动态规划习题

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动态规划练习试题和解答

动态规划练习试题和解答

动态规划练习题[题1] 多米诺骨牌(DOMINO)问题描述:有一种多米诺骨牌是平面的,其正面被分成上下两部分,每一部分的表面或者为空,或者被标上1至6个点。

现有一行排列在桌面上:顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9;底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。

顶行和底行的差值是2。

这个差值是两行点数之和的差的绝对值。

每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换,即上部变为下部,下部变为上部。

现在的任务是,以最少的翻转次数,使得顶行和底行之间的差值最小。

对于上面这个例子,我们只需翻转最后一个骨牌,就可以使得顶行和底行的差值为0,所以例子的答案为1。

输入格式:文件的第一行是一个整数n(1〈=n〈=1000〉,表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。

接下来共有n行,每行包含两个整数a、b(0〈=a、b〈=6,中间用空格分开〉。

第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数(0表示空)。

输出格式:只有一个整数在文件的第一行。

这个整数表示翻动骨牌的最少次数,从而使得顶行和底行的差值最小。

[题2] Perform巡回演出题目描述:Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出).由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表.输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去.每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没有航班,第三天的机票是80KOI,然后循环:第四天又是75KOI,第五天没有航班,如此循环.输入文件由n=k=0的场景结束.输出:对每个场景如果乐团可能从城市1出发,每天都要飞往另一个城市,最后(经过k天)抵达城市n,则输出这k个航班价格之和的最小值.如果不可能存在这样的巡回演出路线,输出0.样例输入: 样例输出:3 6 4602 130 150 03 75 0 807 120 110 0 100 110 120 04 60 70 60 503 0 135 1402 70 802 32 0 701 800 0[题3] 复制书稿(BOOKS)问题描述:假设有M本书(编号为1,2,…M),想将每本复制一份,M本书的页数可能不同(分别是P1,P2,…PM)。

动态规划练习例题

动态规划练习例题
c(m,n)为最终最小代价,反向追踪获得编辑序列
动态规划方法总结
动态规划算法的设计步骤
– – – – – – – 将问题表示成多步判断 确定是否满足优化原则——必要条件 确定子问题的重叠性——估计算法效率 列出关于优化函数的递推方程(或不等式)和边界条件 自底向上计算子问题的优化函数值----非递归的算法 备忘录方法记录中间结果 标记函数追踪问题的解
• S(i)表示结束于位置i的最大子区间和 • max{S(i)}即为所求最大子区间和 • 考虑如何递推求解并反算问题解
最大子矩阵
• 已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的 和。给定一个矩阵,找到最大的非空(大小 至少是1 * 1)子矩阵。 • 例如这个矩阵的最大子矩阵大小为15。
0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2
动态规划练习例题在棋盘上移动在一个nn的棋盘上棋子可以向上方右上方或左上方移动每次从x方格移动到y方格将获得pxy元钱pxy不一定是正数现求一个获得钱最多的从底边到顶边的一种移动棋子的方案
动态规划练习例题
在棋盘上移动
• 在一个n×n的棋盘上,棋子可以向上方、 右上方或左上方移动,每次从x方格移动到y 方格将获得p(x,y)元钱, p(x,y)不一定是正 数,现求一个获得钱最多的从底边到顶边 的一种移动棋子的方案。
解题思路
Qx, y 1 Q x, y max Qx 1, y 1 Q x 1, y 1 y 1 px, y 1, x, y y 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 1 px 1, y 1, x, y y 1且x 字符串X=x1,x2,…xm和Y=y1,y2,…yn 使用一系列编辑操作将字符串X转变成Y。允许使 用插入,删除,修改三种操作,每种操作都有 一定的代价,求一个总代价最小的操作序列。 – 设从字符X中删除符号xi的代价为D(xi) – 将符号yj插入X的代价为I(yj) – 将X中的符号xi修改成yj的代价为C(xi,yj)

动态规划典型例题

动态规划典型例题

1、单调递增最长子序列描述求一个字符串的最长递增子序列的长度如:dabdbf最长递增子序列就是abdf,长度为4输入第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理随后的n行,每行有一个字符串,该字符串的长度不会超过10000 输出输出字符串的最长递增子序列的长度样例输入3aaaababcabklmncdefg样例输出1372、最长公共子序列描述如题,需要写一个程序,得出最长公共子序列。

tip:最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续),英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。

其定义是,一个序列S ,如果分别是两个或多个已知序列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则S 称为已知序列的最长公共子序列。

输入第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数接下来每组数据两行,分别为待测的两组字符串。

每个字符串长度不大于1000.输出每组测试数据输出一个整数,表示最长公共子序列长度。

每组结果占一行。

样例输入2asdfadfsd123abcabc123abc样例输出363、括号匹配时间限制:1000 ms | 内存限制:65535 KB描述给你一个字符串,里面只包含"(",")","[","]"四种符号,请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。

如:[]是匹配的([])[]是匹配的((]是不匹配的([)]是不匹配的输入第一行输入一个正整数N,表示测试数据组数(N<=10)每组测试数据都只有一行,是一个字符串S,S中只包含以上所说的四种字符,S的长度不超过100输出对于每组测试数据都输出一个正整数,表示最少需要添加的括号的数量。

每组测试输出占一行样例输入4[]([])[]((]([)]样例输出324、完全背包描述直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。

动态规划典型例题

动态规划典型例题

1、单调递增最长子序列描述求一个字符串的最长递增子序列的长度如:dabdbf最长递增子序列就是abdf,长度为4输入第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理随后的n行,每行有一个字符串,该字符串的长度不会超过10000 输出输出字符串的最长递增子序列的长度样例输入3aaaababcabklmncdefg样例输出1372、最长公共子序列描述如题,需要写一个程序,得出最长公共子序列。

tip:最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续),英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。

