学而思四年级奥数等差数列进阶PPT
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
学而思四年级奥数等差数列进阶(课堂PPT)
4
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （ห้องสมุดไป่ตู้）写出该数列的后5项。
方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连 续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个 新的数列1+7+13+…+79,求和得560
16
练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+…+32+33+ 37+38
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
3
等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
5
点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21 (3)根据项数公式可知n=(145-5) ÷ 4+1=36 (4)根据求和公式知：和=(5+145) ×36 ÷2=2700
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （ห้องสมุดไป่ตู้）写出该数列的后5项。
方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连 续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个 新的数列1+7+13+…+79,求和得560
16
练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+…+32+33+ 37+38
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
3
等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
5
点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21 (3)根据项数公式可知n=(145-5) ÷ 4+1=36 (4)根据求和公式知：和=(5+145) ×36 ÷2=2700
学而思四年级奥数等差数列进阶PPT
第1个数：1=1 第3个数4=2+2=1+1+2 第2个数：2=1+1 第4个数7=3+4=1+1+2+3
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、
27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89 （3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、
27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89 （3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
小学奥数-等差数列PPT课件
(85-1) ÷3+1 =29（人）
CHENLI
15
• 有一组数列如下：5、9、13、17、21、 …325、329你能求出这组数列共有多少个 数吗？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (329-5) ÷4+1 =82
• 拓展1. 39个连续奇数的和是1989,其中最大 的一个奇数是多少
• 答：因为39个连续奇数之和为1989,所以中间一个数是这39个数的
第二行：（2+51） × 50 ÷ 2=1325 第三行：（3+51） × 50 ÷ 2=1375
…… 第四十九行：（49+98） × 50 ÷ 2=36 第五十行：（50+99） × 50 ÷ 2=3725 方阵所有数之和： 1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725） × 50 ÷ 2
=4+3 ×(20-1)=61
（2）298是这个数列中的第几项？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (298-4) ÷3+1 =99
CHENLI
8
求 和 ： 和 = （首项+末项）×项数÷2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … …+ 99 =（1+99）×99÷2 = 9900÷2 = 4950
平均数,1989÷39=51,
• 比51大的另外19个奇数为:53,55,57,…,87,89.或用末项=首项+公差 × （项数-1）
• 51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一个奇数为89.
CHENLI
CHENLI
15
• 有一组数列如下：5、9、13、17、21、 …325、329你能求出这组数列共有多少个 数吗？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (329-5) ÷4+1 =82
• 拓展1. 39个连续奇数的和是1989,其中最大 的一个奇数是多少
• 答：因为39个连续奇数之和为1989,所以中间一个数是这39个数的
第二行：（2+51） × 50 ÷ 2=1325 第三行：（3+51） × 50 ÷ 2=1375
…… 第四十九行：（49+98） × 50 ÷ 2=36 第五十行：（50+99） × 50 ÷ 2=3725 方阵所有数之和： 1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725） × 50 ÷ 2
=4+3 ×(20-1)=61
（2）298是这个数列中的第几项？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (298-4) ÷3+1 =99
CHENLI
8
求 和 ： 和 = （首项+末项）×项数÷2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … …+ 99 =（1+99）×99÷2 = 9900÷2 = 4950
平均数,1989÷39=51,
• 比51大的另外19个奇数为:53,55,57,…,87,89.或用末项=首项+公差 × （项数-1）
• 51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一个奇数为89.
