圆锥曲线的统一定义
利用几何画板辅助圆锥曲线曲线的统一定义
利用“几何画板”辅助圆锥曲线曲线的统一定义炎陵一中范林华圆锥曲线曲线的定义统一为：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹，当0<e<1时，它是椭圆；当e＝1时，它是抛物线；当e>1时，它是双曲线。
利用几何画板这一动态几何工具辅助教学，能更好地揭示圆锥曲线的规律，利于学生的认识和掌握。
下面介绍该课件的制作方法和步骤：一、确定对称轴、焦点、准线。
1．1 打开《几何画板》，新建文件；1．2 画一条水平直线x;1．3 作出直线x对象上的点K、F（焦点）；1．4 过K作直线x的垂线l（准线）。
二、设置离心率。
2．1 画一条线段AB；2．2 作出线段AB对象上的点E；2．3 通过度量、计算，求得线段AE与EB的比（离心率）；2．4 将比值标签改为e。
三、设置作轨迹所需的动态半径。
3．1 过任一点D作出两条相交直线m、n;3．2 以D为圆心，AE为半径画圆交直线m于M；3．3 以D为圆心，EB为半径画圆交直线n于N；作直线MN；3．4 作直线m上一点G，过G作MN的平行线交n于H；3．5 作出线段DG、DH。
四、作出轨迹。
4．1 以F为圆心，线段DG为半径画圆；4．2 以K为圆心，线段DH为半径画圆交直线x于P、Q两点，分别过P、Q 作x的垂线p 、q；4．3 改变E的位置或改变F的位置使圆F与直线p、q都相交，交点分别为P1、P2、P3、P4；4．4 选取P1（或P2、P3、P4）、点G、直线m，构造轨迹，即可作出所需轨迹。
4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象。
（若轨迹失真，可增加图象的采样数量）。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
第9讲：圆锥曲线的统一定义
第9讲：圆锥曲线的统一定义【知识整合】1. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线。
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点定直线l 是圆锥曲线的准线。
2. 椭圆的第二定义（1）焦点与准线的对应关系 对于方程)0(12222>>=+b a by ax ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为cax 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为cax 2=；对于方程)0(12222>>=+b a bx ay ，上焦点),0(1c F 对应的准线cay 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为cay 2-=。
（2）椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
3. 双曲线第二定义（1）焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程cax 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程cax 2=。
（2）双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax若),(11y x P 在左支上，1211,ex a PF ex a PF -=--=；若),(11y x P 在右支上，1211,ex a PF ex a PF +-=+=。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
曲线与方程
曲线与方程【要点梳理】要点一：圆锥曲线的统一定义当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)cc a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上） 的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=． 要点二：曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（）； （2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）. （3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．要点三：关于坐标法与解析几何1.解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.2.解析几何的两个基本问题：①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； ②通过方程，研究平面曲线的性质.3.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点四：求曲线方程①建系：建立适当的直角坐标系； ②设点：设动点坐标P(x,y)；③列式：写出动点P 满足的几何条件，把条件坐标化，得方程F(x, y)=0；④化简：化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线是。
圆锥曲线的统一定义复习
圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．2、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为2、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__2、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+b a by a x 的焦点到相应准线距离等于a ，则椭圆的离心率为2、已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条准线方程为x ＝32，则a ＝______，该双曲线的离心率为______．3、椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是4、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是 ．圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．x 23＋y 24＝12、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．解 易知a 2＝15，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，即c ＝4，则双曲线的准线方程为x ＝±154.3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.解由题意知c ＝2，则a 2c ＝a 22＝52，故a 2＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．解据题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2c ＝12，解得a ＝1，c ＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 22、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ A ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．解析 a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴准线x ＝a 2c ＝41＝4，两准线间距离为8，设P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2. ∵PF 1∶PF 2＝3∶1.又∵PF 1d 1＝e ，PF 2d 2＝e ，∴d 1∶d 2＝3∶1.又d 1＋d 2＝8，∴d 1＝8×34＝6.4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．9,1解析 由PFa2c－x 0＝e 推得PF ＝a －ex 0，又－a ≤x 0≤a ，故PF 最大值为a ＋c ，最小值为a －c .5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 4 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 131327探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__32、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．