04 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式

不等式知识点详解

考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不等式知识要点1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--p p1)n ==≥pp（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()223279x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等。

几个常用不等式证明不等式方法辛

不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。

2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。

基本不等式的题型和解题技巧

基本不等式的题型和解题技巧基本不等式的题型和解题技巧什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，用于描述数的大小关系。

通过基本不等式的运用，可以解决各种实际问题和数学题目。

不等式的种类一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，可以用来表示一个变量的取值范围。

解这种不等式时，可以通过加减乘除等运算来推导出结果。

一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程在不等式形式下的表达。

解这种不等式时，可以先通过求解一元二次方程来找到其零点，然后根据零点的位置和曲线的凹凸性判断不等式的解集。

绝对值不等式绝对值不等式是以绝对值符号“| |”表示的不等式。

解这种不等式时，需要根据绝对值的性质将不等式分解成两个不等式，并分别求解。

分式不等式分式不等式是分子和分母中含有变量，并以不等式形式给出的不等式。

解这种不等式时，可以通过通分和分类讨论的方法，求解满足不等式的变量范围。

不等式解题的技巧画数轴对于一元一次不等式和一元二次不等式，可以画出数轴来帮助理解和解题。

将不等式中的变量取值范围标记在数轴上，可以更直观地找到不等式的解集。

利用性质不等式有许多性质，如加法性、乘法性、绝对值性质等，可以利用这些性质简化不等式的求解过程。

例如，对于一元一次不等式，可以通过加或减一个数使其变为一个已知的不等式，从而求解。

分类讨论对于复杂的不等式，可以将其分解成几个简单的不等式，并分别求解。

然后根据每个简单不等式的解集，确定整个不等式的解集。

图像法对于一元二次不等式，可以通过绘制抛物线的图像，根据抛物线的凹凸性和与x轴的交点来判断不等式的解集。

反证法如果无法直接求解不等式，可以尝试使用反证法。

假设不等式的解集存在某种矛盾，然后通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而可以得到正确的解集。

总结不等式是数学中重要的概念之一，掌握解不等式的技巧对于解决实际问题和应付各种数学题目都非常重要。

通过运用画数轴、利用性质、分类讨论、图像法和反证法等技巧，我们可以更轻松地解决各种类型的基本不等式题目。

初中数学知识点：不等式

初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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&1.1.1不等式的基本性质

&1.1.1不等式的性质 &1.1.1不等式的性质
一、实数的有序性
0 Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质: 1.实数在数轴上的性质实数在数轴上的性质: • 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数研究不等式的出发点是实数的大小关系。轴上的点与实数1 对应，轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
a > b, c < 0 ⇒ ac < bc. a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd.
单向性
5.乘方 : a > b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ Z, 且n ≥ 2 )
6.开方 : a > b > 0 ⇒ n a > n b (n ∈ Z, 且n ≥ 2)
同向相加相乘
二、不等式的基本性质
1、对称性：a > b ⇔ b < a
2、传递性：a > b, b > c ⇒ a > c
双向性
3、加（减）：a > b ⇒ a + c > b + c;
(加法法则)a > b, c > d ⇒ a + c > b + d; 4、乘(除 )：a > b, c > 0 ⇒ ac > bc;
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 a,b是两个实数, 是两个实数 A,B,那么当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B 那么, ,a<b;当点 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么a 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么aa,b的大小关系基本事实 a>b,那么是正数;如果a=b,那么a 等于零;如果a<b,那么a a=b,那么 a<b,那么 b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b是负数;反过来也对. 负数;反过来也对.

经典不等式23种不等式

经典不等式23种不等式经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。

2、小于等式：若x<y，则x≤y。

3、不等式：若x≠y，则x≠y。

4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。

5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。

6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。

7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。

8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。

9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。

10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。

11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。

12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。

13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。

14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。

15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。

16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。

17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。

18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。

19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。

20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。

21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。

22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。

23、条件不等式：若A>B 且C>D，则AC>BD。

不等式全名

不等式
基本不等式定义：
重要不等式包括：
基本不等式，完全基本不等式，排序不等式，柯西不等式，琴生不等式，均值不等式，绝对值不等式，权方和不等式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式，伯努利不等式，舒尔不等式，切比雪夫不等式，幂平均不等式，马尔可夫不等式，契比雪夫不等式，基本不等式，卡尔松不等式，几何不等式，外森比克不等式，克拉克森不等式，yu不等式，施瓦尔兹不等式，卡尔松不等式，三角不等式，erdos不等式，Milosevic不等式，等周不等式，芬斯拉不等式，嵌入不等式，杨氏不等式，车贝契夫不等式，马尔可夫不等式，典范类不等式，佩多不等式，四边形不等式，肖刚不等式，Arakelov不等式，卡拉玛特不等式，外森比克不等式，宫冈-丘不等式，柯西-施瓦茨不等式，Gronwall不等式
例题：
总结：
升华：。

