量子力学与固体物理要点

12
量子力学要点
1、基本描述：波函数。系统的行为用薛定谔方程 描述，方程的解称为波函数。系统的完整信息用它 的波函数表述，通过波函数可以计算任意可观察量 的可能值。在空间给定体积内找到一个电子的概率 正比于波函数幅值的平方，因此，粒子的位置分布 在波函数所在的体积内。粒子的动量依赖于波函数 的斜率，波函数越陡，动量越大。斜率是变化的， 因此动量也是分布的。这样，有必要放弃位移和速 度能确定到任意精度的经典图象，而采纳一种模糊 的概率图象，这也是量子力学的核心。
能 量 密 度
实验表明：热平衡时，空腔辐 射的能量密度，与辐射的波长 的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而 与黑体的形状和材料无关。
0
5 (104 cm)
10
19
Wien－1894：利用电动力学和热力学
Wien公式：
dE ( )d N d c1 3ec2 d
能 量 Rayleigh-Jeans公式 密 （1900，Rayleigh；1905，Jeans）： 度 Rayleigh-Jeans线
统计物理学和电动力学
8kT 2 dE ( )d d c3
Wien 线
0
紫外灾难
5 (104 cm)
10
所有的尝试均以失败告终。
20
普朗克公式、能量子假设（1900、Planck ）
21
对 Planck 辐射定律的三点讨论：
8h 3 1 d d C3 exp( h / kT ) 1
（1）v很大(短波)时:exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)，于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所 主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振 子的频率成正比并且只能取分立值：
8h 3 d Plank辐射定律： ( )d 3 c e h 1
与实验符合得相当完美。
在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假 定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一 份一份的，hν ,2 hν ,3 hν …。即必须假定，对所有频 率相应的能量都是量子化的。 1900年出现的Planck公式标志着量子力学的诞生。
13
2、对于同样一些系统进行同样精心的测量不一定 产生同一结果，相反，结果分散在波函数描述的 范围内，因此，电子特定的位置和动量没有意义。 3、波的干涉。波相加还是相减取决于它们的相位， 振幅同相时相加，反相时相减。当波沿着几条路 径从波源到达接收器，比如光的双缝干涉，一般 会产生干涉图样。粒子遵循波动方程，必有类似 的行为，如电子衍射。 4、对称性和全同性。氦原子由两个电子围绕一个 核运动而构成。氦原子的波函数描述了每一个电 子的位置，两个电子处于相同的量子态，其波函 数相反，因此总波函数为零，也就是说两个电子 处于同一状态的概率为0，此即泡利不相容原理难 但是这些信念，在进入20世纪以后，受到了 冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上 遇到了严重的困难。 （1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）Compton散射问题
18
（1）黑体辐射问题
黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物 体就称为绝对黑体，简称黑体。 黑体辐射：由这样的空腔小孔 发出的辐射就称为黑体辐射。
10
1925年元月到1928年元月：
· 韦纳·海森堡、马克斯·玻恩和帕斯库尔·约当提出了量子 力学的第一个版本， 矩阵力学。人们放弃了通过系统的方法整 理可观察的光谱线来理解原子中电子的运动这一历史目标。
· 埃尔温·薛定谔提出了量子力学的第二种形式，波动力学。 矩阵力学和波动力学实质上是等价的。 · 电子被证明遵循一种新的统计规律，费米-狄拉克统计。所有 的粒子要么遵循费米-狄拉克统计，要么遵循玻色-爱因斯坦统计 ，这两类粒子的基本属性很不相同。 · 海森堡阐明测不准原理。 · 保尔·A·M·狄拉克提出了相对论性的波动方程用来描述电 子，解释了电子的自旋并且预测了反物质。 · 狄拉克提出电磁场的量子描述，建立了量子场论的基础。 · 玻尔提出互补原理，试图解释量子理论中一些明显的矛盾， 特别是波粒二象性。 11 1928年，量子力学的基础本质上已经建立好了。
14
5、所有半整数自旋的粒子（包括电子）都遵循 不相容一原理， 并称为费米子。自旋为整数的 粒子（包括光子）称为玻色子。电子是费米子， 因而在原子中分层排列；光由玻色子组成，所以 激光光线呈现超强度的光束（本质上是一个量子 态）。
量子力学意味着什么？波函数 到底是什么？测量是什么意思？
15
• • • • • •
是通过在真空中制造波动来产生出量子噪声，然后测量噪 声所产生的随机层级，借此获得可以用于信息加密、天气 预演等工作的真正随机数字。值得一提的是，这种骰子被 安装在固态芯片上，能够胜任多种不同的使用需求。
人员发明了一支可以对付这些情况的神奇温度计。它不仅 在极端环境中保持坚挺，更能够提供无比精确的数值。
