.5北京东城区初三数学一模试题及答案
2019-2020学年北京市东城区九年级5月统一练习(一模)数学试题(有标准答案)
PNMF EDCBA北京市东城区第二学期统一练习（一）初三数学学校班级姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．数据显示：2016年我国预期. 全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高. 将数据1 314用科学记数法表示应为A ．31.31410⨯B ．41.31410⨯C ．213.1410⨯D ． 40.131410⨯ 2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a b ＜B ．a b ＞-C ．b a ＞D ．2a ＞-3．在一个布口袋里装有白、红、小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．164．某健步走运动的爱好者用手机个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 A ．1.2，1.3 B ．1.3，1.3 C ．1.4，1.35 D ．1.4，1.35. 如图，A 线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM 等于 A ．15° B ．25° C ．30° D ．45°6．下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同A B C DPOEDCBA7．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8. 如图，点A ，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a +b 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 某经销商销售一批一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元．这批电话手表至少有 A ．103块 B ．104块 C ．105块 D ． 106块10. 图1是某娱乐节环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是图1 图2A. A O DB. E A CC. A E DD. E A B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ab a -+= ．12．请你写出一个二次函数，其图○1开口向上；○2与y 轴的交点坐标为（0，1）. 此二次函数的解析式可以是 ．13. 若关于方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 15. 北京市2012-2016年常住人口增量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为 万人次，你的预估理由是 .16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.请回答：该作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--. 18. 解不等式122123x x ++-＞，并写出它的正整数解. 19．先化简，再求值： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭，其中22410x x +-=． 已知：线段AB.求作：以AB 为直径的⊙O .BA作法：如图， （1） 分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径 作弧，两弧相交于点C ，D ；（2）作直线CD 交AB 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆. 则⊙O 即为所求作的.FECBAD20．如图，在△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，求∠BAD 的度数．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线6y x=相交于点A （m ，3），B (-6，n )，与x 轴交于点C ．（1）求直线()0y kx b k =+≠的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且32ACP BOC S S =△△，求点P 的坐 标（直接写出结果）．22．列方程或方程组解应用题：在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中 （次） 罚球得分（分） 篮板 （个） 助攻（次） 个人总得分（分） 数据38271163433注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF =CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA =60°，BE =3ABCD 的周长．24.阅读下列材料：“共享单车”府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态.共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择.自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行.Quest Mobile 监测的M 型与O 型单车从2016年10月——2017年1月的月度用户使用情况如下表所示：F EOCBAD 图1DCBA根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据； （2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论.25. 如图，四边形ABC ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若DB 平分∠ADC ，AB =a ，AD ∶DE =4∶1，写出求DE 长的思路．26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.DCBADCBA DCBA（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；○1 ○2 ○3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）.27．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关 系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，l 与新图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围． 28. 在等腰△ABC 中，（1）如图1，若△ABC 为等边三段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将 线段AD 绕点D逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE .①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ； 思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ； ……请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1图2图329．设平面内一点到等边三角为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点. 在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，2)，B （﹣3，﹣1），C (3，﹣1). （1）已知点D （2，2），E （3，1），F （21-，﹣1）. 在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是 ； （2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO =30°.①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存在．．．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程） （3）如图2，点Q 为直线y =﹣1上一动点，⊙Q 的半径为21. 当Q 从点（﹣4，﹣1）出个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒.是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.图1图2北京市东城区第二学期统一练习（一） 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBDCBBACA题号1112 1314 15 16答案2(-1)a b答案不唯一如：21y x =+1k ＜6答案不唯一，合理就行垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义题8分） 17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--解：原式=23312-+- …………4分 =31-. …………5分 18. 解： 去分母得：3（x +1）＞2（2x +2）﹣6，…………1分去括号得：3x +3＞4x +4﹣6， …………2分 移项得：3x ﹣4x ＞4﹣6﹣3，…………3分合并同类项得：﹣x ＞﹣5， 系数化为1得：x ＜5.…………4分故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个.…………5分19. 解： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭ =22422x x x x x x -++⋅--+ =242x x x x ++-+ =4(2)x x +. …………3分∵ 22410x x +-=. ∴ 2122x x +=. …………4分 原式=8. …………5分20. 解：由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线．则AD =DC ．故∠C =∠DAC ．…………2分 ∵ ∠C =30°，∴ ∠DAC =30°． …………3分 ∵ ∠B =55°，∴ ∠BAC =95°． …………4分 ∴ ∠BAD =∠BAC ﹣∠CAD =65°． …………5分21．解：（1）由题意可求：m =2，n =-1．将（2，3），B (-6，-1)带入y kx b =+，得32,16.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得 1,22.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 直线的解析式为122y x =+. …………3分 （2）（-2,0）或（-6,0）. …………5分22．解：设本场比赛中该运动员投中两分球x 个，三分球y 个. …………1分依题意有23633,11.x y x y ++=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得6,5.x y =⎧⎨=⎩ …………4分答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个． …………5分FECBA D23. 解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB =CD ，∠FAD =∠AFB. 又∵ AF 平分∠BAD ， ∴ ∠FAD =∠FAB . ∴ ∠AFB =∠FAB . ∴ AB =BF.∴ BF =CD . …………3分（2）解：由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点.在Rt △BEF 中，∠BFA =60°，BE =23 可求EF =2，BF =4.∴ 平行四边形ABCD 的周长为12. …………5分24. 解：（1）…………4分（2）答案不唯一． …………5分25. 解：（1）证明：连接OD .∵ OD =CD ， ∴ ∠ODC =∠OCD . ∵ AC 为⊙O 的直径， ∴ ∠ADC =∠EDC=90°. ∵ 点F 为CE 的中点， ∴ DF =CF . ∴ ∠FDC =∠FCD . ∴ ∠FDO =∠FCO . 又∵ AC ⊥CE ， ∴ ∠FDO =∠FCO =90°.∴ DF 是⊙O 的切线. …………2分（2）○1由DB 平分∠ADC ，AC 为⊙O 的直径，证明△ABC 是等腰直角三角形； ○2 由AB =a ，求出AC 2a ； ○3 由∠ACE=∠ADC =90°，∠CAE 是公共角，证明△ACD ∽△AEC ，得到2ACAD AE =⋅；○4设DE 为x ，由AD ∶DE =4∶1，求出10DE a =. …………5分 26．解：（1）○2. …………1分 （2）它是一个轴对称图形；相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等. …………3分已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）燕尾四边形ABCD的面积为…………5分 27.解：（1）对称轴方程：2(2)12(2)m x m -+=-=+. …………1分（2）①∵直线l 与抛物线只有一个公共点,∴23n m =-+. …………3分 ② 依题可知：当237m -+=-时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点. ∴5m =. …………5分（3）抛物线2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+的顶点坐标是(1,23)m -+.依题可得 20,23 1.m m +>⎧⎨-+≥⎩解得2,1.m m >-⎧⎨≤⎩ ∴ m 的取值范围是21m -<≤. …………7分28.解：（1）30°； …………1分 （2）思路1：如图，连接AE .EDCBA,60. ..AD DE ADE ADE ABC EAB DAC AB AC AE AD EAB DAC CD BE =∠=︒∴∴∠=∠==∴∴=Q Q ，△为等边三角形.△为等边三角形,，，△≌△E…………5分思路2：过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F .…………5分思路3：延长CB 至G ，使BG =CD.…………5分（3）k (BE +BD )=AC . …………7分 29.解：（1）E ,F ; …………2分 （2）①解：依题意A （0，2），M （32，0）.可求得直线AM 的解析式为233+-=x y . 经验证E 在直线AM 上. 因为OE =OA =2，∠MAO =60°， 所以△OAE 为等边三角形， 所以AE 边上的高长为3.=60.,=60..===60,.,..ABC AC BC BAC DF AB DFC CDF AF BD ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADF DEB DF BE CD ∴=∠︒∴∠︒∴∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.===60,.,.,==60..ABC AC BC BAC CD BG DG AC ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADC DEG CD EG BG C G BGE BE BG CD ∴=∠︒=∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==∠∠︒∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形,，又△≌△△为等边三角形.当点P 在AE 上时，3≤OP ≤2.所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点. 所以0≤m ≤3; …………4分 ②﹣334≤b ≤2; …………6分 （3）t =25425-4 或 …………8分。
