算法设计 动态规划
算法设计与分析中的动态规划问题研究
算法设计与分析中的动态规划问题研究动态规划是一种常用的算法设计与分析方法，它在解决许多问题时具有较高的效率和准确度。
本文将结合实例，深入研究动态规划在算法设计与分析中的应用。
动态规划是一种通过分解问题，将大问题转换为小问题并求解小问题的方法。
它与分治法类似，但动态规划所分解的小问题可能重叠，因此可以将解决过的小问题保存起来，避免重复计算，提高效率。
动态规划常用于求解最优化问题，如寻找最大值或最小值。
一个经典的动态规划问题是背包问题。
背包问题是指给定一个背包以及一系列物品，每个物品都有自己的价值和重量。
背包的容量是有限的，我们的目标是在保持背包总重量不超过容量的情况下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
假设我们有n个物品，背包的容量为W，我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示前i个物品恰好放入容量为j的背包的最大价值。
dp[i][j]的值可以通过以下的状态转移方程得到：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
根据状态转移方程，我们可以通过填表的方式，自底向上地计算dp[n][W]，即前n个物品放入容量为W的背包的最大价值。
除了背包问题，动态规划还可以用于求解其他类型的优化问题。
比如，在图论中，最短路径和最小生成树问题也可以使用动态规划来求解。
例如，最短路径问题可以通过定义一个二维数组dp[i][j]来表示从顶点i到顶点j的最短路径的长度。
通过状态转移方程dp[i][j] =min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])，我们可以逐步更新dp数组，最终得到从起点到终点的最短路径长度。
对于最小生成树问题，可以先计算任意两个顶点之间的最短路径，然后通过Prim算法或Kruskal算法来生成最小生成树。
除了上述问题，动态规划还可以用于解决其他一些经典问题，如编辑距离、最长公共子序列等。
动态规划算法
2级
n=4时：有3大类归并法。前1堆后3堆、前2堆后2堆、前3堆后1堆。
因3堆有2种归并法，所以一共5小类归并法。前1堆第1种情况：
4级 3级 2级 1级 13 序号 1
44 31 15 7
2
f(1, 4) = 15 + 31 + 44 = 90 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(2, 3) + g(2, 4) + g(1, 4)
若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 8
3
16
4
n=4 时：前1堆的第2种情况。
4级 44 31 24 7 2 8 3 f(1, 4) = 24 + 31 + 44 = 99 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(3, 4) + g(2, 4) + g(1, 4) 若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 16 4 f(1, 4) = 20 + 24 + 44 = 88
的一种通用方法，对最优化问题提出最优性原则，从而创建最优化问题
的一种新算法设计技术——动态规划，它是一种重要的应用数学工具。 至少在计算机科学圈子里，人们不仅用它解决特定类型的最优化问题， 而最终把它作为一种通用的算法设计技术，即包括某些非最优化问题。 多阶段决策过程最优化： 现实世界里有许多问题属于这种情况：它有很多解，应用要求最优解。 穷举法通过找出全部解，再从中选出最优解。这种方法对于那些计算
基于动态规划的最优路径规划算法设计
基于动态规划的最优路径规划算法设计最优路径规划问题在各种领域中都有着广泛的应用，比如自动驾驶、机器人路径规划、船只航线规划等。
而基于动态规划的最优路径规划算法是解决这些问题的重要手段之一。
本文将介绍这种算法的基本原理、算法流程以及实现方法。
一、动态规划的基本原理动态规划是一种将问题分解成子问题，通过综合子问题的最优解来获得原问题最优解的算法。
它符合分治思想，但不同于分治算法的地方在于，分治算法将问题分解成独立的子问题，而动态规划则将问题分解成可以共用已经求解过的子问题的子问题。
这就意味着，动态规划算法不仅需要找到最优解，还要将子问题的最优解存储下来，供后来的子问题使用。
动态规划通常解决的问题都满足以下特点：1. 能够将问题分解成多个子问题。
2. 子问题的最优解能够构成原问题的最优解。
3. 子问题之间存在重叠，即对相同的子问题需要求解多次。
基于动态规划的最优路径规划算法，正是通过将路径规划问题分解成多个子问题，并综合子问题的最优解来获得原问题的最优解。
二、动态规划的算法流程动态规划算法通常可以分为以下步骤：1. 定义状态：将原问题转化成子问题的定义。
2. 确定状态转移方程：通过综合已解决的子问题来求解当前问题的最优解。
3. 初始条件：定义子问题的边界，即最小子问题的解。
4. 推导最优解：按照状态转移方程递推求解每个子问题的最优解。
5. 细节处理：根据具体需求对最优解进行细节处理。
而基于动态规划的最优路径规划算法也是如此，下面将具体介绍如何将路径规划问题转化为动态规划问题，并实现最优路径规划。
