算法设计动态规划(编辑距离)
算法设计与分析中的动态规划问题研究
算法设计与分析中的动态规划问题研究动态规划是一种常用的算法设计与分析方法,它在解决许多问题时具有较高的效率和准确度。
本文将结合实例,深入研究动态规划在算法设计与分析中的应用。
动态规划是一种通过分解问题,将大问题转换为小问题并求解小问题的方法。
它与分治法类似,但动态规划所分解的小问题可能重叠,因此可以将解决过的小问题保存起来,避免重复计算,提高效率。
动态规划常用于求解最优化问题,如寻找最大值或最小值。
一个经典的动态规划问题是背包问题。
背包问题是指给定一个背包以及一系列物品,每个物品都有自己的价值和重量。
背包的容量是有限的,我们的目标是在保持背包总重量不超过容量的情况下,选择一些物品放入背包,使得背包中物品的总价值最大。
假设我们有n个物品,背包的容量为W,我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示前i个物品恰好放入容量为j的背包的最大价值。
dp[i][j]的值可以通过以下的状态转移方程得到:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中,w[i]表示第i个物品的重量,v[i]表示第i个物品的价值。
根据状态转移方程,我们可以通过填表的方式,自底向上地计算dp[n][W],即前n个物品放入容量为W的背包的最大价值。
除了背包问题,动态规划还可以用于求解其他类型的优化问题。
比如,在图论中,最短路径和最小生成树问题也可以使用动态规划来求解。
例如,最短路径问题可以通过定义一个二维数组dp[i][j]来表示从顶点i到顶点j的最短路径的长度。
通过状态转移方程dp[i][j] =min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]),我们可以逐步更新dp数组,最终得到从起点到终点的最短路径长度。
对于最小生成树问题,可以先计算任意两个顶点之间的最短路径,然后通过Prim算法或Kruskal算法来生成最小生成树。
除了上述问题,动态规划还可以用于解决其他一些经典问题,如编辑距离、最长公共子序列等。
C#实现Levenshteindistance最小编辑距离算法
C#实现Levenshteindistance最⼩编辑距离算法Levenshtein distance,中⽂名为最⼩编辑距离,其⽬的是找出两个字符串之间需要改动多少个字符后变成⼀致。
该使⽤了动态规划的算法策略,该问题具备最优⼦结构,最⼩编辑距离包含⼦最⼩编辑距离,有下列的公式。
其中d[i-1,j]+1代表字符串s2插⼊⼀个字母才与s1相同,d[i,j-1]+1代表字符串s1删除⼀个字母才与s2相同,然后当xi=yj时,不需要代价,所以和上⼀步d[i-1,j-1]代价相同,否则+1,接着d[i,j]是以上三者中最⼩的⼀项。
算法实现(C#):假设两个字符串分别为source,target,其长度分别为columnSize,rowSize,⾸先申请⼀个(columnSize+1)*(rowSize+1)⼤⼩的矩阵,然后将第⼀⾏和第⼀列初始化,matrix[i,0]=i,matrix[0,j]=j,接着就按照公式求出矩阵中其他元素,结束后,两个字符串之间的编辑距离就是matrix[rowSize, columnSize]的值,代码如下:public class StringComparator{public static int LevenshteinDistance(string source, string target){int columnSize = source.Length;int rowSize = target.Length;if (columnSize == 0){return rowSize;}if (rowSize == 0){return columnSize;}int[,] matrix = new int[rowSize + 1, columnSize + 1];for (int i = 0; i <= columnSize; i++){matrix[0, i] = i;}for (int j = 1; j <= rowSize; j++){matrix[j, 0] = j;}for (int i = 0; i < rowSize; i++){for (int j = 0; j < columnSize; j++){int sign;if (source[j].Equals(target[i]))sign= 0;elsesign = 1;matrix[i + 1, j + 1] = Math.Min(Math.Min(matrix[i, j] + sign, matrix[i + 1, j] + 1), matrix[i, j + 1] + 1);}}return matrix[rowSize, columnSize];}public static float StringSimilarity(string source, string target){int distance = LevenshteinDistance(source, target);float maxLength = Math.Max(source.Length, target.Length);return (maxLength - distance) / maxLength;}}。
leetcode常见dp题状态转移方程
Leetcode常见DP题状态转移方程一、概述动态规划(Dynamic Programming, DP)是算法设计中的一种常用方法,它通常用于优化递归算法,解决重叠子问题。
Leetcode上有许多经典动态规划问题,而理解状态转移方程是解决这些问题的关键。
本文旨在总结Leetcode常见DP题的状态转移方程,帮助读者更好地理解和掌握动态规划算法的应用。
二、背包问题1. 0-1背包问题问题描述:给定一组物品,每种物品都有重量和价值,要求在限定的总重量下,如何使得所装载的物品总价值最高。