2020-2021学年东城区初三一模数学试题及答案
东城区2020—2021学年度第二学期初三年级统一测试（一） 初三数学 2021．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1.某几何体的三视图如图所示，该几何体是 A ． 三棱柱 B ． 正方体 C ． 圆锥 D ． 圆柱2. 在平面直角坐标系xOy 中， 下列函数的图象不过．．点（1，1）的是 A ．1y x= B ． 2y x = C ．+1y x =- D ． 3y x =3. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475 000 000公里的漫长飞行之后， “天问一号”成功进入火星轨道.将475 000 000用科学记数法表示应为A ．74.7510⨯B ．84.7510⨯C ． 94.7510⨯D ．647510⨯4. 一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上. 在图中所标记的角中，与∠1相等的角是 A ． ∠2 B ． ∠3C ． ∠4D ． ∠55. 如图，△ABC 经过旋转或轴对称得到△AB ′C ′，其中△ABC 绕点A 逆时针旋转60°的是6. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示. 下列式子正确的是A ．a b ＞B ．a b ＜-C ． 0a b -＜D ．ac bc ＞7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，PO 的延长线交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC . 若AO =2，OP ＝4，则∠C 等于A ．B ．C ．D ．8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm ，40cm. 现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm 长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到A ． 60 cmB ． 75 cmC ． 100 cmD ． 120 cm二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式21xx -的值为0，则x 的值等于 ． 10. 分解因式：2244ma mab mb -+= ．11. 用一组a ，b 的值说明“若a b ＞，则22a b ＞”是假命题，这组值可以是a = ，b = ．12. 4月23日是世界读书日. 甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x 本、乙同学购买图书y 本，则可列方程组为 .13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：20︒30︒45︒60︒根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为 .（精确到0.001）14. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 15. 若关于x 的一元二次方程()221+=0x m x c ++有两个相等的实数根，则c 的最小值是 ．16. 小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通方式有地铁、公交车、出租车、共享单车等.小青的家到地铁站（或公交）有一段距离，地铁站（或公交站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车. 共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算. 出行方式的相关信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断: ①如果使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4； ②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；③如果选择公交和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么，除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元.其中推断合理的是 .三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：11816sin 45.3-⎛⎫+---︒ ⎪⎝⎭18. 已知221010x x --=，求代数式()()()21211x x x ---+的值 ．19.尺规作图：如图，已知线段a ，线段b 及其中点．求作：菱形ABCD ，使其两条对角线的长分别等于线段a ，b 的长．作法：①作直线m ，在m 上任意截取线段AC =a ；②作线段AC 的垂直平分线EF 交线段AC 于点O ；③以点O 为圆心，线段b 的长的一半为半径画圆，交直线EF 于点B ，D ； ④分别连接AB ，BC ，CD ，DA ； 则四边形ABCD 就是所求作的菱形.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵OA =OC ，OB =OD ，∴四边形ABCD 是 ． ∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形. ()(填推理的依据) ．20. 解不等式组： 并写出其中的正整数解．21. 解分式方程：132122x xx x--=+++．22. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DE 的延长线交AB 于点F .过点B 作 BG ∥DF 交DC 于点G ，交AC 于点M . 过点G 作GN ⊥DF 于点N ． (1) 求证：四边形NEMG 为矩形； （2）若AB =26，GN =8，5sin =13CAB ∠，求线段AC 的长．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：y =kx +b 与直线y =3x 平行，且过点A （2，7）．(1) 求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线2l 与直线关于y 轴对称，直线y=m 与直线1l ，2l 围成的区域W 内(不包含边界)恰有6个整点，求m 的取值范围．1+251635341x x x x -⎧+⎪⎨⎪+-⎩＞，≥1l 1l24. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）求证：∠A+∠OFC=90°；（2）若3tan,62A BC==，求线段CF的长.25. 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行.为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了相关信息：a. 30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：b. 30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100)：c. 测试成绩在70≤x ＜80这一组的是： 70 73 74 74 75 75 77 78d. 小明的冬奥知识测试成绩为85分． 根据以上信息，回答下列问题：（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 ； （2）抽取的30名同学的成绩的中位数为________；（3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记21s ；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为22s ，序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为23s ，直接写出21s ，22s ，23s 的大小关系；（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 人．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ,()22,B x y 在抛物线()2222+2y x a x a a =-+--上，其中12x x ＜.（1）求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）； （2） ①当x a =时，求y 的值；②若120y y ==，求1x 的值（用含a 的式子表示）；（3）若对于12+x x ＜-4，都有12y y ＜， 求a 的取值范围.27. 已知∠MAN =30 ，点B 为边AM 上一个定点，点P 为线段AB 上一个动点（不与点A ，B 重合），点P 关于直线AN 的对称点为点Q ，连接AQ , BQ ． 点A 关于直线BQ 的对称点为点C ，连接PQ ，CP ． (1) 如图1，若点P 为线段AB 的中点.①直接写出∠AQB 的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP 与AP 的数量关系；(2) 如图2，若线段CP 与BQ 交于点D ．①设∠BQP=α，求∠CPQ 的大小（用含α的式子表示）； ②用等式表示线段DC ，DQ ，DP 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中202A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，202B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，202C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ，202D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，．M N ，为该正方形外两点，1M N =． 给出如下定义：记线段M N 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点M N ''，分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（M N P '''，，分别为点M N P ，，的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段M N 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如图1，平移线段M N ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122M N M N ， ，则这两条线段的位置关系是________；若12P P ，分别为1122M N M N ，的中点，在点12P P ，中，连接点P 与点________的线段的长度等于线段M N 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图2，已知点2102E ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，，若M N ，都在直线BE 上，记线段M N 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN的中点P的坐标为(2，2)，记线段M N到正方形ABCD的“平移距离”为2d，d的取值范围．直接写出2东城区2020-2021学年度第二学期初三年级统一测试（一）初三数学参考答案及评分标准 2021.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 0 10. ()22m a b - 11. 0,-1（答案不唯一） 21,12.22.x y x y =+⎧⎨+=⎩13. 0.167 14. 6 15. 0 16. ①②③ 三. 解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：1116sin 453-⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭= 16- ………………………………………………………………4分=2……………………………………………………………………5分18. 解：()()()21211x x x ---+22=22121x x x x x --+---………………………………………………………3分 2=5x x -. ……………………………………………………………4分∵221010x x --=，∴2152x x -=. ∴原式=2152x x -=. ……………………………………………………………5分 19. 解： (1)尺规作图如图；……………………………………………………………………………………3分（2） 平行四边形； ……………………………………………………………………4分对角线互相垂直的平行四边形是菱形.……………………………………………5分 20. 解：1+251,63534 1.x x x x -⎧+⎪⎨⎪+-⎩＞①≥②由①去分母，得 ()1+225+6x x -＞.去括号，得 1+410+6x x -＞.移项，得 410+61x x ---＞.合并同类项，得35x --＞.系数化为1，得 53x ＜.∴不等式①的解集为53x ＜. ………………………………………………2分 由②移项，得 5431x x ---≥.合并同类项，得4x -≥.∴不等式②的解集为4x -≥. ………………………………………………4分 所以，不等式组的解集为 53x -4≤＜，………………………………………………5分 其中正整数解为x =1. …………………………………………………6分21. 解：去分母，得 1=32+2x x x --+.……………………………………………………1分移项，得+2=32+1x x x -+.……………………………………………………… 2分合并同类项，得2=6x. …………………………………………………………3分系数化为1，得=3x. …………………………………………………………4分经检验，=3x是原方程的解.所以，原方程的解为=3x. …………………………………………………………5分22. (1)证明：∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°.∵BG∥DF,∴∠GME+∠DEC=180°.∴∠GME=90°.……………………………………………………………1分∵GN⊥DF,∴∠ENG=90°.∴四边形NEMG为矩形.………………………………………………………2分(2)解：∵四边形NEMG为矩形，∴EM=NG=8.在Rt△AMB中，∠AMB=90°.∵sin∠CAB=513BMAB, AB=26，∴BM=10. …………………………………………………………………3分根据勾股定理，得AM=24.∴AE=AM-EM=16.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC.∴∠DAE=∠BCM.∵∠AED=∠CMB=90°，∴△ADE≌△CBM(AAS).∴AE=CM.∴AC =2AE +EM =40.……………………………………………………………………5分23. 解：（1）∵直线与直线y =3平行，∴. …………………………………………………………………1分∵直线过点（2，7），∴.∴直线的表达式为.…………………………………………………2分（2）①当时，∵把代入，得, ∴直线与直线的交点为. 由图形的对称性，可知直线与直线2l 的交点为4(,5)3-. 结合图象，可知当m 1＜≤5时，区域W 内（不包含边界）整点个数小于6，不符合题意.当56m ＜≤时，区域W 内（不包含边界）恰有6个整点：（0，2），（0,3），（0，4），（-1,5），（0,5），（1,5）.