三、最优路径规划算法设计最优路径规划问题是指在给定的网络中，从起点到终点寻找一条最优路径，使得路径上的各个节点之间的代价最小。
比如在城市道路网络中，从A地出发到B 地，寻找一条最短路径。
为了将最优路径规划问题转化为动态规划问题，需要定义状态、确定转移方程、定义初始条件及细节处理。
1. 定义状态在最优路径规划问题中，状态可以被定义为到达每个节点的最小代价。
程序设计五大算法
程序设计五大算法算法是计算机程序设计中非常重要的概念，它是一系列解决问题的步骤和规则。
在程序设计中，有许多经典的算法被广泛应用于各种领域。
下面将介绍程序设计中的五大算法，包括贪心算法、分治算法、动态规划算法、回溯算法和图算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通过每一步都选择当前最优解来达到全局最优解。
贪心算法通常适用于那些具有最优子结构的问题，即问题的最优解可以通过子问题的最优解来推导。
例如，找零钱问题就可以使用贪心算法来解决，每次选择面额最大的硬币进行找零。
2. 分治算法分治算法将问题分解成更小的子问题，然后递归地求解这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法通常适用于那些可以被划分成多个相互独立且相同结构的子问题的问题。
例如，归并排序就是一种典型的分治算法，它将待排序的数组不断划分成两个子数组，然后分别对这两个子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序数组。
3. 动态规划算法动态规划算法通过将问题划分成多个重叠子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划算法通常适用于那些具有最优子结构和重叠子问题的问题。
例如，背包问题就可以使用动态规划算法来解决，通过保存每个子问题的最优解，可以避免重复计算，从而在较短的时间内得到最优解。
4. 回溯算法回溯算法是一种穷举法，它通过尝试所有可能的解，并回溯到上一个步骤来寻找更好的解。
回溯算法通常适用于那些具有多个决策路径和约束条件的问题。
例如，八皇后问题就可以使用回溯算法来解决，通过尝试每个皇后的位置，并检查是否满足约束条件，最终找到所有的解。
5. 图算法图算法是一类专门用于处理图结构的算法，它包括图的遍历、最短路径、最小生成树等问题的解决方法。
图算法通常适用于那些需要在图结构中搜索和操作的问题。
例如，深度优先搜索和广度优先搜索就是两种常用的图遍历算法，它们可以用于解决迷宫问题、图的连通性问题等。
《算法设计与分析》第3章 动态规划法
最优解的递推关系 定义m[i:j]，表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有： i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设：N个矩阵的维数依序放在一维数组p中， 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);
动态规划算法及其应用案例解析
动态规划算法及其应用案例解析动态规划算法是计算机科学中一种非常重要的算法，它在许多领域都有大量的应用。
在本文中，我们将介绍动态规划算法的基本思想和特点，并通过一些常见的应用案例来深入理解这个算法。
1. 动态规划算法的基本思想动态规划算法是一种算法设计技术，用于在多阶段决策过程中寻找最优解。
它的基本思想是将一个大问题分解成较小的子问题来解决，然后将这些子问题的解组合起来得到原问题的解。
它与分治算法很类似，但是动态规划算法通常是针对问题的重复性结构进行优化的。
动态规划算法通常适用于满足以下几个条件的问题：（1）问题具有重叠子问题的特点，即一个大问题可以分解为多个子问题，且这些子问题存在相同的子结构；（2）问题具有最优子结构的特点，即一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
通过以上两个条件，在通过子问题的最优解推导出大问题的最优解时，我们可以避免重复计算并且保证得到的结果是最优的。
2. 动态规划算法的特点动态规划算法的主要特点包括以下几个方面：（1）动态规划算法使用一个递推公式来计算问题的解，这个递推公式通常是由原问题和子问题之间的关系建立而来的。
（2）动态规划算法使用一个表格来存储子问题的解，这个表格通常称为动态规划表或者状态转移表。
（3）动态规划算法通常需要进行一些预处理操作，例如初始化表格的值，以及确定递推公式的边界条件。
（4）动态规划算法的时间复杂度通常是由子问题的个数和计算每个子问题的时间复杂度来决定的。
3. 应用案例解析下面我们将通过一些常见的应用案例来更好地理解动态规划算法。
（1）背包问题背包问题是指给定一组物品和一个容量为W的背包，选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品的总价值最大。
这个问题可以通过动态规划算法来解决。
我们可以定义一个二维数组f[i][j]，表示前i个物品放进容量为j的背包所得到的最大价值。
递推公式可以定义为：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
算法设计动态规划(编辑距离).doc
