伽罗瓦介绍
高等代数中的数学家
高等代数中的数学家高等代数是数学中的一门重要课程，它研究的是抽象代数结构以及在这些结构中的变换与运算。
在这个广阔的领域中，有许许多多的数学家为了推动高等代数的发展做出了巨大的贡献。
本文将介绍几位在高等代数领域中杰出的数学家。
伽罗瓦（Évariste Galois）伽罗瓦是法国数学家，他在高等代数理论的发展中起到了重要作用。
伽罗瓦理论是现代代数学的基石之一，它研究的是域的扩张与对称性。
伽罗瓦理论的提出为求解代数方程提供了新的方法，并对同余论、群论等数学分支产生了深远影响。
在短暂的生命中，伽罗瓦提出了伽罗瓦理论的基本思想，并创立了群论的一些基本概念。
他的研究被广大数学家后继者进一步发展，形成了现代抽象代数的理论体系。
狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）狄利克雷是德国数学家，他在数论中的贡献至今仍然不可忽视。
他在高等代数中的工作涉及到平均值定理、连分数和周期函数的研究。
狄利克雷最为人所熟知的是狄利克雷级数和狄利克雷函数的定义与性质。
这些函数具有重要的解析性质，被广泛应用于数论、物理学和工程学等领域。
埃米尔·诺特（Émile Noether）诺特是德国数学家，她对现代代数学的发展做出了巨大贡献，特别是在抽象代数和理想论方面。
作为第一位女性数学家，她的工作不仅对于高等代数的发展至关重要，还为女性在数学领域树立了榜样。
诺特的代数学研究主要涉及群论、环论和域论。
她提出了诺特环和诺特引理，为研究理想和模型理论提供了强有力的工具。
她的工作对于现代数学的发展产生了深远影响，对于高等代数学习者来说具有重要的参考价值。
安德烈·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass）魏尔斯特拉斯是德国数学家，他对实分析和复分析的研究对于高等代数的发展产生了重要影响。
他的独创性证明了实数集合的完备性和连续函数的存在性。
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。
哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。
】伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。
他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。
我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。
这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。
遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。
伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。
可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。
伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。
让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。
埃瓦里斯特.伽罗瓦首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their plexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。
）当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。
数学家伽罗瓦的传奇人生
数学家伽罗瓦的传奇人生伽罗瓦，这个名字在数学界闪耀着独特的光芒。
他的数学成就不仅为后世留下了重要的遗产，更是在他短暂而传奇的一生中，展现了不屈不挠的精神和对知识的追求。
让我们一起走进伽罗瓦的世界，探寻他的传奇人生。
伽罗瓦出生于法国一个中产阶级家庭，从小就展现出非凡的数学天赋。
他的数学才华在学校中得到了老师的赏识，但他的叛逆个性却常常让他陷入麻烦。
伽罗瓦对于学校的教育体系不满，他认为教育应该注重培养学生的创造力和思考能力，而不仅仅是灌输知识。
这种对教育的批判精神也成为他后来数学研究的动力。
伽罗瓦在数学领域的突破主要体现在代数领域。
他提出了伽罗瓦理论，这一理论对于代数方程的解法和群论的发展起到了重要的推动作用。
伽罗瓦理论的核心思想是将代数方程的解与其对应的群联系起来，通过研究群的性质来解决方程的求解问题。