当m ＞6时，区域W 内（不包含边界）整点个数大于6，不符合题意.∴56m ＜≤. ……………………………………………………………………4分 ② 当1m <时，由图形的对称性，得43m -<-≤.综上所述， 43m -<-≤，或5m ＜≤6.…………………………………………5分24.方法1：（1）证明：如图，作直径CG ，连接BG ，则∠GBC =90°.∵OE ⊥BC ， 1l 3k =1l 1b =1l 31y x =+1m >5y =31y x =+43x =5y =1l 4(,5)35y =∴∠1=90°=∠GBC.∴OF∥BG.∴∠G=∠2.∵∠G=∠A，∴∠A=∠2.∵CD是⊙O的切线，∴CG⊥CD.∴∠OCF=90°.∴∠2+∠OFC=90°.∴∠A+∠OFC=90°.……………………………………………………3分（2）∵∠G=∠A=∠2，∴3 tan tan2tan.2G A=∠==在Rt△BCG中，BC=6，3 tan2BCGBG==，∴BG=4.根据勾股定理，得CG=213. ∴OC=13.在Rt△OCF中，3 tan22CFOC∠==，∴3132CF=. ……………………………………………………………6分方法2（1）证明：如图，连接OC，OB，∵OE⊥BC,OB=OC,∴∠2=12∠BOC.∴∠A =12∠BOC . ∴∠A =∠2.∵CD 是⊙O 的切线，∴CO ⊥CD .∴∠2+∠OFC =90°.∴∠A +∠OFC =90°. ……………………………………………………3分(2) 解：∵OE ⊥BC ,∴CE =12BC =3. ∵∠3+∠OFC =90°，∠A+∠OFC =90°.∴∠A=∠3. ∴3tan 3tan .2A ∠== 在Rt △CEF 中，CE =3，3tan 32EF CE ∠==， ∴EF =92.根据勾股定理，得CF …………………………………………6分 25. 解:（1）5； …………………………………………………………………………1分（2）74； …………………………………………………………………………3分（3）222213s s s ＞＞； …………………………………………5分（4）140. …………………………………………………………………………6分 26. 解：（1）抛物线的对称轴为直线()2112a x a -=-=--. ………………………2分 （2）①当x a =时，222222=0y a a a a a =-+--+； ………………………3分②1=2x a -. ……………………………………………4分（3）①当a ≥-1时，∵12x x ＜，12+x x ＜-4，∴1x ＜-2，只需讨论1-1x a ＜的情况.若121x x a -＜＜，∵1x a -＜时，y 随着x 的增大而增大，∴12y y ＜，符合题意；若121x a x -＜＜，∵12a --≥，∴()14a --2≥.∵12+x x ＜-4，∴()12+1x x a -＜2.∴()121x a x --＜2.∵()2=1x a x --2时，2=y y ，1x a -＜时，y 随着x 的增大而增大， ∴12y y ＜，符合题意.②当a ＜-1时，令1=1x a -，2=2x -，此时12+x x ＜-4，但12y y ＞，不符合题意；综上所述，a 的取值范围是a ≥-1. ……………………………………6分27.（1）解：①∠AQB =90°；②补全图形，如图1，3CP AP =.………………………………………………………………3分（2）①解：如图2，连接CQ ，∵点P ，点Q 关于直线AN 对称，点A ，点C 关于直线BQ 对称， ,,.AP AQ CQ PAN QAN CQB AQB ∴==∠=∠∠=∠30,MAN ∠=︒60.PAQ ∴∠=︒∴△APQ 为等边三角形.60AQP ∴∠=︒，PQ =AQ . ∴CQ =PQ .∴∠C =∠CPQ .,BQP α∠=60.CQB α∴∠=︒+602.CQP α∴∠=︒+60.CPQ α∴∠=︒- …………………………………………………………5分 ②结论：.DC DP DQ =+证明：,CDQ CPQ BQP ∠=∠+∠60.CDQ ∴∠=︒在DC 上截取DE =DQ ，连接EQ ，∴△DEQ 为等边三角形.∴QE =QD .60.DEQ EDQ ∴∠=∠=︒120.CEQ PDQ ∴∠=∠=︒,,C CPQ CQ PQ ∠=∠=(AAS).CEQ PDQ ∴△≌△.EC DP ∴=∴=.DC EC DE DP DQ =++……………………………………………7分28.解：(1)平行，1P ； ……………………………………………………2分(2)如图，连接1BP ． ∵2102E ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，∴CE =1，即BC =CE ．∵∠ACB =45°，∴∠CBE =∠CEB =22.5°．∵11//M N BE ，∴1122.5BN M CBE ==︒∠∠．∵点1P 为11M N 的中点，∴11112BP N P ==∠． ∴111122.5N BP BN P ==︒∠∠.∴145PBE =︒∠ 过点P 1作P 1H ⊥BE 于点H ,则1BPH △为等腰直角三角形. ∵112BP =， ∴124PH =． ∵11PP PH ≥， ∴124PP ≥． ∴1d 的最小值是24. ……………………………………………………5分 (3)213322.22d -≤≤ ……………………………………………………7分。
2023学年北京市东城区初三(第1次)模拟考试数学试卷含答案解析
2022-2023学年北京市东城区初三（第1次）模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四个几何体中，主视图为三角形的是( )A. B. C. D.2. 年月日，国家统计局发布的中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报中报道：年全年研究与试验发展经费支出亿元，比上年增长，将数字用科学记数法表示应为( )A. B. C. D.3. 下面四个图案均由北京年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是( )A. B. C. D.4. 若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的值可能是( )A. B. C. D.5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为( )A. B. C. D.6. 下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是( )A. 甲同学平均分高，成绩波动较小B. 甲同学平均分高，成绩波动较大C. 乙同学平均分高，成绩波动较小D. 乙同学平均分高，成绩波动较大7. 如图，，按下列步骤作图：在边上取一点，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接；以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为( )A. B. C. D.8. 如图，动点在线段上不与点，重合，分别以，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为，线段的长为当点从点移动到点时，随的变化而变化，则表示与之间关系的图象大致是( )A. B. C. D.填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若分式的值为，则实数的值为．10. 分解因式：．11. 如图，已知，用直尺测量中边上的高约为结果保留一位小数．12. 已知点，在一次函数的图象上，则填“”“”或“”．13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是，点，，是网格线交点，则的外角的度数等于14. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，次抛掷的结果都是正面朝上的概率是．15. 如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是米．16. 一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有到的点数，相对两个面上的点数之和为骰子摆放的初始位置如图所示，骰子由初始位置翻滚一次，点数为的面落在号格内；再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；继续这样翻滚当骰子翻滚到号格时，朝上一面的点数为；依次翻滚次到号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为．计算题（本大题共2小题，共10.0分）17. 计算．18. 解不等式组解答题（本大题共10小题，共58.0分。
北京市东城区中学初三数学一模试卷试题及答案
..2016-2017学年北京市东城区初三年级一模试卷数学试卷一、选择题（此题共30分，每题3分）以下各题均有四个选项，此中只有一个是切合题意的.．．1.数据显示，2016年我国就业增加高出预期，整年城镇新增就业1314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高，将数据1314用科学计数法表示应为×103×104×102×1042.实数a，b在数轴上的对应点的地点以下图，则正确的结论是A.a＜bB.a＞ b ＞a D.a＞ 23.在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何差别，此中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中拿出1只球，则拿出黑球的概率是111D.1A. B. C.62344.某健步走运动的喜好者用手机软件记录了某几个月（30天）每日健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了以下图的统计图.在每日所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是，，，，5.如图，AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角形按以下图的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于°°°°6.以下哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都同样A. B. C. D.;...7.我国传统建筑中，窗框（如图 1）的图案玲珑剔透、变化多端 .如图2，窗框的一部分所显现的图形是一个轴对称图形，其对称轴有条条条条8.如图，点A，B的坐标分别为（2,0），（0,1），若将线段AB平移至A B，则a+b的值为119.某经销商销售一批电话腕表，第一个月以550元/块的价钱售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价钱将这批电话腕表所有售出，销售总数超出了万元，这批电话腕表起码有．．．块块块块10.图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场所由等边△ADE和正方形ABCD构成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P处搁置了一台主摄像机，游戏参加者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参加者匀速行进，且表示y与x的函数关系大概如图2所示，则游戏参加者的行进路线可能是图1图2A.A→O→DB.E→A→C→E→D→A→B二、填空题（此题共18分，每题3分）11.分解因式：ab2-2ab+a=.12.请你写出一个二次函数，其图像知足条件：①张口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1），此二次函数的分析式能够是.13.+2(k-1)x+k-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.若对于x的一元二次方程x2214.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为.15.北京市2012—2016年常住人口增量统计以下图，依据统计图中供给的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为万人，你的预估原因是.;...16.下边是“以已知线段直径作圆”的尺规作图过程已知：线段AB求作：以AB 为直径的eO 作法：如图，（1）分别以A ，B 为圆心，大于1AB 的长为半径作弧，两弧订交于点C ，D ；2（2）作直线CD 交AB 于点O（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆，则eO 即为所求作的.请回答：该作图的依照是三、解答题（此题共 72分，第17~26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）11 17.计算：122sin6022x+12x+218.解不等式>-1,并写出他的所有正整数解.2319.先化简，再求值：12x 2x4,此中2x 24x10.x x2x+2 ;...20.如图，在△ABC中, B 55, C 30，分别以点A和点C为圆心，大于1AC的长为半径画弧，2两弧订交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，求BAD的度数. ;...AB CD如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kxb（k0）与双曲线y6订交于点（，），21.x Am3B （-6，n），与x轴交于点C.（）求直线ykxb（k0）的分析式；1（2）若点P在x轴上，且S△ACP=3△BOC，求点P的坐标.（直接写出结果）2SyACO xB22.列方程或方程组解应用题：在某常CBA竞赛中，某位运动员的技术统计以下表所示：技术上场时间出手投篮投中罚球得分篮板助攻个人总得分（分钟）（次）（次）（分）（个）（次）（分）数据38271163433注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包含罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分.依据以上信息，求本场竞赛中该运动员投中两分球和三分球各几个.23.如图，四边形ABCD为平行四边形，BAD的角均分线AF交CD于点E，交BC的延伸线于点F.（1）求证：BF=CD；（2）连结BE，若BE AF, BFA 60,BE23,求平行四边形ABCD的周长.DEBC F;...24，阅读以下资料:“共享单车”是指公司与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区，公共服务区等 供给自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代 步选择，自行车也取代了一部分公共交通甚至打车的出行．QuestMobile 检测的M 型与O 型单车从2016年10月—2017年1月的月度用户使用户状况以下表所示：时间 APP 用户总数 重适用户 重合率 重适用户 独占用户 独占率 独占用户（万）数（万）（%）数（万）（%）人均单日使 人均单日 人均单日 人均单日 用次数（次）使用时长 使用次数 使用时长（分钟）（次）（分钟）M 型单车 5.53% 94.47%O 型单车27.91% 72.09%M 型单车 11.55% 88.45%O 型单车32.40% 67.60%M 型单车 13.87% 86.13%O 型单车37.15% 62.85%M 型单车 17.57% 82.43%O 型单车38.11%61.89%依据以上的资料解答以下问题：（1）认真阅读上表，将 O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中注明相应数据 （2）依据图表所供给的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论． 25.如图，四边形ABCD 内接于eO ，对角线AC 为eO 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延伸线于点E,点F 为CE 的中点，连结DB,DF ． (1)求证：DF 是eO 的切线;(2)若DB 均分∠ADC ，AB=a,AD:DE=4:1,写出求DE 长的思路．