《算法设计与分析》课程报告课题名称：动态规划——编辑距离问题课题负责人名（学号）：同组成员名单（角色）：无指导教师：左劼评阅成绩：评阅意见：提交报告时间：2010年 6 月 23 日动态规划——编辑距离问题计算机科学与技术专业学生指导老师左劼[摘要]动态规划的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解成若干份的子问题，先分别解决好子问题，然后从子问题中得到最终解。
但动态规划中的子问题往往不是相互独立的，而是彼此之间有影响，因为有些子问题可能要重复计算多次，所以利用动态规划使这些子问题只计算一次。
将字符串A变换为字符串所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离。
关键词：动态规划矩阵字符串操作数编辑距离一、问题描述1、基本概念：设A和B是2个字符串。
要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。
字符串操作包括：(1) 删除一个字符；(2) 插入一个字符；(3) 将一个字符改为另一个字符。
将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A 到B的编辑距离，记为d(A,B)。
2、算法设计：设计一个有效算法，对于给定的任意两个字符串A 和B，计算其编辑距离d(A,B)。
3、数据输入：输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。
文件的第1行为字符串A，第二行为字符串B。
4、结果输出：将编辑距离d(A,B)输出到文件ouput.txt的第一行。
输入文件示例输出文件示例input.txt output.txtfxpimu 5xwrs二、分析对于本问题，大体思路为：把求解编辑距离分为字符串A从0个字符逐渐增加到全部字符分别想要变为字符串B该如何变化以及变化的最短距离。
具体来说，首先选用数组a1存储字符串A(设长度为n)，a2存储字符串B(设长度为m)，d矩阵来进行具体的运算；这里有两个特殊情况比较简单可以单独考虑，即A的长度为0而B不为0还有A不为0B为0，这两种情况最后的编辑距离分别为m和n；讨论一般情况，d矩阵为d[n][m]，假定我们从d[0][0]开始一直进行以下操作到了d[i][j]的位置，其中删除操作肯定是A比B长，同理，插入字符操作一定是A比B短，更改字符操作说明一样长，我们所要做的是对d[i][j-1]d[i-1][j] d[i-1][j-1]所存数进行比较，其中最小的即为当前长度和样式的字符串A变为B的编辑距离，依次这样计算到最后的d[n][m]中所存的数即为最终的编辑距离。
知识点归纳 算法与数据结构中的动态规划与图优化
知识点归纳算法与数据结构中的动态规划与图优化知识点归纳：算法与数据结构中的动态规划与图优化动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，在算法与数据结构中有着重要的地位。
它通过将问题分解成若干个子问题，并记录中间结果，以求解最优解。
与之相关的图优化问题也是算法与数据结构中的热门话题。
本文将围绕动态规划和图优化两个主题展开，总结归纳相关知识点，并分析其应用场景和解决方法。
一、动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种算法设计方法，可以用来解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它的核心思想是将原始问题分解成一系列相互依赖的子问题，并通过记录中间结果以减少重复计算，从而达到提高效率的目的。
在动态规划中，常见的解题思路包括自顶向下的记忆化搜索和自底向上的迭代求解。
其中，自顶向下的记忆化搜索利用递归函数来表示问题的整体结构，并通过缓存中间结果来避免重复计算；自底向上的迭代求解则通过定义一个状态转移方程，从问题的规模较小的子问题开始，逐步求解出整个问题的最优解。
动态规划问题的关键在于如何定义状态和状态转移方程。
通常，我们需要根据问题的具体特点来确定状态的含义和转移的方式。
常见的动态规划问题包括最长递增子序列、背包问题、最短路径等。
二、图优化（Graph Optimization）图优化是指在图结构上进行优化的一类问题。
在算法与数据结构中，图是非常常见且重要的数据结构，广泛应用于各个领域。
而图优化问题则是在给定的图上，寻找一种最优的布局、路径、连通性等问题。
图优化问题的求解方法多种多样，常见的有贪心算法、动态规划、分枝定界等。
具体要根据问题的特点和约束条件来选择合适的算法。
在图优化问题中，常见的案例包括最小生成树、最短路径、最大流最小割、旅行商问题等。
这些问题都有着重要的实际应用，如网络规划、交通路径规划、资源分配等。
三、动态规划与图优化的应用动态规划和图优化在实际问题中有着广泛的应用。
算法设计与分析——流水作业调度（动态规划）
算法设计与分析——流⽔作业调度（动态规划）⼀、问题描述N个作业{1,2,………,n}要在由两台机器M1和M2组成的流⽔线上完成加⼯。
每个作业加⼯的顺序都是先在M1上加⼯，然后在M2上加⼯。
M1和M2加⼯作业i所需的时间分别为ai和bi，1≤i≤n。
流⽔作业⾼度问题要求确定这n个作业的最优加⼯顺序，使得从第⼀个作业在机器M1上开始加⼯，到最后⼀个作业在机器M2上加⼯完成所需的时间最少。