CHENLI
全国通用四年级上册奥数培训精品课件等差数列求和共35张PPT
分析：首项=2 公差=3
解：（1）第10项： （2）第98项：
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
例2 已知数列2、5、8、11、14、 17，......122,这个数列有多少项。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （122-2）÷3+1=41
小结：
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。 （1）它的第21项是多少? （2）这串数共有多少个？
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例2：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
等差数列二
复习
1、计算
（1）7+10+13+16+...+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
解：（1）第10项： （2）第98项：
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
例2 已知数列2、5、8、11、14、 17，......122,这个数列有多少项。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （122-2）÷3+1=41
小结：
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。 （1）它的第21项是多少? （2）这串数共有多少个？
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例2：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
等差数列二
复习
1、计算
（1）7+10+13+16+...+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
四年级奥数等差数列PPT编辑版
练习1：一个等差数列是6、13、20、27、…
(1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 =6+（30-1）×7=6+30×7-1×7=216-7=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89
【拓展提高2】在124 和245之间插入10个数 以后，使它成为一个等差数列。这 10 个数 中，最小是几？最大是几？
解：这是一个项数为12的等差数列， 首项=124，末项=第12项=245， 公差=（第12项-首项）÷（12-1） =（245-124）÷（12-1）=121÷11=11 所求最小数=第2项=124+（2-1）×11=135 所求最大数=第11项 =124+（11-1）×11=124+10×11=234
练习2： 一个等差数列的首项是12，第6项是27。求公差。
解：第6项比首项多5个公差。 公差=（27-12）÷5=15÷5=3
【巩固训练1】有一列数1、5、9、13、17、 21、… （1）它的第100个数是多少？ （2）493是它的第几项？
解：（1）第n项=首项+（项数n-1）×公差 第100项=1+（100-1）×（5-1） =1+（100-1）×4 =1+100×4-1×4 =1+400-4=397 （2）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（493-1）÷4+1=492÷4+1=123+1=124
等差数列公式ppt课件
下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。
人教版四年级上册数学奥数——等差数列(课件)
的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2
倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的
公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
实践与应用
【练习1】 P83
求等差数列3，7，11，…的第4项，第7项和第10项。
【例2】有一堆粗细均匀的圆木堆成梯形，最上面一层有6根圆木，每向下一层增
加1根，一共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？
【分析与解答】
将每层圆木的根数写出来:6,7,8,9,10,…可以看出这是一个等差数列。在这个
【思路导航】
容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，
可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【例题2】
有一等差数列：3,7,11,15,……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】
这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
等差数列中，已知首项(1 )是6，公差（d)是1，项数(n)是28，求最下面一层是
多少，也就是求这个等差数列的第28项是多少。
我来解答：6+1×(28-1)=33(根)
小结与提示
在解答这道题时，将每层的圆木根数抽象成等差数列是关键。
实践与应用
【练习2】 P83
一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，后面每排都比前一排多
2个座位，第22排有多少个座位？
倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的
公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
实践与应用
【练习1】 P83
求等差数列3，7，11，…的第4项，第7项和第10项。
【例2】有一堆粗细均匀的圆木堆成梯形，最上面一层有6根圆木，每向下一层增
加1根，一共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？
【分析与解答】
将每层圆木的根数写出来:6,7,8,9,10,…可以看出这是一个等差数列。在这个
【思路导航】
容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，
可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【例题2】
有一等差数列：3,7,11,15,……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】
这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
等差数列中，已知首项(1 )是6，公差（d)是1，项数(n)是28，求最下面一层是
多少，也就是求这个等差数列的第28项是多少。
我来解答：6+1×(28-1)=33(根)
小结与提示
在解答这道题时，将每层的圆木根数抽象成等差数列是关键。
实践与应用
【练习2】 P83