1.1.1不等式的基本性质

性质 6 开方性质如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的

【高中数学】高中数学知识点：不等式的定义及性质

【高中数学】高中数学知识点：不等式的定义及性质不等式的定义：一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“<”“>”“≤”“≥”及“≠”。

严苛不等式的定义：用“>"“<”连接的不等式叫做严格不等式。

非严苛不等式的定义：用“≤”和“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．特别告诫：a=b，a>b中，只要存有一个设立，就存有a≥b．不等式的性质：（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a；（2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c；（3）如果a＞b，那么a+c＞b+c；（4）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；（5）如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d；（6）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；（7）如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈n，n≥2）；（8）如果a＞b＞0，那么（n∈n，n≥2）。

不等关系与不等式的区别：左右关系特别强调的就是量与量之间的关系，可以用符号“<…>…≤”“≥”去则表示，也可以用语言定义；而不等式则是用来表示不等关系的式子，可用“a>b”‘a<b”“a≥ba≤b”等式子来表示，不等关系是通过不等式来体现的．不等式的分类：①按成立的条件分：a．绝对不等式：不等式中的字母取任意实数值都恒成立的不等式叫做绝对不等式；b．条件不等式：不等式中的字母取某些允许值才能成立的不等式叫做条件不等式；c．矛盾不等式：不等式中的字母不论取何实数值都不能成立的不等式叫做矛盾不等式；②按不等号开口方向分后：a．同向不等式：不等号方向相同的两个不等式；b．异向不等式：不等号方向恰好相反的两个不等式．。

高一基本不等式题型及解题方法

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模、解决实际问题的基础。

学好基本不等式需要掌握一定的方法和技巧，下面我们来详细介绍高一基本不等式的题型及解题方法。

一、绝对值不等式1. |x|<a或|x|>a当绝对值小于a时，解集是(-a,a)的补集，即x<-a或x>a；当绝对值大于a时，解集是(-∞,-a)并(-a,a)的并集，以及(a,+∞)的并集。

一般来说，解绝对值不等式的步骤是：（1）首先分情况讨论|x|的取值范围，即|x|<a或|x|>a。

（2）接着用|x|号内的式子可以得到两个不等式，分别求解。

（3）最后将所得的解合并，得到最终的解集。

例如：求不等式|3x-2|<4的解集。

由不等式|3x-2|<4可以得到两个不等式：3x-2<4和3x-2>-4解得x<2和x>-2，最终合并得到解集为-2<x<2。

2. |ax+b|<c类似于上面的绝对值不等式，也是需分情况讨论|x|的判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|<10的解集。

同样首先得到两个不等式：3x+2<10和3x+2>-10解得x<8/3和x>-12/3，最终合并得到解集为-4<x<8/3。

3. |ax+b|>c同样可以按照上面的方法求解，即分情况讨论判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|>10的解集。

首先得到两个不等式：3x+2>10或3x+2<-10解得x>8/3或x<-12/3，最终合并得到解集为x<-4或x>8/3。

绝对值不等式是基本不等式的重要内容，解题时需要根据不等式的形式来分情况讨论，并运用代数知识进行解答，所以掌握绝对值不等式的方法是非常重要的。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中不等式中的重要内容，经常在不同的数学题型中出现，解题时可以分为以下几种情况：1. ax^2+bx+c>0，ax^2+bx+c<0对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，首先要求出二次函数对应的二次方程的零点，然后根据二次函数的开口方向判断解集。