这一理论的提出不仅拓宽了代数学的研究领域，也为后来的数学家提供了重要的工具和思路。
然而，伽罗瓦的数学成就并没有得到当时学术界的认可和赏识。
由于他的叛逆个性和政治立场的问题，他与一些权威数学家产生了矛盾。
这些矛盾最终导致了他的学术生涯的短暂和悲剧。
伽罗瓦在数学界的地位并没有得到应有的肯定，他的研究成果也因为他的早逝而没有得到充分的发展和推广。
然而，伽罗瓦的传奇并不仅仅在于他的数学成就，更在于他的人生态度和精神品质。
尽管他的短暂一生充满了挫折和困苦，但他从不放弃对知识的追求。
他坚信数学是一门纯粹而美丽的学科，他对于数学的热爱和执着让他在困境中找到了力量。
他用自己的短暂人生诠释了一种对于真理和智慧的追求，这种追求超越了个人的得失和荣辱，成为了他一生的信念和追求。
伽罗瓦的传奇人生也给我们带来了一些启示。
他的故事告诉我们，追求知识和真理并不容易，但只有坚持不懈、勇往直前，才能达到更高的境界。
他的故事也告诉我们，不要被外界的评价和困难所束缚，要相信自己的能力和价值，坚持自己的理想和信念。
伽罗瓦的传奇人生是数学界的一段佳话，他的数学成就和精神品质都值得我们学习和敬仰。
伽罗瓦——精选推荐
伽罗瓦伽罗瓦(E．Galais 1811，10．25－1832．5．31)是法国数学家，生于离法国巴黎l8公里处的一座小镇市布拉兰(Bourg—la—Reine)的伽罗瓦街[为纪念数学家之父尼古拉一加布里埃尔·伽罗瓦(N.G．Gatois)而命名]的第54号房屋内。
现在这所房屋的正面有一块纪念牌写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，生于此。
卒年20岁，1811—1832年”。
纪念牌是小镇的居民，为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。
伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。
在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。
其父尼古拉－加布里埃尔·伽罗瓦参与政界活动属自由党人，是拿破仑的积极支持者。
主持过供少年就学的学校，任该校校长。
又担任布拉兰市15年常任市长，深受市民的拥戴。
伽罗瓦曾向同监的难友腊斯拜(F．Raspail l794—1878)，法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的一切”。
可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。
其母玛利亚一阿代累达·伽罗瓦(M．A．Galois)曾积极参与儿子的启蒙教育。
作为古代文化的热烈爱好音，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。
1848年发表在《皮托雷斯克画报》(Magasin Pittoresque)上有关伽罗瓦的传记中，特别谈到“伽罗瓦的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课。
”这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。
1823年l0月伽罗瓦年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易－勒－格兰(louis－1e —Grand)皇家中学。
从他的老师们保存的有关他在中学生活的回忆录和笔记中，记载着伽罗瓦是位具有“杰出的才干”，“举止不凡”，但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”性格的人。
伽罗瓦群的算法
伽罗瓦群的算法摘要：一、伽罗瓦群的定义与背景1.伽罗瓦群的提出背景2.伽罗瓦群的定义二、伽罗瓦群在数学领域的重要性1.伽罗瓦群在代数学中的地位2.伽罗瓦群与群论的发展关系三、伽罗瓦群的算法应用1.伽罗瓦群在编码理论中的应用2.伽罗瓦群在密码学中的应用3.伽罗瓦群在计算机科学中的应用四、伽罗瓦群算法的优化与发展1.传统伽罗瓦群算法的问题与局限2.新型伽罗瓦群算法的提出与发展3.伽罗瓦群算法在我国的研究进展正文：伽罗瓦群（Galois Group）是代数学中的一个重要概念，以法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（variste Galois）的名字命名。
伽罗瓦群在数学领域具有极高的理论和应用价值，涉及到代数、群论、编码理论、密码学等多个领域。
本文将概述伽罗瓦群的定义、背景以及在数学和计算机科学中的应用。
