北京市东城区初三数学一模试题含答案

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2024年北京市九年级中考一模数学汇编：圆(含解析)

2024北京初三一模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2024北京东城初三一模）如图，是的弦，是的直径，于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2024北京东城初三一模）如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：①；；；④；上述结论中，正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题3．（2024北京门头沟初三一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是．4．（2024北京大兴初三一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为．AB O CD O CD AB ⊥AE BE =90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠COB C∠=∠AC a =AC B ()CB b a b =<AB O O OA O C O 、AB O D F 、OD AF CF 、、C CE OD ⊥E CF c =2a b c +<c <)a b <+2ab ac bc <+AB O C D O AC BC =D ∠︒5．（2024北京通州初三一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，的面积近似为的面积，可得的估计值为．6．（2024北京平谷初三一模）如图，内接于，为的直径， D 为上一点，连接．若，则的度数为．7．（2024北京西城初三一模）如图，在的内接四边形中，点A 是的中点，连接，若，则．8．（2024北京石景山初三一模）如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点．若，则．πO O 1612S =⨯⨯正六边形O πO πABC O BC O O AD CD 、20D ∠=︒ACB ∠O ABCD BDAC 130DAB ∠=︒ACB =∠︒AB O P AB PC O C 40P ∠=︒A ∠=︒9．（2024北京顺义初三一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D ，则的度数为．10．（2024北京朝阳初三一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为．11．（2024北京燕山初三一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．三、解答题12．（2024北京朝阳初三一模）如图，在矩形中，，，点A 在直线l 上，与直线l 相交所得的锐角为．点F 在直线l 上，，⊥直线l ，垂足为点F 且，以为直径，在的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点．发现：的最小值为，的最大值为，与直线l 的位置关系是．思考：矩形保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在边上时，重叠部分面积为多少？O ABC AB AC =36BAC ∠=︒BD ABC ∠O DAB ∠O Rt ABC △OE AB ⊥D O E 8AB =2DE =BC AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=ABCD 6AB =8BC =AD 60︒8AF =EF 6EF =EF EF AM AM OB ABCD AD13．（2024北京通州初三一模）如图，为的直径，过点A 作的切线，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），连结，过点C 作于点E ，连接并延长交于点F ．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．14．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．AB O O AM AB AC CD AB ⊥BD AM ∠=∠CAB AFB O 8AC =DF xOy O PQ PQ O M N ==PM MN NQ PQ O A B C D ，，，AB CB CD O O PQ 2x =E E E y O PQ (1,0)y x b =+PQ b15．（2024北京西城初三一模）在平面直角坐标系中，已知的半径为．对于上的点和平面内的直线给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线上的点满足则称点为点关于直线的“衍生点”．(1)当时，已知上两点在点，中，点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是；(2)为上任意一点，直线与轴，轴的交点分别为点，．若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；(3)当时，若过原点的直线上存在线段，对于线段上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．16．（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N ，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．xOy O 1O P :l y ax =P l P 'OP Q OQ PP ='，Q P l 0a =O121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，()112Q，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，1P l 2P l P O y x m =+()0m ≠x y A B AB S T S P l T P l m 11a -≤≤s MN MN R O P l R P l MN ()D s s ()D s xOy M M M P O M OP MN M P P M(1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，．①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是；②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；(2)已知点，等边三角形的边长为的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．17．（2024北京顺义初三一模）在平面直角坐标系中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P 、轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是形M 的“关联图形”．(1)如图，点，，，．①在点B ，C ，D 中，点A 的“关联图形”是_____；②若不是点A 的“关联图形”，求的半径的取值范围；(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．18．（2024北京门头沟初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．M ()0,0O (A (3,B 132P ⎛ ⎝23,2P ⎛ ⎝()32,2P M y x b =+M b (2)M m m -，M M E F OEF m xOy y 90︒()3,2A -()0,1B -()3,2C ()1,6D -O O r (),0O m '()3,0E m -()2,1G m -O ' EG EFGH O ' EFGH m xOy O O(1)已知如图1点．①如图1，在点中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；(2)如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，求b 的取值范围．40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O参考答案1．D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：是的直径，，，，，，故A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出，与①的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵∴∵∴（斜边）大于即故①是正确的；∴在中，即∴∵故③是错误的；∵∴∴CD OCD AB ⊥AE BE ∴=90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠CBO C ∠=∠2a b c +<2a b c +>2a b c +<()A b C a CB b a ==>，()1122OF AB a b ==+OF AB⊥CF OF2a bc +>()111222OC AO AC a b a b a =-=+-=-Rt COF △222OC OF FC +=22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b c +==2a b c +<)a b =+b a>()2b a ->222b a ab +>，故②是正确的；假设是正确的则∴∵，且∴∴即与①的结论相矛盾故④是错误的综上：正确结论的个数是个故选：C3．的圆周角所对的弦是直径【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，故答案为：的圆周角所对的弦是直径．4．45【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：455．3【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，过作于，>=>c 2ab ac bc <+0ac ab bc ab<-+-()()0a c b b c a <-+-00c b c a -<->，a b<0c b c a ->->b c c a->-2a b c +>2a b c +<290︒90︒90︒90︒90︒90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒D ∠AB O 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒45D CAB ∠=∠=︒A AM OB ⊥M AOB ∠AM AB O O A AM OB ⊥M在正十二边形中，，∴正十二边形的面积为,，,的近似值为3，故答案为：3．6．/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，故答案为：．7．25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A 是的中点，3601230AOB ∠=︒÷=︒1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= 11234⨯=231π∴=⨯3π∴=π∴70︒BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒70︒BCD ∠O ABCD 130DAB ∠=︒18500DA BCD B ∠︒∠==︒- BD∴，∴，故答案为：25．8．【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．【详解】解：如图，连接，∵ 与相切于点．，∴，，∴，故答案为：9．/72度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．10．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，AD AB =1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒25OC 904050COP ∠=︒-︒=︒OC PC O C 40P ∠=︒90OCP ∠=︒904050COP ∠=︒-︒=︒1252A COP ∠=∠=︒2572︒72ABC C ∠=∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒AB AC =36BAC ∠=︒180180367222BAC ABC C ︒-∠︒-︒∠=∠===︒BD ABC ∠36CBD ∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒72DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒72︒6142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OD ABC r 222OA OD AD =+=5r OE AB ⊥∴，，∵，∴是的中位线，∴，即，设半径为，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴．11．【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，为的切线，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．12；；平行（或）；思考：【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，，，当三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可；思考：如图2，连接，作于，则，，由，可得，，根据，计算求解即可．【详解】发现：解：如图1，连接，作于，142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OA OC =OD ABC 12OD BC =2BC OD =r 2OD OE DE r =-=-Rt AOD 222OA OD AD =+()22224r r =-+=5r 23OD r =-=26BC OD ==8090ABD Ð=°40A ∠=︒AB O BD O AB BD ⊥90ABD Ð=°50D ∠=︒40A ∠=︒280BOC A ∠=∠=︒80310 3πAO AE 、BP AF ⊥P 3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO OM -M E 、AM 30BAP ∠=︒132BP AB OF ===OG OH AD ⊥H 30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH =EOG EOG S S S =- 重叠扇形AO AE 、BP AF ⊥P由题意知，，，当三点共线时，最小，由勾股定理得，∴；当重合时，最大，由勾股定理得，，∴的最大值为；∵矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案为：平行（或）；；；平行（或）；思考：解：如图2，连接，作于，∵，∴，∴，∵，∴，∴3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO ==AM 3-M E 、AM 10AE ==AM 10ABCD 90BAD ∠=︒30BAP ∠=︒132BP AB OF ===BP OF ∥OB l ∥ 310 OG OH AD ⊥H 60DAF EF AF ∠=︒⊥，30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH ===EOG EOG S S S =- 重叠扇形212031336022π⋅=-⨯3π=∴重叠部分面积为【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【详解】（1）证明：是的切线，，于点，，，，，．（2）解：连结，于点，是的直径，，是的垂直平分线，，的半径为5，，，是的直径，，3π30︒30︒323DF =AM O 90BAM ∴∠=o CD AB ⊥ E 90CEA ∴∠= CD AF ∴∥∴∠=∠CDB AFB CDB CAB ∠=∠ ∴∠=∠CAB AFB AD CD AB ⊥ E AB O CE DE ∴=AB ∴CD 8AC AD ∴==O 10AB ∴=6BD =∴AB O 90BDA =∴∠，，，，．14．(1)、；(2)；(3)．【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，，，，是的“倍弦线”，与不相交，，和不是的“倍弦线”，故答案为：、；（2）如图2，BAD AFB ∴∠=∠tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD2AD DF BD ∴=⋅323∴=DF AB CD ≤≤E y 21b -≤≤+PQ O EF (2,0)y x b =+2b =-(1,0)-y x b =+I b 2AF FH BH === CG GF DF ===AB ∴CD O BC O 23AI AE DI BH ==BC ∴AD O AB CD以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，，；（3）如图3，以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，此时，以为圆心，1为半径作，直线与线切，此时15．(1)(2)(3)【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴，∵∴∴∵， O 2x =E E'EFE y (1,0)O '-O '1y x b =+ 11b =(2,0)O ''O '' 2y x b =+O '' 22b =-21b ∴-≤≤+23Q Q ，2m ≤≤2m -≤≤-2l 0y =121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=1234,,,Q Q Q Q 02PP '≤≤AB 20,0m m ><P 0a =l 0y =x 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=()112Q ，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，∴，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，故答案为：．（2）解：依题意，，由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，∵为上任意一点，直线与轴，轴的交点分别为点，．∴，∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，当时，如图所示，当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，∴根据对称性，当时，可得；综上所述，（3）∵时∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，1OQ =2OQ ==3OQ ==42OQ ==1P l 2Q 2P l 3Q 23Q Q ，02PP '≤≤S P l 2OS ≤P O y x m =+()0m ≠x y A B OA OB m ==AB 20m >2OS =S B S P l 2m =AB O 2<y ax =y ()0,2()2,0-P l 2m =AB S T S P l T P l m 2≥OS y x m '⊥=+OS '2OS '=m =O 2P l 2m ≤≤0m <2m -≤≤-2m ≤≤2m -≤≤-11a -≤≤a P l P 'l AB s①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，根据新定义可得，∴，②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，则对于线段上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则P AB ,P P 'PP '2OQ PP '==02PP '≤≤()2D s =P AD PP '2OQ PP '==MN R O P l R P l P y PP '即综上所述，【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．16．(1)①，；②；(2)或．【分析】（）根据新定义即可求解；找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；（）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）如图，根据题意，直线与以为半径的相切，由图可知，等边三角形的“相关切点”是，故答案为：；根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图，2PP OQ '≤=≤()2D s =()2D s =1P 2P 312b -≤21m ≤≤10m ≤1①②b 2().2M m m -2y x =-①OP MN M M 12P P 、12P P 、②P ()1,01若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，由，是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∵，∴，∴此时，∴的取值范围为；（2）如图，此时中，，，y x b =+M HIK OSK 1HI=KI =1OK OS ==b =3,2P ⎛ ⎝PL =32KL =OG =b =b b 312b -≤≤OEM △30EOM ∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -此时，，解得：，如图，此时中，，，此时，，解得：（正值舍去），如图，4OM =()22224m m +-=1m =+OEM △30EOM∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -4OM =()22224m m +-=1m =此时，，解得：或（舍去），如图，此时，，解得：（舍去）或，综上可知：．17．(1)①②；(2)．【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可；②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹，从而得到的半径范围（2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值；根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值；2OM =()22222m m +-=2m =0m =2OM =()22222m m +-=2m =0m =21m ≤≤10m ≤B0r <<m m A O G O ' m E O ' m【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，故答案为：；②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点,作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示由旋转可知，，，，坐标为在上运动设与轴的交点为，与轴交点为当，，当时，，，以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高当不是点的关联图形时，故答案为：．（2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接A (0,2)90B B (0,)T a A T 90 A 'AJ y ⊥y J A K y '⊥y K AT A T '=90ATA ∠='︒90AJT ∠=︒90TAJ ATJ ∴∠+∠=︒90ATJ A TK =︒'+ TAJ A TK'∴∠=ATJ A KT'∴ ≌(3,2)A - 2TJ a KA '∴=-=3AJ TK==3OK TO TK a ∴=-=-∴A '(2,3)a a --A '∴1y x =-1y x =-x M y N0x =1y =-0y =1x =(1,0)M ∴(0,1)N-MN ∴==O O 1y x =-OMNOM ON r MN ⋅∴===∴OA 0r <0r <<(3,0)E m -(0,)T a 90︒E 'E 'E S y '⊥y S，，如图所示由旋转可知，，，，点坐标为所以在上运动，与轴的夹角为设在轴的交点为，那么点坐标为当与有唯一交点时，最大与相切为等腰直角三角形且故；TE TE 'AE =TE T E '=90ETE ∠='︒90ETO E TO '∴∠+∠=︒90ETO TEO ∠+∠=︒0E T TEO'∴∠=∠90EOT E ST '∠=∠=︒ETO TE S'∴ ≌3EO TS m ∴==-TO E S a'==(3)3TS TO SO a m a m∴=-=--=+-E '∴(,3)a a m +-E '3y x m =+-1k = 3y x m ∴=+-x 45︒3y x m =+-x Q Q (3,0)m -3y x m =+-O ' R m 3y x m =+- O ' 90O RQ ∴='∠︒O RQ '∴ 1O R '=(3)23O Q m m m '∴=--=-=m ∴=m设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示同理可证，，的坐标是在上运动设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值．同理可证为等腰直角三角形，且故【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键．18．(1)①；②(2)【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q 的在以为圆心，半径为1的上，即可求解；（2）过点O 作点Q 的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b 即可．(2,1)G m -(0,)T a 90 G 'G 'G P y '⊥y P G GQ y ⊥TG TG 'GTQ G TP ' ≌1TQ PG a '∴==-2GQ TP m==-(2)2PO TO TP a m a m ∴=-=--=+-G '∴(1,2)a a m -+-G '∴1y x m =+-1y x m =+-x (1,0)L m -O ' K m O KL ' O L K ''==112O L m m m '∴=--=-=m ∴=m 12,Q Q 13m ≤≤44b -≤≤+()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O MP MP OP O 'QO '()2,0O 'O ' O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+O '【详解】（1）解：①如图，点P 关于的对称点分别为，则，，∴在上，∴点P 关于点Q 的“等距点”的是故答案为：；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，∴，∴点Q 的在以为圆心，半径为1的上，()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，()()()2,0,0,2,2,2--12d R ==22d R ==3d R==>()()2,0,0,2-O 12,Q Q 12,Q Q O MP MP OP O 'QO '112QO OM '==()2,0O 'O '∵与轴交于点，∴，故答案为：．（2）解：过点O 作点Q 的对称点，则点为，∴上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，∵点P 在的图象上，∴当直线与相交即可，当直线与第一次相切时，设切点为点E ，直线与y 轴交点G ，当直线与第二次相切时，设切点为点F ，∵，∴∴，∵点，∴其点Q 与点O 的水平距离与铅锤距离均是1，∴，由相切得：，∴为等腰直角三角形，∴，同理可求当直线与第二次相切时，综上：【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．O ' x ()()1,0,3,0-13m ≤≤13m ≤≤O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+y x b =-+O ' y x b =-+O ' y x b =-+O ' ()2,2O 'OO ¢=2OE OO O E ''=-=()1,1Q 45EOG ∠=︒GE OO '⊥ OGE 4OG b ==-=y x b =-+O ' 4b =+44b -≤≤+。