状态转移方程:```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C```其中,dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值,weight[i]表示第i个物品的重量,value[i]表示第i个物品的价值,C 表示背包的容量,n为物品的个数。
2. 完全背包问题问题描述:给定一组物品,每种物品都有重量和价值,每种物品不限数量,要求在限定的总重量下,如何使得所装载的物品总价值最高。
状态转移方程:```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C```其中,dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值,weight[i]表示第i个物品的重量,value[i]表示第i个物品的价值,C 表示背包的容量,n为物品的个数。
3. 多重背包问题问题描述:给定一组物品,每种物品都有重量和价值,每种物品有限数量,要求在限定的总重量下,如何使得所装载的物品总价值最高。
状态转移方程:```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*weight[i]] + k*value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C, 0 <= k <= num[i]```其中,dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值,weight[i]表示第i个物品的重量,value[i]表示第i个物品的价值,num[i]表示第i个物品的数量,C表示背包的容量,n为物品的个数。
编辑距离算法
编辑距离算法
编辑距离算法(Edit Distance Algorithm)是一种计算字符串之间的相似度的算法,也称为Levenshtein距离,是一种编辑模型,用于计算两个字符串之间的编辑距离,其中编辑距离是指将一个字符串转换成另一个字符串所需要的最少编辑次数。
编辑距离算法是一种动态规划算法,该算法假定字符串只包含少量的操作,如添加、删除、替换,且操作消耗相同。
编辑距离算法的基本思想是将字符串分割成许多子串,计算每一对子串之间的最小编辑距离,最后得到两个字符串的最小编辑距离。
为了计算两个字符串的编辑距离,编辑距离算法通常使用动态规划来求解,动态规划的核心思想是将复杂的问题分解成若干个子问题,通过求解子问题来求解原问题。
当使用动态规划算法计算两个字符串的编辑距离时,首先要建立一个二维表,行表示字符串A,列表示字符串B。
然后在表格中每个单元格中存储字符串A和字符串B的子串之间的编辑距离,从表格的左上角开始,每次只需要计算表格中的相邻单元格之间的编辑距离即可,最后,当表格中的最后一个单元格被计算出来时,这个单元格中存储的就是字符串A和字符串B的最小编辑距离。
编辑距离算法由于其简洁、高效,广泛用于文本检索、语音识别、自然语言处理等领域,其中文本检索中,常常用它来计算搜索引擎
的相关度,自然语言处理中,则常用它来计算文本相似度,从而实现文本聚类和文本分类等功能。
此外,编辑距离算法在生物序列的比较中也有着广泛的应用。
编辑距离的数学证明
编辑距离的数学证明1.引言1.1 概述编辑距离是一种常用的字符串相似度度量方法,用于衡量两个字符串之间的差异程度。
在自然语言处理、信息检索和生物信息学等领域都有广泛的应用。
编辑距离的概念最早由俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein于1965年提出,因此也被称为Levenshtein距离。
它表示将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小编辑操作次数,允许的编辑操作包括插入、删除和替换。
在实际应用中,编辑距离被广泛用于拼写纠错、基因序列比对和文本相似度计算等任务。
它能够量化衡量两个字符串之间的差异,进而用于判断它们的相似程度。
本文将首先对编辑距离的定义和应用进行介绍,包括详细解释编辑距离的计算方法。
然后,我们将呈现编辑距离的数学证明,以帮助读者更好地理解其原理和性质。
在本文的正文部分,我们将详细介绍编辑距离的定义和应用。
接着,我们将介绍编辑距离的计算方法,包括动态规划算法和其它相关算法。
最后,在结论部分,我们将呈现两个编辑距离的数学证明,以证明编辑距离的准确性和有效性。
希望通过本文的介绍和分析,读者能够对编辑距离有一个更全面的认识,并了解它在实际任务中的应用和作用。
同时,本文也将为进一步研究和应用编辑距离提供一定的参考依据。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分,即引言、正文和结论。
每个部分的重点内容如下:引言部分将概述编辑距离的概念和应用,并介绍本文的结构和目的。
正文部分将着重探讨编辑距离的定义和应用。
首先,我们会对编辑距离进行准确定义,详细解释其含义和作用。
然后,我们将介绍多种常见的编辑距离计算方法,包括莱文斯坦距离、汉明距离等,以及它们的优缺点和适用场景。
通过对这些计算方法的深入了解,我们可以更好地理解编辑距离的数学基础和实际应用。
结论部分将对编辑距离的数学证明进行讨论。
除了介绍编辑距离的定义和计算方法外,我们还将探索编辑距离的数学证明。
具体地说,我们将提供两个编辑距离的数学证明,分别阐述其正确性和有效性。
文本编辑距离检索
文本编辑距离检索在信息检索领域,文本编辑距离是一种用于衡量两个文本之间差异程度的度量方法。
它可以用于文本相似度匹配、拼写纠错、语音识别等任务中。
本文将从基本概念、计算方法和应用实例三个方面介绍文本编辑距离检索。
一、基本概念文本编辑距离,又称为Levenshtein距离,是由俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出的。
它定义为将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少操作次数,包括插入、删除和替换字符。
这些操作可以用来衡量两个字符串之间的相似程度。
