算法分析第六章 基本算法的设计的策略 动态规划

用归纳法可证明
当 x1x2 xn ＝ a n时fn(， a)na
5
例4.2.2.最短距离（1）
求O到T的最短距离(只沿正向前进)。 解：O到T的最短路径，也是该路径上点到T的最短路径
3
3 4
d d
R S
2 3
6
例4.2.2.最短距离（2）
dN 1dR 3
dPmin2{dR,5dS}min4,8{}4
算法分析第六章 基本算法的设计的策略 动态规划
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IV.动态规划
2
§4.1引言
➢ 50年代 1951年，R.Bellman 等人提出 多阶段决策问题; 1957年， 出版“动态规划”。
根：4
14
得到的最优查找树如下
4
1
根：4
c 2 5m 2 5mc 2 i 1 n c 3,{ 5 c 2 2c 4,5 c 2 3c 5,5 c 2 4c 6} 5 0 .7 m0 .8 in ,0 .5 7{ ,0 .4 3 ,0 .7} 6 1 .00
根：4 最后：
c 15 m 15 mc1 i0 n c2 { ,5 c 11 c3,5 c 12 c4,5 c13 c5,5 c 14 c6} 5 1 .0 0 m0 i n 1 .0{ ,0 0 .3 0 .8,0 5 .4 0 .6,0 9 .6 1 0 .1,1 .2 4 9 0 .0 } 1 .73
A D D
B E
d O m 2 id A n ,1 d { B } m 1 ,1 i} 2 n 1{1 OB
故O到T的最短距离为11，路径为
O→B→D/E→H→K→N→R→T 一般地，从（0，0）到（m，n）最短距离：穷举法
加法： (m n1) m n n (nm n!1 m )!n (m )! 比较： (n m)!1
x 1 x 2 x n a 的约束下，或 zx 1x2 xn
fn(y)fm 01(xyay)(xxm 0xayfxnx1(yx))
对应递推关系
f1(a)m 0xaax a
f2 ( a ) m 0 x a (x a f1 x ( a x ) ) m 0 x a (x a a x x )
dQmin3{dS}336
N R P R Q S
dK
dJ min3{dN}6 min2{dN,4dP}min5{,8}5
dL min2{dP,4dQ}min6{,10}6
dM min4{dQ}10
J N K N L P M Q
dF min2{dJ}8
ddG H
min1{dJ ,3dK}min7{,8}7 min1{dK,1dL}min6{,7}6
0.5 8 m0 i.6 n,0 1 .{ 5 ,0.1}8 0.76
根：4 c35 m 35 mc i3n 2 c{ 4,5 c33 c5,5 c34 c6} 5
0.6 5 m0 i.6 n,0 9 { .2,0.6}1 0.85
根：4
13
最优二叉查找树 (5)
四个点：
c 1 4m 1 4mc 1 i 0 n c2{ ,4 c 1 1c 3,4 c 1 2c4,4 c 1 3c 5} 4 0 .8 8 m0 .i7n ,0 6 .9 {,0 .1 8,0 .5 6} 1 1 .49
n!m!
动态规则法： 加法： 2mn＋（m＋n－2） 比较： mn 即穷举法是n的指数级，而动态规则是平方级。
8
§4.3动态规则的基本概念
9
§4.4典型应用 —最优二叉查找树 (1)
例：最优二叉查找树 简化的情形：只考虑找到的情形；
i 12345
keys C1
C2
C3
C4
C5
p i 0.3 0.05 0.08 0.45 0.12
12
最优二叉查找树 (4)
计算含有三个点的情形：
c13 m 13 mc i1n 0 c{ 2,3 c11 c3,3 c12 c4} 3 0.4 3 m0 i.1 n,0 8 { .3,0 8 .4 }0.61
根：1 c24 m 24 mc i2n 1 c{ 3,4 c22 c4,4 c23 c5} 4
Ck
LR L
R
10
最优二叉查找树 (2)
j
mij
pt
t i
0.3 0.35 0.43 0.88 1.00
0.05 0.13 0.58 0.70
m
0.08 0.53 0.65
0.45 0.57
0.12
计算矩阵 （由查找树的特点可知） cijm ijm k { c iikn 1ck 1j}
1
dI min3{dM}13
F J G J HK I M
dCmin2{dF,2dG}mi1n{,09}9 dDmin4{dG,2dH}mi1n,{18}8
CG D H
dEmi1n{dH,2dI}min7,1{}57
E H
7
例4.2.2.最短距离（3）
d dB A m m3 2 ii n nd dC D { { ,,2 3 d dD E} } m m1 1 iin n ,,1 1 0 2} } { { 0 0 1 10 0
➢ 优点：对许多问题，比线性规划或非线性规划更有效。 ➢ 弱点：
（1）得出函数方程后，尚无统一处理方法； （2）维数屏蔽:变量个数（维数）太大时无法解决。 ➢ 模型分类
时间参量 离散：离散决策过程 连续：连续决策过程
确定随机 确定性决策过程
随机性决策过程
3
§4.2 确定连续性问题 （1）
例4.2.1．在 的极大值。
2
3
4
5
1
0．3
0．4
2
0．05
3
0．08
4
0．45
5
0．12Leabharlann Baidu
11
最优二叉查找树 (3)
计算过程：
c12m 12micn 10 {c22 ,c11c32 } 0.3 5mi0n .0{,5 0.3}0.4
根：1 对应于：
2
1
1
2
同样可得
c23 0.18 根：3
c34 0.61 根：4
c45 0.69 根：4
令 y x ax
d y1 1 axx0 ax0 dx2x 2ax 2x(ax)
4
§4.2 确定连续性问题 （2）
故
f2(a)
a 2
a 2
2a
f3 ( a ) m 0 x a (x a f2 ( a x x ) ) m 0 x a (x a2 ( x a x ) )
得x=a/3， f3(a) 3a