一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，后面每排都比前一排多
2个座位，第22排有多少个座位？
等差数列ppt
等差数列
如果您需要制作一个等差数列的，可以按照以下步骤进行：
第1步：选择一个适合的模板。
可以在PowerPoint或其
他在线制作平台上找到合适的模板，或者自己设计一个简
单的模板。
第2步：确定您想要在中展示的内容。
对于等差数列，您
可以包括以下内容：
- 等差数列的定义和概念
- 等差数列的通项公式
- 等差数列的性质和特点
- 等差数列的例题和解法
- 等差数列的应用实例
第3步：编写幻灯片内容。
在每个幻灯片上，您可以包括一个主题或概念，并使用文字、图表、图片或其他视觉元素来说明和解释。
第4步：选择合适的字体、颜色和布局。
确保您的易于阅读和理解，避免使用过多的文字和复杂的排版。
第5步：添加幻灯片动画和过渡效果。
您可以使用动画和过渡效果来增加的视觉吸引力，但请确保不要过度使用，以免分散观众的注意力。
第6步：预览和编辑幻灯片。
在最后一步进行最后的编辑和修饰，并确保所有幻灯片顺序正确，并且没有拼写错误或其他错误。
最后，保存您的，并准备用于演示或共享。
希望这些步骤可以帮助您制作一个出色的等差数列！。
《等差数列》课件(公开课)
等差数列的性质
前n项和
等差数列的前n项和可以通过求 和公式来计算。
通项公式
等差数列的通项公式可以帮助 我们快速计算任意项的值。
逆向思维
通过逆向思维，我们可以利用 等差数列的性质解决一些复杂 的问题。
等差数列的应用
1
数学中的应用
等差数列可以用于数学模型和方程的推导和解决。
2
物理中的应用
在物理学中，等差数列可以用于描述物体在等时间间隔内的运动。
同余数列
1 定义
同余数列是指等差数列的 项数与公差均为整数倍的 数列。
2 性质
同余数列具有一些特殊的 性质，在数论和密码学领 域有广泛的应用。
3 应用
同余数列的应用范围广泛， 涵盖了数据加密、随机数 生成等方面。
总结
等差数列的重要性
等差数列在数学和实际生活中起 着重要的作用，帮助我们解决问 题和规划未来。
《等差数列》PPT课件(公 开课)
欢迎来到《等差数列》的公开课！今天我们将深入探讨等差数列的定义、性 质、应用以及解题技巧，让我们一起开启这个数学世界的探索之旅吧！
什么是等差数列
定义
等差数列是指每一项与其前 一项之间的差都是相等的数 列。
表示方式
等差数列可以通过首项和公 差项称为项 数，公差表示相邻两项之间 的差。
3
生活中的应用
等差数列可以帮助我们规划时间、财务预算，甚至管理团队。
如何求解等差数列
求和公式的推导
我们将讲解等差数列求和公式 的推导过程，帮助你理解其原 理。
求出第n项
通过已知的首项和公差计算任 意项的值，我们将演示具体的 计算方法。
求出一般项
通过已知的首项和公差计算通 项公式，帮助你快速计算数列 的任意项。
四年级下册同步奥数培等差数列ppt张江苏版
后项与前项之差称为公差（d）。
后通项项与 公前式项：之第差n项称=为首公项差+（（项d通）数。-项1）×公公差式：第n项=首项+（项数-1）×公差
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
项数=（末项-首项）÷公差+1 （161-119）÷3=
a8 = 1+(8-1)×2 = 15
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
4921是其中的第几项
4若、干已个你知数等排知差成列一道数列1称用，为6“哪数, 列11个”，， 1数公6列，中式…的…每吗一。个？数称为项一项数。 =（末项-首项）÷公差+1
第1项为7，第9项为55
（4921-1）÷4+1 =1231 （1）这个数列的第13项是多少？
世界著名的德国数学家高斯幼年时聪明过人。
n =(21-1)÷2+1
3、有一列数1 ， 5 , 9 ， 13 ， 17 … … 。
答：这个数列的1000项是3997,4921是其中的第1231项。
4、已知等差列数1 ，6 , 11 ， 16 ， … … 。
（1）它的的第20项是多少？ （2）141是其中的第几项？
题目中要我们求的是什么？
第20项是多少
乘法原理
（第一讲）
2022/4/15
1
本章重点
（2）47是其中的第几项？
1.等差数列的判断 题目中要我们求的是什么？
4921是其中的第几项
差相等
（2）141是其中的第几项？
n =(21-1)÷2+1
2.等差数列的要素 你能分析这几项之间的关系吗？
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
小学奥数等差数列复习进程共40页PPT
谢谢你的阅读
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
小学奥数等差数列复习进程
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
学而思讲义四年级第一讲(整数与数列)
2
四年级秋季班（七级下） 1.1
2010 年四年级秋季班 第一讲 整数与数列 程雪
第 n 项=首项+公差×（n-1）
2、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数
项数=（末项-首项）÷公差+1
3、求和公式（高斯公式） ：什么时候用？——任何一个等差数列求和
和=（首项+末项）×项数÷2
辅助记忆：装皮鞋 4、中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和
和=中项×项数
注意：高斯公式与中项公式的联系 高斯公式：和=（首项+末项）×项数÷2 =（首项+末项）÷2 ×项数
中项（也即平均数）
二、常用公式 2 1、从 1 开始连续奇数求和=项数 2 即：1 + 3 + 5 + 7 + … +（2n-1）= n 图示： 1 3 5 7 9
2、金字塔数列=中项 2 即：1 + 2 + 3 + … +（n-1）+ n +（n-1）+ … + 3 + 2 + 1 = n 图示：
三、平方差公式：a - b =（a+b）×（a-b） ……两数平方差=两数和×两数差 几何证明：
2Hale Waihona Puke 2b a 2 2 a - b 表示的是图中大正方形减去黑色小正方形后的空白部分的面积，沿虚线将空白部分减 成两部分再拼接起来，即为一个长方形的面积。该长方形长为 a+b，宽为 a-b，面积为（a+b） ×（a-b） ，得证。 特例: 两数相差为 1，其平方差就是两数和 2 2 37 -36 =（37+36）×（37-36）=37+36 四、平方差公式拓展： （逆向思维）既然平方差=和×差，那么两个数相乘能否转化为平方差的形式呢？ 1、若两数的奇偶性相同，则这两数的乘积可化为平方差的形式。 如：41×39 41=a+b，39=a-b ，利用和差公式即可算出 a=40，b=1（a 即是 41 与 39 的平均数） 2 2 所以 41×39=（40+1）×（40-1）=40 -1 2、进而，若两数相差不大，且两数和为整十整百时，乘积改写为平方差可简化计算 2 2 如：68×72=（70-2）×（70+2）=70 -2 =4900-4=4896 五、自然数列的平方和公式 2 2 2 2 1 +2 +3 +…+n =n（n+1） （2n+1）÷6 图示证明： 1 2 3 … n n 3 2 3 … … n
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第1个数：1=1 第3个数4=2+2=1+1+2 第2个数：2=1+1 第4个数7=3+4=1+1+2+3