解： (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1，得a ＝5，b ＝3，c ＝4. 所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4，0)为椭圆的左焦点． 因为MA ＋MF ＝2a ＝10， 所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210， 所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210，即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意得，椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知，点M 到右准线的距离为MM ′， 由圆锥曲线的统一定义，得MA MM ′＝e ＝45，所以54MA ＝MM ′. 所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知，当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小， 即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，有x 225＋229＝1，解得x ＝553(舍去负值)， 即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2.3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．【解】 由双曲线的方程，知a ＝2，b ＝23，∴c ＝4，离心率e ＝ca ＝2，右准线的方程为x ＝1，设点P 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线的定义，有PF d ＝2，即12PF ＝d ，如图所示，过P 作右准线的垂线，垂足为D ，则P A ＋12PF ＝P A ＋d ＝P A ＋PD ，所以当P ，A ，D 三点共线时，P A ＋PD 的值最小，为4－1＝3.探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+babyax的焦点到相应准线距离等于a，则椭圆的离心率为215-2、已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝32，则a＝______，该双曲线的离心率为______．3233解析由已知得a2a2＋1＝32，化简得4a4－9a2－9＝0，解得a2＝3.又∵a>0，∴a＝3，离心率e＝ca＝3＋13＝233.3、椭圆22221()x ya ba b+=>>0的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22a bcc c-=， |PF|∈[a－c,a＋c] 于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c21112cac ca a⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，又e∈(0,1) 故e∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则该离心率e的取值范围是．)1,12[-。
高中三年级数学 圆锥曲线的统一定义及其应用
问题2 刘洋同学身高1.7 m, 若在这次跳投中，球在 头顶上方0.25 m处出手， 问：球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
3.5m 2.5m
4m
3.05 m
三 归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义 2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题 3、圆锥曲线在生活中的作用
一 创设情境 问题1:圆锥曲线形成的方法： 问题2：抛物线的定义是什么？ 问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
一 创设情境
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、 双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们 下一个统一的定义吗？ 圆锥曲线的统一定义：
A y 8x2( x 0) B y2 8x( x 0) C x2 8 y( x 0) D x 8 y2( x 0)
练习一
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1， 则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ( x 1)2 ( y ， 2则)2点P1的
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从 喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最 高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径 的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m
D 6m
P O
练习三
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确 落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距 离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
圆锥曲线统一定义
则m= (2)已知椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长是短轴长的
2倍,两准线间的距离为4,则椭圆的方程为
x 2 - 4 y 2 = 20 (3)已知双曲线 上有一点P,它到右焦点
的距离为6,则它到左准线的距离为
(4)双曲线的两条准线与对称轴交点是两个焦点 构成线段的三等分点,则双曲线的离心率为 例３.分别根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)长短轴之比为２：１，一条准线为x+4=0;
a2 y= c a2 y= c
x= - a c e= c > 1
2
例1.求下列曲线的焦4 y2 = 16;
(2)16 x 2 + 9 y2 = 144; (4)2 y - x = 8;
2 2
(3) x - 9 y = 36;
2
2
例2.填空题: 2 x2 + y = 1 y= - 9 , (1)椭圆 m + 4 9 的一条准线方程为 2
３.已知椭圆 ，能否在此椭圆位于y 轴左侧部分找到一点Ｍ，使它到左准线的距离 为它到两焦点的距离的等比中项？若存在，求 出Ｍ点的坐标；若不存在请说明理由．（你能 用几种方法解题？）
y2 x + =1 4 3
2
2 x2 + y = 1 上的点，且Ｐ 25 16
选做题
１.过椭圆左焦点作弦ＰＱ，以ＰＱ为直径作圆⊙Ｍ， 试判断⊙Ｍ与左准线的位置关系．对于双曲线是否有 类似的结论？抛物线呢？ ２.已知椭圆的焦点是 F1 (- 4,0), F2 (4,0) ，过点 F2 并垂
例5.椭圆 动点，当 ÐF1 PF2 为钝角时，求Ｐ点横坐标的取 值范围．
y2 x + =1 的焦点F1 , F2 ，点Ｐ为其上的 9 4
圆锥曲线的统一定义
到右焦点的距离等于
那么点P 那么点 13 ,那么点
到左准线的距离是 __________;
x2 y2 上点P到右焦点的距离为 到右焦点的距离为a, (2) 椭圆 2 + 2 = 1上点 到右焦点的距离为 4a a
则点P到左准线的距离是 则点 到左准线的距离是
.
例3．根据下列的条件求椭圆的标准方程: 根据下列的条件求椭圆的标准方程: (1)两准线间的距离为 (1)两准线间的距离为 18 5 ,焦距为 2 5
5
1 x2 y2 + = 1有共同的准线,且离心率为 (2)与椭圆 有共同的准线, (2)与椭圆 2 24 20
(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到 (3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 已知
2 4 5 ,过P作长轴的垂 两焦点的距离为 5 和 3 3
线恰好过椭圆的一个焦点. 线恰好过椭圆的一个焦点.