二、计算方法文本编辑距离的计算方法主要有两种:动态规划和递归。
动态规划是一种自底向上的计算方法,通过构建一个二维矩阵来存储中间结果,从而得到最终的距离值。
递归则是一种自顶向下的计算方法,通过将问题分解为子问题来逐步求解。
三、应用实例1. 文本相似度匹配:在搜索引擎中,我们经常需要根据用户的查询内容找到与之最相似的文本。
文本编辑距离可以作为一种衡量相似度的指标,通过计算查询内容与候选文本之间的距离,可以找到与之最相似的文本。
2. 拼写纠错:在拼写纠错任务中,我们需要根据用户输入的错误内容,找到与之最相似的正确内容。
文本编辑距离可以用来计算错误内容与候选内容之间的距离,从而找到最佳匹配。
3. 语音识别:在语音识别任务中,我们需要将语音转换为文本。
然而,由于语音识别的误差,识别结果可能存在错别字或不完整的情况。
文本编辑距离可以用来衡量识别结果与真实文本之间的差异,从而进行纠错或补全。
四、总结文本编辑距离是一种衡量文本差异程度的度量方法,可以用于文本相似度匹配、拼写纠错、语音识别等任务中。
它通过计算字符串之间的最少操作次数来衡量差异程度,计算方法有动态规划和递归两种。
在实际应用中,文本编辑距离可以帮助我们找到最相似的文本、纠正拼写错误和补全语音识别结果。
通过深入理解和应用文本编辑距离,我们可以提高信息检索的准确性和效率,为用户提供更好的服务。
编辑距离算法详解:LevenshteinDistance算法——动态规划问题
编辑距离算法详解:LevenshteinDistance算法——动态规划问题⽬录背景:我们在使⽤词典app时,有没有发现即使输错⼏个字母,app依然能给我们推荐出想要的单词,⾮常智能。
它是怎么找出我们想要的单词的呢?这⾥就需要BK树来解决这个问题了。
在使⽤BK树之前我们要先明⽩⼀个概念,叫编辑距离,也叫Levenshtein距离。
词典app是怎么判断哪些单词和我们输⼊的单词很相似的呢?我们需要知道两个单词有多像,换句话说就是两个单词相似度是多少。
1965年,俄国科学家Vladimir Levenshtein给字符串相似度做出了⼀个明确的定义叫做Levenshtein距离,我们通常叫它“编辑距离”。
字符串A到B的编辑距离是指,只⽤插⼊、删除和替换三种操作,最少需要多少步可以把A变成B。
例如,从aware到award需要⼀步(⼀次替换),从has到have则需要两步(替换s为v和再加上e)。
Levenshtein给出了编辑距离的⼀般求法,就是⼤家都⾮常熟悉的经典动态规划问题。
这⾥给出Levenshtein距离的性质。
设d(x,y)表⽰字符串x到y的Levenshtein距离,那么显然:1. d(x,y) = 0 当且仅当 x=y (Levenshtein距离为0 <==> 字符串相等)2. d(x,y) = d(y,x) (从x变到y的最少步数就是从y变到x的最少步数)3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z) (从x变到z所需的步数不会超过x先变成y再变成z的步数)最后这⼀个性质叫做三⾓形不等式。
就好像⼀个三⾓形⼀样,两边之和必然⼤于第三边。
在⾃然语⾔处理中,这个概念⾮常重要,⽐如在词典app中:如果⽤户马虎输错了单词,则可以列出字典⾥与它的Levenshtein距离⼩于某个数n的单词,让⽤户选择正确的那⼀个。
n通常取到2或者3,或者更好地,取该单词长度的1/4等等。
编辑距离公式
编辑距离公式
编辑距离公式是一种用于比较两个字符串相似度的算法,也被称为Levenshtein距离。
其基本思想是通过计算将一个字符串转换成另一个字符串所需的最小操作次数来衡量两个字符串之间的相似程度。
这些操作可以包括插入、删除和替换字符。
具体来说,编辑距离公式的计算方法如下:
设字符串A和B的长度分别为m和n,定义矩阵D[m+1][n+1],其中D[i][j]表示A[1...i]和B[1...j]之间的编辑距离。
初始化D[0][0]=0,D[i][0]=i,D[0][j]=j,即空串与任意一个字符串之间的编辑距离为其长度。
对于i=1...m和j=1...n,根据当前字符是否相等,分别执行下列操作:
如果A[i]=B[j],则D[i][j]=D[i-1][j-1],表示当前位置的字符已经匹配上了,编辑距离不需要变化。
否则,可执行三种操作中的一种:
1. 插入:D[i][j]=D[i][j-1]+1,表示将B[j]插入到A[i]后面。
2. 删除:D[i][j]=D[i-1][j]+1,表示将A[i]删除。
3. 替换:D[i][j]=D[i-1][j-1]+1,表示用B[j]替换A[i]。
最终,编辑距离即为D[m][n]。
编辑距离公式可用于拼写检查、语音识别、文本相似度计算等应用场景。
在实际应用中,为了提高效率,可以通过动态规划等算法对其进行优化。
算法设计动态规划(编辑距离).doc
《算法设计与分析》课程报告课题名称:动态规划——编辑距离问题课题负责人名(学号):同组成员名单(角色):无指导教师:左劼评阅成绩:评阅意见:提交报告时间:2010年 6 月 23 日动态规划——编辑距离问题计算机科学与技术专业学生指导老师左劼[摘要]动态规划的基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解成若干份的子问题,先分别解决好子问题,然后从子问题中得到最终解。
但动态规划中的子问题往往不是相互独立的,而是彼此之间有影响,因为有些子问题可能要重复计算多次,所以利用动态规划使这些子问题只计算一次。
将字符串A变换为字符串所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离。
关键词:动态规划矩阵字符串操作数编辑距离一、问题描述1、基本概念:设A和B是2个字符串。
要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。
字符串操作包括:(1) 删除一个字符;(2) 插入一个字符;(3) 将一个字符改为另一个字符。
将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A 到B的编辑距离,记为d(A,B)。
