算法设计与分析-动态规划习题

2、 （双机调度问题）用两台处理机 A 和 B 处理个作业。设第 i 个作业交给机器 A 处理时所需要的时间是，若由机器 B 来 处理，则所需要的时间是 bi。现在要求设计每个作业只能由 一台机器处理，每台机器处理完这 n 个作业的时间最短（从 任何一个机器开工到最后一台机器停工的总的时间） ，以下 面的例子说明你的算法。
2
a
k 1
j
k
，j=1,2, …,n）
a[1,n]的最大子段为 k 1 ，且 1≤i≤n/2，n/2+1≤j≤n; 前两种情况可以通过递归求的，对于第三种情况，容易看出，a[n/2]与 a[n/2+1] 在最优子 序列中， 因此可以求出 a[1,n/2]中的最大子段 s1 和与 a[n/2+1,n]的最大子段和 s2,s1+s2 即 为第三种情况的最大子段和。 该算法所需的计算时间 T(n)满足典型的分治算法递归式
3、考虑下面特殊的整数线性规划问题
试设计一个解此问题的动态规划算法，并分析算法的时间复 杂度。
解：该问题是一般情况下的背包问题，具有最优子结构性质。 设所给背包问题的子问题
的最优值为 m(i,j), 即 m(i,j)是背包容量为 j，可选物品为 1，2，…，i 时背包问题的最优解。 由背包问题的最优子结构性质，可建立计算 m(i,j)的递归式如下：
习题五 1、
j
最大字段和问题：给定正整数 a1,a2,… ,an,求该序列形
a
k 1 k
如
的子段和的最大值： max 0, max X k
j

k 1

1） 已知一个简单算法如下： int Maxsum(int n,int a,int& besti,int& bestj) { int sum = 0; for(int i=1;i<=n;i++){ int suma = 0; for(int j=i;j<=n;j++){ suma + = a[j]; if(suma > sum){ sum = suma; besti = i; bestj = j; } } } return sum; } 试分析该算法的时间复杂性。 2） 试用分治算法解最大子段和问题，并分析算法的时间复杂性。 3） 试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划算法解最大子段和问 题。分析算法的时 间复杂度。 （提示：令 b( j ) max 解： 1） 该简单算法嵌套了两个 for 循环， 均是从 1 到 n 进行循环。 因此， 时间复杂性为 o （n ） 。 2） 如果将所给序列 a[1,n]分为长度相等的两段 a[1,n/2]和 a[n/2+1,n], 分别求出这两段的最大 子段和，则 a[1,n]的最大子段和有三种情形： a[1,n]的最大子段和与 a[1,n/2]的最大子段和相同； a[1,n]的最大子段和与 a[n/2+1,n]的最大子段和相同；
i
不同决策序列决定的，即：
S ij
具体算法如下：
0
1. S ={(1,0)}
i-1
2. 假设已求出 S
i
。
3. S 的求解步骤如下：
对于 m 的所有可能值，依次求出 m =Hale Waihona Puke Baidu，1≤j≤u 时，有可能得到的所有序偶的集合
i i i i
。
将u个
i
按支配规则归并即得 S
按此递归式计算出来的 m(n,b)为最优值，算法所需的计算时间为 O(nb)。
4、可靠性设计：一个系统由 n 级设备串联而成，为了增强 可靠性，每级都可能并联了不止一台同样的设备。假设第 i 级设备 Di 用了 mi 台，该级设备的可靠性是 gi(mi)，则这个 系统的可靠性是Π gi(mi)。一般来说 gi(mi)都是递增函数，所 以每级用的设备越多系统的可靠性越高。但是设备都是有成 本的， 假定设备 Di 的成本是 ci， 设计该系统允许的投资不超 过 c，那么，该如何设计该系统（即各级采用多少设备）使 得这个系统的可靠性最高。试设计一个动态规划算法求解可 靠性设计。
a
j
k
T(n)=2T(n/2)+O(n) 解此递归方程可知，T(n)=O(nlogn) 3） 记 b[j]=
a
k 1
j
k
,1≤i≤n,则所求的最大子段和问题为
a
k 1
j
k
=max max
a
k i
j
k
=max b[j]
由 b[j]的定义可知，b[j-1]>0 时，b[j]= b[j-1]+a[j], 否则 b[j]=a[j]，因此 b[j]的动态规划递 归式 b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1≤j≤n。 据此， 可设计出最大子段和动态规划算法如下： int MaxSum(int n,int *a) { Int sum=0,b=0; For(int i=1;i<=n;i++){ If(b>0)b+=a[j]; Else b=a[j]; If(b>sum)sum=b; } Return sum; } 显然，这个算法需要的时间和空间复杂度均为 O(n)。
则 RELI(1,n,c)可靠性设计的最优值为：
初始条件：f0 (X)=1，0≤X≤c
i
S ={ (f , X ) | f =f (X ) }
i i
S ={ (f , X ) | f =f (X ) }为可靠性设计问题 RELI(1,i,X) 的最优解，(f, X)是由 m1 ，m2 ，…，mi 的
设 RELI(1,i,X) ：表示在可容许成本 X 约束下，对第 1 种到第 i 种设备的可靠性设计问题。 目标函数：
约束条件：
， RELI(1,n,c)： 表示整个系统的可靠性设计问题。 该问题具有最优子结构性质， 假设 m1 ， m2， …， mn 为 RELI(1,n,c)的最优解，假设 m1 为第 1 级的最优选择，则 m2 ，…，mn 为 RELI(2,n,c-m1 c1) 的最优解，否则设 m’ 2，…，m’ n 为 RELI(1,n,c-m1 c1 )的最优解，则 m1，m’ 2，…m’ n 为 RELI(1,n,c) 的最优解。矛盾。 系统可靠性设计问题 RELI(1,n,c)的最优解是对 m1 ，m2，…，mn 的一系列决策的结果。设 fi(X) 是在允许成本值 X 约束下对前 i 种设备组成的子系统 RELI(1,i,X)可靠性设计的最优值，即：
解： 设最优解为 C[n], 设在处理第 i 个作业时， 当前为最优值 C[i], 在 A 上处理的总时间为 A[i],B[i] 处理的总时间为 B[i], N=1, 显然有 a1<b1, 故 C[1]=A[I]=a[1]=2,B[1]=0,A 加工 N=2,A[2]=2+5=7<B[1]+8=0+8, 因此 C[2]=A[2]=7，B[2]=0，A 加工 N=3,A[2]+7=14>B[2]+b[3]=4, 因此 C[3]=C[2]=7,A[3]=7,B[3]=4,B 加工 N=4,A[3]+10=17>B[3]+11=15. 因此 C[4]=B[4]=15,A[4]=7,B[4]=15,B 加工 N=5,A[5]+5=12<B[5]+3=18, 因此 C[5]=C[4]=15,A[5]=9,B[5]=15,A 加工 N=6,A[6]+2=14<B[6]+4=19, 因此，C[6]=C[5]=15,A[6]=14,B[6]=15,A 加工 因此处理的总时间为 15，A 加工 1、2、5、6 个作业，B 加工 3、4 个作业