()21212121101010
2
4
2=⨯+⨯+⨯=,故选B. 考点:进位制 3. 【答案】B 【解析】 试题分析:805863
1
=⨯⨯⨯=
V ,故选B. 考点:1.三视图;2.几何体的体积. 4. 【答案】B
【解析】解:以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系, 则B (2,0,0),E (0,0,1),A (0,0,0),C (2,2,0),
=(﹣2,0,1),
=(2,2,0),
设异面直线BE 与AC 所成角为θ,
则cos θ==
=
.
故选:B .
5. 【答案】D 【解析】
试题分析:分析题意可知:对应法则为31y x =+,则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩(1)或4231
3331
a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩(2),
由于*
a N ∈,所以(1)式无解,解(2)式得:25
a k =⎧⎨=⎩。
故选D 。
考点:映射。
6. 【答案】C
【解析】解:由图可得,y=4为函数图象的渐近线,
函数y=2,y=log 3(x+1),y=
的值域均含4,
即y=4不是它们的渐近线,
函数y=4﹣
的值域为(﹣∞,4)∪(4,+∞),
故y=4为函数图象的渐近线, 故选:C
【点评】本题考查的知识点是函数的图象,函数的值域,难度中档.
7. 【答案】
【解析】选D.由数据表知A 是正确的,其样本中心为(2,4.5),代入y ^=bx +2.6得b =0.95,即y ^
=0.95x +
2.6,当y ^
=8.3时,则有8.3=0.95x +2.6,∴x =6,∴B 正确.根据性质,随机误差e 的均值为0,∴C 正确.样
本点(3,4.8)的残差e ^
=4.8-(0.95×3+2.6)=-0.65,∴D 错误,故选D. 8. 【答案】D
【解析】解:由题意知圆半径r=,
∴圆的方程为2=2.
故选:D.
【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题.
9.【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a=-时,不符;a=0时,y=log2x过点(,-1),(1,0),此时b=0,b=1符合;
a=时,y=log2(x+)过点(0,-1),(,0),此时b=0,b=1符合;
a=1时,y=log2(x+1)过点(-,-1),(0,0),(1,1),此时b=-1,b=1符合;共6个10.【答案】
【解析】解析:选B.程序运行次序为
第一次t=5,i=2;
第二次t=16,i=3;
第三次t=8,i=4;
第四次t=4,i=5,故输出的i=5.
11.【答案】B
【解析】解法一:∵,
∴(C为常数),
取x=1得,
再取x=0得,即得,
∴,
故选B.
解法二:∵,
∴,
∴,
故选B.
【点评】本题考查二项式定理的应用,定积分的求法,考查转化思想的应用.
12.【答案】C
【解析】解:已知双曲线
的右焦点为F ,
若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率, ∴≥
,离心率e 2=
,
∴e ≥2,故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.
二、填空题
13.【答案】2- 【解析】1111]
试题分析:(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 考点:利用函数性质求值
14.【答案】 真命题
【解析】解:若a >0,b >0,则ab >0成立,即原命题为真命题,
则命题的逆否命题也为真命题,
故答案为:真命题.
【点评】本题主要考查命题的真假判断,根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键.
15.【答案】 4 .
【解析】解:由分段函数可知f ()=2×=.
f (﹣)=f (﹣+1)=f (﹣)=f (﹣)=f ()=2×=,
∴f ()+f (﹣)=+
.
故答案为:4.
16.【答案】 18.2
【解析】解:∵某城市近10年居民的年收入x 和支出y 之间的关系大致是=0.9x+0.2,
∵x=20,
∴y=0.9×20+0.2=18.2(亿元).
故答案为:18.2.
【点评】本题考查线性回归方程的应用,考查学生的计算能力,考查利用数学知识解决实际问题的能力,属于基础题.
17.【答案】3.
【解析】解:把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2,把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3,
∴直线与坐标轴的交点为(0,﹣2)和(﹣3,0),
故三角形的面积S=×2×3=3,
故答案为:3.
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式,属基础题.
18.【答案】5
【解析】解:由题意的展开式的项为T r+1=C n r(x6)n﹣r()r=C n r=C n r
令=0,得n=,当r=4时,n 取到最小值5
故答案为:5.
【点评】本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0,得到n的表达式,推测出它的值.
三、解答题
19.【答案】
【解析】(1)证明:连接AC1与A1C相交于点F,连接DF,
由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点,又D是AB的中点,
∴DF∥BC1,
∵BC1⊄平面A1CD,DF⊂平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD;…
(2)解:由(1)可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角.
DF=BC1==1,A1D==,A1F=A1C=1.
在△A1DF中,由余弦定理可得:cos∠A1DF==,
∵∠A1DF∈(0,π),∴∠A1DF=,
∴异面直线BC1和A1D所成角的大小;…
(3)解:∵AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB,
∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB,∴CD⊥平面ABB1A1,CD==1.