2、算法设计:设计一个有效算法,对于给定的任意两个字符串A 和B,计算其编辑距离d(A,B)。
3、数据输入:输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。
文件的第1行为字符串A,第二行为字符串B。
4、结果输出:将编辑距离d(A,B)输出到文件ouput.txt的第一行。
输入文件示例输出文件示例input.txt output.txtfxpimu 5xwrs二、分析对于本问题,大体思路为:把求解编辑距离分为字符串A从0个字符逐渐增加到全部字符分别想要变为字符串B该如何变化以及变化的最短距离。
具体来说,首先选用数组a1存储字符串A(设长度为n),a2存储字符串B(设长度为m),d矩阵来进行具体的运算;这里有两个特殊情况比较简单可以单独考虑,即A的长度为0而B不为0还有A不为0B为0,这两种情况最后的编辑距离分别为m和n;讨论一般情况,d矩阵为d[n][m],假定我们从d[0][0]开始一直进行以下操作到了d[i][j]的位置,其中删除操作肯定是A比B长,同理,插入字符操作一定是A比B短,更改字符操作说明一样长,我们所要做的是对d[i][j-1]d[i-1][j] d[i-1][j-1]所存数进行比较,其中最小的即为当前长度和样式的字符串A变为B的编辑距离,依次这样计算到最后的d[n][m]中所存的数即为最终的编辑距离。
最短编辑距离算法(Minimum Edit Distance)
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=3 j=2 d[3,2] = min
d[2,2]+insert(t[3])=3 d[2,1]+substitute(s[2],t[3])=1 d[3,1]+delete(s[2])=3
=1
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=3 j=1 d[3,1] = min
i
t o p (3. 插入p,1分,累计3分) t 编辑操作③ s ot stot sto stop 编辑操作④ (1. 插入t,1分,累计1分) (2. 删除t,1分,累计2分) (3. 插入p,1分,累计3分)
s o sto stop
t (1. 插入t,1分,累计1分) (3. 删除t,1分,累计3分)
d[1,2]+insert(t[2]) = 2 d[1,1]+substitute(s[2],t[2]) =2 d[2,1]+delete(s[2]) = 2
=2
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
= 0 if target[i] = source[j] otherwise
编辑距离算法(Levenshtein)
编辑距离算法(Levenshtein)编辑距离定义:编辑距离,⼜称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由⼀个转成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括:将⼀个字符替换成另⼀个字符,插⼊⼀个字符,删除⼀个字符。
例如将eeba转变成abac:1. eba(删除第⼀个e)2. aba(将剩下的e替换成a)3. abac(在末尾插⼊c)所以eeba和abac的编辑距离就是3俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。
:算法就是简单的线性动态规划(最长上升⼦序列就属于线性动态规划)。
设我们要将s1变成s2定义状态矩阵edit[len1][len2],len1和len2分别是要⽐较的字符串s1和字符串s2的长度+1(+1是考虑到动归中,⼀个串为空的情况)然后,定义edit[i][j]是s1中前i个字符组成的串,和s2中前j个字符组成的串的编辑距离具体思想是,对于每个i,j从0开始依次递增,对于每⼀次j++,由于前j-1个字符跟i的编辑距离已经求出,所以只⽤考虑新加进来的第j个字符即可插⼊操作:在s1的前i个字符后插⼊⼀个字符ch,使得ch等于新加⼊的s2[j]。
于是插⼊字符ch的编辑距离就是edit[i][j-1]+1删除操作:删除s1[i],以期望s1[i-1]能与s2[j]匹配(如果s1[i-1]前边的⼏个字符能与s2[j]前边的⼏个字符有较好的匹配,那么这么做就能得到更好的结果)。
另外,对于s1[i-1]之前的字符跟s2[j]匹配的情况,edit[i-1][j]中已经考虑过。
于是删除字符ch的编辑距离就是edit[i-1][j]+1替换操作:期望s1[i]与s2[j]匹配,或者将s1[i]替换成s2[j]后匹配。
于是替换操作的编辑距离就是edit[i-1][j-1]+f(i,j)。
其中,当s1[i]==s2[j]时,f(i,j)为0;反之为1于是动态规划公式如下:if i == 0 且 j == 0,edit(i, j) = 0if i == 0 且 j > 0,edit(i, j) = jif i > 0 且j == 0,edit(i, j) = iif 0 < i ≤ 1 且 0 < j ≤ 1 ,edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) },当第⼀个字符串的第i个字符不等于第⼆个字符串的第j个字符时,f(i, j) = 1;否则,f(i, j) = 0。
轨迹相似度算法 编辑距离 python-概述说明以及解释
轨迹相似度算法编辑距离python-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是对整篇文章的主题进行简要介绍并阐述背景和意义。
以下是一个可能的概述部分的内容示例:概述:在当前大数据时代,轨迹数据的应用越来越重要。
轨迹数据是指一系列时间和位置信息的记录,广泛应用于交通管理、物流、移动推荐等领域。
在处理轨迹数据时,一个核心问题是如何度量和比较轨迹之间的相似度。
