第4章 基本的算法策略(2011-10-10)

①号
②号 四种三格板
③号
④号
这样的棋盘我们称作“三格板”，残缺棋盘问题就是要用这 四种三格板覆盖更大的残缺棋盘。在此覆盖中要求： 1）两个三格板不能重叠 2）三格板不能覆盖残缺方格，但必须覆盖其他所有的方格 在这种限制条件下，所需要的三格板总数为(2k×2k -1 )/3。
算法设计1：下面用分而治之方法解决残缺棋盘问题。 1）问题分解过程如下： 以k=2时的问题为例，用二分法进行分解，得到的是如下图48，用双线划分的四个k=1的棋盘。但要注意这四个棋盘，并 不都是与原问题相似且独立的子问题。因为当如图4-8中的 残缺方格在左上部时，第1个子问题与原问题相似，而右上 角、左下角和右下角三个子棋盘（也就是图中标识为2、3、 4号子棋盘），并不是原问题的相似子问题，自然也就不能 独立求解了。当使用一个①号三格板（图中阴影）覆盖2、3、 4号三个子棋盘的各一个方格后，如4-8右图所示，我们把覆 盖后的方格，也看作是残缺方格（称为“伪”残缺方格）， 这时的2、3、4号子问题就是独立且与原问题相似的子问题 了。
一个4*4的残缺棋盘
从以上例子还可以发现，当残缺方格在第1个子棋盘，用①号三 格板覆盖其余三个子棋盘的交界方格，可以使另外三个子棋 盘转化为独立子问题；同样地（如下图4-9所示），当残缺方 格在第2个子棋盘时，则首先用②号三格板进行棋盘覆盖，当 残缺方格在第3个子棋盘时，则首先用③号三格板进行棋盘覆 盖，当残缺方格在第4个子棋盘时，则首先用④号三格板进行 棋盘覆盖，这样就使另外三个子棋盘转化为独立子问题。
多数问题需要所有子问题的解，并由子问题的解，使用恰 当的方法合并成为整个问题的解，比如合并排序，就是不断将 子问题中已排好序的解合并成较大规模的有序子集。
• 适合用分治法策略的问题 当求解一个输入规模为n且取值又相当大的问题时，用蛮 力策略效率一般得不到保证。若问题能满足以下几个条件， 就能用分治法来提高解决问题的效率。 1）能将这n个数据分解成k个不同子集合，且得到k个子集 合是可以独立求解的子问题，其中1＜k≤n； 2）分解所得到的子问题与原问题具有相似的结构，便于 利用递归或循环机制；
一个4*4的残缺棋盘及其解
算法如下： int amount=0; main（ ） { int size=1,x,y; input(k); for (i=1;i<=k;i++) size=size*2; print(“input incomplete pane ”); input(x,y); Cover(0, 0, x, y, size); }
Cover(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) { if (size<2) return; int t = amount ++, // 所使用的三格板的数目 s=size/2; // 子问题棋盘大小 if (dr < tr + s && dc < tc + s) / /残缺方格位于左上棋盘 ｛Cover ( tr, tc, dr, dc, s); Board[tr + s - 1][tc + s] = t; // 覆盖１号三格板 Board[tr + s][tc + s - 1] = t; Board[tr + s][tc + s] = t; Cover (tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s); // 覆盖其余部分 Cover(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s); Cover(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s); ｝
四、合并分类(归并排序)
先看插入排序： Void inபைடு நூலகம்ertsort(int a[ ],n) { //将数组a中的n个元素按非降序排列 a[0]=-32768;
for (j=2;j<=n;j++)
{item=a[j]; i=j-1; while(item<a[i]) {a[i+1]=a[i];i=i-1;} a[i+1] =item;
如下图4-9：
图4-9
其它4*4的残缺棋盘
同样地k=1，2，3，4……都是如此，k=1为停止条件。
2）棋盘的识别 棋盘的规模是一个必要的信息，有了这个信息，只要知道其左上 角的左上角方格所在行、列就可以唯一确定一个棋盘了，残 缺方格或“伪”残缺方格直接用行、列号记录。 • tr 棋盘中左上角方格所在行。 • tc 棋盘中左上角方格所在列。 • dr 残缺方块所在行。 • dl 残缺方块所在列。 • size 棋盘的行数或列数。 数据结构设计：用二维数组board[ ][ ]，模拟棋盘。覆盖 残缺棋盘所需要的三格板数目为：( size2 -1 ) / 3 将这些三格板编号为1到( s i z e2-1 ) / 3。则将残缺棋 盘三格板编号的存储在数组board[ ][ ]的对应位置中，这 样输出数组内容就是问题的解。结合图4-9，理解算法。