⼆、算法思路直观上，⼀个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。
在⼀般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。
最优调度应该是：1. 使M1上的加⼯是⽆间断的。
即M1上的加⼯时间是所有ai之和，但M2上不⼀定是bi之和。
2. 使作业在两台机器上的加⼯次序是完全相同的。
则得结论：仅需考虑在两台机上加⼯次序完全相同的调度。
设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。
S是N的作业⼦集。
在⼀般情况下，机器M1开始加⼯S中作业时，机器M2还在加⼯其他作业，要等时间t后才可利⽤。
将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。
流⽔作业调度问题的最优值为T(N,0)。
这个T(S,t)该如何理解?举个例⼦就好搞了（⽤ipad pencil写的...没贴类纸膜，太滑，凑合看吧）1、最优⼦结构T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)}, i∈N。
ai：选⼀个作业i先加⼯，在M1的加⼯时间。
T(N-{i},bi}：剩下的作业要等bi时间后才能在M2上加⼯。
注意这⾥函数的定义，因为⼀开始⼯作i是随机取的，M1加⼯完了ai之后，要开始加⼯bi了，这⾥M1是空闲的可以开始加⼯剩下的N-i个作业了，但此时M2开始加⼯bi，所以要等bi时间之后才能重新利⽤，对应到上⾯函数T(s,t)的定义的话，这⾥就应该表⽰成T(N-{i},bi), 所以最优解可表⽰为T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)}, i∈N，即我们要枚举所有的⼯作i，使这个式⼦取到最⼩值。
动态规划算法
21(2+19),28(18+10),19(9+10),21(5+16)。
用同样的方法还可以将4阶数塔问题,变为3阶数塔问题。 …… 最后得到的1阶数塔问题，就是整个问题的最优解。
2．存储、求解： 1) 原始信息存储 原始信息有层数和数塔中的数据，层数用一个整型 变量n存储，数塔中的数据用二维数组data，存储成如
29 19 10
21 4
16
数塔及动态规划过程数据
总结
动态规划=贪婪策略+递推(降阶)+存储递推结果 贪婪策略、递推算法都是在“线性”地解决问题，而动态 规划则是全面分阶段地解决问题。可以通俗地说动态规划是 “带决策的多阶段、多方位的递推算法”。
2、算法框架
1.适合动态规划的问题征
动态规划算法的问题及决策应该具有三个性质：最优 化原理、无后向性、子问题重叠性质。 1) 最优化原理(或称为最佳原则、最优子结构)。 2) 无后向性(无后效性)。 3) 有重叠子问题。
2. 动态规划的基本思想
动态规划方法的基本思想是，把求解的问题分成许多阶 段或多个子问题，然后按顺序求解各子问题。最后一个子问 题就是初始问题的解。
由于动态规划的问题有重叠子问题的特点，为了减少重 复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状 态保存在一个二维数组中。
3. 设计动态规划算法的基本步骤
3、动态规划应用
【例1】 背包问题 给定 n种物品和一个容量为 C的背包，物品 i的重 量是 wi ，其价值为 vi ，背包问题是如何选择装入背包 的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
算法分析
前 i 个物品(1≤i≤n)定义的实例： 物品的重量分别为w1,…,wi， 价值分别为v1，…，vi， 背包的承重量为j(1≤j≤W)。 设V[i,j]为该实例的最优解的物品总价值，也就 是说，是能够放进承重量为j的背包中的前i个物品中 最有价值子集的总价值。 可以把前i个物品中能够放进承重量为j的背包中的 子集分成两个类别： 1、包括第i个物品的子集 2、不包括第i个物品的子集
动态规划算法设计方法及案例解析
动态规划算法设计方法及案例解析动态规划是一种解决多阶段决策问题的常用算法，通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的设计方法，并通过两个实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该算法。
一、动态规划算法设计方法动态规划算法的设计一般遵循以下几个步骤：1. 确定问题的状态：将原问题划分为若干个子问题，并定义每个子问题的状态。
状态的定义应该包含子问题的变量和可以从子问题中获得的信息。
2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，确定状态之间的转移方式。
通常使用递推关系式来描述状态之间的转移，以表达每个子问题的最优解与其他子问题解之间的关系。
3. 确定初始状态和边界条件：确定问题的初始状态和边界条件，即最简单的子问题的解，作为求解其他子问题的基础。
4. 计算最优解：根据定义的状态转移方程，利用递推的方式从初始状态开始逐步计算每个子问题的最优解，直到得到原问题的最优解。
二、案例解析1：背包问题背包问题是动态规划算法中经典的案例之一，主要解决如何在限定容量的背包中选择一些物品，使得物品的总价值最大。