其定义是,一个序列S ,如果分别是两个或多个已知序列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则S 称为已知序列的最长公共子序列。

输入第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数接下来每组数据两行,分别为待测的两组字符串。

每个字符串长度不大于1000.输出每组测试数据输出一个整数,表示最长公共子序列长度。

每组结果占一行。

样例输入2asdfadfsd123abcabc123abc样例输出363、括号匹配时间限制:1000 ms | 内存限制:65535 KB描述给你一个字符串,里面只包含"(",")","[","]"四种符号,请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。

如:[]是匹配的([])[]是匹配的((]是不匹配的([)]是不匹配的输入第一行输入一个正整数N,表示测试数据组数(N<=10)每组测试数据都只有一行,是一个字符串S,S中只包含以上所说的四种字符,S的长度不超过100输出对于每组测试数据都输出一个正整数,表示最少需要添加的括号的数量。

每组测试输出占一行样例输入4[]([])[]((]([)]样例输出324、完全背包描述直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。

动态规划 练习题

动态规划  练习题

23.(11分)请用动态规划逆序求解法求解下列问题:求出下图中从A到E的最短路线及长度。

在图中标出每个点到终点的最短距离。

24. (11分)一个旅行者从A点出发,经过B、C、D等处,到达E。

各地间距离如图中所示。

问该旅行者应选择哪一条路线,使从A到E的总路程最短?(可直接在图上标号,最后给定答案)
24.一个旅行者从A点出发,经过B、C、D等处,到达E。

各地间距离如图中所示。

问该旅行者应选择哪一条路线,使从A到E的总路程最短?(可直接在图上标号,最后给定答案)(11分)
解:此为动态规划之“最短路问题”,可用逆向追踪“图上标号法”解决如下:
最佳策略为:A →B 2→C 1→D 1→E 或A →B 3→C 1→D 1→E 此时从A 到E 的总路程的最短距离都是11
23. 请用动态规划逆序求解法求解下列问题:
各点标号依次为:A:8, B1:7,B2:6, B3:8, C1:5, C2:4,D1:3,D2:1,D3:5.
25. 某厂生产C B A ,,三种产品,其所需劳动力、材料等有关数据见下表。

要求:建立模型,并用单纯形法计算,确定获利最大的产品生产计划。

解:(1)设C B A ,,
各生产321,,x x x 件。


32143min x x x z ++=
st.⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≤++≤++)3,2,1(,03054345
536321321j x x x x x x x j
(4分)
获利最大的生产计划是C B A ,,各生产5件、0件、3件,最大利润为273453=⨯+⨯=z 元。

(15分)。

运筹学 动态规划-作业及答案

运筹学 动态规划-作业及答案

1
第五章 动态规划作业题及答案
1.用动态规划法求解求最短路径
从起点A 到终点E 之间各点的距离如图所示。

求A 到E 的最短路径。

B A
C B
D B C D E
C 21
23
12
31
2
5
11214
10610
41312113
96
5810
5
2
2.用动态规划法求解资源分配问题
有资金4万元,投资A 、B 、C 三个项目,每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。

三个项目A 、B 、C 的投资效益(万吨)和投入资金(万元)的关系见下表:
用动态规划法求解对三个项目的最优投资分配,使总投资效益最大。

3.用动态规划法求解生产库存问题
一个工厂生产某种产品,1~7月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表:
为了调节生产生产和需求,工厂设有一个产品仓库,库容量H=9。

已知期初库存量为2,要求期末(七月低)库存量为0。

每个月生产的产品在月末入库,月初根据当月需求发货。

求七个月的生产量,能满足各月的需求,并使生产成本最低。

4.用动态规划法求解背包问题
第i 种每件价值c 1=65,c 2=85,c 3=40元; 第i 种物品每件重量为:w 1=2,w 2=3,w 3=1公斤;现有一只可装载重量为5公斤的背包,求各种物品应各取多少件放入背包,使背包中物品的价值最高。

动态规划题目

动态规划题目

动态规划总结1.POJ 1160Post OfficeTime Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 17936 Accepted: 9655DescriptionThere is a straight highway with villages alongside the highway. The highway is represented as an integer axis, and the position of each village is identified with a single integer coordinate. There are no two villages in the same position. The distance between two positions is the absolute value of the difference of their integer coordinates.Post offices will be built in some, but not necessarily all of the villages. A village and the post office in it have the same position. For building the post offices, their positions should be chosen so that the total sum of all distances between each village and its nearest post office is minimum.You are to write a program which, given the positions of the villages and the number of post offices, computes the leastpossible sum of all distances between each village and its nearest post office.IntputYour program is to read from standard input. The first line contains two integers: the first is the number of villages V, 1 <= V <= 300, and the second is the number of post offices P, 1 <= P <= 30, P <= V. The second line contains V integers in increasing order. These V integers are the positions of the villages. For each position X it holds that 1 <= X <= 10000. outputThe first line contains one integer S, which is the sum of all distances between each village and its nearest post office. Sample input10 51 2 3 6 7 9 11 22 44 50Sample output9题目大意:用数轴描述一条高速公路,有V个村庄,每一个村庄坐落在数轴的某个点上,需要选择P个村庄在其中建立邮局,要求每个村庄到最近邮局的距离和最小。