本文旨在介绍一种常用的轨迹相似度算法——编辑距离,并基于Python实现。
编辑距离是一种用于度量两个序列之间相似程度的算法,可以应用于轨迹数据中,用于比较轨迹间的相似性。
通过计算轨迹之间的编辑距离,我们可以量化轨迹间的差异,并进一步应用于聚类、分类、推荐等任务中。
本文将首先介绍轨迹数据的背景和其在实际应用中的重要性。
然后,将详细介绍编辑距离算法的原理和计算方法,并给出基于Python的实现示例。
最后,将总结本文的主要内容,并展望编辑距离算法在轨迹数据处理中的应用前景。
通过阅读本文,读者将能够了解编辑距离算法在轨迹数据处理中的基本原理和应用方法,同时也能够学习如何使用Python编程语言实现编辑距离算法。
这对于从事轨迹数据处理和分析的研究人员和工程师来说,具有一定的参考和借鉴价值。
希望本文能为读者提供对轨迹相似度算法和编辑距离有更深入的理解,并为实际应用提供一种有效的解决方案。
1.2 文章结构文章结构部分:文章的结构是为了让读者更好地理解和组织所要表达的内容。
本文将分为三个部分:引言、正文和结论。
引言部分将包括概述、文章结构和目的。
在概述中,将简要介绍轨迹相似度算法和编辑距离的背景和重要性。
然后,文章结构将被介绍,以让读者了解整篇文章的组织和内容安排。
最后,目的部分将说明本文撰写的目的和意义。
正文部分将详细阐述轨迹相似度算法和编辑距离的概念、原理和应用。
首先,将介绍轨迹相似度算法的基本概念和定义,包括其在轨迹数据挖掘领域的重要性和应用场景。
编辑距离算法的优化与实现
编辑距离算法的优化与实现一、动态规划优化使用两个数组可以将空间复杂度从O(n^2)降低到O(n)。
优化后,动态规划的实现如下:```def levenshtein_distance(s, t):m = len(s)n = len(t)if m == 0:return nif n == 0:return mprevious_row = [0] * (n + 1)current_row = [0] * (n + 1)for i in range(n + 1):previous_row[i] = ifor i in range(m):current_row[0] = i + 1for j in range(n):if s[i] == t[j]:substitution_cost = 0else:substitution_cost = 1current_row[j + 1] = min(current_row[j] + 1,previous_row[j + 1] + 1,previous_row[j] + substitution_cost)previous_row, current_row = current_row, previous_rowreturn current_row[n]```二、使用滚动数组除了使用两个一维数组来代替二维矩阵外,还可以使用滚动数组来保存子问题的最优解。
滚动数组是指每次只保存当前行和前一行的最优解,而不是保存整个矩阵。
这样可以进一步降低空间复杂度和提高计算速度。
优化后的算法如下:```def levenshtein_distance(s, t):m = len(s)n = len(t)if m == 0:return nif n == 0:return mprevious_row = [0] * (n + 1)current_row = [0] * (n + 1)for i in range(n + 1):previous_row[i] = ifor i in range(m):current_row[0] = i + 1for j in range(n):if s[i] == t[j]:substitution_cost = 0else:substitution_cost = 1current_row[j + 1] = min(current_row[j] + 1, previous_row[j + 1] + 1,previous_row[j] + substitution_cost) previous_row = current_rowcurrent_row = [0] * (n + 1)return previous_row[n]```三、实现语言优化```def levenshtein_distance(s, t):m, n = len(s), len(t)if m == 0:return nif n == 0:return mprevious_row = list(range(n + 1))for i in range(1, m + 1):current_row = [i] + [0] * nfor j in range(1, n + 1):substitution_cost = 0 if s[i - 1] == t[j - 1] else 1current_row[j] = min(current_row[j - 1] + 1, previous_row[j] + 1, previous_row[j - 1] + substitution_cost)previous_row = current_rowreturn previous_row[n]```四、提前终止。
编辑距离算法
编辑距离算法2018-04-12 21:20:30编辑距离是针对⼆个字符串(例如英⽂字)的差异程度的量化量测,量测⽅式是看⾄少需要多少次的处理才能将⼀个字符串变成另⼀个字符串。
编辑距离可以⽤在⾃然语⾔处理中,例如拼写检查可以根据⼀个拼错的字和其他正确的字的编辑距离,判断哪⼀个(或哪⼏个)是⽐较可能的字。
DNA也可以视为⽤A、C、G和T组成的字符串,因此编辑距离也⽤在⽣物信息学中,判断⼆个DNA的类似程度。
Unix 下的 diff 及 patch 即是利⽤编辑距离来进⾏⽂本编辑对⽐的例⼦。
常⽤的编辑距离算法有:Levenshtein距离,在莱⽂斯坦距离中,可以删除、加⼊、取代字符串中的任何⼀个字元,也是较常⽤的编辑距离定义,常常提到编辑距离时,指的就是莱⽂斯坦距离。
LCS(最长公共⼦序列)距离,只允许删除、加⼊字元。
⼀、最长公共⼦序列 LCS最长公共⼦序列问题是很经典的动态规划问题,问题描述如下:LCS是Longest Common Subsequence的缩写,即最长公共⼦序列。