以下是一个简化的例子：假设有一个容量为C的背包，以及n个物品，每个物品有重量wi 和价值vi。
要求选择一些物品放入背包中，使得放入背包中物品的总价值最大。
根据动态规划算法的设计方法，我们可以定义子问题的状态为：背包容量为c，前a个物品的最优解用F(c,a)表示。
那么，状态转移方程可以定义为：F(c,a) = max{F(c,a-1), F(c-wa, a-1) + va}其中，F(c,a-1)表示不选择第a个物品时的最优解，F(c-wa, a-1) + va 表示选择第a个物品时的最优解。
初始状态为F(0,a) = F(c,0) = 0，边界条件为c < wa时，F(c,a) =F(c,a-1)。
根据以上定义，我们可以通过递推的方式计算F(c,n)，从而得到背包问题的最优解。
动态规划算法详解及应用实例
动态规划算法详解及应用实例动态规划算法是一种常见的解决各种最优化问题的算法。
它适用于很多复杂的问题，如图形分析、路线规划、搜索引擎等等。
本文将详细讲解动态规划算法的基本原理、特点和应用实例，供大家学习和借鉴。
一、动态规划算法基本原理动态规划，简称DP，是一种递推式算法，通过将问题分解成一系列子问题，并按照一定的顺序对子问题进行求解，最终得到问题的最优解。
其主要思想是：当我们在解题时遇到一个问题时，如果能将这个问题划分成若干个与原问题相似但规模更小的子问题，而这些子问题又可以逐一求解，最终将所有子问题的结果汇总起来得到原问题的解，那么这个问题就可以使用动态规划算法解决。
由于动态规划算法中有“最优解”的要求，所以在求解过程中需要涉及到状态转移方程的设计。
状态转移方程是一个数学公式，它描述了一个状态如何从前一个状态转移而来，以及在当前状态下所做的某些决策对下一个状态的影响。
通过不断迭代求解状态转移方程，我们可以得到最优解。
二、动态规划算法的特点1、动态规划是一种自底向上的策略，通常需要维护一个状态表格，记录下每个阶段的最优解，最后汇总起来得到问题的最终解。
2、动态规划通常具有“无后效性”的特点，即求解某个决策问题时，当前状态之后的决策不会影响之前的决策。
因此，在涉及到状态转移时，只需考虑当前状态和以前的状态即可。
3、动态规划通常包含两个要素：最优子结构和重叠子问题。
最优子结构是指一个问题的最优解由其子问题的最优解递推而来，而重叠子问题则是指在递归求解的过程中，同一问题会被反复求解多次，因此需要使用记忆化搜索等技巧，避免重复计算。
4、动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)或O(n^3)，空间复杂度通常也会比较高。
三、应用实例：0-1背包问题0-1背包问题是指在背包容量固定的情况下，如何选择物品才能使得背包装载的价值最大，其中每个物品只能选择一次。
对于此类问题，可以采用动态规划算法进行求解。
首先需要确定问题的状态转移方程，具体如下：设f(i,j)表示在前i个物品中，当背包的容量为j时，能够装载的最大价值，那么状态转移方程为：f(i,j)=max{f(i-1,j), f(i-1,j-wi)+vi}其中，wi表示第i个物品的重量，vi表示第i个物品的价值。
《计算机算法设计与分析》第三章动态规划法
发展历程及现状
发展历程
动态规划的思想起源于20世纪50年代，由美国数学家Richard Bellman提出。随着计 算机科学的发展，动态规划在算法设计和分析领域得到了广泛应用和深入研究。
第六章
总结与展望
动态规划法在计算机科学中重要性
高效求解最优化问题
动态规划法通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解，避免了大量重复计算，从而高效地求解最优化问题。
广泛应用
动态规划法在计算机科学、经济学、生物信息学等领域都有广泛应用，如背包问题、最短路径问题、序列比对问题等。
提供算法设计框架 动态规划法不仅为解决特定问题提供了有效方法，而且为算法设计提供了一个通用框架，有助于理解和设 计更复杂的算法。
现状
目前，动态规划已经成为计算机算法设计和分析领域的重要工具之一。在实际应用 中，许多复杂的问题都可以通过动态规划的方法得到有效的解决。同时，随着计算 机技术的不断发展，动态规划的应用领域也在不断扩展。
第二章
动态规划法基本原理
最优子结构性质
在动态规划法中， 子问题之间是相互 独立的，即一个子 问题的求解不会影 响到其他子问题的 求解。这使得动态 规划法能够避免重 复计算，提高算法 效率。
学习相关算法和技术
学习与动态规划法相关的其他算法 和技术，如贪心算法、分治法等， 以便在实际问题中灵活应用。
关注最新研究进展
关注计算机科学和算法设计领域的 最新研究进展，了解动态规划法的 新发展和应用，保持对新技术的敏 感性和好奇心。
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基本思想
计算机基础知识了解计算机算法的动态规划和贪心算法
计算机基础知识了解计算机算法的动态规划和贪心算法计算机基础知识：了解计算机算法的动态规划和贪心算法计算机算法是指在计算机科学中为解决问题而设计的一系列计算步骤。
它是实现特定功能的工具，在计算机科学和软件工程中扮演着重要的角色。
动态规划和贪心算法是计算机算法中常见的两种策略。
本文将详细介绍这两种算法的原理和应用。