2024年北京东城区九年级初三一模数学试卷和答案

东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（）A ．B ．C ．D ．2．2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A ．71.3310⨯B ．513.310⨯C ．61.3310⨯D ．70.1310⨯3．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -，()2,0C 为ABCD 的顶点，则顶点D 的坐标为（）A ．()3,2-B ．()2,2C ．()3,2D ．()2,34．若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A ．a b <B ．11a b +<+C ．22a b <D ．a b>-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2P 在反比例函数k y x =（k 是常数，0k ≠）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A ．()2,0-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2-6．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（）A ．AE BE =B ．90CBD ∠=︒C ．2COB D∠=∠D ．COB C ∠=∠7．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A ．12B ．13C ．16D ．198．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为248m ，则该正五边形的边长大约是（）（结果保留一位小数，参考数据：tan 360.7︒≈，tan 54 1.4︒≈ 6.5≈ 4.6≈）A ．5.2mB ．4.8mC ．3.7mD ．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是______．10．因式分解：2218xy x -=______．11．方程323x x =-的解为______．12．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．13．为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：锻炼时间x56x ≤<67x ≤<78x ≤<8x ≥学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有______人．14．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，DE BC ⊥于点E ，且DE DA =，连接DB ．若20C ∠=︒，则DBE ∠的度数为______°．15．阅读材料：如图，已知直线l 及直线l 外一点P ．按如下步骤作图：①在直线l 上任取两点A ，B ，作射线AP ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线AP 于点C ；②连接BC ，分别以点B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点Q ；③作直线PQ ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN 是线段BC 的______；（2）若CPQ △与CAB △的面积分别为1S ，2S ，则12:S S ______．16．简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表：名称图形顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V ，F ，E 之间的数量关系是______；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共______个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17()02cos30π12-︒+---．18．解不等式组：26516132x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．19．已知290x y --=，求代数式226344x y x xy y--+的值．20．如图，四边形ABCD 是菱形．延长BA 到点E ，使得AE AB =，延长DA 到点F ，使得AF AD =，连接BD ，DE ，EF ，FB ．（1）求证：四边形BDEF 是矩形；（2）若120ADC ∠=︒，2EF =，求BF 的长．21．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B 的位置，被遮挡部分的水平距离为BC 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A 的影子D 到点C 的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB 的长为x 米，BC 的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD 的长第一次1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x ，y 的方程是______，由第二次测量数据列出关于x ，y 的方程是______；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得10y =，则钟楼的高度约为______米．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠）的图象由函数13y x =的图象平移得到，且经过点()3,2A ，与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式及点B 的坐标；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．1班 168 171 172 174 174 176 177 1792班 168 170 171 174 176 176 178 183b ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm ．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，EAC CAB ∠=∠，直线CD AE ⊥于点D ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）当1tan 2F =，4CD =时，求BF 的长．25．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，击球点P 到球网AB 的水平距离 1.5m OB =．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.2 2.5 2.35y x =--+．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）的几组数据如下：水平距离x /m01234飞行高度y /m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y 与水平距离x 满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为1d ，2d ，则1d ______2d （填“＞”，“＜”或“＝”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()210y ax bx a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）若点()2,1在该抛物线上，求t 的值；（2）当0t ≤时，对于22x >，都有12y y <，求1x 的取值范围．27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 是BC 边上的点，12DE BC =，连接AD ．过点D 作AD 的垂线，过点E 作BC 的垂线，两垂线交于点F ．连接AF 交BC 于点G ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，直接写出DAF ∠与BAC ∠之间的数量关系；（2）如图2，当点D 与点B 不重合（点D 在点E 的左侧）时，①补全图形；②DAF ∠与BAC ∠在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD ，DG ，CG 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段PQ 和直线1l ，2l ，线段PQ 关于直线1l ，2l 的“垂点距离”定义如下：过点P 作1PM l ⊥于点M ，过点Q 作2QN l ⊥于点N ，连接MN ，称MN 的长为线段PQ 关于直线1l 和2l 的“垂点距离”，记作d ．（1）已知点()2,1P ，()1,2Q ，则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 为______；（2）如图1，线段PQ 在直线3y x =-+上运动（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），若PQ =段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 的最小值为______；（3）如图2，已知点(0,A ，A 的半径为1，直线y x b =+与A 交于P ，Q 两点（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），直接写出线段PQ 关于x 轴和直线y =的“垂点距离”d 的取值范围．。