动态规划模拟试卷及答案

动态规划模拟试卷及答案

动态规划模拟试卷及答案模拟试卷——第三章动态规划一、填空题(每小题4分,共20分)1、动态规划算法的基本要素是()和()。

2、()是动态规划法的变形。

3、()是最大子段和问题想二维的推广。

4、矩阵连乘问题的算法可由()设计实现。

5、动态规划算法中,通常不同子问题的个数随问题大小呈()增长。

二、简答题(每小题6分,共30分)1、写出设计动态规划算法的主要步骤。

2、简述什么是备忘录方法。

3、简述备忘录法与动态规划法的异同。

4、简述动态规划算法的基本思想。

5. 写出最长公共子序列问题具有的性质。

三、综合题(每小题25分,共50分)1、用动态规划算法实现最长公共子序列问题。

2、用动态规划算法实现下列问题:设A和B是两个字符串。

我们要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B,这里所说的字符操作包括:(1)删除一个字符;(2)插入一个字符;(3)将一个字符改为另一个字符。

将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A 到B的编辑距离,记为d(A,B)。

试设计一个有效算法,对任给的两个字符串A和B,计算出它们的编辑距离d(A,B)。

答案一、填空题1、最优子结构、子问题重叠2、备忘录方法3、最大子矩阵的问题4、动态规划法5、多项式二、简答题1、(1)找出最优解的性质,并刻画其结构特征;(2)递归地定义最优解;(3)以自底向上的方法计算出最优值;(4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。

2、备忘录方法是动态规划算法的变形。

备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同,区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看,避免了相同子问题的重复求解。

3、与动态规划算法一样,备忘录方法用表格保存已解决的子问题的答案,在下次需要解此子问题时,只要简单地查看该子问题的解答,而不必重新计算。

与动态规划算法不同的是,备忘录方法的递归方式是自顶向下的,而动态规划算法则是自底向上递归的。

4、动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

动态规划例题

动态规划例题

1、生产库存问题例 某厂在年末估计,下年4个季度市场对该厂某产品的需求量均为d k =3 (k =1,2,3,4),该厂每季度生产此产品的能力为b k =5 (k =1,2,3,4,)。

每季度生产这种产品的固定成本为F=13(不生产时为0),每一产品的单位变动成本为C=2。

本季度产品如不能售出,则需发生库存费用g =1/件,仓库能贮存产品的最大数量E k =4。

试问如何安排4个季度的生产,以保证在满足市场需求的前提下,使生产和库存总量用最小?解:首先分析一下这类问题。

设x k —第k 季度的计划生产量,s k —第k 季度初的库存,⎩⎨⎧=>=0,00,1k k k x x y ,可以得到数学模型:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤≤⨯≤-+=+++=+∑4,3,2,110,0,45)43(3..213min1411k or y s x s x y x x s s t s s x y k k k k k kk k k k k k k k 。

显然,这个问题是一个混合整数规划。

但由于这类问题可以按时间先后顺序分成四个阶段,故可用动态规划方法求解。

(1) 将每个季度看作一个阶段,就有一个四阶段的决策问题。

(2)S k --第k 季度初的仓库库存量,在问题中,s 1=s 5=0, 30=≤≤E s k ,k =2,3,4。

(3) x k --第k 季度的生产函数。

(4)(5) ),(k k k x s W =第k 季度的生产贮存量(上个阶段的未出售的量放在当阶段计算库 存费) ⎩⎨⎧>-+++=-=0)(0)(k k k k k k k k k x d x s g Cx F x d s g W(6)f k (s k )=第k 季度初库存量为s k 的条件下,为保证市场需求,从第三者k 季度至年末生产和贮存这种产品的最小费用。

(7)kk k k k k k k k s d E x s d E d x s s -+≤≤-⇒≤-+=≤+10 (1)又 k k b x ≤≤0 (2)s k +1=s k +x k -d k ,k =4,3,2,1又 NN N N N N N N k k k k k k k k d x s s d x s s d x s s d x s s -+=-+=-+=-+=+---+++++111111121 加得kk Nk i i N k i i N ki Nki i i k N x s d x d x s s ≥-=⇒=-+=∑∑∑∑====+01 (3)由(1),(2),(3)得知∑=--+≤≤-Nki k i k k k k k k s d s d E b x s d ),,min(),0max(于是有{}5,4,3,2)(11=s D下面依次从第4阶段开始进行计算。

经典的动态规划入门练习题

经典的动态规划入门练习题

动态规划入门练习题1.石子合并在一个圆形操场的四周摆放着N堆石子(N<= 100),现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分.编一程序,由文件读入堆栈数N及每堆栈的石子数(<=20).(1)选择一种合并石子的方案,使用权得做N-1次合并,得分的总和最小;(2)选择一种合并石子的方案,使用权得做N-1次合并,得分的总和最大;输入数据:第一行为石子堆数N;第二行为每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔.输出数据:从第一至第N行为得分最小的合并方案.第N+1行是空行.从第N+2行到第2N+1行是得分最大合并方案.每种合并方案用N行表示,其中第i行(1<=i<=N)表示第i次合并前各堆的石子数(依顺时针次序输出,哪一堆先输出均可).要求将待合并的两堆石子数以相应的负数表示.输入输出范例:输入:44 5 9 4输出:-459-4-8-59-13-9224-5-944-14-4-4-1822最小代价子母树设有一排数,共n个,例如:22 14 7 13 26 15 11.任意2个相邻的数可以进行归并,归并的代价为该两个数的和,经过不断的归并,最后归为一堆,而全部归并代价的和称为总代价,给出一种归并算法,使总代价为最小.输入、输出数据格式与“石子合并”相同。

输入样例:412 5 16 4输出样例:-12-516417-16-4-17-20372.背包问题设有n种物品,每种物品有一个重量及一个价值。

但每种物品的数量是无限的,同时有一个背包,最大载重量为XK,今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取),使其重量的和小于等于XK,而价值的和为最大。

输入数据:第一行两个数:物品总数N,背包载重量XK;两个数用空格分隔;第二行N个数,为N种物品重量;两个数用空格分隔;第三行N个数,为N种物品价值; 两个数用空格分隔;输出数据:第一行总价值;以下N行,每行两个数,分别为选取物品的编号及数量;输入样例:4 102 3 4 71 3 5 9输出样例:122 14 13.商店购物某商店中每种商品都有一个价格。