伽罗瓦群是抽象代数中的一个群，用于描述有限域上的一类代数方程的解。
具体来说，给定一个代数方程，伽罗瓦群可以告诉我们方程有哪些根，以及根之间的关系。
伽罗瓦群的提出，标志着代数学进入了一个新的阶段，为后来的群论、环论、域论等抽象代数理论的发展奠定了基础。
伽罗瓦群在数学领域的重要性不言而喻。
首先，伽罗瓦群是代数学的核心概念之一，它在代数学中的地位举足轻重。
其次，伽罗瓦群与群论的发展关系密切，群论是研究代数结构的数学分支，伽罗瓦群作为群论中的一个重要子类，对于群论的研究具有重要意义。
在计算机科学领域，伽罗瓦群具有广泛的应用。
例如，在编码理论和密码学中，伽罗瓦群可以用于构建纠错码和加密方案。
此外，伽罗瓦群在计算机科学的其他领域也有重要应用，如在有限几何中，伽罗瓦群被用来描述有限射影空间上的点类。
然而，传统的伽罗瓦群算法在处理大规模问题时存在局限性。
为了解决这一问题，研究人员提出了许多新型的伽罗瓦群算法，以提高计算效率。
在我国，伽罗瓦群算法的研究也取得了显著进展，为我国在代数学、群论以及相关领域的国际地位奠定了基础。
galois定理
galois定理伽罗瓦理论（Galois Theory）是数学的一个重要分支，主要研究域扩张和自同构群的关系。
以下是关于伽罗瓦定理的详细介绍。
首先，伽罗瓦定理描述了一个多项式的根与该多项式在某个域上的分裂关系。
具体来说，如果一个多项式在某个域上可因式分解为若干个线性因子，那么这些线性因子对应的根就是这个多项式的根。
也就是说，一个多项式在某个域上的因式分解与其根之间存在一一对应关系。
其次，伽罗瓦定理还指出了域扩张和自同构群之间的关系。
对于一个给定的域扩张，存在一个与其相关的自同构群，这个自同构群就是这个域扩张的自同构群。
也就是说，任何给定的域扩张都与一个自同构群相关联。
这个定理在代数中具有广泛的应用，可以用来研究各种代数结构和性质。
此外，伽罗瓦定理还可以用来解决一些著名的数学问题。
例如，费马大定理就是通过伽罗瓦定理得以解决的。
费马大定理是指一个整数幂不可能被分解为两个大于1的整数幂的和。
尽管费马声称自己已经证明了这一定理，但他的证明一直未被找到。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）利用伽罗瓦定理证明了费马大定理，这一证明被广泛接受并被认为是最终的证明。
除了在数论中的应用，伽罗瓦定理还在其他数学领域中有着广泛的应用。
例如，在几何学中，伽罗瓦定理可以用来研究曲线和曲面在某个域上的性质和结构；在代数学中，它可以用来研究各种代数结构和性质；在组合数学中，它可以用来研究组合问题和图论问题等。
总之，伽罗瓦理论是一个非常重要的数学分支，它不仅在数论和代数中有广泛的应用，还对整个数学的发展产生了深远的影响。
通过深入研究和探索伽罗瓦理论的各种应用和性质，我们可以更好地理解和掌握数学的内在规律和本质，推动数学科学的发展和进步。
数域上的伽罗瓦理论
数域上的伽罗瓦理论数域上的伽罗瓦理论是一种著名的数学理论，它是由法国数学家让·德·伽罗瓦于1799年提出的，并以他的名字命名。
它涉及如何利用数学方法对正整数的分解，以及如何使用这种分解来解决复杂的数学问题。
1、伽罗瓦理论的概要伽罗瓦理论又称为“质因数分解”，是指将大于1的正整数用乘积形式表示，这些乘积中最小的正整数叫做“质因数”，而其他正整数则叫做“合数”。
例如，数字24可以表示为2 × 2 × 2 × 3，其中2和3是质因数，而24是合数。
质因数分解可以用来解决各种数学问题，比如求最大公约数、求最小公倍数、计算阶乘等。
因此，伽罗瓦理论在数学中有着广泛的应用。
2、伽罗瓦理论的历史伽罗瓦理论起源于古希腊数学家艾西蒙托斯，他在公元前300年左右提出了质因数分解的概念，但是，他并没有将其应用于实际问题，而是将其用于有关数学实验的讨论。
直到1799年，法国数学家让·德·伽罗瓦重新提出了这一理论，并将其应用于复杂的数学问题，这才是伽罗瓦理论的最初版本。
他还将质因数分解方法用于求解不定方程，从而为数学发展做出了贡献。
随着研究的深入，伽罗瓦理论也在不断发展，19世纪的数学家又添加了新的结论和定理，比如伽罗瓦猜想和伽罗瓦准则。
3、伽罗瓦理论的应用伽罗瓦理论在数学中有着广泛的应用，它可以用来计算阶乘、求最大公约数和最小公倍数，甚至可以用来解决贝祖等复杂的数学问题。
另外，伽罗瓦理论在计算机领域的应用也非常广泛，它可以用来提高计算机的运算效率，比如利用质因数分解来简化大数的运算，从而提高计算机的运算速度。
4、伽罗瓦理论的发展伽罗瓦理论自1799年发表以来，已经发展了将近200年，它的应用也越来越广泛。
在近两个世纪里，伽罗瓦理论经历了从质因数分解到伽罗瓦猜想和伽罗瓦准则的发展历程，在数学及其相关领域都发挥了重要作用。
在未来，伽罗瓦理论可能会发展出更多的定理和结论，并发挥更大的作用。