2023北京东城区初三一模数学试卷及答案

1东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学参考答案及评分标准2023．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案C A DB B D BC 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．1210．22(1)x -11．1.812．＜13．13514．1415．216．(1)2(2)21三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：03tan3020231︒+--13=⨯-…………4分=．…………5分18．解：312,221 1.x x x x -⎧<⎪⎨⎪+-⎩①≥②由①得-1x ＞，…………2分由②得x ≥–2．…………….4分所以不等式组的解集是-1x ＞．………5分19．解：22)(2)(3)x x x +-+-（=22469x x x -+-+=2265x x -+.…………….3分∵2310x x --=，∴231x x -=.∴2262x x -=.∴原式=22657x x -+=.…………….5分20．解：方法一：证明：∵CF ∥AB ，∴∠A =∠ECF ，∠ADE =∠F .又∵点E 是AC 的中点，∴AE =CE .∴△ADE ≌△CFE ．∴AD =CF ，DE =FE ．又∵点D 是AB 的中点，∴AD =BD .∴CF =BD .∴四边形BCFD 是平行四边形．∴DF ∥BC ，DF =BC ．∴DE ∥BC ，且DE ＝12BC .…………….5分方法二：证明：∵AE =EC ，DE =EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∴CF ∥DA ，且CF =DA ．∴CF ∥BD ，且CF =BD ．2∴四边形DBCF 是平行四边形.∴DF ∥BC ，且DF =BC ．又∵DE ＝12DF ，∴DE ∥BC ，且DE =12BC ．…………….5分21．解：（1）∵反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点（-1,3），∴31k =-．∴3k =-．∴反比例函数的解析式为3y x =-．……………………………3分（2）n ≥2．.………………………………………………5分22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠ADB =∠CBD ．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．∴∠ADB =∠ABD ．∴AB =AD ．∴四边形ABCD 是菱形．……………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，∠DOC ＝90°，BD =2DO ．∴∠DCE ＝∠ABC ＝70°．∵∠ECM ＝15°,∴∠DCM ＝55°．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝110°．∴∠ACD ＝12∠ACD ＝55°．∴∠ACD ＝∠DCM .又∵DF ⊥CM ，∴DO =DF =5．∴BD ＝2DO ＝25．……………………6分23．解：（1）83，85.……………………2分（2）①②.……………………4分（3）176034030⨯=（人）．答：估计七年级成绩优秀的学生人数为340人……………………5分24．（1）证明：如图，连接OD 交AC 于点F ，连接OC ．∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ．∴∠ODE =90°．∵点D 为AC 的中点，∴AD CD =．∴∠AOD =∠COD ．∵AO =CO ，∴OF ⊥AC ．∴∠OFA =90°=∠ODE ．∴DE ∥AC ．∴∠E =∠BAC ．……………………3分（2）解：∵∠E =∠BAC ，∴cos ∠BAC =4cos 5E =.在Rt △AOF 中，cos ∠BAC 45AF OA ==，OA=5，∴AF =4，OF =3.∴DF =2.∵OF ⊥AC ，∴CF =AF =4.在Rt △CDF 中，由勾股定理得CD =在Rt △ODE 中，4cos 5E =，∴3tan 4OD E DE ==.∴DE =203.……………………6分25．解：(1)50..….……………………………1分根据表格数据，将（0，18）和（80，50）代入函数关系式21()y a x h k =-+，解得a ＝–0.005．∴二次函数的关系式为20.005(80)50y x =--+．.….……………………………3分(2)乒乓球仍落在球桌上．理由如下：令y =0，则x =180．∴OB =180．令y =42,则x =80±40．∴BC =DE =80．∴OC =OB +BC =260．∵260<274，∴乒乓球仍落在球桌上．….……………………………6分26．解：（1）22y ax ax=-＝2(211)a x x -+-＝2(1)a x a --.∴抛物线的顶点坐标为(1，–a ).………………………………2分（2）－1＜k ＜3.………………………………4分（3）∵y 1＜y 3＜y 2≤－a ，且顶点坐标为(1，–a ),∴抛物线开口向下．∴a ＜0.点A (m －1，y 1)，C (m ＋3，y 3)关于直线x ＝1对称的点的坐标分别为A ′(3–m ，y 1)，C ′(–1–m ，y 3)．∵m -1<m <m +3，y 1＜y 3＜y 2，∴点A ，B ，C 不可能在对称轴的同侧．∴点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧．当点B 在对称轴左侧或在对称轴上时，可得1111m m m m m >--⎧⎪-->-⎨⎪≤⎩，解得12-<m <0．当点B 在对称轴右侧时，可得1333m m m m m >⎧⎪+<-⎨⎪<-⎩，此时不等式组无解．综上所述，m 的取值范围为12-<m <0．………………………………6分27．（1）证明：∵将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，∴∠EAD =α，AD =AE ．∵∠BAC ＝α，∴∠BAC=∠EAD ．∴∠BAC －∠BAD=∠EAD －∠BAD ，即∠DAC=∠EAB ，在△ACD 和△ABE 中，,,.AC AC DAC EAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△ABE （SAS ）．∴∠ABE ＝∠C ．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ．∴∠ABE ＝∠ABC ．∴BA 平分∠EBC ．………………………………3分（2）解：补全图形如图，EF =CG ．理由如下：在AB 上取一点M ，使得BM ＝CG ，连接EM ．∵CG ∥AB ，∴∠ABC ＝∠DCG ，∠BFG ＝∠CGD ．∴∠EBM ＝∠DCG ．由（1）知△ACD ≌△ABE ，∴EB ＝CD ．在△EBM 和△DCG 中,,,EB DC EBM DCG BM CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBM ≌△DCG (SAS )．∴EM ＝DG ，∠EMB ＝∠DGC ．∵∠EMB ＋∠EMF ＝180°，∠EFM ＋∠DFM ＝180°，∴∠EMF ＝∠EFM ．∴EM ＝EF ．∴EF ＝DG ．………………………………7分28．解：（1P '，–2)；点Q 坐标为（1，–2）.…………………3分②1--≤b ≤1.………………………………5分（2）12≤k ≤2.………………………………7分。