一、动态规划算法动态规划算法（Dynamic Programming），又称动态优化算法，是一种将复杂问题分解为更简单子问题的方法，并使用子问题的解来构建原问题的解。
它通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划算法的基本步骤如下：1. 定义问题的状态：将原问题划分为若干个子问题，找出子问题与原问题之间的关系；2. 构造状态转移方程：通过递推或迭代的方式，计算出子问题的解；3. 解决问题：根据状态转移方程，从子问题的解中推导出原问题的最优解；4. 构建解的过程：根据所得的最优解，记录下每一步的决策，以便后续的重建。
动态规划算法的经典应用之一是背包问题。
背包问题是在限定容量的背包中选择合适的物品，使得物品的总价值最大。
通过动态规划算法，我们可以通过计算子问题的解来得到背包问题的最优解。
二、贪心算法贪心算法（Greedy Algorithm）是一种基于贪心策略的算法。
它通过每一步的局部最优选择来达到整体最优解。
贪心算法在每一步的选择中都做出当前最好的选择，而不考虑对后续步骤的影响。
贪心算法的基本思想是：1. 定义问题的解空间和评价标准：确定问题的解空间以及如何评价每个解的好坏；2. 构建解的过程：逐步构建解，每一步都选择当前最优的子解，直到得到最终的解；3. 检查解的有效性：验证得到的解是否符合问题的要求。
贪心算法的经典应用之一是最小生成树问题。
最小生成树问题是在一张无向连通图中选择一棵权值最小的生成树。
贪心算法可以通过每次选择权值最小的边来构建最小生成树。
三、动态规划与贪心算法的比较动态规划算法和贪心算法有相似之处，但也存在一些明显的差异。
《动态规划算法》课件
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划算法课程设计
动态规划算法课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解动态规划算法的基本原理和核心思想；2. 掌握动态规划算法的应用场景，如最短路径问题、背包问题等；3. 学会分析问题，将复杂问题分解为子问题，并建立递推关系；4. 了解动态规划与其他算法（如贪心算法、分治算法）的区别及联系。
技能目标：1. 能够运用动态规划算法解决实际问题，具备编程实现能力；2. 培养学生通过画表格、分析边界条件等方式，提高解决问题的策略；3. 学会运用数学知识，如概率论、组合数学等，为动态规划算法提供理论支持。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对算法学习的兴趣，激发主动探索精神；2. 培养学生面对问题时，具备勇于挑战、积极求解的态度；3. 增强学生的团队协作意识，通过小组讨论、分享心得，共同提高；4. 培养学生的创新意识，鼓励针对问题提出新的解决方案。
本课程针对高中年级学生，结合计算机科学和数学知识，旨在帮助学生掌握动态规划算法的核心概念和应用。
课程注重理论与实践相结合，以培养学生解决问题的能力为目标，符合当前教育对学生综合素质的要求。
通过本课程的学习，学生将能够运用所学知识解决实际问题，提高自身的编程能力和逻辑思维能力。
同时，课程注重培养学生的情感态度价值观，使其在学习过程中形成积极向上的人生态度。
二、教学内容1. 动态规划基本概念：介绍动态规划的定义、原理及与分治算法、贪心算法的对比；2. 动态规划应用场景：讲解最短路径问题、背包问题、序列对齐等经典问题；3. 动态规划解题步骤：分析问题、建立递推关系、初始化边界条件、计算最优解；4. 动态规划算法实例：具体分析斐波那契数列、最长递增子序列等问题的动态规划解法；5. 动态规划优化方法：探讨如何通过空间优化、时间优化等手段提高算法效率；6. 数学知识在动态规划中的应用：介绍组合数学、概率论等数学理论在动态规划中的应用。
教学内容根据教材章节安排，分为以下进度：1. 动态规划基本概念及原理（1课时）；2. 动态规划应用场景及解题步骤（2课时）；3. 动态规划算法实例分析（3课时）；4. 动态规划优化方法（2课时）；5. 数学知识在动态规划中的应用（2课时）。
12个动态规划算法举例
动态规划是一种用于解决最优化问题的算法。
它通常用于找到最小或最大值。
这里列举了12 个常见的动态规划算法，并给出了每个算法的举例：
1 最长公共子序列（LCS）算法：用于比较两个序列，找出它们之
间的最长公共子序列。
2 最小编辑距离算法：用于比较两个字符串，找出将一个字符串变
为另一个字符串所需的最少编辑操作次数。
3 背包问题算法：用于在限制给定的总体积的情况下选择最优的物
品组合。
4 最短路径算法：用于求解有向图或路径的最短路径。
5 最小生成树算法：用于求解图的最小生成树。
6 线性规划算法：用于求解线性规划问题。
7 矩阵链乘法算法：用于计算矩阵链乘法的最优计算次序。
8 单源最短路径算法：用于求解有向图的单源最短路径问题。
9 拓扑排序算法：用于对有向无环图（DAG）进行拓扑排序。
10图形相似性算法：用两个图形进行对齐，并通过比较它们之间的差异来评估它们的相似程度。
11 11 区间动态规划算法：用于解决区间动态规划问题，例如
最小编辑代价问题。
12 分数背包问题算法：用于在限制给定的总价值的情况下选择
最优的物品组合。
13这些算法的具体细节及实现方式可以通过搜索或者学习相
关的资料来了解。
算法设计与分析_第3章_动态规划1
引言
分治技术的问题
子问题是相互独立的
Why?