⼀个序列,如果是两个或多个已知序列的⼦序列,且是所有⼦序列中最长的,则为最长公共⼦序列。
⼦序列:⼀个序列A = a1,a2,……an,中任意删除若⼲项,剩余的序列叫做A的⼀个⼦序列。
也可以认为是从序列A按原顺序保留任意若⼲项得到的序列。
例如:对序列 1,3,5,4,2,6,8,7来说,序列3,4,8,7 是它的⼀个⼦序列。
对于⼀个长度为n的序列,它⼀共有2^n 个⼦序列,有(2^n –1)个⾮空⼦序列。
请注意:⼦序列不是⼦集,它和原始序列的元素顺序是相关的。
时间复杂度:对于⼀般性的LCS问题(即任意数量的序列)是属于NP-hard。
但当序列的数量确定时,问题可以使⽤动态规划(Dynamic Programming)在多项式时间内解决。
public int LCS(String s1, String s2) {if (s1.length() == 0 || s2.length() == 0) return 0;int len1 = s1.length();int len2 = s2.length();int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];for (int i = 0; i <= len2; i++) dp[0][i] = 0;for (int i = 0; i <= len1; i++) dp[i][0] = 0;for (int i = 1; i <= len1; i++) {for (int j = 1; j <= len2; j++) {int same = s1.charAt(i - 1) == s2.charAt(j - 1) ? 1 : 0;dp[i][j] = Math.max(Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1] + same);}}return dp[len1][len2];}⼆、莱⽂斯坦距离 LevenshteinDistcance莱⽂斯坦距离,⼜称Levenshtein距离,是编辑距离的⼀种。
编辑距离算法
编辑距离算法
编辑距离(Edit Distance)是指两个字符串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一个字符,删除一个字符。
例如,将kitten转换成sitting,可以先将kitten中的k替换为s,然后在后面插入一个字符i,所以这两个字符串的编辑距离为2.
编辑距离算法通常使用动态规划的方法来求解,它会把原问题分解成多个子问题,然后逐步求解,最终得出最优解。
具体步骤如下:
1)确定矩阵大小:把字符串作为行和列,建立一个二维矩阵,矩阵大小为(n+1)*(m+1),n和m分别为字符串的长度;
2)填充矩阵:把第一行和第一列的元素,从0开始递增到n和m;
3)计算距离:从第二行第二列开始遍历矩阵,确定当前位置的值,根据如下公式:
当字符串1第i个字符与字符串2中第j个字符相等时,d[i][j] = d[i-1][j-1] 不相等时,d[i][j] = min(d[i-1][j], d[i][j-1], d[i-1][j-1]) + 1
4)返回结果:最后返回矩阵右下角的值即为最终结果。
LevenshteinDistance算法(编辑距离算法)
LevenshteinDistance算法(编辑距离算法)编辑距离编辑距离(Edit Distance),⼜称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由⼀个转成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括将⼀个字符替换成另⼀个字符,插⼊⼀个字符,删除⼀个字符。
⼀般来说,编辑距离越⼩,两个串的相似度越⼤。
例如将kitten⼀字转成sitting:sitten (k→s)sittin (e→i)sitting (→g)俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。
应⽤最⼩编辑距离通常作为⼀种相似度计算函数被⽤于多种实际应⽤中,详细如下:(特别的,对于中⽂⾃然语⾔处理,⼀般以词为基本处理单元)DNA分析:基因学的⼀个主要主题就是⽐较 DNA 序列并尝试找出两个序列的公共部分。
如果两个 DNA 序列有类似的公共⼦序列,那么这些两个序列很可能是同源的。
在⽐对两个序列时,不仅要考虑完全匹配的字符,还要考虑⼀个序列中的空格或间隙(或者,相反地,要考虑另⼀个序列中的插⼊部分)和不匹配,这两个⽅⾯都可能意味着突变(mutation)。
在序列⽐对中,需要找到最优的⽐对(最优⽐对⼤致是指要将匹配的数量最⼤化,将空格和不匹配的数量最⼩化)。
如果要更正式些,可以确定⼀个分数,为匹配的字符添加分数、为空格和不匹配的字符减去分数。
全局序列⽐对尝试找到两个完整的序列 S1和 S2之间的最佳⽐对。
以下⾯两个 DNA 序列为例:S1= GCCCTAGCGS2= GCGCAATG如果为每个匹配字符⼀分,⼀个空格扣两分,⼀个不匹配字符扣⼀分,那么下⾯的⽐对就是全局最优⽐对:S1'= GCCCTAGCGS2'= GCGC-AATG连字符(-)代表空格。
在 S2'中有五个匹配字符,⼀个空格(或者反过来说,在 S1'中有⼀个插⼊项),有三个不匹配字符。
这样得到的分数是 (5 * 1) + (1 * -2) + (3 * -1) = 0,这是能够实现的最佳结果。
编辑距离算法的原理及应用
编辑距离算法,也被称为Levenshtein距离算法,是一种用于衡量两个字符串之间相似度的方法。
它通过计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数来衡量它们的相似程度。
这些操作包括插入、删除和替换字符。
编辑距离算法的原理可以通过动态规划来实现。
我们可以建立一个二维的矩阵来表示两个字符串的编辑距离。
矩阵的行表示一个字符串的每个字符,列表示另一个字符串的每个字符。