人教版_2021 年东城区初三一模数学试卷及答案

北京市东城区2021－－2021学年第二学期初三综合练习(一)数学试卷 2021.5学校班级姓名考号考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1.15-的倒数是A. 5B.15 C. 15- D. －5 2. 2021年国家财政支出将大幅向民生倾斜，民生领域里流量最大的开销是教育，预算支出达到23 000多亿元.将23 000用科学记数法表示应为A. 23×104B. 0.23×106 C . 2.3×105 D. 2.3×104 3．用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是A ．2(2)3x += B ．2(2)3x -= C ．2(2)5x -= D ．2(2)5x +=4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是S 2甲=0.90，S 2乙=1.22，S 2丙=0.43，S 2丁=1.68.在本次射击测试中，成绩最稳定的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5. 如图，下面是利用尺规作AOB ∠的角平分线OC 的作法，在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是作法:○1以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA ，OB 于点D ，E . ○2分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点C .○3作射线OC .则OC 就是AOB ∠的平分线. A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．AAS6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若12OC OA =，则∠C 等于A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°7. 在一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，标号为1，2，3，现随机地取出一个小球，然后放回，再随机地取出一个小球，两次取得小球的标号相同的概率是ww w. A.16 B. 14 C. 13 D. 128. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，△APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象是二、填空题(本题共16分，每小题4分)9. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为． 10. 分解因式:316a a -=________________.11. 已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．则阴影部分的面积是．12. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如右图所示，点A 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为(0，2)．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为．ww w.三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13.计算: 101122sin 60()(2013)3---︒+-．14．求不等式 2x +9 ≥ 3(x +2) 的正整数解．15.已知:如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，作∠EAB =∠BAD ，AE 边交CB的延长线于点E ，延长AD 到点F ，使AF =AE ，连结CF ．求证:BE =CF ．16．先化简，再求值:21)3(21)m m -++2(，其中m 是方程210x x +-=的根．17.列方程或方程组解应用题小红到离家2100米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍． (1)小红步行的平均速度(单位:米/分)是多少？(2)小红能否在联欢会开始前赶到学校？(通过计算说明你的理由)18.如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，已知A(－2，0)，B(2，0)，D(0，3)，反比例函数kyx(x＞0)的图象经过点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)问将平行四边形ABCD向上平移多少个单位，能使点B落在双曲线上.四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度(态度分为:A:无所谓；B:反对；C:赞成)，并将调査结果绘制成图①和图②的统计图(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题:(1)此次抽样调査中，共调査了名中学生家长；(2)将图①补充完整；(3)根据抽样调查结果，请你估计该市城区80 000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？20．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．(1)求证:∠CED=∠DAG；的值．(2)若BE=1，AG=4，求sin AEB21. 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.(1)求证:PC是⊙O的切线.(2)若AB=4，AP∶PC=1∶2，求CF的长.22. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4cm，∠ABC=120°，按下列步骤进行裁剪和拼图:第一步:如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步:如图2，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步:如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，再与三角形纸片EGH拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)(1)请你在图3中画出拼接成的四边形；(2)直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm，最大值为________cm．五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证:无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，原方程的根也是整数．24. 问题1:如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2:如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧，且OA＜OB)，与y轴的交点坐标为(0，－5).点M是线段AB上的任意一点，过点M(a，0)作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D(C，D不重合)，点P是线段MC上一点，连结CD，BD，PD.(1)求此抛物线的解析式；(2)当1a=时，问点P在什么位置时，能使得PD⊥BD；(3)若点P满足14MP MC=，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. ww w.参考答案及评分标准一、选择题(本题共32分，每小题4分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D DA CA BC D题号 9 101112答案1(4)(4)a a a -+π2-201295()4⨯三、解答题:(本题共30分，每小题5分) 13．(本小题满分5分) 解:原式=3232312⨯+- ………………4分 32 . ………………5分 14．(本小题满分5分)解:2936x x +≥+ ， ………………1分 2369x x -≥- ， ………………2分3x -≥- ， ………………3分 3x ≤． ………………4分∴ 不等式的正整数解为1,2,3 ． ………………5分 15．(本小题满分5分)证明:∵ AB =AC ，点D 是BC 的中点，∴ ∠CAD =∠BAD ． ………………1分又∵ ∠EAB =∠BAD ，∴ ∠CAD =∠EAB ． ………………2分在△ACF 和△ABE 中，,,,AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACF ≌△ABE ． ………………4分 ∴ BE =CF ． ………………5分16．(本小题满分5分) 解:原式=221)63m m m -+++2( =24263m m m -+++2=225m m ++2． ………………3分∵ m 是方程210x x +-=的根，∴ 210m m +-=．∴ 21m m +=．∴ 原式=2)5m m ++2(=7．………………………5分17．(本小题满分5分)解:(1)设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分． ·· 1分根据题意得:21002100203x x=+ ． ·············································· 2分得 70x = ． ·································································· 3分经检验70x =是原方程的解． ··················································· 4分答:小红步行的平均速度是70米/分．(2)根据题意得:21002100404570370+=<⨯ ． ∴小红能在联欢会开始前赶到． …………………………………5分18.(本小题满分5分)解:(1)∵ 平行四边形ABCD ，A (－2，0)，B (2，0)，D (0，3)，∴ 可得点C 的坐标为(4,3).∴ 反比例函数的解析式为 12y x=. …………………………………3分 (2)将点B 的横坐标2代入反比例函数12y x=中，可得y =6. ∴ 将平行四边形ABCD 向上平移6个单位，能使点B 落在双曲线上.………5分四、解答题(本题共20分，每小题5分)19.(本小题满分5分)解:(1)调查家长总数为:50÷25%=200人； …………………………1分(2)持赞成态度的学生家长有200﹣50﹣120=30人，故统计图为: …………………………3分(3)持赞成态度的家长有:80000×15%=12000人．………………………………5分20.(本小题满分5分)解:(1)证明:∵ 矩形ABCD ，∴AD∥BC.∴∠CED =∠ADE.又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.∴∠DAG =∠ADE.∴∠CED =∠DAG. …………………………2分(2) ∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，∴∠AED=∠AGE.∴AE=AG.∵AG=4，∴AE=4.在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=15.∴15sin4ABAEBAE∠==. …………………………5分21．(本小题满分5分)解:(1)证明:连结OC．∵OE⊥AC，∴AE=CE．∴F A=FC．∴∠F AC=∠FCA．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠OAC+∠F AC=∠OCA+∠FCA．即∠F AO=∠FCO．∵F A与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴F A⊥AB．∴∠FCO=∠F AO=90°．∴PC是⊙O的切线．………………………………………………… 2分(2)∵∠PCO=90°，即∠ACO +∠ACP =90°.又∵∠BCO+∠ACO =90°，∴∠ACP=∠BCO.∵ BO =CO ，∴ ∠BCO =∠B .∴ ∠ACP =∠B .∵ ∠P 公共角，∴ △PCA ∽△PBC .∴ PC PA AC PB PC BC==. ∵ AP ∶PC =1∶2， ∴1=2AC BC . ∵ ∠AEO =∠ACB =90°，∴ OF ∥BC .∴ AOF ABC ∠=∠.∴ 1tan tan 2AOF ABC ∠=∠=. ∴ 1tan 2AF AOF AO ∠==. ∵ AB =4，∴ AO =2 .∴ AF =1 .∴ CF =1 . ………………5分22．(本小题满分5分)解: (1)拼接成的四边形所图虚线所示； ………………2分(2)83+； 847+. …………………………5分(注:通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB =4，左右两边的长等于线段MN 的长，当MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为3+4)=83+当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N 与点C 重合时，线段MN 最长，等于7，此时，这个四边形的周长最大，其值为847+五、解答题:(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．(本小题满分7分)解:(1)证明: Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++--=225m m ++=2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0，∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分(2) 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 23(1)4m m x --±++=. ………………3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数.设22(1)4m a ++=，则(1)(1)4a m a m ++--=.∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同，可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩ 解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. ………………5分将m =－1代入23(1)4m m x --±++=，得 122,0x x =-=符合题意. ………………6分∴当m=－1 时，原方程的根是整数. ……………7分24. (本小题满分7分)解:(1)猜想的结论:MN=AM+CN．……………1分(2)猜想的结论:MN=CN－AM．……………3分证明:在NC截取CF= AM，连接BF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠DAB+∠C=180°．又∵∠DAB+∠MAB=180°，∴∠MAB=∠C．∵AB=BC AM=CF，∴△AMB≌△CFB ．∴∠ABM=∠CBF，BM=BF．∴∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF．即∠MBF =∠ABC．∵∠MBN=12∠ABC，∴∠MBN=12∠MBF．即∠MBN=∠NBF．又∵BN=BN BM=BF，∴△MBN≌△FBN．∴MN=NF．∵NF=CN－CF，∴MN=CN－AM．…………………7分25．(本小题满分8分)解:(1)抛物线2229y x mx m =-+-与y 轴交点坐标为（0,-5）， 259m ∴-=-. 解得2m =±.抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧，且OA OB <)， 2m ∴=.∴抛物线的解析式为245y x x =--. ……….. 2 分(2)过D 点作DF x ⊥轴于点F ，ww w.//,CD MF DF MF ⊥，CD MF ∴⊥.PD BD ⊥,.PDC BDF ∴∠=∠.又=90PCD BFD ∠=∠︒，PCD BFD ∴∆∆∽. CD PC FD BF ∴=. (1,8),(3,8),(3,0),(5,0)C D F B --，设Py （1，）， 28=82y +∴. 解得152y =-. ∴当P 的坐标为15(1,)2-时， PD BD ⊥. ……….. 4分(3)假设E 点存在，MC EM ⊥，CD MC ⊥，EMP PCD ∴∠=∠.PE PD ⊥，EPM PDC ∴∠=∠.,PE PD =EPM PDC ∴∆∆≌.,PM DC EM PD ∴==.设00(,)C x y ，则00(4,)D x y -，001(,)4P x y . 001244x y ∴-=-.2000124(45)4x x x ∴-=---. 解得01x =或03x =. (1,-2)(3,-2)P P ∴或. 6PC ∴=. 6ME PC ∴==. (7,0)E ∴或(-3,0)E .…………………………………………… 8分。