抽象代数中的伽罗瓦理论应用评价
抽象代数中的伽罗瓦理论应用评价抽象代数是数学中的一个重要分支，它研究一般的代数结构和运算规律。
在抽象代数中，伽罗瓦理论是一项重要的成果，它给了我们以很多有价值的应用。
本文将针对抽象代数中的伽罗瓦理论进行评价。
一、背景介绍伽罗瓦理论是法国数学家伽罗瓦提出的一种数学理论，它主要研究有限域与代数方程的解之间的关系。
伽罗瓦理论通过研究多项式方程的根与对应的扩域之间的关系，建立了代数理论与数论之间的联系，为代数学的发展起到了重要的促进作用。
二、伽罗瓦理论的应用1. 密码学伽罗瓦理论在密码学中有着广泛的应用。
通过利用伽罗瓦群的性质，可以设计出高度安全的密码算法，保护信息的安全性。
例如，RSA公钥密码算法以及椭圆曲线密码算法等，都是基于伽罗瓦理论中的抽象代数原理构建而成的。
2. 数据传输与编码在数据传输与编码领域，伽罗瓦理论也发挥着重要作用。
通过利用伽罗瓦扩域的代数结构，可以设计出具有良好纠错能力的编码方案，提高数据传输的可靠性。
例如，Reed-Solomon编码就是一种基于伽罗瓦扩域的编码方案，被广泛应用于光纤通信和无线通信中。
3. 数和数论伽罗瓦理论与数论有着密切的联系。
通过研究代数方程的解与对应的域之间的关系，伽罗瓦理论为数论提供了新的视角与工具。
例如，费马大定理的证明中就运用了伽罗瓦理论的思想。
4. 计算机科学在计算机科学领域，伽罗瓦理论也有着广泛的应用。
通过利用伽罗瓦群的性质，可以设计出高效的算法，解决各种复杂的计算问题。
例如，在错误检测与纠错、图像处理、编译器优化等领域，伽罗瓦理论都发挥着重要作用。
三、伽罗瓦理论的价值评价伽罗瓦理论作为抽象代数的重要成果，为数学的发展做出了重要贡献。
它不仅极大地拓展了代数学的范畴，而且在众多领域中都有着实际应用。
伽罗瓦理论的提出不仅为密码学、数据通信、编码理论等应用领域提供了重要的理论基础，而且为计算机科学、数论等学科的发展带来了重要的启示。
总之，伽罗瓦理论在抽象代数中的应用是极其重要而有价值的。
伽罗瓦 讲稿
伽罗瓦——锲而不舍的天才数学家埃瓦伊斯特.伽罗瓦( Evariste Galois, 1811-1832) ，法国数学家, 群论的奠基人，1811 年10 月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡小城市。
父亲为人正直厚道,担任拉赖因堡镇长14年。
母亲是当地法官的女儿, 聪明而有教养, 她作为伽罗瓦的启蒙老师,不仅教授基本知识, 还把从拉丁和希腊文学中汲取来的英雄主义、浪漫主义和对传统宗教的怀疑态度灌输到儿子幼小的心灵中, 使伽罗瓦从小就有强烈的好奇心、求知欲、刻苦执着的钻研精神, 这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。
1823 年10 月, 年满12 岁的伽罗瓦考入巴黎有名的路易.勒格兰皇家公立中学。
在中学读书的前三年,伽罗瓦是一名优等生, 各门功课的成绩优秀, 尤其是文学非常突出。
此后伽罗瓦开始对数学产生了浓厚的兴趣, 并逐渐把大部分时间和主要精力由学习文学转移到钻研数学上。
学校由反动政客统治着, 不仅生活条件恶劣, 还要求学生为当局歌功颂德。
认真、热心的伽罗瓦与学校制度格格不入, 始终保持着与其他同学的距离。
下棋找高手, 弄斧到班门。
不久, 课堂上的初等数学内容已不能满足他的需求了, 他不得不去图书馆自学课本以外的高等数学知识。
此间他有幸接触到了著名数学家勒让德、阿贝尔、拉格朗日、雅可比、欧拉、柯西、高斯等人的经典著作或论文。
最重要的是勒让德的《几何原理》，这本高深莫测的书唤起了伽罗瓦对数学的一往情深, 从此他对数学知识的渴求变得如饥似渴。
拉格朗日的《论数值方程解法》、《解析函数论》和《微积分学教程》, 使其思维日趋严谨。
接着, 他又读完了欧拉、高斯、雅可比、柯西、阿贝尔等顶尖数学家的著作, 为自己打下了坚实的数学基础。
同时提升了他的信心:“我能够做到的, 决不会比大师们少!”知识的积累、视野的开阔, 使伽罗瓦练就炉火纯青的心算本领, 可以凭借纯粹的心算完成最困难复杂的数学研究。
伽罗瓦