else if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
限
// 残缺方格位于右下象
｛Cover(tr+s, tc+s, dr, dc, s); Board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t; // 覆盖４号三格板 Board[tr + s - 1][tc + s] = t; Board[tr + s][tc + s - 1] = t; Cover (tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s); //覆盖其余部分 Cover (tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s); Cover(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s); ｝ } 算法分析：因为要覆盖 void OutputBoard(int size) (size2 -1)/ 3个三格板， { for (int i = 0; i < size; i++) 所以算法的时间复杂性 为Ｏ（size2）。 { for (int j = 0; j < size; j++) print( Board[i][j]); print(“换行符”); } }
最好情况（递增）：n-1
最坏情况（递减）：2(n-1) 平均情况：3(n-1)/2
算法3:递归求取最大和最小元素
float a[n]; maxmin(int i, int j ,float &fmax, float &fmin） { int mid; float lmax, lmin, rmax, rmin; if(i=j) {fmax= a[i]; fmin=a[i];} else if (i=j-1) if(a[i]<a[j]) { fmax=a[j]；fmin=a[i];} else {fmax=a[i]; fmin=a[j];} else { mid=(i+j)/2; maxmin(i，mid，lmax，lmin）; maxmin(mid+1，j，rmax，rmin）; if(lmax>rmax) fmax=lmax; else fmax=rmax; if(lmin>rmin) fmin=rmin; else fmin=lmin; } }
max=a[i]; min=a[i];
}
}
平均比较次数：2*(n-1)
算法2: maxmin( float a[],int n) { max==min=a[1]; for(i=2 i<=n i++ ) if(max<a[i]) max=a[i]; else if(min>a[i]) } min=a[i];
•设计模式：
Divide-and-Conquer(int n)
{ if（n≤n0） { 解子问题；
//n为问题规模
//n0 为可解子问题的规模
return(子问题的解)； } for(i=1 ;i<=k;i++） //分解为较小子问题p1,p2,……pk yi=Divide-and-Conquer(|Pi|); //递归解决Pi T=MERGE(y1,y2,...,yk); return(T); //合并子问题
1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问 题形式相同的子问题； 2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则再继 续分解为更小的子问题，直到容易解决； 3）合并：将已求解的各个子问题的解，逐步合并为原问题的解。
有时问题分解后，不必求解所有的子问题，也就不必作第三步 的操作。比如折半查找，在判别出问题的解在某一个子问题中 后，其它的子问题就不必求解了，问题的解就是最后（最小） 的子问题的解。分治法的这类应用，又称为“减治法”。
}
}
再看归并排序
基本思想：将集合a分成两个集子合，递归地对每个子 集合单独分类，然后将已排序的两个子集合归并成一 个集合
void mergesort(int a[N],int low,int high) { int b[N]; if(low<high) m=(low+high)/2;
mergesort(a,low,m);
算法分析： 递归关系式(比较次数）:
当n是2的幂时，即对于这个某个正整数k，n=2k，有
可以证明，任何以元素 比较为基础的找最大和 最小元素的算法，其元 素比较下界均为 次。 因此，过程MAXMIN在这 种意义上是最优的。
三、二分法不相似情况
【例】残缺棋盘 残缺棋盘是一个有2k×2k （k≥1）个方格的棋盘，其中恰有 一个方格残缺。图4-7给出k=1时各种可能的残缺棋盘，其 中残缺的方格用阴影表示。