Wien公式 d C1 3 exp(C 2 / T )d
8h 3 d exp( h / kT )d 3 C
（2）v 很小（长波）时: exp(hv /kT)-1≈1+(h v /kT)-1=(hv/kT) 则 Planck 定律变为Rayleigh-Jeans 公式。
一 二 三 四 五 六
目录 量子力学的诞生 波函数和 Schrodinger 方程 一维定态问题 量子力学中的力学量 态和力学量表象 定态微扰论
16
一、量子力学的诞生
(一）经典物理学的成功 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相 当完善的阶段。主要表现在以下两个方面： (1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种 尺度的力学客体的运动，将其用于分子运动上， 气体分子运动论，取得有益的结果。 1897 年汤姆 森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于 一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在 1803 年由杨的衍射实验有力揭示 出来，麦克斯韦在 1864 年发现的光和电磁现象之 间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。
23
（2）光电效应问题
1897Hertz-----1916Millikan
总结出的光电实验规律无法为经典物理所解释：
1.临界频率v0 只有当光的频率大于某一定值 只有当光的频率大于某一定值 v0 v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时， 时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有 则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子 电子产生。光的这一频率 产生。光的这一频率 v0称为临界频率。 v0称为临界频率。 2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关， 光强只决定电子数目的多少。 3. 光电子发射时间在10－9s内，与光强无关。 按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度 而与频率无关。
• 十、远距传输从科幻到现实
引言——量子力学简史
6
D. Kleppner & R. Jackiw
一个世纪以前，我们所理解的物理世界是经验性的,在当 时，人们看来最显著的事情是对于物质属性的简明描述 基本上是经验性的包括分子，流体和固体，导体和半导 体。成千上万页的光谱数据罗列了大量元素波长的精确 值，但是谁都不知光谱线为何会出现，更不知道它们所 传递的信息。对热导率和电导率的模型解释仅符合大约 半数的事实。虽有不计其数的经验定律，但都很难令人 满意。 而量子力学的建立，量子力学提供了一种定量的物质理 论。使得上述问题迎刃而解，同时使得化学、生物、医 学等学科迅速发展。如：作为量子力学的产物的电子学 是人类进入计算机时代，光子学则是人类进入信息时代。 量子力学展示了其强大的威力，当时其本质却至今没有 得到满意的阐述。
• 三、不确定的量子，极其确定的时钟美国海军气象 • 四、量子密码之战无不胜篇 • 五、随机数发生器：上帝的“量子骰子”他们先
天文台一台铯原子钟，能够在2000万年之后，依然保持 误差不超过1秒。通过调整铯原子的能量层级来抑制量子 噪声程度的方法。
• 六、我们与激光险些失之交臂 • 七、专门挑战极端的超精密温度计耶鲁大学的研究
9
1923年路易·德布罗意在他的博士论文中提出光的粒子行为 与粒子的波动行为应该是对应存在的。德布罗意的假设是一 个重要的前凑，很多事情就要发生了。 1924年夏天，出现了又一个前凑。萨地扬德拉·N·玻色提 出了一种全新的方法来解释普朗克辐射定律。他把光看作 一种无（静）质量的粒子（现称为光子）组成的气体，这种 气体不遵循经典的玻耳兹曼统计规律，而遵循一种建立在粒 子不可区分的性质（即全同性）上的一种新的统计理论。爱 因斯坦立即将玻色的推理应用于实际的有质量的气体从而得 到一种描述气体中粒子数关于能量的分布规律，即著名的玻 色-爱因斯坦分布。它的关键思想——粒子的全同性是极其 重要的。 · 沃尔夫刚·泡利提出了不相容原理。
7
概念的提出：
一个如此令世界震撼和困惑的史无前例的概念被提 出，以至于在引入该概念后的20年里没有进展。
1900年普朗克（Max Planck）提出量子概念。 在他关于热辐射的经典论文中，普朗克假定振动系 统的总能量不能连续改变，而是以不连续的能量子 形式从一个值跳到另一个值。 能量子的概念太激进了，普朗克后来将它搁置下来。 就像他后来所说的那样： “量子化只不过是一个走 投无路的做法”。如果没有新秀阿尔伯特·爱因斯 坦，量子物理恐怕要至此结束。
• 八、人人都爱量子计算机顺应量子时代或许才是
人们最好的选择。相比传统计算机，量子计算机具有 无可比拟的巨大优势：并行处理。借助并行处理的能 力，量子计算机能够同时处理多重任务，而不是像传 统计算机那样还要分出轻重缓急。量子计算机的这一 特性， 注定它在未来将以指数级的速度超越传统计算 机。