2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案

2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）

A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}

2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）

A．2πB．4πC．D．

3．（5分）=（）

A．B．C．i D．﹣i

4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．

A．40 B．50 C．70 D．80

5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A．B．6 C．D．12

6．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）

A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

8．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）

A． B．

C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）

9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）

A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x

11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．

12．（5分）函数的最小值为（）

A．190 B．171 C．90 D．45

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．

14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．

15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对

的圆心角最小时，直线l的斜率k=．

16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；

（2）求的最大值．

19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．

20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．

（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；

（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．

24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

（Ⅰ）证明为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．

（1）求a1，a2；

（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．

2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）

A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}

【分析】解出集合N，结合数轴求交集．

【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，

用数轴表示可得答案D

故选D．

2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．

【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．

【解答】解：所以最小正周期为，

故选D

3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）

A．B．C．i D．﹣i

【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：

故选A．

4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．

A．40 B．50 C．70 D．80

【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．

【解答】解：连接OA、OB、OP，

∵∠P=40°，

∴∠AOB=140°，

∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，

∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，

∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．

故选C．

5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12

【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．