矩阵中的每个元素记录了从一个字符串的某个字符到另一个字符串的某个字符所需的最少操作次数。
下面我们以字符串”march”和”cart”为例来演示编辑距离算法的计算过程:| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | | | | |a | 2 | | | | |r | 3 | | | | |c | 4 | | | | |h | 5 | | | | |我们可以将第一行和第一列的初始值设为从空字符串转换到对应字符串所需的操作次数:| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |a | 2 | | | | |r | 3 | | | | |c | 4 | | | | |h | 5 | | | | |我们可以根据以下递推公式计算矩阵中其他位置的值:if s1[i] == s2[j]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1其中,dp[i][j]表示矩阵中第i行第j列位置的值,s1和s2分别表示两个字符串。
按照上述公式计算,我们可以得到完整的编辑距离矩阵:| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |a | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 |r | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |c | 4 | 3 | 3 | 2 | 3 |h | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 |我们可以通过读取矩阵的右下角元素,即dp[m][n],来得到两个字符串的编辑距离。
最小编辑距离算法及其变型
最⼩编辑距离算法及其变型引⼊编辑距离(Edit Distance),⼜称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由⼀个转成另⼀个所需的编辑操作次数。
最⼩编辑距离,是指所需最⼩的编辑操作次数。
编辑操作包含:插⼊、删除和替换三种操作。
插⼊:在某个位置插⼊⼀个字符删除:删除某个位置的字符替换:把某个位置的字符换成另⼀个字符经典做法:动态规划这种类型的题⽬与LCS的做法有异曲同⼯之妙。
设dp[i][j]表⽰第⼀个字符串str1前i位与第⼆个字符串str2前j位进⾏匹配所需的最⼩编辑距离。
考虑i、j处的状态转移,假设第⼀个字符串为⽬标串,有以下三种情况:1. 由i−1、j转移⽽来,即是执⾏插⼊操作,在str2的第j位加⼊str1[i]字符。
2. 由i、j−1转移⽽来,即是执⾏删除操作,删除str2[j]。
3. 由i−1、j−1转移⽽来,若两者不同,则执⾏替换操作,否则不做处理。
故转移⽅程为dp[i][j]=min(dp[i−1][j]+1,min(dp[i][j−1]+1,dp[i−1][j−1]+flag))(flag=0/1)时间复杂度:O(NM)。
空间复杂度:O(NM)。
可以采⽤类似LCS的优化⽅法优化时空。
变式1:只有插⼊与删除操作在这种情况下的答案ans满⾜:ans=len n+len m−2∗lcs(str1,str2)形象理解就是在去除掉两者的LCS之后将str2清空,然后执⾏插⼊操作。
变式2:同样只有插⼊与删除操作,但存在最⼩编辑次数限制当最⼩编辑次数超过K时,输出−1;否则输出最⼩编辑次数。
数据范围:len n,len m<=501000,K<=100如果采⽤常规算法,时空都会超限。
容易观测到K的值很⼩,主观感受K应是本题的关键,猜测时间复杂度应为O(len∗K)。
观测原本的状态转移的限制:需要进⾏两重循环,计算每⼀个i与j对应的状态。
关键在于:离i的距离⼤于K的j对应的状态是⽆⽤的,因为⽆论如何都⾄少需要匹配str1的前i位,如果从这些j进⾏转移,修改次数就会⼤于K 。
12个动态规划算法举例
动态规划是一种用于解决最优化问题的算法。
它通常用于找到最小或最大值。
这里列举了12 个常见的动态规划算法,并给出了每个算法的举例:
1 最长公共子序列(LCS)算法:用于比较两个序列,找出它们之
间的最长公共子序列。
2 最小编辑距离算法:用于比较两个字符串,找出将一个字符串变
为另一个字符串所需的最少编辑操作次数。
3 背包问题算法:用于在限制给定的总体积的情况下选择最优的物
品组合。
4 最短路径算法:用于求解有向图或路径的最短路径。
5 最小生成树算法:用于求解图的最小生成树。
6 线性规划算法:用于求解线性规划问题。
7 矩阵链乘法算法:用于计算矩阵链乘法的最优计算次序。
8 单源最短路径算法:用于求解有向图的单源最短路径问题。
9 拓扑排序算法:用于对有向无环图(DAG)进行拓扑排序。
10图形相似性算法:用两个图形进行对齐,并通过比较它们之间的差异来评估它们的相似程度。
11 11 区间动态规划算法:用于解决区间动态规划问题,例如
最小编辑代价问题。
12 分数背包问题算法:用于在限制给定的总价值的情况下选择
最优的物品组合。
13这些算法的具体细节及实现方式可以通过搜索或者学习相
关的资料来了解。
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《算法设计与分析》课程报告
课题名称:动态规划——编辑距离问题
课题负责人名(学号):
同组成员名单(角色):无
指导教师:左劼
评阅成绩:
评阅意见:
提交报告时间:2010年 6 月 23 日
动态规划——编辑距离问题
计算机科学与技术专业
学生指导老师左劼
[摘要]动态规划的基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解成若干份的子问题,先分别解决好子问题,然后从子问题中得到最终解。
但动态规划中的子问题往往不是相互独立的,而是彼此之间有影响,因为有些子问题可能要重复计算多次,所以利用动态规划使这些子问题只计算一次。
将字符串A变换为字符串所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离。