问题：
如果子问题不是相互独立的，分治方法将重复 计算公共子问题，效率很低，甚至在多项式量 级的子问题数目时也可能耗费指数时间
解决方案：动态规划
用表来保存所有已解决子问题的答案 不同算法的填表格式是相同的
9
引言
最优化问题
Why?
可能有多个可行解，每个解对应一个 值，需要找出最优值的解。
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 if columns[A] ≠ rows[B] 2 then return “error: incompatible dimensions” 3 else for i ← 1 to rows[A] 4 for j ← 1 to columns[B] 5 C[i, j] ← 0 6 for k ← 1 to columns[A] 7 C[i, j]←C[i, j]+A[i, k]·B[k, j] 8 return C
(A1 (A2 (A3 A4))) , (A1 ((A2 A3) A4)) , ((A1 A2) (A3 A4)) , ((A1 (A2 A3)) A4) , (((A1 A2) A3) A4).
15
矩阵连乘问题
采用不同的加括号方式，可导致不同的、 甚至及其富有戏剧性差别的乘法开销
设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别 是： A=50×10 B=10×40 C=40×30 D=30×5 总共有五种完全加括号的方式: (A((BC)D)) ——16000 (A(B(CD))) ——10500 ((AB)(CD)) ——36000 (((AB)C)D) ——87500 ((A(BC))D) ——34500
(二) 动态规划算法
(二) 动态规划算法目录- 几个动态规划问题中的术语- 阶段- 状态- 无后效性- 决策- 多阶段决策问题- 策略- 状态转移方程- 最优化原理/最优子结构性质- 动态规划引出- 基本思想- 适用情况- 基本步骤- 书面版- 细讲- 个人理解- 备忘录算法- 程序设计- 思维过程- 一般的算法设计模式- 经典运用# 先来说几个动态规划问题中的术语：动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
多阶段决策问题的图示## 阶段把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。
在多数情况下，阶段变量是离散的，用k表示。
此外，也有阶段变量是连续的情形。
如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
在前面的图中，第一个阶段就是点A，而第二个阶段就是点A 到点B，第三个阶段是点B到点C，而第四个阶段是点C到点D。
## 状态状态表示每个阶段开始面临的不以人的主观意志为转移的自然或客观条件，也叫不可控因素。
在上面的例子中，状态是某个阶段的开始位置，它不仅是该阶段一条道路的起点，也是前一阶段一条分支的终点。
前面的例子(图)中，第一个阶段有一个状态即A，而第二个阶段有两个状态B1和B2，第三个阶段是三个状态C1，C2和C3，而第四个阶段又是一个状态D。
过程的状态通常可以用一个或一组数来描述，称为状态变量。
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V1 9 7 3 2
V2 2 1 3 7 4 5
4 2 2
V3 6 4 7 3
V4 6
5 9 10 4 2 5
V5
s 1
12
t
11
11 8 8
5
6 11
cost(2,2)=7 从第2段顶点2到t的最短路是2-7-10-t cost(2,3)=9从第2段顶点3到t的最短路是3-6-10-t cost(2,4)=18从第2段顶点4到t的最短路是4-8-10-t cost(2,5)=15从第2段顶点5到t的最短路是5-8-10-t cost(1,1)=16 从第1段顶点1到t的最短路径由两条：
动态规划法
方法概述: 发展及研究内容
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分
支，20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人 在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的 优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段 问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问 题的新方法——动态规划。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、 工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。 例如最短路线、资源分配、设备更新等问题， 用动态规划比用其它方法求解更为方便。
空间溢出的问题，是动态规划解决问 题时一个普遍遇到的问题； 动态规划需要很大的空间以存储中间 产生的结果，这样可以使包含同一个 子问题的所有问题共用一个子问题解， 从而体现动态规划的优越性，但这是 以牺牲空间为代价的，为了有效地访 问已有结果，数据也不易压缩存储， 因而空间矛盾是比较突出的。
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2013-7-4
方法概述: 发展及研究内容
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的 动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的 静态规划(如线性规划、非线性规划)，可以人为 地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程， 也可以用动态规划方法方便地求解。
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r ∈Vi-1 <r,j> ∈E
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格路问题：求从起点O(0,0)到终点E(m,n)
的最短路。则分别用穷举法和动态规划法 的加法次数和比较次数各是多少？
y E(m,n)
O(0,0)
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x
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y
E(m,n)
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•为了便于描述算法，对一个k段图的顶点，按 段的顺序给它的每个顶点编号。设图中有n个 顶点，则编号为1，2，·，n。首先，给s编为 · · 1号；然后给V2中的各个顶点分别编为2， 3， · ，| V2 |+1号；以此类推，最后t编号为n。 · · 这样编号使Vi+1中的任何顶点的编号大于Vi中 所有顶点的编号。 •于是，可以按n-1,n-2,·,1的顺序计算出 · · cost(i,j)和D(i,j)。算法中可以利用顺序编号 的特点，而不再考虑顶点所在的段。
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V1 9 7 3 2
V2 2 1 3 7 4 5
4 2 2
V3 6 4 6 5 3 5 8 6
V4 9 10 4