2020年北京市东城区中考数学一模试题及答案

2020年北京市东城区中考数学一模试题及答案东城区2019—2020学年度第二学期初三年级统一测试（一）初三数学2020．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1．2019年上半年北京市实现地区生产总值15 212.5亿元，同比增长6.3%.总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展. 将数据15 212.5用科学计数法表示应为A．1.521 25×105B．1.521 25×104C．0.152 125×105D．0.152 125×1062．如图是某几何体的三视图,该几何体是A.长方体B.正方体球 D. 圆柱3．如图，将一块含有30?的直角三角板的顶点放在直尺的一边上.若148∠的度数是∠=?，那么2A．48?B．78?C．92?D．102?4.将2a2﹣8分解因式，结果正确的是A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）25．点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,AC＝1,OA＝OB,若点C所表示的数为a,则点B所表示的数为A.－(a+1)B.－(a－1)C.a+1D.a－16．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作?MN，交射线OB于点D，连接CD；(2) 分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是A ．CP ∥OBB ．CP = 2QC C ．∠AOP =∠BOPD ．CD ⊥OP7．将 4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2．若S 1＝53S 2，则a ，b 满足A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b8．党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础.以下是根据近几年中国农村贫困人口数量 2017 2018 2019 东部 300 147 47 中部 1 112 181 西部1 634916323（以上数据来源于国家统计局）根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是A. 2018年中部地区农村贫困人口为 597万人B. 2017-2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C. 2016-2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D. 2017-2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低二、填空题（本题共16分，每小题2分）921x -x 的取值范围是．10．随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a 和b ，则 a +b ＞4的概率是_______． 11．若230x x +-=，则代数式2(x -2)(x +2)－x (x －1)的值是．12．如果一个正n 边形的每个内角为108?，那么这个正n 边形的边数为．地区人数年份13．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，则可列二元一次方程组为．14．如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB ，BC 都相切．连接OC ，则tan ∠OCB ＝__________．15. 甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s （米）与时间 t （秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：○1乙队率先到达终点；○2甲队比乙队多走了126米；○3在47.8秒时，两队所走路程相等；○4从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢. 所以正确判断的序号是．16．从-1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a k ，b k ）构成一个数对M K ={a k ，b k }（其中k =1，2…s ，且将{a k ，b k }与{b k ，a k }视为同一个数对），若满足：对于任意的M i ={a i ，b i }和M j ={a j ，b j }（i ≠j ，1≤i ≤s ，1≤j ≤s ）都有a i +b i ≠a j +b j ，则s 的最大值是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()01133π2cos602----++o （）.18．解不等式组： 263210.54x x x x -<??+-?-≥??，19．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果. 解分式方程：331221 x x x x --=++．解：去分母，得 2x +2﹣（x ﹣3）＝3x . …………………步骤1去括号，得 2233x x x +--=. …………………步骤2移项，得 2323x x x --=-. …………………步骤3 合并同类项，得21x -=-. …………………步骤4解得 12x =. …………………步骤5 所以，原分式方程的解为12x =. …………………步骤620. 已知关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根.（1）求a 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a 的值及方程的另一个实数根.21．如图，在菱形ABCD 中，BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F .（1）求证：BF =DE ；（2）分别延长BE 和AD ，交于点G ，若∠A =45°时，求DGAD 的值. 22．如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数my x=（m ≠0，x ＞0）的图象在第一象限交于点A ,B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．已知A （1，4），14CD CE =．（1）求m 的值和一次函数的解析式；（2）若点M 为反比例函数图象在A ,B 之间的动点，作射线OM 交直线AB 于点N ，当MN 长度最大时，直接写出点M 的坐标．23．如图，直线l 与⊙O 相离，l OA ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5=OA .C 是直线l 上一点，连接CP 并延长，交⊙O 于点B ，且AC AB =.（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若1tan 2ACB =∠，求线段BP 的长.24．人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总.人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及制定各项方针政策的制定都具有重要的意义.下面是关于人口统计数据的部分信息.a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：b.人口数量在2≤x＜4这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.73.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：0-14岁人口比例15-59岁人口比例60岁及以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%e.世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50‰,最低<20‰,2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点.根据以上信息，回答下列问题（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第___位.（2）人口增长率=人口出生率-人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有____个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为____千万人.(保留小数点后一位）（3）下列说法中合理的是________①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；② 随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力.25．如图，P 是线段AB 上的一点，AB =6cm ，O 是AB 外一定点．连接OP ，将OP 绕点O 顺时针旋转120°得OQ ，连接PQ ，AQ ．小明根据学习函数的经验，对线段AP ，PQ ，AQ 的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P 在AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ，PQ ，AQ 的长度（单位：cm ）的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 PQ 4.00 2.31 0.84 1.433.074.77 6.49 AQ4.003.082.231.571.401.852.63在AP ，PQ ，AQ 的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ=PQ 时，线段AP 的长度约为________cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y =ax 与抛物线y =ax 2 -2ax -1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W . (1) 求抛物线顶点坐标（用含a 的式子表示）；(2) 当a =21时，写出区域W 内的所有整点坐标；(3) 若区域W 内有3个整点，求a 的取值范围.27．如图，在正方形ABCD 中，AB =3，M 是CD 边上一动点（不与D 点重合），点D 与点E 关于AM 所在的直线对称，连接AE ，ME ，延长CB 到点F ，使得BF =DM ，连接EF ，AF .（1）依题意补全图1；（2）若DM =1，求线段EF 的长；（3）当点M 在CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时tan ∠DAM 的值.28．在△ABC 中，CD 是△ABC 的中线，如果?CD上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则?CD 称为△ABC 的中线弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=o，AC =1，D 是AB 的中点．①如图1，若=45A ?∠，画出△ABC 的一条中线弧?CD，直接写出△ABC 的中线弧?CD 所在圆的半径r 的最小值；②如图2，若60A ∠=o ，求出△ABC 的最长的中线弧?CD的弧长l ．图1 图2（2）在平面直角坐标系中，已知点A （2，2），B （4，0），C （0，0），在△ABC 中，D 是AB 的中点．求△ABC 的中线弧?CD所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围．图1DM备用图DCBA东城区2019—2020学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学参考答案及评分标准 2020.5题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D CBACC9．12x ≥10．23 11． 5- 12．5 13．501030,2.x y x y +=??+=? 14．315．○3○4 16．5 三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分） 17.解：原式=3112-++ -----------------4分=32+. -----------------5分18．解：由○1得，x ＞－6. --------------2分由○2得，x ≤13. --------------4分∴不等式的解集为－6＜x ≤13. ---------------5分19.解：错误的步骤是：第一步、第二步、第三步、第六步，理由略. --------------4分正确的结果是1x =. ---------------5分 20.解：（1）∵关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，且a ≠0.即22-4(3)0a ?-＞，且a ≠0．∴a ＞13-且a ≠0. -----------------3分（2）将1x =代入方程ax 2+2x －3＝0，解得1a =.将1a =代入方程ax 2+2x －3＝0，解方程得 121, 3.x x ==-∴ 方程的另一个根为 3.x =- -----------------5分21．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴ CB =CD .又∵ BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴ ∠BEC =∠DFC =90°. ∵ ∠C =∠C ，∴ △BEC ≌△DFC . ∴ EC =FC .∴ BF =DE . -----------------------------------2分（2）设AD =2a ，∵∠A =45°，∴△DEG 和△BEC 都是等腰直角三角形. ∵四边形ABCD 是菱形，∴=DG DG DEAD BC CE=. 可求出,(21)CE a DE a ==-.∴=2-1DGAD.-----------------------------------5分22.解：（1）将点A （4，1）代入m y x=, 得 4m = .∴反比例函数解析式为4y x=. ∵BE ⊥y 轴，AD ⊥y 轴，∴∠CEB ＝∠CDA ＝90°. ∴△CDA ∽△CEB . ∴CD ADCE BE=. ∵14CD CE =，∴BE ＝4AD . ∵A （1，4），∴AD ＝1. ∴BE ＝4. ∴x B ＝4. ∴y B =4x =1. ∴B （4，1）.将A （1，4），B （4，1）代入y ＝kx +b ，得， 4,4 1.k b k b +=??+=?解得，k ＝﹣1，b ＝5.∴一次函数的解析式为 y ＝﹣x +5. ………………………………3分（2）当MN 长度最大时，点M 的坐标为（2，2）. ………………………………5分 23. 解：(1) 证明：如图，连结OB ，则OB OP =.∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠. ΘAC AB =，ABC ACB ∠=∠∴.而l OA ⊥，即?=∠90OAC . ?=∠+∠∴90CPA ACB . 即?=∠+∠90OBP ABP . ?=∠∴90ABO ，AB OB ⊥∴，故AB 是⊙O 的切线. ………………………………2分（2）∵ 1tan 2ACB =∠，∴ 在Rt △ACP 中，设AP =x ,AC =2x . ∵ 5=OA ，∴ 5OP x =-. ∴ 5OB x =-. ΘAC AB =，∴2AB x =.∵?=∠90ABO ，由勾股定理，得222OB AB OA +=.即2225-)25x x +=（（）. 解得2x =. ∴ AP =2.∴3OB OP ==. ∴4AB AC ==. ∴CP =过O 作PB OD ⊥于D ，在ODP △和CAP △中，CPA OPD ∠=∠Θ，=∠=∠90CAP ODP ∴ODP △∽CAP △. =PD OP ODPA CP CA∴=. 553=?=∴CP PA OP PD .。

东城数学一模试卷初三答案

一、选择题（每题4分，共40分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是（）A. 0和1B. 1和-1C. 0和-1D. 0和2答案：A解析：因为0的平方是0，1的平方是1，所以这个数是0和1。

2. 下列哪个数是负数？（）A. -5B. 5C. 0D. 3答案：A解析：负数是小于0的数，所以-5是负数。

3. 下列哪个图形是正方形？（）A. 长方形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形答案：D解析：正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以正方形是正方形。

4. 下列哪个数是偶数？（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：偶数是2的倍数，所以8是偶数。

5. 下列哪个数是质数？（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：质数是只能被1和它本身整除的数，所以5是质数。