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
作业为课后练习1,2,3,4 5，6 加油！
谢谢 再见
101=20402
练习：8个连续自然数的和是164，其中最 小的数是多少？
求和速算
例1.计算： 1+3+5+7+9= 1+3+5+7+9+11= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+99+100= 练习1：2+4+6+8+10+12+......+98+100= 练习2：99+97+95+93+91+......+3+1= 拓展练习1：5+10+15+20+......95+100=
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、
27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89 （3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21 (3)根据项数公式可知n=(145-5) ÷ 4+1=36 (4)根据求和公式知：和=(5+145) ×36 ÷2=每两个 连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一 个新的数列5+15+25+…+75，求和得320
例题6：1，2，4，7，11，16，22，29， 37，…,问这列数的第101个是多少？
分析：二级等差数列—找规律----相邻两数找差------差是连续自
解：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个 差3…以此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1，因此 有
【例题2】一个等差数列的第 4项为21，第6项 为33。求它的第8项。
【思路导航】 步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。 步骤二：公差=（33-21）÷2=6，首项=21-3×6=45 步骤三：第8项=3+（8-1）×6=45。
【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差，
是解此类等差数列问题的一种方法。
大家，晚上好！！！
科目：四年级奥数 教师：张宗诚
等差数列
什么是等差数列？？？？
定义：一列数中，每相邻两个数之间 的差是定值的数列是等差数列.
等差数列的认识
1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2.数列中数的个数称为项数。 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 4.例如：1、3、5、7、9、…、97、99，这是一个 首项为1、末项为99、项数为50、公差为2的等差 数列。
例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块 砖，第3层10块砖…，每层都比上一层多4块砖， 已知最下层有402块砖，问中间一层有多少块砖？ 这堆砖共有多少块？ 解：方法1，如果我们把每层砖的块数依次记下来 ，2，6，10，14 …，容易知道这是一个等差数列。 402是第(402-2) ÷4+1=101层，中间一层是第（ 101+1） ÷2=51层，那么中间一层有2+（51-1 ） × 4=202块。这堆砖共有202 × 101=20402 方法2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均 数，所以中间层有（402+2 ）÷2=202块，层数 (402-2) ÷4+1=101层， 。这堆砖共有202 ×
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
例5计算 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+36+37+39+40 的和 是多少？
分析：双重等差数列---跳着看---分离出两个等 差数列----分别计算求和----计算总和 方法1：拆项，把原数拆成1+4+7+…+40和 3+6+9+…+39两个等差数列，分别求和得287，273 ，所以原式=287+273=560 方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
练习2： 一个等差数列的首项是12，第6项是27。求公差。
解：第6项比首项多5个公差。 公差=（27-12）÷5=15÷5=3
例3.7个连续奇数的和是147，其中最大 的奇 数是几呢
解：中项定理：和=中间数×项数 中间数=和÷项数 计算中间数 第4个数， 计算第7个数 所以147 ÷7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面 三项是23，25，27 练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？
例 4 ，某学校有 304 个小朋友围成若干个圆（一圈 套一圈）做，已知最内圈 24 人，最外圈 52 人，如 果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的 相差多少人？ 分析：本题实际上是求公差 解：这一等差数列的和是 304，首项24，末项52， 先根据公式：和=（首项+末项）×项数÷2，求出 项数： 304 ×2 ÷76=8 ，再根据 公式末项 = 首项 +(n-1) ×公差，求出公差52-24）÷7=4 练习：牛牛读一本 550页的故事书，第一天读了30 页，最后一天读 70页，每天读的页数刚好构成等 差数列。那么每一天比前一天多读几页？
方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连 续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个 新的数列1+7+13+…+79,求和得560
练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+…+32+33+ 37+38
方法1：拆项，把原数列拆成2+7+12+…+37和 3+8+13+…+38两个等差数列，求和得320
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( )
), ( ). ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （2）写出该数列的后5项。
有一列数：1，3，6，10，15，21，28，36，45， …，问这列数中的第100个数是多少？
小结
等差数列的认识： 1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2.数列中数的个数称为项数。 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为 等差数列，后项与前项的差称为公差。
等差数列的题型解题技巧： 1.通项：第n项=首项+（项数n-1）×公差 2.求公差 =(M项-N项)÷(M-N) 3.求两项之间相差几个公差 4.求项数=（末项-首项）÷公差+1 5.求和:首项+末项）×项数÷2