高中数学不等式知识点总结教师版

高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容:不等式.不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求:（1)理解不等式的性质及其证明．ﻫ(2）掌握两个（不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用．(３)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.ﻫ(4）掌握简单不等式的解法.ﻫ（５)理解不等式│ａ│-│b │≤│a+b │≤│a │＋│ｂ│ 二、不等式知识要点 1. 不等式的基本概念（1）不等(等)号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式．（3）同向不等式与异向不等式．（4）同解不等式与不等式的同解变形． 2．不等式的基本性质 (1)a b b a <⇔>(对称性)(2)c a c b b a >⇒>>,(传递性）(3）c b c a b a +>+⇒>(加法单调性）(4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加) （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减) （６）bc ac c b a >⇒>>0,.（７）bc ac c b a <⇒<>0,(乘法单调性)(8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>(异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<(倒数关系) (１1))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) （１2）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)3．几个重要不等式 (1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） (3)如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则:错误!如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；错误!如果S 是定值, 那么当x =y 时，Ｐ的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则=ｂ＝c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号)2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（７)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4．几个著名不等式(1）平均不等式：如果ａ,b 都是正数,那么2112a ba b+≤+(当仅当a=ｂ时取等号）即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、ｂ为正数)：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a ＝ b 时,222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如:22222()()()ac bd a b c d +≤++．常用不等式的放缩法:①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n nn-==-≥++--1)2n nn n ==≥+-(2)柯西不等式: 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,(3）琴生不等式（特例)与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x)，对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称ｆ(ｘ)为凸(或凹)函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法．６.不等式的解法(1）整式不等式的解法(根轴法).步骤:正化，求根,标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax ＞ｂ解的讨论；②一元二次不等式ax 2+b ｘ＋c >０(a ≠0)解的讨论．（2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （３)无理不等式:转化为有理不等式求解错误()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域错误!⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或错误!⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f (4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>(5)对数不等式:转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩(６）含绝对值不等式错误!应用分类讨论思想去绝对值; 错误!应用数形思想; 错误!应用化归思想等价转化⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例(x 为正数）: ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式a bab a b +≥>>200(，，当且仅当a=b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。

绝对值不等式公式有哪些该如何解

绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。

下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

不等式概念及性质知识点详解与练习

不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念πφ 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。

（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号；（5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

不等式常用的式子

不等式常用的式子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不等式在数学中是一种非常重要的概念，它能够描述数值之间的大小关系，比较大小。

在实际生活中，我们经常会用到各种不等式来解决问题，比如生活中的成本问题、优化问题等。

不等式的解决方法不仅仅是代数运算，还包括了几何方法、图形法、拐角法等，它能够帮助我们更好地理解数学知识和解决实际生活中的问题。

在不等式的解决过程中，常用的式子有很多种，下面我们就来介绍一些常用的不等式式子。

1.绝对值不等式绝对值不等式是指形如|a| < b 的不等式，其中a 是一个数，b是一个正数。

绝对值不等式的解法是通过将不等式分为两部分来解决，一部分是a < b，另一部分是a > -b。

2.二次不等式二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0 的不等式，其中a、b、c 都是实数，且a ≠ 0。

解二次不等式的方法通常是通过讨论一元二次不等式的根的情况，找到正确的区间，从而确定不等式的解集。

3.分式不等式分式不等式是指形如f(x)/g(x) > 0 的不等式，其中f(x) 和g(x) 是多项式函数。

解分式不等式的关键是确定分式的定义域，找到分式的零点，然后根据零点的性质确定分式的正负性，从而得出不等式的解。

4.三角不等式三角不等式是指对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC、AB + AC > BC、BC + AC > AB 的关系。

三角不等式在几何中扮演着重要的角色，它能够帮助我们判断三角形的形状和性质。

5.平均值不等式平均值不等式是指对于任意n 个正数a1、a2、…、an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥ √(a1*a2*…*an) 的关系。

平均值不等式在概率论和数学分析中有着广泛的应用，能够帮助我们证明不等式的性质和定理。

6.柯西-施瓦次不等式柯西-施瓦次不等式是指对于任意n 维实数向量x、y，有|x*y| ≤ ||x|| * ||y||，其中||x|| 代表向量x 的范数（模），|x*y| 表示向量x 和y 的点积。

高中数学思维导图：不等式

名称
意义
约束条件
变量x,y需满足的条件
线性约束条件 x,y的一次不等式组
目标函数线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题
关于x,y的解析式
x,y的一次解析式
不等式组的解
可行解的集合
使目标函数取最大或最小值的x,y
在线性约束条件下求目标函数的最值问题
线性规划
a,b>0,当且仅当a=b时，“=”成立
特殊值法综合法
比较实数大小
应用
不等式
定义分类
用不等号连接的式子
成立条件
开口方向反对称性传递性
恒成立：绝对不等式部份成立：条件不等式恒不成立：矛盾不等式方向相同：同向不等式方向相反：异向不等式
加法单调性
基础知识
a>b
性质
乘法法则
倒数法则
且
乘方法则
且
开方法则
应用
除法法则证明简单不等式
证明相关命题真假比较实数大小求取值范围
内容
几何平均数，
算术平均数
当且仅当a=b时，“=”成立
a,b同号 a=b时取“=”
变形
基本不等式
和定积最大
积定和最小各项各因式为正，若为负，可提出负号
方法
求最值
和或积为定值
各项能取相等值，若不能取“=”，改用函数单调性求解
注意
合理拆凑使“=”成立
灵活运用注意“1”的妙用
证明不等式
合理配组，反复应用
封闭开放
几个二元一次不等式表示区域的公共部分
求可行域
最先，最后通过的顶点为最优解
作目标函数等值线平移等值线
注意： 1：自变量的取值范围 2:z=Ax+By中B的符号