6. 下列哪个数是合数？（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C解析：合数是除了1和它本身外，还能被其他数整除的数，所以6是合数。

7. 下列哪个图形是圆？（）A. 矩形B. 正方形C. 圆D. 三角形答案：C解析：圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合，所以圆是圆。

8. 下列哪个数是正数？（）A. -5B. 0C. 5D. -3答案：C解析：正数是大于0的数，所以5是正数。

9. 下列哪个数是整数？（）A. 3.14B. 5.5C. 6D. 2.5答案：C解析：整数是没有小数部分的数，所以6是整数。

10. 下列哪个数是实数？（）A. 3.14B. -5.5C. 6D. 2.5答案：C解析：实数包括有理数和无理数，所以6是实数。

二、填空题（每题5分，共50分）11. 5的平方根是________。

答案：±√5解析：5的平方根是±√5，因为(±√5)²=5。

12. 下列数的倒数是：1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8、1/9、1/10、1/11。

答案：1/2、2/3、3/4、4/5、5/6、6/7、7/8、8/9、9/10、10/11解析：一个数的倒数是它的分子和分母互换位置后的分数，所以答案如上所示。

东城数学一模初三试卷答案

一、选择题1. 答案：A解析：由题意得，x-2>0，解得x>2。

2. 答案：C解析：三角形ABC为等边三角形，故AB=BC=AC，所以S△ABC=√3/4×AC²。

3. 答案：D解析：由题意得，a²+b²=c²，故a²+c²=b²，即三角形ABC为直角三角形。

4. 答案：B解析：由题意得，x²-2x-3=0，分解因式得(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1。

5. 答案：A解析：由题意得，2x+3y=7，3x-2y=1，联立方程组得x=2，y=1。

二、填空题6. 答案：-2解析：由题意得，x²-4x+4=0，分解因式得(x-2)²=0，解得x=2。

7. 答案：3解析：由题意得，a+b=3，ab=2，根据公式(a+b)²=a²+2ab+b²，得a²+b²=(a+b)²-2ab=3²-2×2=5。

8. 答案：12解析：由题意得，(x+3)(x-2)=0，解得x=-3或x=2，当x=-3时，y=5；当x=2时，y=-1。

9. 答案：-5解析：由题意得，2(x-1)-3(x+2)=0，解得x=-5。

10. 答案：4解析：由题意得，(2x+1)²-4x-1=0，展开得4x²+4x+1-4x-1=0，化简得4x²=0，解得x=0。

三、解答题11. 解答：（1）过点A作AB⊥y轴于点B，连接CD，由题意得，AB=CD，∠ADB=∠CDB=90°，故四边形ABCD为矩形。

（2）由题意得，AC=2AD，故∠CAD=∠DCA，又∠CAD=∠BAC，故∠DCA=∠BAC，∠ABC=∠ACB，故三角形ABC为等腰三角形。

（3）由题意得，AB=AC，故BC=AB+AC=2AB，即BC=2x，所以x=2。

2023届北京东城区初三一模数学试题及答案

东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷2023．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1．下列四个几何体中，主视图为三角形的是A B C D2．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展（R&D ）经费支出30870亿元，比上年增长10.4%，与国内生产总值之比为2.55%.将数字30870用科学记数法表示应为A ．3.087×104B ．30.87×103C ．0.3087×105D ．3.087×1053．下面四个图案均由北京2022年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是A B CD4．若实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，则a b +的值可能是A ．–1B ．12-C ．0D ．125．用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为A ．–6B ．–3C ．0D ．26．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是A ．甲同学平均分高，成绩波动较小B ．甲同学平均分高，成绩波动较大C ．乙同学平均分高，成绩波动较小D ．乙同学平均分高，成绩波动较大7．如图，∠AOB =40°，按下列步骤作图：①在OA 边上取一点C ，以点O 为圆心、OC 长为半径画 MN，交OB 于点D ，连接CD ；②以点C 为圆心、CO 长为半径画 GH，交OB 于点E ，连接CE ，则∠DCE 的度数为A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°8．如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB ，AP ，BP 为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是A BCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式21x x-的值为0，则实数x 的值为．10．分解因式：2242x x -+=．11．如图，已知△ABC ，用直尺测量△ABC 中BC 边上的高约为cm （结果保留一位小数）．12．已知点)Am ，3,2B n ⎛⎫⎪⎝⎭在一次函数2y x b =+的图象上，则mn （填“＞”“=”或“＜”）．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 是网格线交点，则△ABC 的外角∠ACD 的度数等于°．14．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，抛掷的结果都是正面朝上的概率是________．15．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成树影AC ．已知灯杆PO 高为5m ，树影AC 长为3m ，树AB 与灯杆PO 的水平距离AP 为4.5m ，则树AB 的高度为m ．16．一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，相对两个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示．骰子由初始位置翻滚一次，点数为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为5的面落在2号格内；继续这样翻滚……．(1)当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为________；(2)依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为________．三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．1703tan3020231︒-+--．18．解不等式组312,221 1.x x x x -⎧<⎪⎨⎪+-⎩≥19．已知2310x x --=，求代数式2(2)(2)(3)x x x +-+-的值．20．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图，点D ，E 分别是ABC △的边AB ，AC 的中点.求证：DE ∥BC ，且DE =12BC .方法一证明：如图，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F ．方法二证明：如图，延长DE 到点F ，使得EF =DE ，连接FC ，DC ，AF ．21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点（-1,3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当1x <-时，对于x 的每一个值，函数y x n =-+的值大于反比例函数(0)ky k x=≠的值，直接写出n 的取值范围．22．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射钱CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM于点F.若∠ABC=70°，DF=5，求∠ACD的度数及BD的长．23．某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．七年级成绩在80≤x＜90的数据如下（单位：分）：808185858585858585858889c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：年级平均数中位数众数方差七年级80.4m n141.04八年级80.4838486.10根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m=,n=；（2）下列推断合理的是；①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩.（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，点D 为»AC 的中点，⊙O 的切线DE 交BA 的延长线于点E ．连接AC ，BC ，CD ．（1）求证：∠E =∠BAC ；（2）若⊙O 的半径长为5，4cos 5E =，求CD 和DE 的长．25．已知乒乓球桌的长度为274cm ，某人从球桌边缘正上方高18cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度为y (单位：cm)与水平距离x (单位：cm)近似满足函数关系21()y a x h k =-+(a <0)．乒乓球的水平距离x 与竖直高度为y 的几组数据如下表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度为y 与水平距离x 近似满足函数关系220.005()8y x h =--+．判断乒乓球再次落下时是否落在球桌上，并说明理由．26．已知抛物线22y ax ax =-(a ≠0)．（1）求该抛物线的顶点坐标(用含a 的式子表示)；（2）当a ＞0时，抛物线上有两点（－1，s ），（k ，t ），若s ＞t 时，直接写出k 的取值范围；（3）若A (m －1，y 1)，B (m ，y 2)，C (m ＋3，y 3)都在抛物线上，是否存在实数m ，使得y 1＜y 3＜y 2≤－a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC边上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．（1）求证：BA平分∠EBC；（2）连接DE交AB于点F，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段EF与DG之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将点P向左(a≥0)或向右（a<0）平移k|a|个单位长度，再向下（b≥0）或向上（b<0）平移k|b|个单位长度（k>0），得到点P'，再将点P关于直线MP’对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”.特别地，当M与P'重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．（1）已知点P(3，0），k＝2．①若点M的坐标为(0，1)，画出点P'，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；②若OM=1，直线y＝x+b上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；（2）半径为3的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1的⊙O上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．东城区2022—2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学参考答案及评分标准2023．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案C A D B B D B C 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．1210．22(1)x-11．1.812．＜13．13514．1415．216．(1)2(2)21三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：03tan3020231︒+--+113=⨯-…………4分=．…………5分18．解：312,221 1.x xx x-⎧<⎪⎨⎪+-⎩①≥②由①得-1x＞，…………2分由②得x≥–2．…………….4分所以不等式组的解集是-1x＞．………5分19．解：22)(2)(3)x x x+-+-（=22469x x x-+-+=2265x x-+.…………….3分∵2310x x--=，∴231x x-=.∴2262x x-=.∴原式=22657x x-+=.…………….5分20．解：方法一：证明：∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F.又∵点E是AC的中点，∴AE=CE.∴△ADE≌△CFE．∴AD=CF，DE=FE．又∵点D是AB的中点，∴AD=BD.∴CF=BD.∴四边形BCFD是平行四边形．∴DF∥BC，DF=BC．∴DE∥BC，且DE＝12BC.…………….5分方法二：证明：∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．∴CF∥DA，且CF=DA．∴CF∥BD，且CF=BD．∴四边形DBCF 是平行四边形.∴DF ∥BC ，且DF =BC ．又∵DE ＝12DF ，∴DE ∥BC ，且DE =12BC ．…………….5分21．解：（1）∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点（-1,3），∴31k=-．∴3k =-．∴反比例函数的解析式为3y x=-．……………………………3分（2）n ≥2．.………………………………………………5分22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠ADB =∠CBD ．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．∴∠ADB =∠ABD ．∴AB =AD ．∴四边形ABCD 是菱形．……………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，∠DOC ＝90°，BD =2DO ．∴∠DCE ＝∠ABC ＝70°．∵∠ECM ＝15°,∴∠DCM ＝55°．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝110°．∴∠ACD ＝12∠ACD ＝55°．∴∠ACD ＝∠DCM .又∵DF ⊥CM ，∴DO =DF =5．∴BD ＝2DO ＝25．……………………6分23．解：（1）83，85.……………………2分（2）①②.……………………4分（3）176034030⨯=（人）．答：估计七年级成绩优秀的学生人数为340人……………………5分24．（1）证明：如图，连接OD 交AC 于点F ，连接OC ．∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ．∴∠ODE =90°．∵点D 为AC 的中点，∴AD CD=．∴∠AOD =∠COD ．∵AO =CO ，∴OF ⊥AC ．∴∠OFA =90°=∠ODE ．∴DE ∥AC ．∴∠E =∠BAC ．……………………3分（2）解：∵∠E =∠BAC ，∴cos ∠BAC =4cos 5E =.在Rt △AOF 中，cos ∠BAC 45AF OA ==，OA=5，∴AF =4，OF =3.∴DF =2.∵OF ⊥AC ，∴CF =AF =4.在Rt △CDF 中，由勾股定理得CD =在Rt △ODE 中，4cos 5E =，∴3tan 4OD E DE ==.∴DE =203.……………………6分25．解：(1)50..….……………………………1分根据表格数据，将（0，18）和（80，50）代入函数关系式21()y a x h k =-+，解得a ＝–0.005．∴二次函数的关系式为20.005(80)50y x =--+．.….……………………………3分(2)乒乓球仍落在球桌上．理由如下：令y =0，则x =180．∴OB =180．令y =42,则x =80±40．∴BC =DE =80．∴OC =OB +BC =260．∵260<274，∴乒乓球仍落在球桌上．….……………………………6分26．解：（1）22y ax ax=-＝2(211)a x x -+-＝2(1)a x a --.∴抛物线的顶点坐标为(1，–a ).………………………………2分（2）－1＜k ＜3.………………………………4分（3）∵y 1＜y 3＜y 2≤－a ，且顶点坐标为(1，–a ),∴抛物线开口向下．∴a ＜0.点A (m －1，y 1)，C (m ＋3，y 3)关于直线x ＝1对称的点的坐标分别为A ′(3–m ，y 1)，C ′(–1–m ，y 3)．∵m -1<m <m +3，y 1＜y 3＜y 2，∴点A ，B ，C 不可能在对称轴的同侧．∴点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧．当点B 在对称轴左侧或在对称轴上时，可得1111m m m m m >--⎧⎪-->-⎨⎪≤⎩，解得12-<m <0．当点B 在对称轴右侧时，可得1333m m m m m >⎧⎪+<-⎨⎪<-⎩，此时不等式组无解．综上所述，m 的取值范围为12-<m <0．………………………………6分27．（1）证明：∵将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，∴∠EAD =α，AD =AE ．∵∠BAC ＝α，∴∠BAC=∠EAD ．∴∠BAC －∠BAD=∠EAD －∠BAD ，即∠DAC=∠EAB ，在△ACD 和△ABE 中，,,.AC AC DAC EAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△ABE （SAS ）．∴∠ABE ＝∠C ．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ．∴∠ABE ＝∠ABC ．∴BA 平分∠EBC ．………………………………3分（2）解：补全图形如图，EF =CG ．理由如下：在AB 上取一点M ，使得BM ＝CG ，连接EM ．∵CG ∥AB ，∴∠ABC ＝∠DCG ，∠BFG ＝∠CGD ．∴∠EBM ＝∠DCG ．由（1）知△ACD ≌△ABE ，∴EB ＝CD ．在△EBM 和△DCG 中,,,EB DC EBM DCG BM CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBM ≌△DCG (SAS )．∴EM ＝DG ，∠EMB ＝∠DGC ．∵∠EMB ＋∠EMF ＝180°，∠EFM ＋∠DFM ＝180°，∴∠EMF ＝∠EFM ．∴EM ＝EF ．∴EF ＝DG ．………………………………7分28．解：（1P '，–2)；点Q 坐标为（1，–2）.…………………3分②1--≤b ≤1-.………………………………5分（2）12≤k ≤2.………………………………7分。