动态规划习题集全

动态规划习题集全

动态规划专题训练护卫队【问题描述】护卫车队在一条单行的街道前排成一队,前面河上是一座单行的桥。

因为街道是一条单行道,所以任何车辆都不能超车。

桥能承受一个给定的最大承载量。

为了控制桥上的交通,桥两边各站一个指挥员。

护卫车队被分成几个组,每组中的车辆都能同时通过该桥。

当一组车队到达了桥的另一端,该端的指挥员就用电话通知另一端的指挥员,这样下一组车队才能开始通过该桥。

每辆车的重量是已知的。

任何一组车队的重量之和不能超过桥的最大承重量。

被分在同一组的每一辆车都以其最快的速度通过该桥。

一组车队通过该桥的时间是用该车队中速度最慢的车通过该桥所需的时间来表示的。

问题要求计算出全部护卫车队通过该桥所需的最短时间值。

【输入格式】输入文件中的第一行包含三个正整数(用空格隔开),第一个整数表示该桥所能承受的最大载重量(用吨表示),第二个整数表示该桥的长度(用千米表示),第三个整数表示该护卫队中车辆的总数(n<1000)。

接下来的几行中,每行包含两个正整数W和S(用空格隔开),W表示该车的重量(用吨表示),S表示该车过桥能达到的最快速度(用千米/小时表示)。

车子的重量和速度是按车子排队等候时的顺序给出的。

【输出格式】输出文件中应该是一个实数,四舍五入精确到小数点后1位,表示整个护卫车队通过该桥所需的最短时间(用分钟表示)。

【输入输出样例】输入:100 5 1040 2550 2050 2070 1012 509 7049 3038 2527 5019 70输入:75.0DOLLARS【问题描述】在以后的若干天里戴维将学习美元与德国马克的汇率。

编写程序帮助戴维何时应买或卖马克或美元,使他从100美元开始,最后能获得最高可能的价值。

【输入格式】输入文件中的第一行是一个自然数N(1<=N<=100),表示戴维学习汇率的天数。

接下来的N行中每行是一个自然数A(1<=A<=1000)。

第i+1行的A表示预先知道的第i+1天的平均汇率,在这一天中,戴维既能用100美元买A马克也能用A马克购买100美元。

动态规划算法题(5题)

动态规划算法题(5题)

动态规划算法题(5题)1、题⽬描述(⽹易)有 n 个学⽣站成⼀排,每个学⽣有⼀个能⼒值,⽜⽜想从这 n 个学⽣中按照顺序选取 k 名学⽣,要求相邻两个学⽣的位置编号的差不超过d,使得这 k 个学⽣的能⼒值的乘积最⼤,你能返回最⼤的乘积吗?输⼊描述:每个输⼊包含 1 个测试⽤例。

每个测试数据的第⼀⾏包含⼀个整数 n (1 <= n <= 50),表⽰学⽣的个数,接下来的⼀⾏,包含 n 个整数,按顺序表⽰每个学⽣的能⼒值 ai(-50 <= ai <= 50)。

接下来的⼀⾏包含两个整数,k 和 d (1 <= k <= 10, 1 <= d <= 50)。

输出描述:输出⼀⾏表⽰最⼤的乘积。

试题分析:本题要使⽤动态规划来解,动态规划的特点:1.求解的是最优化问题;2.可以分解为最优⼦结构本题可以先求解在第i个学⽣的位置下,j(j<K)个学⽣的能⼒值的最⼤值,得到所有学⽣位置下j个学⽣的能⼒值的最⼤值;在j个学⽣的情况下,得到j+1个学⽣的最⼤值,样例输出: 10 8 7 2 -7 9 5 4 10 -7 1 3 3输出: 630如上,第⼀步先计算k=2的情况:7:在d=3的情况下,最⼤最⼩值都为562:在d=3的情况下,最⼤值为16,最⼩值为14-7:在d=3的情况下,最⼤值为-14,最⼩值为-56......得到第⼀趟的结果k=3的情况下(这⾥以第⼀趟的结果为基础,只有这样就不需要考虑第⼀趟中d=3的限制):2:在d=3的情况下,最⼤最⼩值都为112(56*2)-7:在d=3的情况下,最⼤值为-98(14*-7)最⼩值为-392(56*-7)9:在d=3的情况下,最⼤值为504(56*9)最⼩值为-504(-56*9)......得到第⼆趟的结果返回最⼤值就是最后的结果#-*- coding:utf-8 -*-n=input()array=[int(i) for i in raw_input().split()]k,d=[int(i) for i in raw_input().split()]# n=36array_max=array_min=array#轮询k-1趟即可for i in range(0,k-1):_max=[-float('inf')]*n#将最⼤值的数组赋值⽆穷⼩_min=[float('inf')]*n#将最⼩值的数组赋值⽆穷⼤for j in range(i+1,n):if j<=d+i:#下⾯对应的min、max都是考虑到array[j]为负值的情况下temp_max = max(max(ii*array[j] for ii in array_max[i:j]),max(ii*array[j] for ii in array_min[i:j]))temp_min = min(min(ii*array[j] for ii in array_max[i:j]),min(ii*array[j] for ii in array_min[i:j]))else:temp_max = max(max(ii*array[j] for ii in array_max[j-d:j]),max(ii*array[j] for ii in array_min[j-d:j]))temp_min = min(min(ii*array[j] for ii in array_max[j-d:j]),min(ii*array[j] for ii in array_min[j-d:j]))_max[j]=temp_max_min[j]=temp_minarray_max=_maxarray_min=_minprint array_maxprint array_minprint max(array_max)2、题⽬描述(腾讯):腾讯⼤厦有39层,你⼿⾥有两颗⼀抹⼀眼的玻璃珠。