关键词:动态规划矩阵字符串操作数编辑距离
一、问题描述
1、基本概念:设A和B是2个字符串。
要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。
字符串操作包括:
(1) 删除一个字符;
(2) 插入一个字符;
(3) 将一个字符改为另一个字符。
将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A 到B的编辑距离,记为d(A,B)。
2、算法设计:设计一个有效算法,对于给定的任意两个字符串A 和B,计算其编辑距离d(A,B)。
3、数据输入:输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。
文件的第1行为字符串A,第二行为字符串B。
4、结果输出:将编辑距离d(A,B)输出到文件ouput.txt的第一行。
输入文件示例输出文件示例
input.txt output.txt
fxpimu 5
xwrs
二、分析
对于本问题,大体思路为:把求解编辑距离分为字符串A从0个字符逐渐增加到全部字符分别想要变为字符串B该如何变化以及变化的最短距离。
具体来说,首先选用数组a1存储字符串A(设长度为n),a2存储字符串B(设长度为m),d矩阵来进行具体的运算;这里有两个特殊情况比较简单可以单独考虑,即A的长度为0而B不为0还有A不为0B为0,这两种情况最后的编辑距离分别为m和n;讨论一般情况,d矩阵为d[n][m],假定我们从d[0][0]开始一直进行以下操作到了d[i][j]的位置,其中删除操作肯定是A比B长,同理,插入字符操作一定是A比B短,更改字符操作说明一样长,我们所要做的是对d[i][j-1]
d[i-1][j] d[i-1][j-1]所存数进行比较,其中最小的即为当前长度和样式的字符串A变为B的编辑距离,依次这样计算到最后的d[n][m]中所存的数即为最终的编辑距离。
三、证明
1、理论前提:动态规划的基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解成若干份的子问题,先分别解决好子问题,然后从子问题中得到最终解。
但动态规划中的子问题往往不是相互独立的,而是彼此之间有影响。
该算法的有效性依赖于两个重要的性质:最优子结构性质和问题重叠性质。
最有子结构性:以自底向上的方法递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。
重叠子问题性:每次产生的子问题并不总是新问题,利用动态规划对每一个子问题只解一次,并将其存入表格中,下次用到该子问题的解时,只要查找表格即可。
2、本题:本题首先符合最优子结构性,即让字符串A从1开始递增到最终长度n,也就是从只有一个字符开始计算,每增加一个字符计算一次,符合自底向上的方法递归地解决子问题;其次符合重叠子问题性,每增加一个字符计算的时候总要用到前一状态时的编辑距离,并且本题我采用了矩阵来存储旧子问题的数据,都只计算了一次,所以也符合。
3、总结:综上两点,可知本题采用了动态规划的思想来解决,并能得到正确的答案。
四、代码及解释(注释)
#include<iostream.h>
#include<fstream>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int MAX=1000;
int min(int a,int b)
{
if(a>=b)
return b;
else
return a;
}
int main()
{
int d[MAX][MAX];
int i,j;
char a1[MAX], a2[MAX];
FILE *fp;
fp=fopen("input.txt","r");
fscanf(fp,"%s",a1);
fscanf(fp,"%s",a2);
fclose(fp);
int n=strlen(a1)-1; //字符串末尾多1
int m=strlen(a2)-1;
for(i=0;i<=n;i++) //从i变到0字符串,i个需要i次(添加) d[i][0]=i;
for(i=0;i<=m;i++) //从0字符串变到j,j个需要j次(删除) d[0][i]=i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(a1[i]!=a2[j])
d[i][j]=min(min(d[i][j-1],d[i-1][j]),d[i-1][j-1])+1;
//加一个,减一个,变一个else
d[i][j]=d[i-1][j-1];
}
}
cout<<d[n][m];
fp=fopen("output.txt","w");
fprintf(fp,"%d",d[n][m]);
fclose(fp);
return 0;
}
/*
输入:fxpimu
xwrs
输出:5
*/
五、复杂度分析
以下为核心代码部分:
for(i=0;i<=n;i++) //从i变到0字符串,i个需要i次(添加) d[i][0]=i;
一重循环时间复杂度为T(n)
for(i=0;i<=m;i++) //从0字符串变到j,j个需要j次(删除) d[0][i]=i;
一重循环时间复杂度为T(m)
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(a1[i]!=a2[j])
d[i][j]=min(min(d[i][j-1],d[i-1][j]),d[i-1][j-1])+1;
//加一个,减一个,变一个
else
d[i][j]=d[i-1][j-1];
}
}
二重循环:时间复杂度为T(n*m)
总的时间复杂度为T(n*m+n+m)=O(n*m)
最好时间复杂度为O(n);最坏时间复杂度为O(n2)
参考文献
[1] 王晓东.计算机算法设计与分析(第3版).电子工业出版社,2009.12(第
8次印刷)P48,P53-54,P89
[2] 科曼(Cormen T.H.)等著潘金贵等译.算法导论(第二版).机械工业出版社,2008.6(第9次印刷)P202-207。