AO BDEF C26.在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质 .定义1：把四边形的某些边向双方延伸，其余各边有不在延伸所得直线的同一旁，这样的四边形叫做 凹四边形（如图 1）.;.B .. AC D1(1)依据凹四边形的定义，以下四边形是凹四边形的是；（填写序号）AABDC A DC BD B C123○○○定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁依据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了研究.下边是小洁的研究过程，请增补完好；(2)经过察看、丈量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选用此中的一条猜想加以证明；(3)如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6,BC=DC=4,∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积.(直接写出结果)AC B D图227.二次函数y(m 2)x2 2(m 2)x m 5，此中m20.（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l y轴.①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系式；;...②若抛物与x有两个交点，将抛物在x下方的部分沿x翻折，像的其余部分保持不，获得一个新的像.当n=7，直l与新的像恰巧有三个公共点，求此m的；（3）若于每一个定的x的，它所的函数都不小于1，求m的取范.28.在等腰△ABC中，（1）如1，若△ABC等三角形，D段BC的中点，段AD对于直AB的称段段AE，接DE，∠BDE的度数_______；（2）若△ABC等三角形，点D段BC上一点（不与B、C重合），接AD并将段AD点D逆旋60°获得段DE，接BE.①依据意在2中全形；②小玉通察、，提出猜：在点D的运程中，恒有CD=BE.与同学的充足，形成了几种明的思路：：要明CD BE，只需要接思路1AE，明△ADC≌△AEB；思路2：要明CD BE，只需重点D作DF∥AB，交AC于点F明△ADF≌△DEB；思路3：要明CD BE，只需要延CB至点G，使得BG CD，明△ADC≌△DEG；⋯⋯参照以上思路，帮助小玉明CD=BE.（只需要用一种方法明即可）（3）小玉的启了小明：如3，若AB AC kBC，AD k DE，且∠ADE=∠C，此小明BE，BD，AC三者之足必定的数目关系，个数目关系是______（.直接出无需明）;...AAAEEB DC BCBDC图3图1图229．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，对于一个点与等边三角形，给出以下定义：知足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关系点。
人教版_北京市东城区初三一模数学试卷及答案
东城区2021-2021学年度第一次模拟检测初三数学学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．如图，若数轴上的点A，B分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C 对应的实数是A. 2B.3C. 4D. 52. 当函数()212y x=--的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是A．x＞0B．x＜1C．1x＞D．x为任意实数3．若实数a，b满足a b＞，则与实数a，b对应的点在数轴上的位置可以是4．如图，O是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A．πB．3π2C．2πD．3π5．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°6．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x个，那么可列方程为A．30456x x=+B．30456x x=-C．30456x x=-D．30456x x=+7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等. 如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是A．15B．25C．12D．358．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心的一段弧，且错误!未指定书签。
2019-2020学年北京市东城区九年级5月统一练习(一模)数学试题有标准答案
PNMF EDCBA北京市东城区第二学期统一练习（一）初三数学学校班级姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．数据显示：2016年我国预期. 全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高. 将数据1 314用科学记数法表示应为A ．31.31410⨯B ．41.31410⨯C ．213.1410⨯D ． 40.131410⨯ 2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a b ＜B ．a b ＞-C ．b a ＞D ．2a ＞-3．在一个布口袋里装有白、红、小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．164．某健步走运动的爱好者用手机个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 A ．1.2，1.3 B ．1.3，1.3 C ．1.4，1.35 D ．1.4，1.35. 如图，A 线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM 等于 A ．15° B ．25° C ．30° D ．45°6．下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同A B C DPOEDCBA7．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8. 如图，点A ，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a +b 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 某经销商销售一批一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元．这批电话手表至少有 A ．103块 B ．104块 C ．105块 D ． 106块10. 图1是某娱乐节环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是图1 图2A. A O DB. E A CC. A E DD. E A B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ab a -+= ．12．请你写出一个二次函数，其图○1开口向上；○2与y 轴的交点坐标为（0，1）. 此二次函数的解析式可以是 ．13. 若关于方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 15. 北京市2012-2016年常住人口增量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为 万人次，你的预估理由是 .16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.请回答：该作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--. 18. 解不等式122123x x ++-＞，并写出它的正整数解. 19．先化简，再求值： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭，其中22410x x +-=． 已知：线段AB.求作：以AB 为直径的⊙O .BA作法：如图， （1） 分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径 作弧，两弧相交于点C ，D ；（2）作直线CD 交AB 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆. 则⊙O 即为所求作的.FECBAD20．如图，在△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，求∠BAD 的度数．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线6y x=相交于点A （m ，3），B (-6，n )，与x 轴交于点C ．（1）求直线()0y kx b k =+≠的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且32ACP BOC S S =△△，求点P 的坐 标（直接写出结果）．22．列方程或方程组解应用题：在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中 （次） 罚球得分（分） 篮板 （个） 助攻（次） 个人总得分（分） 数据38271163433注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF =CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA =60°，BE =3ABCD 的周长．24.阅读下列材料：“共享单车”府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态.共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择.自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行.Quest Mobile 监测的M 型与O 型单车从2016年10月——2017年1月的月度用户使用情况如下表所示：F EOCBAD 图1DCBA根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据； （2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论.25. 如图，四边形ABC ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若DB 平分∠ADC ，AB =a ，AD ∶DE =4∶1，写出求DE 长的思路．26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.DCBADCBA DCBA（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；○1 ○2 ○3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）.27．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关 系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，l 与新图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围． 28. 在等腰△ABC 中，（1）如图1，若△ABC 为等边三段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将 线段AD 绕点D逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE .①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ； 思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ； ……请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1图2图329．设平面内一点到等边三角为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点. 在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，2)，B （﹣3，﹣1），C (3，﹣1). （1）已知点D （2，2），E （3，1），F （21-，﹣1）. 在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是 ； （2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO =30°.①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存在．．．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程） （3）如图2，点Q 为直线y =﹣1上一动点，⊙Q 的半径为21. 当Q 从点（﹣4，﹣1）出个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒.是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.图1图2北京市东城区第二学期统一练习（一） 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBDCBBACA题号1112 1314 15 16答案2(-1)a b答案不唯一如：21y x =+1k ＜6答案不唯一，合理就行垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义题8分） 17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--解：原式=23312-+- …………4分 =31-. …………5分 18. 解： 去分母得：3（x +1）＞2（2x +2）﹣6，…………1分去括号得：3x +3＞4x +4﹣6， …………2分 移项得：3x ﹣4x ＞4﹣6﹣3，…………3分合并同类项得：﹣x ＞﹣5， 系数化为1得：x ＜5.…………4分故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个.…………5分19. 解： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭ =22422x x x x x x -++⋅--+ =242x x x x ++-+ =4(2)x x +. …………3分∵ 22410x x +-=. ∴ 2122x x +=. …………4分 原式=8. …………5分20. 解：由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线．则AD =DC ．故∠C =∠DAC ．…………2分 ∵ ∠C =30°，∴ ∠DAC =30°． …………3分 ∵ ∠B =55°，∴ ∠BAC =95°． …………4分 ∴ ∠BAD =∠BAC ﹣∠CAD =65°． …………5分21．解：（1）由题意可求：m =2，n =-1．将（2，3），B (-6，-1)带入y kx b =+，得32,16.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得 1,22.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 直线的解析式为122y x =+. …………3分 （2）（-2,0）或（-6,0）. …………5分22．