动态规划经典问题

动态规划经典问题

动态规划经典问题1、三角数塔问题设有一个三角形的数塔,顶点为根结点,每个结点有一个整数值。

从顶点出发,可以向左走或向右走,如图所示:要求从根结点开始,请找出一条路径,使路径之和最大,只要输出路径的和。

【代码】//// 例题1 三角数字塔问题////#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAXN 101intn,d[MAXN][MAXN];int a[MAXN][MAXN];voidfnRecursive(int,int);//递推方法函数声明intfnMemorySearch(int,int);//记忆化搜索函数声明int main(){inti,j;printf("输入三角形的行数n(n=1-100):\n");scanf("%d",&n);printf("按行输入数字三角形上的数(1-100):\n");for(i=1; i<=n; i++)for(j=1; j<=i; j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(i=1; i<=n; i++)for(j=1; j<=i; j++)d[i][j]=-1;//初始化指标数组printf("递推方法:1\n记忆化搜索方法:2\n");int select;scanf("%d",&select);if(select==1){fnRecursive(i,j);//调用递推方法printf("\n%d\n",d[1][1]);}if(select==2){printf("\n%d\n",fnMemorySearch(1,1));//调用记忆化搜索方法}elseprintf("输入错误!");return 0;}voidfnRecursive(inti,int j)//递推方法实现过程{for(j=1; j<=n; j++)d[n][j]=a[n][j];for(i=n-1; i>=1; i--)for(j=1; j<=i; j++)d[i][j]=a[i][j]+(d[i+1][j]>d[i+1][j+1]?d[i+1][j]:d[i+1][j+1]); }intfnMemorySearch(inti,int j)//记忆化搜索实现过程{if(d[i][j]>=0) return d[i][j];if(i==n) return(d[i][j]=a[i][j]);if(fnMemorySearch(i+1,j)>fnMemorySearch(i+1,j+1))return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j)));elsereturn(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j+1)));}2、硬币问题问题描述:有n种硬币,面值分别为V1,V2,…,Vn, 每种有无限多。

动态规划训练题目

动态规划训练题目

动态规划题目【引例1、上楼梯】一个含有n阶的楼梯,一次可以走1阶或2阶,从底走到顶一共有几种走法?n<=90。

【引例2、数字三角形】a1有一个数字三角形,编程求从最顶层到最底层的一条路所经过位置上数字之和的最大值。

每一步只能向左下或右下方向走。

下图数据的路应为7->3->8->7->5,和为30。

输入:文件输入(从键盘读入文件名),文件格式:第一行:R(1<=R<=10000),数字三角形共有R行;以下R行:依次表示数字三角形中每行中的数字。

每个数都是非负的,且<=100.输出:一个正整数,路径上数字之和的最大值。

输入样例:573 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5输出样例:30【引例3、求最大连续子序列的和。

】a2输入:第一行:n(N<500)第二行:n个整数(-3000,3000)。

输出:最大连续子序列的和。

样例:输入:7-6 4 -1 3 2 -3 2输出:81、最长递增序列b1设有整数序列b1,b2,b3,…,bm,若存在i1<i2<i3<…<in,且bi1<bi2<bi3<…<bin,则称b1,b2,b3,…,bm 中有长度为n的递增序列bi1,bi2,bi3,…,bin。

求序列b1,b2,b3,…,bm中最大递增序列长度(n)。

输入:m(<1000),整数序列输出:最大长度n样例:输入:7-6 4 -1 3 8 -3 2输出:42、背包问题b2设有n种物品,每种物品有一个重量及一个价值。

同时有一个背包,最大载重量为W,今从n种物品中选取若干件,使其重量的和小于等于W,而价值的和为最大。

输入数据:第一行两个数:物品总数N(<100),背包载重量W(<100);两个数用空格分隔;第二行N个数,为N种物品重量Wi;两个数用空格分隔;第三行N个数,为N种物品价值Vi; 两个数用空格分隔;输出数据:第一行总价值;输入样例:4 103 4 5 77 15 20 25输出样例:353、迷宫寻宝b3一个n行m列的迷宫(1<=n,m<=50),入口在左上角,规定只能向下或向右走。

动态规划练习题(含答案)

动态规划练习题(含答案)

动态规划练习题USACO 2.2 Subset Sums题目如下:对于从1到N的连续整集合合,能划分成两个子集合,且保证每个集合的数字和是相等的。

举个例子,如果N=3,对于{1,2,3}能划分成两个子集合,他们每个的所有数字和是相等的:and {1,2}这是唯一一种分发(交换集合位置被认为是同一种划分方案,因此不会增加划分方案总数)如果N=7,有四种方法能划分集合{1,2,3,4,5,6,7},每一种分发的子集合各数字和是相等的:{1,6,7} and {2,3,4,5} {注1+6+7=2+3+4+5}{2,5,7} and {1,3,4,6}{3,4,7} and {1,2,5,6}{1,2,4,7} and {3,5,6}给出N,你的程序应该输出划分方案总数,如果不存在这样的划分方案,则输出0。

程序不能预存结果直接输出。

PROGRAM NAME: subsetINPUT FORMAT输入文件只有一行,且只有一个整数NSAMPLE INPUT (file subset.in)7OUTPUT FORMAT输出划分方案总数,如果不存在则输出0。

SAMPLE OUTPUT (file subset.out)4参考程序如下:#include <fstream>using namespace std;const unsigned int MAX_SUM = 1024;int n;unsigned long long int dyn[MAX_SUM];ifstream fin ("subset.in");ofstream fout ("subset.out");int main() {fin >> n;fin.close();int s = n*(n+1);if (s % 4) {fout << 0 << endl;fout.close ();return ;}s /= 4;int i, j;dyn [0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++)for (j = s; j >= i; j--)dyn[j] += dyn[j-i];fout << (dyn[s]/2) << endl;fout.close();return 0;}USACO 2.3 Longest Prefix题目如下:在生物学中,一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。