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
作业为课后练习1,2,3,4 5，6 加油！
谢谢 再见
101=20402
练习：8个连续自然数的和是164，其中最 小的数是多少？
求和速算
例1.计算： 1+3+5+7+9= 1+3+5+7+9+11= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+99+100= 练习1：2+4+6+8+10+12+......+98+100= 练习2：99+97+95+93+91+......+3+1= 拓展练习1：5+10+15+20+......95+100=
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、
27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89 （3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21 (3)根据项数公式可知n=(145-5) ÷ 4+1=36 (4)根据求和公式知：和=(5+145) ×36 ÷2=每两个 连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一 个新的数列5+15+25+…+75，求和得320
例题6：1，2，4，7，11，16，22，29， 37，…,问这列数的第101个是多少？
分析：二级等差数列—找规律----相邻两数找差------差是连续自
解：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个 差3…以此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1，因此 有
【例题2】一个等差数列的第 4项为21，第6项 为33。求它的第8项。
【思路导航】 步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。 步骤二：公差=（33-21）÷2=6，首项=21-3×6=45 步骤三：第8项=3+（8-1）×6=45。
【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差，
是解此类等差数列问题的一种方法。
大家，晚上好！！！
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等差数列
什么是等差数列？？？？
定义：一列数中，每相邻两个数之间 的差是定值的数列是等差数列.
等差数列的认识
1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2.数列中数的个数称为项数。 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 4.例如：1、3、5、7、9、…、97、99，这是一个 首项为1、末项为99、项数为50、公差为2的等差 数列。
例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块 砖，第3层10块砖…，每层都比上一层多4块砖， 已知最下层有402块砖，问中间一层有多少块砖？ 这堆砖共有多少块？ 解：方法1，如果我们把每层砖的块数依次记下来 ，2，6，10，14 …，容易知道这是一个等差数列。 402是第(402-2) ÷4+1=101层，中间一层是第（ 101+1） ÷2=51层，那么中间一层有2+（51-1 ） × 4=202块。这堆砖共有202 × 101=20402 方法2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均 数，所以中间层有（402+2 ）÷2=202块，层数 (402-2) ÷4+1=101层， 。这堆砖共有202 ×
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
例5计算 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+36+37+39+40 的和 是多少？
分析：双重等差数列---跳着看---分离出两个等 差数列----分别计算求和----计算总和 方法1：拆项，把原数拆成1+4+7+…+40和 3+6+9+…+39两个等差数列，分别求和得287，273 ，所以原式=287+273=560 方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
练习2： 一个等差数列的首项是12，第6项是27。求公差。
解：第6项比首项多5个公差。 公差=（27-12）÷5=15÷5=3
例3.7个连续奇数的和是147，其中最大 的奇 数是几呢
解：中项定理：和=中间数×项数 中间数=和÷项数 计算中间数 第4个数， 计算第7个数 所以147 ÷7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面 三项是23，25，27 练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？
例 4 ，某学校有 304 个小朋友围成若干个圆（一圈 套一圈）做，已知最内圈 24 人，最外圈 52 人，如 果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的 相差多少人？ 分析：本题实际上是求公差 解：这一等差数列的和是 304，首项24，末项52， 先根据公式：和=（首项+末项）×项数÷2，求出 项数： 304 ×2 ÷76=8 ，再根据 公式末项 = 首项 +(n-1) ×公差，求出公差52-24）÷7=4 练习：牛牛读一本 550页的故事书，第一天读了30 页，最后一天读 70页，每天读的页数刚好构成等 差数列。那么每一天比前一天多读几页？
方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连 续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个 新的数列1+7+13+…+79,求和得560
练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+…+32+33+ 37+38
方法1：拆项，把原数列拆成2+7+12+…+37和 3+8+13+…+38两个等差数列，求和得320
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( )
), ( ). ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （2）写出该数列的后5项。
有一列数：1，3，6，10，15，21，28，36，45， …，问这列数中的第100个数是多少？
小结
等差数列的认识： 1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2.数列中数的个数称为项数。 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为 等差数列，后项与前项的差称为公差。
等差数列的题型解题技巧： 1.通项：第n项=首项+（项数n-1）×公差 2.求公差 =(M项-N项)÷(M-N) 3.求两项之间相差几个公差 4.求项数=（末项-首项）÷公差+1 5.求和:首项+末项）×项数÷2