解：设本场比赛中该运动员投中两分球x 个，三分球y 个. …………1分依题意有23633,11.x y x y ++=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得6,5.x y =⎧⎨=⎩ …………4分答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个． …………5分FECBA D23. 解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB =CD ，∠FAD =∠AFB. 又∵ AF 平分∠BAD ， ∴ ∠FAD =∠FAB . ∴ ∠AFB =∠FAB . ∴ AB =BF.∴ BF =CD . …………3分（2）解：由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点.在Rt △BEF 中，∠BFA =60°，BE =23 可求EF =2，BF =4.∴ 平行四边形ABCD 的周长为12. …………5分24. 解：（1）…………4分（2）答案不唯一． …………5分25. 解：（1）证明：连接OD .∵ OD =CD ， ∴ ∠ODC =∠OCD . ∵ AC 为⊙O 的直径， ∴ ∠ADC =∠EDC=90°. ∵ 点F 为CE 的中点， ∴ DF =CF . ∴ ∠FDC =∠FCD . ∴ ∠FDO =∠FCO . 又∵ AC ⊥CE ， ∴ ∠FDO =∠FCO =90°.∴ DF 是⊙O 的切线. …………2分（2）○1由DB 平分∠ADC ，AC 为⊙O 的直径，证明△ABC 是等腰直角三角形； ○2 由AB =a ，求出AC 2a ； ○3 由∠ACE=∠ADC =90°，∠CAE 是公共角，证明△ACD ∽△AEC ，得到2ACAD AE =⋅；○4设DE 为x ，由AD ∶DE =4∶1，求出10DE a =. …………5分 26．解：（1）○2. …………1分 （2）它是一个轴对称图形；相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等. …………3分已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）燕尾四边形ABCD的面积为…………5分 27.解：（1）对称轴方程：2(2)12(2)m x m -+=-=+. …………1分（2）①∵直线l 与抛物线只有一个公共点,∴23n m =-+. …………3分 ② 依题可知：当237m -+=-时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点. ∴5m =. …………5分（3）抛物线2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+的顶点坐标是(1,23)m -+.依题可得 20,23 1.m m +>⎧⎨-+≥⎩解得2,1.m m >-⎧⎨≤⎩ ∴ m 的取值范围是21m -<≤. …………7分28.解：（1）30°； …………1分 （2）思路1：如图，连接AE .EDCBA,60. ..AD DE ADE ADE ABC EAB DAC AB AC AE AD EAB DAC CD BE =∠=︒∴∴∠=∠==∴∴=Q Q ，△为等边三角形.△为等边三角形,，，△≌△E…………5分思路2：过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F .…………5分思路3：延长CB 至G ，使BG =CD.…………5分（3）k (BE +BD )=AC . …………7分 29.解：（1）E ,F ; …………2分 （2）①解：依题意A （0，2），M （32，0）.可求得直线AM 的解析式为233+-=x y . 经验证E 在直线AM 上. 因为OE =OA =2，∠MAO =60°， 所以△OAE 为等边三角形， 所以AE 边上的高长为3.=60.,=60..===60,.,..ABC AC BC BAC DF AB DFC CDF AF BD ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADF DEB DF BE CD ∴=∠︒∴∠︒∴∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.===60,.,.,==60..ABC AC BC BAC CD BG DG AC ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADC DEG CD EG BG C G BGE BE BG CD ∴=∠︒=∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==∠∠︒∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形,，又△≌△△为等边三角形.当点P 在AE 上时，3≤OP ≤2.所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点. 所以0≤m ≤3; …………4分 ②﹣334≤b ≤2; …………6分 （3）t =25425-4 或 …………8分。
2023-2024学年北京市东城区中考数学模拟试卷+答案解析
2023-2024学年北京市东城区中考数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.据台州市统计局调查数据显示，截至2019年年底，全市汽车保有量达到了1752000辆．将1752000用科学记数法表示是()A. B. C. D.2.下列说法正确的是A.两个相等的角不可能互余B.一个角的余角一定比这个角大C.一个角的补角一定比这个角大D.一个锐角的补角一定比这个角的余角大3.如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是的平分线，若，则等于()A. B. C. D.804.一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是()A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形5.如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点在A的右侧，则点E表示的数为()A. B. C. D.6.春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是()A. B. C. D.7.估计的运算结果最接近的整数是()A.2B.3C.4D.58.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度米与水平距离米之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为()A.米B.8米C.10米D.2米二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.10.中D、E、F是三边中点，若的面积是2，则的面积=__________.11.因式分解：__________.12.写出一个大于而小于的无理数：__________.13.若n为整数，且，则n的值为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，点在反比例函数的图象上，则n的值为__________.15.如图，切于A，B两点．连接AB，连接OP交AB于点C，若，，则半径为__________，PA的长为__________.16.某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表：规格每包食材含量每包售价A包装1千克45元B包装千克12元已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为__________包时，每日所获总售价最大，最大总售价为__________元．三、计算题：本大题共2小题，共12分。
初三东城区一模数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 3.14B. -√2C. 0D. 1/22. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2 - 4x + 4C. y = √xD. y = 3/x3. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°4. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则方程的解是（）A. x = 2, x = 3B. x = 3, x = 2C. x = 1, x = 4D. x = 4, x = 15. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点坐标是（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）二、填空题（每题5分，共25分）6. 计算：-2 × (-5) × (-3) = _______7. 若a = -3，则a^2 + a = _______8. 在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则△ABC的周长是_______。
9. 已知函数y = 2x - 1，当x=3时，y的值是_______。
10. 下列等式中，正确的是（）A. a^2 = aB. a^2 = (-a)^2C. a^2 = (-a)^3D. a^2 = a^3三、解答题（每题15分，共60分）11. （10分）已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，求该方程的解。
12. （15分）在△ABC中，AB=AC，∠B=45°，求△ABC的外接圆半径。
13. （15分）已知函数y = -x^2 + 2x + 3，求该函数的最大值。
14. （15分）在平面直角坐标系中，点P（-2，1）关于直线y=x的对称点坐标是_______。
四、附加题（共20分）15. （10分）某工厂生产一批产品，前10天每天生产30件，从第11天起，每天比前一天多生产5件。
2024年北京市东城区中考数学一模试卷及答案解析
2024年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（）A．B．C．D．2．（2分）2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A．1.33×107B．13.3×105C．1.33×106D．0.13×107 3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（2，3）4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|a|＜|b|B．a+1＜b+1C．a2＜b2D．a＞﹣b5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）在反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）6．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90°C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C 7．（2分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A．B．C．D．8．（2分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（）（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（2分）为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示：锻炼时间x5≤x＜66≤x＜77≤x＜8x≥8学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有____人．14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE＝DA，连接DB．若∠C＝20°，则∠DBE的度数为°．15．（2分）阅读材料：如图，已知直线l及直线l外一点P．按如下步骤作图：①在直线l上任取两点A，B，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AP于点C；②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，交BC于点Q；③作直线PQ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN是线段BC的；（2）若△CPQ与△CAB的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．16．（2分）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表：名称图形顶点数（V）面数（F）棱数（E）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式的值．20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形．延长BA到点E，使得AE＝AB，延长DA到点F，使得AF＝AD，连接BD，DE，EF，FB．（1）求证：四边形BDEF是矩形；（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的长．21．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD的长第一次 1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为____米．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a.1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是cm．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当，CD＝4时，求BF的长．25．（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：水平距离x/m01234飞行高度y/m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+1（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若点（2，1）在该抛物线上，求t的值；（2）当t≤0时，对于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的点，，连接AD．过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F．连接AF交BC 于点G．（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系；（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，①补全图形；②∠DAF与∠BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d．（1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为；（2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为；（3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．2024年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．