动态规划入门

动态规划入门
你的任务,就是对于给定的序列,求出最长上升子序列的长度。
输入数据 输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出
序列中的N个整数,这些整数的取值范围都在0到10000。 输出要求
最长上升子序列的长度。 输入样例 7 1735948 输出样例 4
解题思路
1.找子问题
“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个 子问题,但这样分解子问题,不具有“无后效性”
数字三角形的记忆递归型动归程序:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i, int j){ if( maxSum[i][j] != -1 ) return maxSum[i][j]; if(i==n) maxSum[i][j] = D[i][j]; else { int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j]; } return maxSum[i][j];
数字三角形的状态转移方程:
能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结 构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定,则此后过程 的演变就只和这若干个状态的值有关,和之前是采取哪 种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态,没 有关系。

动态规划作业完整

动态规划作业完整

动态规划作业完整 The document was finally revised on 2021动态规划作业1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器,由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择,而进口港又有三个可供选择,进口后可经由两个城市到达目的地,其间的运输成本如图中所标的数字,试求运费最低的路线?2、把A看作终点,该问题可分为4个阶段。

f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。

f4(B1)=20,f4(B2)=40,f4(B3)=30f3(C1)=min[d3(C1, B1)+ f4(B1), d3(C1, B2)+ f4(B2), d3(C1, B3)+f4(B3) ]=70,U3(C1)= B2 或B3f3(C2)=40 ,U3(C2)= B3f3(C3)=80 ,U3(C3)= B1或B2 或B3f2(D1)=80 ,U2(D1)= C1f2(D2)=70 ,U2(D2)= C2f1(E)=110 ,U1(E)= D1或D2所以可以得到以下最短路线,E→D1→C1→B2 / B3→AE→D2→C2→B3→A3、习题4-2解:1)将问题按地区分为三个阶段,三个地区的编号分别为1、2、3;2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数,Xk表示为分配给第k个地区的销售点数,S k+1=S k-X kPk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值3)递推关系式:fk(Sk)=max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k-X k) ] k=3,2,1f4(S4)=04)从最后一个阶段开始向前逆推计算第三阶段:设将S3个销售点(S3=0,1,2,3,4)全部分配给第三个地区时,最大利润值为:f3(S3)=max[P3(X3)] 其中X3=S3=0,1,2,3,4表1第二阶段:设将S2个销售点(S2=0,1,2,3,4)分配给乙丙两个地区时,对每一个S2值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f2(S2)=max[ P2(X2)+ f3(S2-X2) ]其中,X2=0,1,2,3,4表2第一阶段:设将S1个销售点(S1=4)分配给三个地区时,则最大利润值为:f1(S1)=max[ P1(X1)+ f2(4-X1) ]其中,X1=0,1,2,3,4表3然后按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有两个:最大总利润为531)由X1*=2,X2*=1,X3*=1。

动态规划例题

动态规划例题

例1:机器负荷分配问题某公司新购进1000台机床,每台机床都可在高、低两种不同的负荷下进行生产,设在高负荷下生产的产量函数为g(x )=10x (单位:百件),其中x 为投入生产的机床数量,年完好率为a =0.7;在低负荷下生产的产量函数为h(y)=6y (单位:百件),其中y 为投人生产的机床数量,年完好率为b=0.9。

计划连续使用5年,试问每年如何安排机床在高、低负荷下的生产计划,使在五年内生产的产品总产量达到最高。

例2:某企业通过市场调查,估计今后四个时期市场对某种产品的需要量如下表:时期(k) 12 3 4 需要量(d k )2(单位)324假定不论在任何时期,生产每批产品的固定成本费为3(千元),若不生产,则为零;生产单位产品成本费为1(千元);每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位,则任何时期生产x 个单位产品的成本费用为:若 0<x ≤6 , 则生产总成本=3十1·x 若 x =0 , 则生产总成本=0又设每个时期末未销售出去的产品,在一个时期内单位产品的库存费用为0.5(千元),同时还假定第1时期开始之初和在第4个时期之末,均无产品库存。

现在我们的问题是;在满足上述给定的条件下,该厂如何安排各个时期的生产与库存,使所花的总成本费用最低?例3:设某企业在第一年初购买一台新设备,该设备在五年内的年运行收益、年运行费用及更换新设备的净费用如下表:(单位:万元)年份(k) 役龄(t) 运行收益()k g t 运行费用()k r t 更新费用()k c t 第一年 0 22 6 18 第二年0 123 216 819 22第三年0122321185710192328第四年01232422191657101520243038第五年01234252320171446914202024303848试为该企业制定一个五年中的设备更新策略,使得企业在五年内总收益达到最大?例4:设有一辆栽重为10吨的卡车,用以装载三种货物,每种货物的单位重量及单件价值如表所示,问各种货物应装多少件,才能既不超过总重量又使总价值最大?货物 1 2 3单位重量 3 4 5单件价值 4 5 6。

动态规划习题

动态规划习题

动态规划专题分类视图数轴动规题: (1)较复杂的数轴动规 (4)线性动规 (7)区域动规: (14)未知的动规: (20)数轴动规题:题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积(正整数)。

要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。

【输入格式】输入文件box.in有若干行。

第一行:一个整数,表示箱子容量V;第二行:一个整数,表示物品个数n;接下来n行,分别表示这n个物品的各自体积。

【输出格式】输出文件box.out只有一行数据,该行只有一个数,表示最小的箱子剩余空间。

【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有C k个,每个重量均为W k,求:用这些砝码能秤出的不同重量的个数,但不包括一个砝码也不用的情况。