东城区初三数学一模试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…（无限循环小数）D. -3/42. 已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，那么下列结论正确的是（）A. a=0，b=0，c=0B. a≠0，b≠0，c≠0C. a=0，b≠0，c≠0D. a≠0，b=0，c≠03. 若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，则下列条件中一定成立的是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a<0，b>0，c<04. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，则∠ADB与∠ADC的关系是（）A. ∠ADB=∠ADCB. ∠ADB>∠ADCC. ∠ADB<∠ADCD. 无法确定5. 下列各式中，正确的是（）A. a^2+b^2=c^2B. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2C. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2D. (a+b)^2=a^2-b^26. 已知一元二次方程x^2-4x+3=0，下列说法正确的是（）A. 方程有两个不相等的实数根B. 方程有两个相等的实数根C. 方程没有实数根D. 无法确定7. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,-2)，则线段AB的中点坐标是（）A. (1,1)B. (1.5,2)C. (0,2.5)D. (1.5,-1)8. 已知正方形的对角线长为d，则该正方形的边长为（）A. d/2B. √2d/2C. √2dD. 2d9. 若函数f(x)=kx+b的图象与x轴平行，则下列条件中一定成立的是（）A. k=0，b≠0B. k≠0，b=0C. k=0，b=0D. k≠0，b≠010. 在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b=______。

人教版_北京市东城区初三一模数学试卷及答案

东城区2021-2021学年度第一次模拟检测初三数学学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．如图，若数轴上的点A，B分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C 对应的实数是A. 2B.3C. 4D. 52. 当函数()212y x=--的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是A．x＞0B．x＜1C．1x＞D．x为任意实数3．若实数a，b满足a b＞，则与实数a，b对应的点在数轴上的位置可以是4．如图，O是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A．πB．3π2C．2πD．3π5．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°6．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x个，那么可列方程为A．30456x x=+B．30456x x=-C．30456x x=-D．30456x x=+7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等. 如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是A．15B．25C．12D．358．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心的一段弧，且错误!未指定书签。

2020年北京市东城区初三一模数学试卷及答案

东城区2020年第一次模拟检测初三数学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．如图，若数轴上的点A，B分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是A. 2B.3C. 4D. 52. 当函数()212y x=--的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是A．x＞0B．x＜1C．1x＞D．x为任意实数3．若实数a，b满足a b＞，则与实数a，b对应的点在数轴上的位置可以是4．如图，O是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A．πB．3π2C．2πD．3π5．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°6．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x个，那么可列方程为A．30456x x=+B．30456x x=-C．30456x x=-D．30456x x=+7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是A．15B．25C．12D．358．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心的一段弧，且错误!未指定书签。

2023-2024学年北京市东城区中考数学模拟试卷+答案解析

2023-2024学年北京市东城区中考数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.据台州市统计局调查数据显示，截至2019年年底，全市汽车保有量达到了1752000辆．将1752000用科学记数法表示是()A. B. C. D.2.下列说法正确的是A.两个相等的角不可能互余B.一个角的余角一定比这个角大C.一个角的补角一定比这个角大D.一个锐角的补角一定比这个角的余角大3.如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是的平分线，若，则等于()A. B. C. D.804.一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是()A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形5.如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点在A的右侧，则点E表示的数为()A. B. C. D.6.春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是()A. B. C. D.7.估计的运算结果最接近的整数是()A.2B.3C.4D.58.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度米与水平距离米之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为()A.米B.8米C.10米D.2米二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.10.中D、E、F是三边中点，若的面积是2，则的面积=__________.11.因式分解：__________.12.写出一个大于而小于的无理数：__________.13.若n为整数，且，则n的值为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，点在反比例函数的图象上，则n的值为__________.15.如图，切于A，B两点．连接AB，连接OP交AB于点C，若，，则半径为__________，PA的长为__________.16.某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表：规格每包食材含量每包售价A包装1千克45元B包装千克12元已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为__________包时，每日所获总售价最大，最大总售价为__________元．三、计算题：本大题共2小题，共12分。

2019北京市东城区初三中考数学一模试题卷（含答案）

北京市东城区2018-2019学年第二学期统一练习（一）初三数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列立体图形中，主视图是圆的为2. 2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162夭.于16000000人次.将16000000用科学计数法表示应为A. 16X106B. 1. 6x0C. 0. 16x10sD. 1预计参观人数将不少6x03.已知实数a,方在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是fl I I I 、-2 a _1 0 b 1 2A. a>h B. |a|V 网 C. ah>0 D. -a>h4.如图，将一张矩形纸片折叠，若Zl=80°,则N2的度数是A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°5.若一个多边形的每个内角均为120。

，则该多边形是A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形6.如果〃"一2 =。

，那么代数式（七+去）•学的值为1A. 1 C.-3 D.48.改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升.居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出.卜图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图.教穷、文化和娱乐消骨支出折线图说明：在统计学中.同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与 2018年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中错误的是A. 2017年第二季度环比有所提高B. 2017年第三季度环比有所提高C. 2018年第一季度同比有所提高D. 2018年第四季度同比有所提高二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若后万在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.10.有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1~6这六个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为.11.能说明命题“若a>b,则ac>bc”是假命题的一个c值是.12.如图.AD为ZBC的外接圆的直径，若3X0=50。