V5
s 1
7
2
5
12
t
11 11 8
11
cost(3,7)= min{4+cost(4,9),3+cost(4,10)} =min{4+4,3+2}=5 •从第3段的顶点7到t的最短路径是7-10-t
方法概述: 求解步骤
1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征； 2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）； 3、以自底向上的方式计算出最优值； 4、根据计算最优值时记录的信息，构造最优解。 注： －步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。在只需要 求出最优值的情形，步骤4可以省略； －若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步 骤4，步骤3中记录的信息是构造最优解的基础
如果有一决策序列包含有非最优的决策子序列，则该决 策序列一定不是最优的。即一个最优策略的子策略总是最 优的。
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最优性原理又称为最优子结构性质：
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方法概述: 最优性原理及举例（续）
例1：设G是一个有向加权图，则G从顶点 i到顶点j之间的最短路径具有最优子结构 性质。
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1-2-7-10-t和1-3-6-10-t
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从s到t的一条最短路径的代价为16。
•用D(i,j)表示使C(j,r)+cost(i+1,r)取得最小值 的r，则在上述求解过程中同时得到： •D(3,6)=10, D(3,7)=10, D(3,8)=10 •D(2,2)=7, D(2,3)=6, D(2,4)=8
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例1：多段图的最短路问题
多段图：设G=<V,E>是一个有向连通图， 其中|V|=n, |E|=m, V有划分{V1,V2,·,Vk}， · · 这里V1 ={s},s称为源点， Vk ={t},t称为 终点，其中k ≥ 2 。对于每条有向边 <u,v> ∈ E都存在Vi ∈ V，使得u ∈ Vi 和v ∈ Vi+1, 其中1≤i<k且每条边<u,v>均 附有代价C(u,v)，则称G是一个k段图。
•求两点间最短路径的算法：
Procedure Fgraph 1. { for i ←1 to n cost[i] ←0； 2. for j =n-1 step –1 to 1 do { 3. 找顶点r,使<j,r> ∈E,且C(j,r)+cost[r]最小； 4. cost[j]←C(j,r)+cost[r]; O(n+|E|) 5. D[j] ←r ; } 6. P[1] ←1 ; P[k] ←n; 7. for j=2 to k-1 do P[j] ←D[P[j-1]] }
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向前处理法：设P(i,j)是从Vi中的点j到 t的一条最短路，cost(i,j)是这条路线的 耗费。由后向前推算，得到
cost(i,j)=min{C(j,r)+cost(i+1,r)}
r∈Vi+1 <j,r> ∈E
Vi j
Vi+1 最短 r 最短 t
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方法概述: 基本思想
动态规划的思想实质是分治思想和解决冗余。 与分治法类似的是，将原问题分解成若干个子 问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解 得到原问题的解。 与分治法不同的是，经分解的子问题往往不是 互相独立的。若用分治法来解，有些共同部分 （子问题或子子问题）被重复计算了很多次。 如果能够保存已解决的子问题的答案，在需要 时再查找，这样就可以避免重复计算、节省时 间。动态规划法用一个表来记录所有已解的子 2013-7-4 4 of 158 问题的答案。
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方法概述: 最优性原理及举例
Bellman给出这个原理作为动态规划的适用条 件，后来Morin在1982年证明了这只是一个充 分条件而非必要条件。Bellman的原定义如下：
An optimal policy has the property that whatever the initial state and initial decision are, then remaining decisions must constitute an optimal policy with regard to the state resulting from first decision.
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证明：（反证） 设i～ip～iq～ j是一条最短路径，但其中子 路径ip～iq～ j不是最优的，假设最优的路径 为ip～iq’～ j 则我们重新构造一条路径：i～ip～iq’～ j 显然该路径长度小于i～ip～iq～ j，与i～ ip～iq～ j是顶点i到顶点j的最短路径相矛盾. 所以，原问题满足最优性原理。
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方法概述: 适用条件
动态规划法的有效性依赖于问题本身所具有的 两个重要性质 最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题 的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时， 每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问 题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了 这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解 一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后 尽可能多地利用这些子问题的解。
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假设s,v2,v3,·,vk-1,t是一条从s到t的最短路径， · ·
还假定从源点s（初始状态）开始，已做出了到 结点v2的决策（初始决策），因此v2就是初始决 策所产生的状态。如果把v2看成是原问题的一个 子问题的初始状态，解这个子问题就是找出一 条由v2到t的最短路径。这条路径显然是 v2,v3,·,vk-1,t，否则设v2,q3,·,qk-1,t是一条由v2到t · · · · 的更短路径，则s,v2,q3,·,qk-1,t是一条比路径 · · s,v2,v3,·,vk-1,t 更短的由s到t的路径，与假设矛盾， · · 故最优化原理成立。
O(0,0) mn个点
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