求下列曲线的焦点坐标和准线方程: 例1.求下列曲线的焦点坐标和准线方程 求下列曲线的焦点坐标和准线方程 (1) 25 x 2 + 16 y 2 = 400 (2) x 2 + 2 y 2 = 4 (3) x 2 − 2 y 2 = 1 (4) 2 y − x = 4
2 2
x2 y2 例2 (1) 如果双曲线 上一点P − = 1上一点 13 12
圆 锥 曲 线 的 统一定义
引例： 引例：
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 P(x,y)到定点F(c,0)
a 2 的距离的比是常数 c 定直线 l : x = ( a > c > 0 )， a c
求点P的轨迹. 求点P的轨迹.
【K12学习】圆锥曲线的统一定义 教案(苏教版选修2-1)
圆锥曲线的统一定义教案(苏教版选修2-1)2．5 圆锥曲线的统一定义●三维目标 1．知识与技能(1)圆锥曲线统一定义及其应用． (2)圆锥曲线的准线及其应用． 2．过程与方法(1)通过对圆锥曲线的统一定义的研究，体会三种曲线的内在统一性，培养学生归纳、总结能力．(2)通过对圆锥曲线统一定义的应用，培养学生对圆锥曲线的准线的理解，培养学生转换角度，认识问题的能力．(3)通过例题变式训练的求解，培养学生数学建模、解决问题的能力．体会特殊到一般，具体到抽象的认识规律．3．情感、态度与价值观在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物之间的联系，培养学生严谨的科学态度，勇于探索和敢于创新的科学精神．●重点难点重点：圆锥曲线统一定义的推导．难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用．(教师用书独具)●教学建议以前已学过求圆锥曲线的标准方程和利用圆锥曲线方程研究曲线几何性质的初步知识．本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，使学生掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系，进一步熟悉和掌握坐标法．通过设计导学提纲引导学生做好课前预习，明确本节的重难点，主动思考，发现问题，在课堂上分组讨论交流，合作探究，展示交流成果，学生主讲，学生板书，学生点评，当堂进行达标测试，及时反馈学生知识掌握水平，从而完成预定教学目标．引导学生在探究中发现问题、研究问题并解决问题．在感性活动的基础上，上升到理性的数学知识的形成，养成良好学习习惯和思维习惯．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，先回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出问题，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的(F不在l上)距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么，当比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么呢？师生x－c2＋y2c互动，探求新知．思考：在推导椭圆标准方程时，我们得到一个变形式：＝a.a2－xc同学们能解释它的几何意义吗？设计说明：使学生学会从多个角度(如代数的、几何的角度)认识同一个对象．学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．设计说明：使学生对圆锥曲线的共同性质有理性的认识．通过例1及变式训练，使学生掌握已知准线求圆锥曲线方程的方法，领会准线、离心率与基本量之间的关系，掌握圆锥曲线统一定义的实质，认识到准线在统一定义中的重要性．通过例2及变式训练，使学生掌握圆锥曲线统一定义的应用，利用圆锥曲线的统一定义，可将曲线上一点到焦点与到准线的距离灵活转换，从而达到解题的目的．利用圆锥曲线的统一定义，在已知焦点坐标和准线方程情形下求解圆锥曲线的方程．通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题的求解方法，体会利用统一定义求解焦点弦长的简捷性，从而简化计算过程．通过易错易误辨析，体会圆锥曲线统一定义的严谨性，尤其对于椭圆、双曲线，利用统一定义时，要注意焦点与准线相对应．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成力基本能.课标解读 1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点) 2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点) 【问题导思】圆锥曲线的统一定义如何求圆锥曲线的统一方程呢？【提示】如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，圆锥曲线的统一定义可知M∈{M||FM|＝e|MH|}．取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系．设点M的坐标为(x，y)，则|OM|＝x2＋y2. |MH|＝|x＋p|. x2＋y2＝e|x＋p|. 两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程．1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线． x2y2a2y2x22．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±，2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为yabcaba2＝±. cx2y2a2双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±。
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（1）求 ）
y
AM + MF2
的最大值； 的最大值；
分析： MF = 2a − MF 2 1
M
MA + MF2
F2
A (− 2,
3
)
F1
= MA − MF + 2a 1 ≤ AF1 + 2a x
= 3 +8
x2 y2 + = 1 内一点， F2 已知点A 内一点， 例3．已知点A (−2, 3) 为椭圆 16 12 为其右焦点， 为椭圆上一动点， 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
y
M A (− 2,
3
分析： M F 2 = e = 1
d
MA + 2 MF2
K N
2
)
F2
F1
1 = MA + 2× ×d 2 x = MA + d
≥ AN = 10
小结： 小结： 1、一个定义：圆锥曲线 的统一定义； 、一个定义： 的统一定义； 2、两个思想：分类讨论思想；数形结合思想； 、两个思想：分类讨论思想；数形结合思想； 3、重点难点：圆锥曲线的统一定义的应用。 、重点难点：圆锥曲线的统一定义的应用。
当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (c>a>0)时,这个 c a x2 y 2 点的轨迹是双曲线,方程为 2 - 2 =1(其中b2 a b =c2 -a 2 ),这个常数就是双曲线的离心率.