2021北京东城初三一模数学含答案

东城区2021届初三年级一模考试数学试卷2021．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.某几何体的三视图如图所示，该几何体是A．三棱柱B．正方体C．圆锥D．圆柱2.在平面直角坐标系x O y中，下列函数的图象不过点（1，1）的是A．B．C．D．3.2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道.将475000000用科学记数法表示应为A．B．C．D．4.一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上.在图中所标记的角中，与∠1相等的角是A．∠2B．∠3C．∠4D．∠55.如图，△A B C经过旋转或轴对称得到△A B′C′，其中△A B C绕点A逆时针旋转60°的是6.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示.下列式子正确的是A．B．C．D．7.如图，P A，P B是⊙O的切线，切点分别为A，B，P O的延长线交⊙O于点C，连接O A，O B，B C.若A O=2，O P＝4，则∠C等于A．B．C．D．8.一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30c m，40c m.现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60c m长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到A．60c m B．75c m C．100c m D．120c m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式的值为0，则x的值等于．10.分解因式：=．11.用一组a，b的值说明“若，则”是假命题，这组值可以是a=，b=．12.4月23日是世界读书日.甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为.13.有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为.（精确到0.001）14.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．15.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是．16.小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通方式有地铁、公交车、出租车、共享单车等.小青的家到地铁站（或公交）有一段距离，地铁站（或公交站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车.共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算.出行方式的相关信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断:①如果使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；③如果选择公交和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么，除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元.其中推断合理的是.三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：18.已知，求代数式的值．19.尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．求作：菱形A B C D，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．作法：①作直线m，在m上任意截取线段A C=a；②作线段A C的垂直平分线E F交线段A C于点O；③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线E F于点B，D；④分别连接A B，B C，C D，D A；则四边形A B C D就是所求作的菱形.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵O A=O C，O B=O D，∴四边形A B C D是．∵A C⊥B D，∴四边形A B C D是菱形.()(填推理的依据)．20.解不等式组：并写出其中的正整数解．21.解分式方程：．22.如图，在平行四边形A B C D中，过点D作D E⊥A C于点E，D E的延长线交A B于点F.过点B作B G∥D F交D C于点G，交A C于点M.过点G作G N⊥D F于点N．(1)求证：四边形N E M G为矩形；（2）若A B=26，G N=8，，求线段A C的长．23.在平面直角坐标系x O y中，直线：y=k x+b与直线y=3x平行，且过点A（2，7）．(1)求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线与直线关于y轴对称，直线y=m与直线，围成的区域W 内(不包含边界)恰有6个整点，求m的取值范围．24.如图，△A B C是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交A B的延长线于点D，O E⊥B C于点E，交C D于点F．（1）求证：∠A+∠O F C=90°；（2）若，求线段C F的长.25.第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行.为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了相关信息：a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100)：c.测试成绩在70≤x＜80这一组的是：7073747475757778d.小明的冬奥知识测试成绩为85分．根据以上信息，回答下列问题：（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第；（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为________；（3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，直接写出，，的大小关系；（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为人．26.在平面直角坐标系x O y中，点,在抛物线上，其中.（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当时，求的值；②若，求的值（用含a的式子表示）；（3）若对于，都有，求的取值范围.27.已知∠M A N=30 ，点B为边A M上一个定点，点P为线段A B上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线A N的对称点为点Q，连接A Q,B Q．点A关于直线B Q的对称点为点C，连接P Q，C P．(1)如图1，若点P为线段A B的中点.①直接写出∠A Q B的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段C P与A P的数量关系；(2)如图2，若线段C P与B Q交于点D．①设∠B Q P=α，求∠C P Q的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段D C，D Q，D P之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系x O y中，已知正方形，其中，，，．为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段的中点为，平移线段M N得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点的对应点），线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”．（1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是________；若分别为的中点，在点中，连接点与点________的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”；（2）如图2，已知点，若都在直线B E上，记线段到正方形的“平移距离”为，求的最小值；（3）若线段M N的中点的坐标为(2，2)，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案D C B A D C B C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.010.11.0,-1（答案不唯一）13.0.16714.615.016.①②③三.解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：=………………………………………………………………4分=.……………………………………………………………………5分18.解：………………………………………………………3分.……………………………………………………………4分∵，∴.∴原式=.……………………………………………………………5分19.解：(1)尺规作图如图；……………………………………………………………………………………3分（2）平行四边形；……………………………………………………………………4分对角线互相垂直的平行四边形是菱形.……………………………………………5分20.解：由①去分母，得.去括号，得.移项，得.合并同类项，得.系数化为1，得.∴不等式①的解集为.………………………………………………2分由②移项，得.合并同类项，得.∴不等式②的解集为.………………………………………………4分所以，不等式组的解集为，………………………………………………5分其中正整数解为x=1.…………………………………………………6分21.解：去分母，得.……………………………………………………1分移项，得.………………………………………………………2分合并同类项，得.…………………………………………………………3分系数化为1，得.…………………………………………………………4分经检验，是原方程的解.所以，原方程的解为.…………………………………………………………5分22.(1)证明：∵D E⊥A C,∴∠D E C=90°.∵B G∥D F,∴∠G M E+∠D E C=180°.∴∠G M E=90°.……………………………………………………………1分∵G N⊥D F,∴∠E N G=90°.∴四边形N E M G为矩形.………………………………………………………2分(2)解：∵四边形N E M G为矩形，∴E M=N G=8.在R t△A M B中，∠A M B=90°.∵s i n∠C A B=,A B=26，∴B M=10.…………………………………………………………………3分根据勾股定理，得A M=24.∴A E=A M-E M=16.∵四边形A B C D是平行四边形，∴A D∥B C,A D=B C.∴∠D A E=∠B C M.∵∠A E D=∠C M B=90°，∴△A D E≌△C B M(A A S).∴A E=C M.∴A C=2A E+E M=40.……………………………………………………………………5分23.解：（1）∵直线与直线y=3平行，∴.…………………………………………………………………1分∵直线过点（2，7），∴.∴直线的表达式为.…………………………………………………2分（2）①当时，∵把代入，得,∴直线与直线的交点为.由图形的对称性，可知直线与直线的交点为.结合图象，可知当时，区域W内（不包含边界）整点个数小于6，不符合题意.当时，区域W内（不包含边界）恰有6个整点：（0，2），（0,3），（0，4），（-1,5），（0,5），（1,5）.当时，区域W内（不包含边界）整点个数大于6，不符合题意.∴.……………………………………………………………………4分②当时，由图形的对称性，得.综上所述，，或.…………………………………………5分24.方法1：（1）证明：如图，作直径C G，连接B G，则∠G B C=90°.∵O E⊥B C，∴∠1=90°=∠G B C.∴O F∥B G.∴∠G=∠2.∵∠G=∠A，∴∠A=∠2.∵C D是⊙O的切线，∴C G⊥C D.∴∠O C F=90°.∴∠2+∠O F C=90°.∴∠A+∠O F C=90°.……………………………………………………3分（2）∵∠G=∠A=∠2，∴在R t△B C G中，B C=6，，∴B G=4.根据勾股定理，得C G=.∴O C=.在R t△O C F中，，∴.……………………………………………………………6分方法2（1）证明：如图，连接O C，O B，∵O E⊥B C,O B=O C,∴∠2=∠B O C.∴∠A=∠B O C.∴∠A=∠2.∵C D是⊙O的切线，∴C O⊥C D.∴∠2+∠O F C=90°.∴∠A+∠O F C=90°.……………………………………………………3分(2)解：∵O E⊥B C,∴C E=B C=3.∵∠3+∠O F C=90°，∠A+∠O F C=90°.∴∠A=∠3.∴在R t△C E F中，C E=3，，∴E F=.根据勾股定理，得C F=.…………………………………………6分25.解:（1）5；…………………………………………………………………………1分（2）74；…………………………………………………………………………3分（3）；…………………………………………5分（4）140.…………………………………………………………………………6分26.解：（1）抛物线的对称轴为直线.………………………2分（2）①当时，；………………………3分②.……………………………………………4分（3）①当时，∵，，∴，只需讨论的情况.若，∵时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意；若，∵，∴.∵，∴.∴.∵时，，时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意.②当时，令，，此时，但，不符合题意；综上所述，的取值范围是.……………………………………6分27.（1）解：①∠A Q B=90°；②补全图形，如图1，.………………………………………………………………3分（2）①解：如图2，连接C Q，∵点P，点Q关于直线A N对称，点A，点C关于直线B Q对称，∴△A P Q为等边三角形.P Q=A Q.∴C Q=P Q.∴∠C=∠C P Q.…………………………………………………………5分②结论：证明：在D C 上截取D E =D Q ，连接E Q ，∴△D E Q 为等边三角形.∴Q E =Q D .∴……………………………………………7分28.解：(1)平行，；……………………………………………………2分(2)如图，连接．∵，∴C E =1，即B C =C E ．∵∠A C B =45°，∴∠C B E =∠C E B =22.5°．∵，∴．∵点为的中点，∴．∴.∴过点P 1作P 1H ⊥B E 于点H ,则为等腰直角三角形.∵，∴．∵，∴．∴的最小值是.……………………………………………………5分(3)……………………………………………………7分。