∴=﹣S△BDE﹣﹣=
∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=…
【点评】本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线BC1和A1D所成角,是中档题,解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用.
20.【答案】
【解析】解:(1)a=1时,f(x)=4x﹣22x+2,
f(x)﹣1=(2x)2﹣2•(2x)+1=(2x﹣1)2=0,
∴2x=1,解得:x=0;
(2)4x﹣a•(2x+1﹣1)+1>0在(0,1)恒成立,
a•(2•2x﹣1)<4x+1,
∵2x+1>1,
∴a>,
令2x=t∈(1,2),g(t)=,
则g′(t)===0,
t=t0,∴g(t)在(1,t0)递减,在(t0,2)递增,
而g(1)=2,g(2)=,
∴a≥2;
(3)若函数f(x)有零点,
则a=有交点,
由(2)令g(t)=0,解得:t=,
故a≥.
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数零点问题,是一道中档题.21.【答案】
【解析】解:(1)∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,
∴CC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴CC1⊥AC…
∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴AB2=AC2+BC2,∴AC⊥CB …
又C1C∩CB=C,
∴AC⊥平面C1CB1B,又BC1⊂平面C1CB1B,
∴AC⊥BC1…
(2)设CB1∩BC1=E,∵C1CBB1为平行四边形,
∴E为C1B的中点…
又D为AB中点,∴AC1∥DE…
DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1…
【点评】本题考查直线与平面垂直,直线与直线垂直,直线与平面平行的证明,考查逻辑推理能力.22.【答案】
【解析】解:(1)(a,b)共有(1,﹣1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,﹣1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3﹣1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),15种情况
函数y=f(x)有零点,△=b2﹣4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况满足条件
所以函数y=f(x)有零点的概率为
(2)函数y=f(x)的对称轴为,在区间[1,+∞)上是增函数则有,(1,﹣1),(1,1),(1,2),(2,﹣1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,﹣1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种情况满足条件
所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率为
【点评】本题主要考查概率的列举法和二次函数的单调性问题.对于概率是从高等数学下放的内容,一般考查的不会太难但是每年必考的内容要引起重视.
23.【答案】
【解析】解:(1)令f(x)=0,得(x2+mx+m)e x=0,所以x2+mx+m=0.
因为函数f(x)没有零点,所以△=m2﹣4m<0,所以0<m<4.
(2)f'(x)=(2x+m)e x+(x2+mx+m)e x=(x+2)(x+m)e x,
令f'(x)=0,得x=﹣2,或x=﹣m,
当m>2时,﹣m<﹣2.列出下表:
x (﹣∞,﹣m)﹣m (﹣m,﹣2)﹣2 (﹣2,+∞)
f'(x)+0 ﹣0 +
f(x)↗me﹣m↘(4﹣m)e﹣2↗
当x=﹣m时,f(x)取得极大值me﹣m.
当m=2时,f'(x)=(x+2)2e x≥0,f(x)在R上为增函数,
所以f(x)无极大值.
当m<2时,﹣m>﹣2.列出下表:
x (﹣∞,﹣2)﹣2 (﹣2,﹣m)﹣m (﹣m,+∞)
f'(x)+0 ﹣0 +
f(x)↗(4﹣m)e﹣2↘me﹣m↗
当x=﹣2时,f(x)取得极大值(4﹣m)e﹣2,
所以
(3)当m=0时,f(x)=x2e x,令ϕ(x)=e x﹣1﹣x,则ϕ'(x)=e x﹣1,
当x>0时,φ'(x)>0,φ(x)为增函数;当x<0时,φ'(x)<0,φ(x)为减函数,
所以当x=0时,φ(x)取得最小值0.
所以φ(x)≥φ(0)=0,e x﹣1﹣x≥0,所以e x≥1+x,
因此x2e x≥x2+x3,即f(x)≥x2+x3.
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用函数研究函数的极值,其中根据已知函数的解析式,求出函数的导函数是解答此类问题的关键.
24.【答案】
【解析】(Ⅰ)∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠ ∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得P EDF ∠=∠,又PEA DEF ∠=∠,∴EDF ∆∽EPA ∆,
∴ED
EP
EF EA =,∴EP EF ED EA ⋅=⋅,又∵EB CE ED EA ⋅=⋅,∴EP EF EB CE ⋅=⋅. ∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ,∴ 2
9
=EC ,∵2:3:=BE CE ,∴3=BE ,解得427=EP .
∴4
15
=-=EB EP BP .∵PA 是⊙O 的切线,∴PC PB PA ⋅=2
∴)29427(4152
+⨯=PA ,解得4
315=PA .……………………10分。