【解答】解：A、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、长方体俯视图是矩形，故此选项符合题意；C、三棱锥俯视图是三角形（三角形内部有一点与三角形的三个顶点相连接），故此选项不合题意；D、圆柱俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1330000＝1.33×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据平行四边形的对边相等，对边平行求解即可．【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴顶点D的坐标为（3，2），故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．4．【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1，∴|a|＞|b|，∴选项A不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，∴a+1＜b+1，∴选项B符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜a2＜4，0＜b2＜1，∴a2＞b2，∴选项C不符合题意；∵0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∵﹣2＜a＜﹣1，∴a＜﹣b，∴选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．5．【分析】根据反比例函数比例系数k＝xy（k≠0），依次判断各个选项即可．【解答】解：根据题意得，k＝xy＝1×2＝2，∴将A，B，C，D四个选项中点的坐标代入得到k＝6的点在反比例函数的图象上．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是运用xy＝k解决问题．6．【分析】根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C，故A、B、C不符合题意，D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．7．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种，∴两次摸出的小球标号相同的概率为．故选：B．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．【分析】设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，根据正五边形的性质可得∠AOB＝72°，△AOB的面积＝m2，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠AOF＝36°，AB＝2AF，从而设OF＝x m，再在Rt△OAF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：如图：设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠AOB＝＝72°，△AOB的面积＝正五边形的面积＝m2，∵OA＝OB，OF⊥AB，∴∠AOF＝∠AOB＝36°，AB＝2AF，设OF＝x m，在Rt△OAF中，AF＝OF•tan36°≈0.7x（m），∴AB＝2AF＝1.4x（m），∴AB•OF＝，•1.4x•x＝，解得：x≈3.71，∴AB＝1.4x≈5.2（m），∴该正五边形的边长大约是5.2m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据被开方数不小于零的条件【解答】解：由题可知，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．10．【分析】提取公因式后再用平方差公式分解即可．【解答】解：2xy2﹣18x＝2x（y2﹣9）＝2x（y+3）（y﹣3）．故答案为：2x（y+3）（y﹣3）．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法和提取公因式法是关键．11．【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出3（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘x（x﹣3），得3（x﹣3）＝2x，3x﹣9＝2x，3x﹣2x＝9，x＝9，检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以分式方程的解是x＝9．故答案为：x＝9．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．【分析】总人数乘以样本中体育锻炼时间不低于7小时的人数所占比例即可．【解答】解：估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500×＝240（人），故答案为：240．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．14．【分析】由∠A＝90°，∠C＝20°，求得∠ABC＝70°，然后证明Rt△EBD≌Rt△ABD，推导出∠DBE＝∠DBA，或根据角平分线的性质证明BD平分∠ABC，求得∠DBE＝∠ABC＝35°，于是得到问题的答案．【解答】解法一：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵DE⊥BC于点E，∴∠BED＝90°，在Rt△EBD和Rt△ABD中，，∴Rt△EBD≌Rt△ABD（HL），∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．解法二：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵∠A＝90°，∴DA⊥BA，∵DE⊥BC，且DE＝DA，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明∠DBE＝∠DBA是解题的关键．15．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC 的垂直平分线．（2）由题意可得AP＝CP，CQ＝BQ，可证明△PCQ∽△ACB，根据相似三角形的性质可得答案．【解答】解：（1）由作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC的垂直平分线．故答案为：垂直平分线．（2）由作图过程可知，AP＝CP，∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CQ＝BQ，∴，∵∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴S1：S2＝＝．故答案为：．【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．16．【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，则由上面的规律数可以看出，棱数E＝5x，而顶点数V＝×5x，有欧拉公式列出二元一次方程；再由足球表面中所有白皮的边数等于所有黑皮的边数；组成方程组解决问题．【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；故答案为：V+F﹣E＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，由题意得，解得所以正五边形为12块，正三边形为20块．所以需要准备正三角形和正五边形的材料共32个．故答案为：32．【点评】本题考查等边三角形的性质，欧拉公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质计算即可．【解答】解：原式＝4﹣2×+1﹣2＝4﹣+1﹣2＝3﹣1．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＜4，解不等式②，得：x≥﹣2，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】根据2x﹣y﹣9＝0，得2x﹣y＝9，化简约分即可求出答案．【解答】解：∵2x﹣y﹣9＝0，∴2x﹣y＝9，∴＝＝，当2x﹣y＝9时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的值，关键是求出2x﹣y＝9．20．【分析】（1）先证明四边形BDEF为平行四边形，再由菱形的性质得AB＝AD，则BE＝DF，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，再由菱形的性质得∠ADB＝60°，AB ＝AD，进而证明△ABD是等边三角形，得AB＝AD＝BD＝2，则DF＝2AD＝4，然后由勾股定理求出BF的长即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AB，AF＝AD，∴四边形BDEF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AB＝AF＝AD，∴BE＝DF，∴平行四边形BDEF是矩形；（2）解：由（1）可知，AB＝AD，四边形BDEF是矩形，∴∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠ADC＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝2，∴DF＝2AD＝4，∴BF＝＝＝2，即BF的长为2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）由同一时刻测量，可得＝，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于x、y的方程；（2）已经求得y＝10，将y＝10代入任一个方程，可求得x的值，即得钟楼的高度．【解答】解：（1）由同一时刻测量，可得＝，第一次测量：，化简得，y＝0.6x﹣15.8，第二次测量：＝，化简得，y＝0.7x﹣20.1，故答案为：y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；（2）对于y＝0.6x﹣15.8，代入y＝10，得，0.6x﹣15.8＝10，解得：x＝43，∴钟楼AB＝43米，故答案为：43．【点评】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到＝是本题的关键．22．【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），可得，即可解得一次函数的解析式为y＝x+1；从而求出B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，根据当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，可得﹣3+m≥0，可解得答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A （3，2），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1，解得x＝﹣3，∴B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，∴﹣3+m≥0，解得m≥3，∴m的取值范围是m≥3．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式﹣3+m≥0解决问题．23．【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；（2）根据方差的概念，即可作答；（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．【解答】解：（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：（174+176）÷2＝175，故m＝175；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n＝176；故答案为：175、176．（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于168﹣179，2班的身高分布于168﹣183，从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，故答案为：1．（3）（171+172+174+174+176+177）÷6＝174（厘米）设2班第六位选手的身高为x厘米，则（171+174+176+176+178+x）÷6≥174，x≥169，据此，第六位可选的人员身高为170、183，若为170时，2班的身高数据分布于170﹣178，若为183时，2班的身高数据分布于171﹣183，从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，所以第六位选手的身高应该是170厘米，故答案为：170．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，求得∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；（2）设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，根据勾股定理得到OF＝＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC∥AD，∵CDAD，∴OC⊥DF，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：∵，∴，设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，∴OF＝＝x，∵OC∥AD，∴△AFD∽△OFC，∴，∴，∴x＝2，∴BF＝OF﹣OB＝10﹣2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）令y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35中x＝0，求出y的值即可（或由表格信息直接得出）；（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，再比较即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，故击球点的高度为1.1m；（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为（3，2），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2，过点（4，1.9），∴1.9＝a（4﹣3）2+2，解得a＝﹣0.1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，（3）∵第一次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，∵第二次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，∵+1＜+1.5，∴d1＜d2，故答案为：＜【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．26．【分析】（1）点（2，1）代入解析式求得b＝﹣2a，进一步即可求得t＝1；（2）根据二次函数的性质即可得到x1的取值范围．【解答】解：（1）∵点（2，1）在该抛物线∴4a+2b+1＝1，∴b＝﹣2a，∴t＝﹣＝1；（2）∵t≤0时，x2＞2，∴N（x2，y2）的对称点的横坐标x3＜﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）开口向上，y1＜y2，∴﹣2≤x1≤2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）运用等腰三角形性质可得AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，再证明A、E、F 在同一条直线上，即可得出答案；（2）①按照题意作图即可；②过点A作AH⊥BC于点H，可证得△ADH≌△DFE（AAS），得出AD＝DF，即△ADF是等腰直角三角形，即可证得结论；（3）将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，可证得∠DBG′＝90°，运用勾股定理可得BD2+BG′2＝DG′2，再证得△ADG′≌△ADG（SAS），即可得出答案．