家庭背景1811年10月25日，伽罗瓦出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内.他的父亲尼古拉·加布里埃尔·伽罗瓦,参与政界活动,属自由党人，是拿破仑的积极支持者.主持过供少年就学的学校，任该校校长.又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴. 他的母亲玛利亚·阿代累达·伽罗瓦, 是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师,为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础.数学天赋1823年l0月,年满12岁伽罗瓦，考入了有名的路易·勒·格兰皇家中学. 他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助.在一些老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”.他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望.他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教.著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美.学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨.接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”.论文第一次被丢失1828年，17岁的伽罗瓦开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的数学问题.伽罗瓦最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌.1829年5月，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院. 负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松.柯西是当时法国首屈一指的数学家,他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失.伽罗瓦向科学院送交论文时，他未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了.论文第二次被丢失1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了,这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义.1829年10月25日,伽罗瓦听从里夏尔老师的劝告,作为预备生进入师范大学学习. 进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖.主持审查论文的是当时数学界权威人士、科学院院士——傅立叶,然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了.人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文,就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了.论文被否定伽罗瓦没有灰心，又继续研究自己所得的新成果.第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》.1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院士波松,总算幸运，这一次论文没有丢失.但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语“不可理解”而被否定了。
伽罗瓦
他首先提出了根的置换概念，主意 到每个方程都可以与一个置换群（伽罗 瓦群）联系起来，方程实际上是一个其 对称性可用群的性质描述的系统．这样， 伽罗瓦就把方程的根式问题转化为群论 问题来解决，而且他最终以群论为工具， 为方程的根式解问题提供了全面而透彻 的解答．
伽罗瓦是一位天才的数学家，他在少 年时期就直接阅读了数学大师们的专著， 如勒让德德经典著作《几何原理》，拉格 朗日的《解数值方程》《解析函数论》， 还有欧拉、高斯和柯西等的数学著作，打 下了坚实的数学基础．
1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附 近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤 判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的 青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的 年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富有创 造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学 家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年， 他就是伽罗华。