绝对值不等式

绝对值不等式不等式1.绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式ax b c -≤，ax b c +≥类型. 1.c b ax ≤-的解法： I .当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- ∏.当0＜c 时，不等式解集为：空集 2.ax b c +≥的解法：I .当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 ∏.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数（2）绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-类型绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离． b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离．b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离． b x a x -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+-利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集．分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22（3）绝对值不等式x a x b c x a x b c ---≥---≤类型b x a x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到a 的距离与到b 的距离之差，故b a b x a x b a -≤---≤--利用图像和几何意义解c b x a x ≤---或c b x a x ≥---的解集．分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=---b x b a b x a b a x a x b a b x a x 2a xb x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到b 的距离与到a 的距离之差，故a b x b x a a b --≤---≤-利用图像和几何意义解c a x b x ≤---或c a x b x ≥---的解集．分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤++-<+-=---b x b a b x a b a x a x b a a x b x 2（4）绝对值不等式()b x n a x m x f -+-=类型结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值．绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值．书写过程：1|2|1|2||2||1|221≥-+≥-+-+-=-+-x x x x x x（5）绝对值不等式()b x n a x m x f ---=类型结论：系数大的决定最值，类似于二次函数，系数大的为正，开口向上，有最小值；系数大的为负，开口向下，有最大值．题型一.绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式ax b c -≤，ax b c +≥类型.（2）绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-；类型 1.设()|2||3|f x x x =-++．（1）解不等式()7f x >；（2）若关于实数x 的不等式()1f x a <-无解，求实数a 的取值范围．2.（2020•新课标Ⅱ）已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围．3.已知函数()|||3|f x x a x =+++．（1）当1a =-时，求不等式()9f x x ≥+的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集中包含[0，1]，求a 的取值范围．（3）绝对值不等式x a x b c x a x b c ---≥---≤；类型1.已知()|1||1|f x x a x =--+．（1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若不等式()1f x ≤无解，求实数a 的取值范围．2.已知()|2||1|f x x x =+--．（1）解不等式()f x x ≤；（2）设()f x 的最大值为t ，如果正实数m ，n 满足2m n t +=，求21m n +的最小值．（4）绝对值不等式()b x n a x m x f -+-=类型1.已知函数()|2|2|1|f x x x =-++，x R ∈．（1）求函数()f x 的图象与直线6y =围成区域的面积；（2）若对于0m >，0n >，且4m n +=时，不等式()f x mn ≥恒成立，求实数x 的取值范围．2.已知函数()|1|f x x =-．（1）求不等式()(2)4f x f x +≤的解集M ；（2）记集合M 中的最大元素为m ，若不等式2()()f mx f ax m +≤在[1，)+∞上有解，求实数a 的取值范围．（5）绝对值不等式()b x n a x m x f ---=类型1.已知函数()|2||1|f x x a x =--+．（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）若0a >，不等式()30f x +>恒成立，求实数a 的取值范围．2.已知函数()||2||(0f x x a x b a =+-->，0)b >．（1）当1a b ==时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()||g x f x x b =+-的最大值为2，求14a b +的最小值．。

【高中数学】高中数学知识点：不等式的定义及性质

【高中数学】高中数学知识点：不等式的定义及性质不等式的定义：一般来说，用不等式符号表示不平等关系的公式称为不等式。

常见的不平等符号是“<”>”≤" "≥“和”≠".严格不等式的定义：由“>”连接的不等式称为严格不等式。

非严格不等式的定义：由“”连接的不等式≤“和”≥“被称为非严格不平等特别提醒：a=b，a>b中，只要有一个成立，就有a≥b．不等式的性质：（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a（2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c（3）如果a＞b，那么a+c＞b+c；（4）如果a>b，C>0，则AC>BC；如果a>b，C<0，则AC<BC；（5）如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d；（6）如果a>b>0，C>d>0，则AC>BD；（7）如果a＞b＞0，那么aN＞bN（n∈n，n≥2）；（8）如果a>b>0，那么（n∈n，n≥2）。

不平等与不平等的区别：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“<…>…≤”“≥”来表示，也可以用语言表述；不等式是用来表示不平等关系的公式，可以用“a>b”、“a<b”和“a”的等式来表示≥ 文学士≤ 不平等的关系表现为不平等不等式的分类：① 根据存在条件：A.绝对不等式：不等式中字母的任何实值始终为真的不等式称为绝对不等式；b、条件不等式：不等式中的字母取某个允许值的不等式称为条件不等式；c、矛盾不等式：一个不等式中的字母无论取什么实际值都不能成立的不等式称为矛盾不等式；②按不等号开口方向分：a．同向不等式：不等号方向相同的两个不等式；b．异向不等式：不等号方向相反的两个不等式．。