【解答】解：（1）当点D与点B重合时，∠DAF＝∠BAC，理由如下：如图1，∵点D与点B重合，点D，E是BC边上的点，且DE＝BC，∴E是BC的中点，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，∵EF⊥BC，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠BEF＝180°，即A、E、F在同一条直线上，∴∠BAF＝∠BAC，即∠DAF＝∠BAC；（2）①补全图形如图2所示：②∠DAF＝∠BAC仍然成立，理由如下：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHD＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠AHD＝∠DEF，∵∠ADH+∠FDE＝∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠FDE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，∴AH＝BC，∵DE＝BC，∴AH＝DE，∴△ADH≌△DFE（AAS），∴AD＝DF，∵∠ADF＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAC；（3）BD2+CG2＝DG2，理由如下：如图4，将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，则BG′＝CG，AG′＝AG，∠ABG′＝∠ACG，∠BAG′＝∠CAG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACG＝45°，∴∠ABC+∠ABG′＝90°，即∠DBG′＝90°，∴BD2+BG′2＝DG′2，由（2）知∠DAF＝45°，即∠DAG＝45°，∴∠BAD+∠CAG＝45°，∴∠BAD+∠BAG′＝45°，即∠DAG′＝45°，∴∠DAG′＝∠DAG，在△ADG′和△ADG中，，∴△ADG′≌△ADG（SAS），∴DG′＝DG，∴BD2+CG2＝DG2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）根据定义得出点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，进而得出结果；（2）延长NQ，MP交于点A，得出四边形ANOM是矩形，AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），从而得出OA＝＝，进而得出结果；（3）设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，可得出△PBQ是等边三角形，可得出点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，从而得出当点B越往上，MN越大，从而推出当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小；当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，可求得AE＝，AF＝OF＝EF＝2，从而得出BF和BE的值，进而得出BM和BN的值，进一步得出结果；当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，∴线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为：1+2＝3，故答案为：3；（2）如图1，延长NQ，MP交于点A，∵QN⊥y轴，PM⊥x轴，∴∠ANO＝∠AMO＝90°，∵∠MON＝90°，∴四边形ANOM是矩形，∴∠NAM＝90°，MN＝AO，∵线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动，∴∠AQP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），∴OA＝＝，∴当m＝1时，OA＝2，最小∴MN的最小值为：2，故答案为：2；（3）如图2，1设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，∴∠CDO＝∠OCD＝30°，∵QN⊥l2，PM⊥x轴，∴∠CNQ＝∠PMD＝90°，∴∠BQP＝∠CQN＝60°，∠BPQ＝∠MPD＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴∠QBP＝60°，AB⊥PQ，∠PBA＝30°，∴点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，∴当点B越往上，MN越大，∴当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小，如图3，当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，∴AP⊥BM，∴AB＝2AP＝2，∵∠AOE＝90°，∠OAE＝∠PBA＝30°，OA＝2，∴AE＝，∵∠FOE＝∠FEO＝60°，∴∠OFE＝60°，∴∠OAF＝∠AOF＝30°，∴AF＝OF＝EF＝2，∴BF＝AF+AB＝4，BE＝AE+AB＝6，∴BN＝BF•sin∠BFN＝4•sin60°＝2，BM＝BE•sin∠FEO＝6•sin60°＝3，∴MN2＝BN2+BM2﹣BN•BM＝（2）2+＝21，∴MN＝，如图4，当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，∵PF＝AF﹣AP＝2﹣1＝1，EQ＝AE﹣AQ＝4﹣1＝3，∴PN＝PF＝，QM＝EQ＝，∴MN2＝PN2+QM2﹣PN•QM＝，∴MN＝，∴．【点评】本题考查了新定义的阅读理解，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化题意。
2024届北京市东城区名校九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2024届北京市东城区名校九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝12，DE ＝4cm ，则BC 的长为（ ）A ．8cmB ．12cmC ．11cmD ．10cm2．对于一元二次方程230x x c -+=来说，当94c =时，方程有两个相等的实数根：若将c 的值在94的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．两个相等的实数根C ．两个不相等的实数根D ．一个实数根 3．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是圆上两点，且CDB ∠＝28°，则AOC ∠＝（ ）A ．56°B ．118°C ．124°D ．152°4．把方程2310x x +-=的左边配方后可得方程（ ）A ．2313()24x += B ．235 ()24x += C ．2313 ()24x -= D ．235 ()24x -= 5．已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 6．反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()2,6-，若点(3,)n 在反比例函数的图象上，则n 等于（ ）A ．-4B ．-9C ．4D ．97．如图，在△ABC 中，过点A 作射线AD ∥BC ，点D 不与点A 重合，且AD≠BC ，连结BD 交AC 于点O ，连结CD ，设△ABO 、△ADO 、△CDO 和△BCO 的面积分别为和,则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为33m ，则鱼竿转过的角度是（ ）A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°9．正比例函数y ＝2x 和反比例函数2y x =的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ） A ．（﹣1，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（1，2） D ．（2，1）10．已知二次函数2(1)2y a x =--的图象经过点()1,4--，当自变量x 的值为3时，函数y 的值为（ ） A ． 3.5- B ．4- C ．4 D ．3.5二、填空题(每小题3分,共24分)11．若△ABC ∽△A′B′C′，且34AB A B =''，△ABC 的周长为12cm ，则△A′B′C′的周长为_____________． 12．已知扇形的半径为6，面积是12π，则这个扇形所对的弧长是_____．13．已知二次函数22m y mx -=的图像开口向上，则m 的值为________.14．如图，一张桌子上重叠摆放了若干枚一元硬币，从三个不同方向看它得到的平面图形如图所示，那么桌上共有_______枚硬币．15．若函数231m m y mx +-=是反比例函数，则m =________．16．计算：2sin 45°＝____________．17．用一根长为31cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 1．18．已知点A （﹣2，m ）、B （2，n ）都在抛物线y=x 2+2x ﹣t 上，则m 与n 的大小关系是m_____n ．（填“＞”、“＜”或“=”）三、解答题(共66分)19．（10分）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：（1）三面涂有颜色的概率；（2）两面涂有颜色的概率；（3）各个面都没有颜色的概率．20．（6分）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向.求：（1）∠C 的度数；（2）A ，C 两港之间的距离为多少km.21．（6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝6，求sinB 的值．22．（8分）已知二次函数223y x x =--．（1）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（2）当0≤x ≤3时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．23．（8分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，连接对角线AC ，过点D 作DE AC 与BC 的延长线交于点E ，连接AE 交DC 于F ．（1）求证：BC CE =；（2）连结BF ，若DAF FBE ∠=∠，且2AD CF =，求证：四边形ABCD 是正方形．24．（8分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会(1)抽取一名同学， 恰好是甲的概率为(2) 抽取两名同学，求甲在其中的概率。
东城数学一模试卷初三答案
一、选择题（每题4分，共40分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是（）A. 0和1B. 1和-1C. 0和-1D. 0和2答案：A解析：因为0的平方是0，1的平方是1，所以这个数是0和1。
2. 下列哪个数是负数？（）A. -5B. 5C. 0D. 3答案：A解析：负数是小于0的数，所以-5是负数。
3. 下列哪个图形是正方形？（）A. 长方形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形答案：D解析：正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以正方形是正方形。
4. 下列哪个数是偶数？（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：偶数是2的倍数，所以8是偶数。
5. 下列哪个数是质数？（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：质数是只能被1和它本身整除的数，所以5是质数。
6. 下列哪个数是合数？（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C解析：合数是除了1和它本身外，还能被其他数整除的数，所以6是合数。
7. 下列哪个图形是圆？（）A. 矩形B. 正方形C. 圆D. 三角形答案：C解析：圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合，所以圆是圆。
8. 下列哪个数是正数？（）A. -5B. 0C. 5D. -3答案：C解析：正数是大于0的数，所以5是正数。
9. 下列哪个数是整数？（）A. 3.14B. 5.5C. 6D. 2.5答案：C解析：整数是没有小数部分的数，所以6是整数。
10. 下列哪个数是实数？（）A. 3.14B. -5.5C. 6D. 2.5答案：C解析：实数包括有理数和无理数，所以6是实数。
二、填空题（每题5分，共50分）11. 5的平方根是________。
答案：±√5解析：5的平方根是±√5，因为(±√5)²=5。
12. 下列数的倒数是：1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8、1/9、1/10、1/11。
答案：1/2、2/3、3/4、4/5、5/6、6/7、7/8、8/9、9/10、10/11解析：一个数的倒数是它的分子和分母互换位置后的分数，所以答案如上所示。
东城区2022届初三一模数学试题及答案
东城区2021-2022学年度第二学期初三年级统一测试（一）数 学 试 卷2022.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1．下列立体图形中，主视图是圆的是A B C D2．国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为 A ．411410⨯B ．511.410⨯C ．61.1410⨯D ．51.1410⨯3．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=40°时，∠1的度数为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是A B C D 5．五边形的内角和是 A ．360°B ．540°C ．720°D ．1080°6．实数,a b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是A ．a b >B ．a b -<C ．a b <D ．0a b +<7．某班甲、乙、丙三位同学5次数学成绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误．．的是A ．甲的数学成绩高于班级平均分B ．乙的数学成绩在班级平均分附近波动C ．丙的数学成绩逐次提高D ．甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定8．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度(cm)h 与注水时间(s)t 的函数图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是___________． 10．分解因式：2222x y -=___________． 11．方程223x x=-的解为___________． 12．写出一个大于1且小于2的无理数___________．13．北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大家的喜爱。
东城数学一模初三试卷答案
一、选择题1. 答案：A解析：由题意得，x-2>0，解得x>2。
2. 答案：C解析：三角形ABC为等边三角形，故AB=BC=AC，所以S△ABC=√3/4×AC²。
3. 答案：D解析：由题意得，a²+b²=c²，故a²+c²=b²，即三角形ABC为直角三角形。