中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
• 里夏尔帮助伽罗华于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应 用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个 定理的证明》，并说服伽罗华向科学院递送备忘录。1829年，伽罗 华在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国 科学院。 • 1829年7月2日，正当伽罗华准备入学考试时，他的父亲由于受不了 天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的 思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定 进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。 1829年10月25日伽罗华被作为预备生录取入学。 • 进入师范大学后的一年对伽罗华来说是最顺利的一年，1828年他的 科学研究获得了初步成果。伽罗华写了几篇大文章，并提出自己的全 部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折： 伽罗华的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不
伽罗瓦 介绍
伽罗瓦河北师范学院邓明立伽罗瓦，E．(Galois，Evariste)1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎．数学．伽罗瓦的父亲N．G．伽罗瓦(Galois)是法国资产阶级革命的支持者，为人正直厚道．他在1815年拿破仑发动“百日政变”期间，当选为拉赖因堡市的市长．伽罗瓦的母亲是一位当地法官的女儿，聪明而有教养，但个性倔强，甚至有些古怪．她是伽罗瓦的启蒙老师，为他的希腊语和拉丁语打下了基础，并且把她自己对传统宗教的怀疑态度传给了儿子．1823年10月，12岁的伽罗瓦离别双亲，考入路易·勒格兰皇家中学，开始接受正规教育．在中学的前两年，他因希腊语和拉丁语成绩优异而多次获奖；但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书，直接阅读数学大师们的专著．A．M．勒让德(Legendre)的经典著作《几何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他领悟到数学推理方法的严密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解数值方程》(Rélution deséquations nume－riques，1769)、《解析函数论》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不仅使他的思维更加严谨，而且其中的思想方法对他的工作产生了重要的影响；接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．学习和研究数学大师的经典著作、是伽罗瓦获得成功的重要途径．他深信自己能做到的，决不会比他们少．他的一位教师说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍．”然而，他忽视了其他学科，导致了他首次(1828)报考巴黎综合工科学校失败．1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，“只宜在数学的尖端领域中工作”．于是，年仅17岁的伽罗瓦开始着手研究关于方程理论、整数理论和椭圆函数理论的最新著作．他的第一篇论文“周期连分数的一个定理的证明”(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)，于1829年3月发表在J．D．热尔岗(Gergonne)主办的《纯粹与应用数学年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上，它更为清楚地论述和说明了欧拉与拉格朗日关于连分式的结果．据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．