【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。

表示用这些砝码能秤出的不同重量数。

【输入样例】22 22 3【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。

【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。

动态规划题库

动态规划题库
输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数 n(2<=n<=10)和 k(1<=k<=1000)开 始,音乐家们要在这 n 个城市作巡回演出,城市用 1..n 标号,其中 1 是起点 Flute 市,n 是终 点 Harp 市,接下来有 n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格, 第一组 n-1 份航班表对应从城市 1 到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的 n-1 行是从城市 2 到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去.
-5-
12. Visit 〖题目描述〗
Canada 境内有自西向东的一系列城市:Halifax,Hamilton,Montelia,Vancouver...,各个城 市之间可能有航班相连,也可能没有,现要求从最西的城市出发,自西向东到达最东的城市, 再返回最西的城市,除最西城市外,其他每个城市只能访问一次,求最多能访问多少个城市.
输入文件:CATCHER.DAT 3 25
-1-
36 23 输出文件:CATCHER.OUT 2 1 3
5、轮船(Ships) 〖题目描述〗 有一个国家被一条何划分为南北两部分,在南岸和北岸总共有 N 个城镇,每一城镇在对岸都 有唯一的友好城镇。任何两个城镇都没有相同的友好城镇。每一对友好城镇都希望有一条航 线来往。于是他们向政府提出了申请。由于河终年有雾。政府决定不允许有任两条航线交叉 (如果两条航线交叉,将有很大机会撞船)。 你的任务是缟写一个程序来帮政府官员决定他们应拨款兴建哪些航线以使到没有出现交叉的 航线最多。 输入数据 输入文件(ship.in)包括了若干组数据,每组数据格式如下: 第一行两个由空格分隔的整数 x,y,10〈=x〈=6000,10〈=y〈=100。x 表示河的长度而 y 表示宽。第二行是一个整数 N(1<=N<=5000),表示分布在河两岸的城镇对数。接下来的 N 行 每行有两个由空格分隔的正数 C,D(C、D〈=x〉,描述每一对友好城镇沿着河岸与西边境线 的距离,C 表示北岸城镇的距离而 D 表示南岸城镇的距离。在河的同一边,任何两个城镇的 位置都是不同的。整个输入文件以由空格分隔的两个 0 结束。 输出数据 输出文件(ship.ou)要在连续的若干行里给出每一组数据在安全条件下能够开通的最大航线数 目。 示例
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1 1 4 s1 ,故 f1 ( s1 ) s1 4 64 1 1 由于 s1=c,∴ x1* c , f1 (c ) c 4 4 64 2 1 1 由 s2 =s1-x1*,∴ x2* s2 c , f 2 ( s2 ) c 3 3 2 16 1 1 由 s3 =s2-x2*,∴ x3* s3 c , f3 ( s3 ) c 4 4 1 1 1 因此最优解为: x1* c , x2* c , x3* c , 4 2 4 1 4 最大值为: max z f1 (c) c 64
u3* (C3 ) D1
2)当 k=2 时:s2 的取值为 B1、B2、B3,从 B1 出发到 E 有三条路,分别是经 过 C1、C2、C3 到 E,则有:
d ( B1 , C1 ) f 3 (C1 ) 6 7 f 2 ( B1 ) d ( B1 , C2 ) f3 (C2 ) 4 5 9, d ( B , C ) f (C ) 5 5 1 3 3 3

于是得到从 A 到 E 的最短距离 17,为了找出最短路线,按计算的顺序逆推 去 , 可 得 到 最 优 策 略 为 :
p1,4 ( A) {u1* ( A) B1 , u2* ( B1 ) C2 , u3* (C2 ) D2 , u4* ( D2 ) E} ,最短路线是 A→B1→
例 1:最短路线问题 某工厂需要把一批货物从城市 A 运到城市 E,中间可经过 B1 、B2、B3、C1、 C2 、C3、D1 、D2 等城市,各城市之间的交通线和距离如下图所示,问应该选择一 条什么路线,使得从 A 到 E 的距离最短? 6 B1 C1 3 8 4 5 D1 5 6 4A B2 9 8 C2 7 2 6 D3 3 6 7 1 8 3 C B3 3 7 下面利用动态规划的逆推归纳法,将例 1 从最后一个城市 E 逐步推算到第 一个城市 A,在此 f k ( sk ) 表示第 k 阶段从城市 sk 到城市 E 最短路。 1)当 k=4 时:要求 f 4 ( s4 ) ,由于第 4 阶段只有两个城市 D1、D2(即 s4 的取 值为 D1、D2) ,从 D1 到 E 只有一条路,故 f 4 ( D1 ) d ( D1 , E ) 4, u4* ( D1 ) E ,同 理 f 4 ( D2 ) d ( D2 , E ) 3, u4* ( D2 ) E 。 2)当 k=3 时:s3 的取值为 C1、C2、C3,从 C1 出发到 E 有两条路,一条是经 过 D1 到 E,另一条是经过 D2 到 E ,显然:
u2* ( B1 ) C2
同理
d ( B2 , C1 ) f3 (C1 ) 8 7 f 2 ( B2 ) d ( B2 , C2 ) f3 (C2 ) 7 5 11, d ( B , C ) f (C ) 6 5 2 3 3 3 d ( B3 , C1 ) f3 (C1 ) 7 7 f 2 ( B3 ) d ( B3 , C2 ) f 3 (C2 ) 8 5 12, d ( B3, C ) f (C ) 7 5 3 3 3
d (C2 , D1 ) f 4 ( D1 ) 6 4 f3 (C2 ) 5, d (C2 , D2 ) f 4 ( D2 ) 2 3 d (C3 , D1 ) f 4 ( D1 ) 1 4 f3 (C3 ) 5, d (C3 , D2 ) f 4 ( D2 ) 3 3 u3* (C2 ) D2
max z 4 x12 x2 2 2 x3 2 12
例 4:用顺推解法求解下面问题: 3 x1 2 x2 x3 9 x1 , x2 , x3 0 解: 按问题的变量个数划分阶段,把它看作一个三阶段决策问题。 设状态变量为 s0,s1,s2,s3。并记 s3≤9; 令变量 x1,x2,x3 为决策变量; 最优值函数 f k(sk)表示为第 k 阶段末的结束状态为 sk, 从第 1 阶段到第 k 阶 段所得到的最大值。 设: 3x1=s1, s1+2x2=s2, s2+ x3=s3≤9 则有:x1=s1/3,0≤x2≤s2/2 , 0≤x3≤s3≤9 即状态转移方程为: s1=s2-2x2, s2=s3-x3 由顺推解法, f1 ( s1 ) max(4 x12 )
x1 s2
f 2 ( s3 ) max[ x1 x2 2 ] max [ x2 2 f1 (s2 )]
x1 , x2 0 x2 s3
max [ x2 2 ( s3 x2 )]
0 x2 s3
4 3 s3 27