这样，圆锥曲线可以统一定义为 这样，圆锥曲线可以统一定义为: 可以统一定义
（1）求 ）
AM + MF2
的最大值； 的最大值；
的最小值。 （2）求 AM + 2 MF2 的最小值。 ）
x2 y2 + = 1 内一点， F2 已知点A 内一点， 例3．已知点A (−2, 3) 为椭圆 16 12 为其右焦点， 为椭圆上一动点， 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
的最小值. （2）求 AM + 2 MF2 的最小值 ）
y
2
l
P
· O F x
当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0)时,这个 c a 2 2 x y 2 点的轨迹是椭圆,方程为 2 + 2 =1(其中b a b 2 2 =a -c ),这个常数就是椭圆的离心率.
2
若(a>c>0)变为(c>a>0)呢?
平面内到一定点F 与到一条定直线l 平面内到一定点 与到一条定直线 ( 点F 不 在直线l 的点的轨迹: 在直线 上）的距离之比为常数 e 的点的轨迹
点的轨迹是椭圆 椭圆. 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆 点的轨迹是双曲线 双曲线. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线 点的轨迹是抛物线 抛物线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线
x2 y2 已知动点 P 与双曲线 − = 1 的 两 个 焦 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 为 定 值 ， 且 2 3
1 cos ∠F1 PF2的最小值为 − . 9
的轨迹方程; (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;
uuuu r uuur D(0,3),点 (Ⅱ)若已知点 D(0,3),点 M、N 在动点 P 的轨迹上且 DM = λ DN ,求实数λ 的 已知动点
5 (x −1) +(y−2) = 3x+4y+12
2 2
则P的轨迹是＿＿＿ 的轨迹是 抛物线 分析：
（x - 1) 2 + ( y − 2) 2 =1 3 x + 4 y + 12 5
2 2
已知动点P(x,y) 满足 变1: 已知动点 则P的轨迹是直线 的轨迹是＿＿＿
在推导椭圆的标准方程时,我 在推导椭圆的标准方程时 我 们曾经得到这样一个式子
a − cx = a (x − c) + y
2 2 2
将其变形为
( x − c)2 + y 2 c = 2 a a −x c
你能解释这个式子的几何意义吗? 你能解释这个式子的几何意义吗
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0),求点P的轨迹 c a
x2 y2 已知点A 内一点， 例3．已知点A (−2, 3)为椭圆 + = 1内一点， F2 16 12 为其右焦点， 为椭圆上一动点， 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
（1）求 ）
AM + MF2
的最大值； 的最大值；
x2 y2 + = 1 内一点， F2 已知点A 内一点， 例3．已知点A (−2, 3) 为椭圆 16 12 为其右焦点， 为椭圆上一动点， 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
5 (x −1) +(y−2) = 3x+4y-11
2 2
) 已知动点P(x,y) 满足 m (x −1 +(y−2) = 3x+4y+12 变2: 已知动点 此方程表示的轨迹是椭圆， 的范围为＿＿＿ 此方程表示的轨迹是椭圆，则m的范围为＿＿＿5 的范围为 m >
分析：
（x -1)2 + ( y − 2)2 5 = 3x + 4 y +12 m 5
围.
学习椭圆、双曲线、 学习椭圆、双曲线、抛物线存在 一些困惑？ 一些困惑？
1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭 圆、双曲线的定义区别较大 2、离心率：椭圆0＜e＜1 ，双曲线 e＞1, 抛 物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？
圆锥曲线的统一定义
平面内到一定点F的距离和到一定 直线l (F不在l上）的距离比等于1 的动点P 的轨迹是抛物线。 平面内到一定点F的距离和到一定直 线l(F不在l上）的距离比为常数（不 等于1） 等于 ）的动点P 的轨迹是什么？
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F 是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
例1:(1)已知双曲线
左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
x 2 y 2 − 64 36
= 1 上一点P到
(2)椭圆
x2 y2 + =1 25 9
的左右焦点分别为F1、F2
P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90° , 求∆F1PF2的面积. 60° 90° °