1829年5月25日和6月1日，他先后将他的两篇关于群的初步理论的论文呈送法国科学院．科学院请柯西做论文的主审．然而，一些事件挫伤了这个良好的开端，而已在这位年轻数学家的个性上留下了深深的烙印．首先，伽罗瓦的父亲由于受不了保守的天主教牧师的恶毒诽谤于7月2日自杀身亡．之后不到一个月，伽罗瓦参加了巴黎综合工科学校的入学考试，由于他拒绝采用主考官建议的解答方法，结果又遭失败．最后他不得已报考了高等师范学院，于1829年10月被录取．柯西审核的伽罗瓦的论文，新概念较多，又过于简略，因此柯西建议他重新修改．1830年2月，伽罗瓦将他仔细修改过的论文再次呈送科学院，科学院决定由J．B．J．傅里叶(Fourier)主审．不幸，傅里叶5月份去世，在他的遗物中未能找到伽罗瓦的手稿．1830年4月，伽罗瓦的论文“关于方程代数解法论文的分析”发表在B．D．费吕萨克(Férussac)的《数学科学通报》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上．同年6月，他又在同一杂志上发表了两篇论文——“关于数值方程解法的注记”和“数的理论”，这期杂志上还刊登着柯西和S．D．泊松(Poisson)的文章，这充分说明了伽罗瓦已在数学界赢得了声誉．伽罗瓦进入师范学院一年，正当他做出卓越的研究工作之时，法国历史上著名的1830年“七月革命”爆发了．伽罗瓦作为一名勇敢追求真理的共和主义战士，反对学校的苛刻校规，抨击校长在“七月革命”期间的两面行为．为此，他于1830年12月8日被校方开除．于是，他便根据自己的意志投身于政治活动．1831年5月9日，在一个共和主义者的宴会上，伽罗瓦举杯对国王进行了挑衅性的祝酒，于第二天被捕．罪名是教唆谋害国王生命的未遂罪．6月15日被塞纳陪审法院释放．在此期间，伽罗瓦继续进行数学研究．他于1831年1月13日开了一门关于高等代数的公开课，以讲授自己独创的学术见解谋生．但是，这个设想并未获得多大成功．1831年1月17日，他向科学院呈送了题为“关于方程根式解的条件”的论文，这次负责审查论文的是泊松和S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)．虽然泊松认真地审阅了它，可得出的结论却是“不可理解”．在他们给科学院的报告中说：“我们已经尽了最大努力来研究伽罗瓦的证明，他的推理显得不很清楚，到目前为止，我们还不能对它作出正确评价，因为有说服力的证明还没有得到．因此，在这篇报告中，我们甚至不能给出他的证明思想．”最后，泊松建议伽罗瓦进一步改进并详细阐述他的工作．1831年7月14日，伽罗瓦率众上街示威游行时，再次被捕，他被关押在圣佩拉吉监狱．他在狱中顽强地进行数学研究，一面修改他关于方程论的论文，研究椭圆函数，一面着手撰写将来出版他著作时的序言．1832年3月16日，由于宣布霍乱正在流行，伽罗瓦被转移到一家私人医院中服刑．他在那里陷入恋爱，后因爱情纠纷而卷入一场决斗．4月29日，伽罗瓦获释．5月29日，即决斗的前一天，伽罗瓦给共和主义者的朋友们写了绝笔信．尤其在给A．舍瓦列耶(Cheralier)的信中，表明他在生命即将结束的时候，仍在整理、概述他的数学著作．第二天清晨，在冈提勒的葛拉塞尔湖附近，他与对手决斗，结果中弹致伤后被送进医院．1832年5月31日，这位未满21岁的数学家与世长辞了．伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题．人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗瓦理论．它已成为近世代数学的最有生命力的一种理论．群论起源于代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果．对于方程论，拉格朗日有过卓越的概括．在1770年前后，他利用统一的方法(现在称为拉格朗日预解式方法)，详细分析了二次、三次、四次方程的根式解法，提出了方程根的排列置换理论是解决问题的关键所在．他的方法对于求解低次方程卓有成效，但对一般的五次方程却没有任何明确的结果，致使他对高次方程的求解问题产生了怀疑．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其证明并不完善．在1824—1826年，阿贝尔修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明了一般的五次或五次以上的代数方程不可能有根式解．其间，高斯于1801年建立了分圆方程理论，解决了二项方程的可解性问题，这对于伽罗瓦理论的创立至关重要．1815年，柯西对于置换理论的发展做出了贡献．