最优解 x2*
2 s3 。 3
f3 ( s4 ) max[ x1 x2 2 x3 ] max [ x3 f 2 (s3 )]

dh2 14 16 8 x2 s2 0 ,得 x2 s2 (它不在决策集内) 7 dx2 9 9
s 4 2 1 s2 , h2 ( 2 ) s2 2 9 2 4 4 2 ∴最大值点为 x2=0。故得到 f 2 ( s2 ) s2 及最优解 x2* 0 。 9
则最大值在端点上,∵ h2 (0)

dh3 44 8 2 x3 s3 0 ,得 x3 s3 11 dx3 9 9
dh3 2 44 0 ,故该点为极小值点。 dx32 9
4 2 s3 12, h2 ( s3 ) 2s32 12 9

而 h3 (0)
∴最大值点为 x3=s3。故得到 f3 ( s3 ) 2 s3 2 12 及最优解 x3* s3 。 由于 s3 不知道,故须在对 s3 求一次极值,即
C2→D2→E。
max z x1 x2 2 x3
例 3:逆推解法求解下面问题: x1 x2 x3 c
x1 , x2 , x3 0
解: 按问题的变量个数划分阶段,把它看作一个三阶段决策问题。设状态变 量为 s1,s2,s3,s4。并记 s1=c;令变量 x1,x2,x3 为决策变量;各阶段指标按 乘积方式结合。 即令: v1 ( s1 , x1 ) x1 , v2 ( s2 , x2 ) x2 2 , v3 ( s3 , x3 ) x3 令最优值函数 f k(sk)表示为第 k 阶段的初始状态为 sk 时, 从第 k 阶段到第 3 阶段所得到的最大值。 设: s3= x3, s3+ x2=s2, s2+ x1=s1=c 则有:x3=s3, 0≤x2≤s2, 0≤x1≤s1=c 即状态转移方程为: s3=s2-x2, s2 =s1-x1 由逆推解法,
x1 s1 3
4 2 s1 , 即最优解 x1*=s1/3, 9
f 2 ( s2 ) max[4 x12 x2 2 ] max [ x2 2 f1 ( s1 )]
x1 , x2 0 x2 s2 2
4 max [ x2 2 ( s2 2 x2 ) 2 ] max h2 ( s2 , x2 ) s s 9 0 x2 2 0 x2 2 2 2
E
d (C1 , D1 ) f 4 ( D1 ) 3 4 f 3 (C1 ) min min 7, d ( C , D ) f ( D ) 5 3 1 2 4 2
u3* (C1 ) D1
即从 C1 出发到 E 的最短路为 7,相应决策为 u3* (C1 ) D1 ,最短路线是 C1 →D1→E。 同理
f3 ( s3 ) max[4 x12 x2 2 2 x32 12] max [2 x3 2 12 f 2 ( s2 )]
x1 , x2 , x3 0 x3 s3
4 max [2 x32 12 ( s3 x3 )2 ] max h3 ( s3 , x3 ) 0 x3 s3 0 x3 s3 9
x1 , x2 , x3 0 x3 s4
max [ x3
0 x3 s4
4 1 4 (s4 x3 )3 ] s4 27 64
最优解 x3*
1 s4 4
1 1 由于 s4=c,∴ x3* c , f3 (c) c 4 4 64 2 1 1 由 s3=s4-x3*,∴ x2* s3 c , f 2 ( s2 ) c 3 2 16 1 1 由 s2=s3-x2*,∴ x1* s2 c , f3 ( s3 ) c 4 4 1 1 1 因此最优解为: x1* c , x2* c , x2* c , 4 2 4 1 最大值为: max z c 4 64
0 x2 s2 0 x2 s2

dh2 2 2 x2 s2 3 x2 2 0 ,得 x2 s2 和 x2 0 (舍去) 3 dx2
d 2 h2 d 2 h2 2 ,而 2 s 6 x | 2 s2 0 ,故 x2 s2 为极大值点。 2 2 2 2 x 2s 3 dx2 dx2 2 3 2
u2* ( B2 ) C3
u2* ( B3 ) C3
2)当 k=1 时:s1 的只有一个取值为 A. 从 A 出发到 E 有三条路,分别是经 过 B1、B2、B3 到 E,则有:
d ( A, B1 ) f 2 ( B1 ) 8 9 f1 ( A) min d ( A, B2 ) f 2 ( B2 ) min 9 11 17, d ( A, B ) f ( B ) 6 12 3 2 3 u1* ( A) B1
4 2 2 s2 即最优解 x2* s2 。 27 3
0 x1 s1

所以 f 2 ( s2 )
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