4. 答案：B解析：由题意得，x²-2x-3=0，分解因式得(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1。
5. 答案：A解析：由题意得，2x+3y=7，3x-2y=1，联立方程组得x=2，y=1。
二、填空题6. 答案：-2解析：由题意得，x²-4x+4=0，分解因式得(x-2)²=0，解得x=2。
7. 答案：3解析：由题意得，a+b=3，ab=2，根据公式(a+b)²=a²+2ab+b²，得a²+b²=(a+b)²-2ab=3²-2×2=5。
8. 答案：12解析：由题意得，(x+3)(x-2)=0，解得x=-3或x=2，当x=-3时，y=5；当x=2时，y=-1。
9. 答案：-5解析：由题意得，2(x-1)-3(x+2)=0，解得x=-5。
10. 答案：4解析：由题意得，(2x+1)²-4x-1=0，展开得4x²+4x+1-4x-1=0，化简得4x²=0，解得x=0。
三、解答题11. 解答：（1）过点A作AB⊥y轴于点B，连接CD，由题意得，AB=CD，∠ADB=∠CDB=90°，故四边形ABCD为矩形。
（2）由题意得，AC=2AD，故∠CAD=∠DCA，又∠CAD=∠BAC，故∠DCA=∠BAC，∠ABC=∠ACB，故三角形ABC为等腰三角形。
（3）由题意得，AB=AC，故BC=AB+AC=2AB，即BC=2x，所以x=2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
东城区2017-2018学年度第一次模拟检测一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．如图，若数轴上的点A，B分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是A. 2B.3C. 4D. 52. 当函数()212=--的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是y xA．x＞0B．x＜1C．1x＞D．x为任意实数＞，则与实数a，b对应的点在数轴上的位置可以是3．若实数a，b满足a b4．如图，Oe是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是C．2πD．3πA．πB．3π21题 4题5．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°6．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x个，那么可列方程为A ．30456xx =+ B ．30456xx =- C ．30456x x=- D ．30456x x=+7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等. 如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是8．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）， A 为入口， F ，G 为出口，其中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB =CG =EF ；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且»BC， »CD ，»DE 所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10m /s 的速度行驶，从不同出口驶出. 其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x (s )的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误．．的是A . 甲车在立交桥上共行驶8sB . 从F 口出比从G 口出多行驶40mC . 甲车从F 口出，乙车从G 口出D . 立交桥总长为150m二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．若根式x 的取值范围是__________________.10．分解因式：24m n n -= ________________.11．若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为________________.12. 化简代数式11+122x x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，正确的结果为________________. 13． 含30°角的直角三角板与直线l 1，l 2的位置关系如图所示，已知l 1以下三个结论中正确的是_____________（只填序号）.①2AC BC =; ②BCD △为正三角形; ③AD BD =14. 将直线y =x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为____________，这两条直线间的距离为____________.15. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0. 甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派____________（填“甲”或“乙”），理由是______________________________________． 16．已知正方形ABCD .求作：正方形ABCD 的外接圆. 作法：如图，（1）分别连接AC ，BD ，交于点O ;(2) 以点O 为圆心，OA 长为半径作O e .O e 即为所求作的圆.请回答：该作图的依据是_____________________________________.三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()212sin 60-π-2++1-3-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解.19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC . （1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.22. 已知函数()30y x x=＞的图象与一次函数()20y ax a =-≠的图象交于点A ()3,n .（1）求实数a 的值；(2) 设一次函数()20y ax a =-≠的图象与y 轴交于点B .若点C 在y 轴上，且=2ABC AOB S S △△，求点C 的坐标.23． 如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，且点C 是»BD的中点.过点C 作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E .（1）求证：EF 是O e 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.24．随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大.相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下. (I )收集、整理数据请将表格补充完整：（II ）描述数据为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用 ___________(填“折线图”或“扇形图”)进行描述； （III ）分析数据、做出推测预计2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为___________，你的预估理由是_________________________________________ .25. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D,E分别为BC，AB的中点，连接AD.在线段AD上任取一点P,连接PB,PE.若BC=4,AD=6，设PD=x（当点P与点D重合时，x的值为0），PB+PE=y.小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变换而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）.（参考数据：1.414≈1.732≈2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数y的最小值为______________(保留一位小数)，此时点P在图1中的位置为________________________.26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()02342≠-+-=aaaxaxy与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．27. 已知△ABC 中，AD 是的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ． （1）如图1，若①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，,22M⎛⎝⎭，22N⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），)C三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3， M（0，1），N122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E),m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线23y x=-+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．东城区2017-2018学年度第一次模拟检测初三数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. 1x ≥ 10. ()()22n m m +- 11. 8 12. 2x 13. ②③ 14. 2y x =+ 15. 答案不唯一 ，理由须 支撑推断结论 16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）=22⨯17.解：原式分分18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥， 由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分∵∠DEB =∠FEA ，∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分 （2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+，∴1=1x ，2=+2x m .∵方程有一个根的平方等于4，∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m . -------------------5分21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ，∴=AB DC ，AB DC ∥.∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分(2) ∵=AB AC ，∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形.∴AD ⊥CE .∵AD BC ∥，∴BC ⊥CE. 在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC .根据勾股定理，求得BC 分22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()30y x x=＞的图象上，∴=1n ，点()3,1A .∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ，∴ 321a -= .解得 1a =. ----------------------2分(2)易求得()0,2B -. 如图，12AOB A S OB x =⋅△，1=2ABC A S BC x ⋅△ ∵=2ABC AOB S S △△，∴=24BC OB =.∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分23. （1）证明：连接OC .∵»»CDCB = ∴∠1=∠3.∵OA OC =，∴∠1=∠2.∴∠3=∠2.∴AE OC ∥.∵AE EF ⊥，∴OC EF ⊥.∵ OC 是O e 的半径，∴EF 是O e 的切线. ----------------------2分（2）∵AB为Oe的直径，∴∠ACB=90°.根据勾股定理，由AB=5,BC=3,可求得AC=4.∵AE EF⊥，∴∠AEC=90°.∴△AEC∽△ACB.∴AE AC AC AB=.∴4 45 AE=.∴165AE=. ----------------------5分24. 解：(I)：%；----------------------1分(II)折线图； ----------------------3分(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分 25.解：（1） . --------------------2分（2）--------------------4分(3) ，点P是AD与CE的交点. --------------------6分26.解：(1) ∵点()0,0O在抛物线上，∴320a-=，23a=.--------------------2分(2)①对称轴为直线2x=；②顶点的纵坐标为2a--.--------------------4分(3) （i）当0a＞时，依题意，-20 320. aa-⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3 a≥（ii）当0a＜时，依题意，-20 320. aa-⎧⎨-⎩＞，≤解得a＜-2.综上，2a-＜，或23a≥. --------------------7分27. （1）①75B∠=︒，45ACB∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE .Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH =； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =.∴GH BC ∥.∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠.∴ AGH AHG ∠=∠ .∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分28. 解：（1）C ； --------------2分（2）① 60°；② △MNE 是等边三角形，点E 的坐标为)；--------------5分③ 直线2y =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()T 0.∴2OK =，OT =∴60OKT ∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG .∵()M 0，1，∴OM =1.∴M 为OK 中点 .∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG ∴3.2G ⎫⎪⎪⎝⎭， ∵120MON ∠=︒,∴ 90GON ∠=︒.又OG =1ON =，∴30OGN ∠=︒.∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点.经验证，点)E 在直线2y =+上. 结合图象可知， 当点F 在线段GE 上时 ，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤，∴x分F.。