固然高于四次的一般方程不能有根式解，但是有些特殊类型的方程(如二项方程、阿贝尔方程割仍然可以用根式求解．因此，全面地刻画可用根式求解的代数方程的特性问题，乃是一个需要进一步解决的问题．伽罗瓦的理论正是在这样的背景上发展起来的．伽罗瓦继承和发展了前人及同时代人的研究成果，融会贯通了各流派的数学思想，并且凭着他对近代数学概念特性的一种直觉，超越了他们．他系统地研究了方程根的排列置换的性质，首次定义了置换群的概念，他认为了解置换群是解决方程理论的关键．在1831年的论文中，伽罗瓦把具有封闭性的置换的集合称为“群”．当然，这只是抽象群的一条重要性质而已．群是近代数学中最重要的概念之一，它不仅对数学的许多分支有深刻的影响，而且在近代物理、化学中也有许多重要的作用．因此，群的概念需要以高度抽象的形式来表达．现在公认群是元素间存在二元运算(例如乘法)并具有下列四条性质的集合：(1)(封闭性)集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；(2)(结合性)乘法满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)；(3)(存在单位元)集合中存在单位元I，对集合中任意元素a满足I·a=a·I=a；(4)(存在逆元)对集合中任一元素a，存在唯一元素a-1，使得a-1·a=a·a-1=I．伽罗瓦是利用群论的方法解决代数方程可解性问题的．他注意到每个方程都可以与一个置换群联系起来，即与它的根之间的某些置换组成的群联系；现在称这种群为伽罗瓦群．对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使该函数的值不变．反过来，如果伽罗瓦群中的每个置换都使一个根的多项式函数的值不变，则这多项式函数的值是有理的．因此，一个方程的伽罗瓦群完全体现了它的根(整体)的对称性．伽罗瓦的思想方法大致是这样的：他将每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域(现在称之为方程的伽罗瓦域)，这个域又对应一个群，即这个方程的伽罗瓦群．这样，他就把代数方程可解性问题转化为与方程相关的置换群及其子群性质的分析问题．这是伽罗瓦工作的重大突破．具体说来，假设方程x n+a1x n-1+a1x n-2+…+a n-1x+a n=0的系数生成的域为F，E是方程的伽罗瓦域，它是将方程的根添加到F上所生成的域，现在称之为伽罗瓦扩张．让G表示方程的伽罗瓦群．这个方程是否可用根式求解的关键问题是：数域F是否可以经过有限次添加根式而扩张为根域E．也就是说是否存在有限多个中间域：F1，F1，…，F s-1，F s=E，使F=F0F1F1…F s=E．其中每个F i都是由F i-1添加F i-1中的数的根式所生成的扩域．不妨假定，F是含有这个方程的系数及1的各次方根的最小域，且每次所添加的根式均为素数次根．那么，这样的中间域Fi与Fi-1之间有何关系呢？伽罗瓦经过认真的研究，认为关键取决于使Fi-1保持不变的Fi的自同构变换群的结构．可以证明，这样的自同构群是素数阶的循环群，且阶数为[Fi∶Fi-1]．域上的自同构群概念的引入，使域与群发生了联系．即建立了伽罗瓦域的子域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系．事实上，保持F=F0的元素不动的E的每个自同构决定方程根的一个置换，它属于伽罗瓦群G；反之，G中每个置换引起E的一个自同构，它使F的元素不动．这样就建立了E的自同构群和方程的伽罗瓦群之间的同构．由此建立E的子域(包含F)和G的子群之间的一一对应：保持子域Fi元素不动的G中全部置换构成G的一个子群Gi，让Gi与Fi对应，而且反过来也可用Gi来刻划Fi，即Fi是E中对Gi的每个置换保持不动的元素全体．伽罗瓦还利用方程根的n！值的线性系数θ(n表示方程根的个数)来定出方程的伽罗瓦群．虽然这种计算并非易事，但的确给出了计算伽罗瓦群的一种方法，而且伽罗瓦在这里给出了域扩张的本原元素的概念．在代数方程可解性的研究中，伽罗瓦的主要思想是对给定方程的系数以及经过有限次扩张的中间域给出了一个群的序列，使得每个扩域相对应的群是它前一个域相应的群的子群．伽罗瓦基本定理就描述了中间域与伽罗瓦群的子群之间的对应关系．利用这种关系，可由群的性质描述域的性质；或由域的性质描述群的性质．因此，伽罗瓦的理论是域与群这两种代数结构综合的结果．伽罗瓦的工作主要基于两篇论文——“关于方程根式解的条件”和“用根式求解的本原方程”．这两篇论文于1846年由J．刘维尔(Liouille)编辑出版．此后，人们便开始介绍和评价伽罗瓦的工作，他的思想方法逐渐为人们所接受．在这些论文中，伽罗瓦将其理论应用于代数方程的可解性问题，由此引入了群论的一系列重要概念．当伽罗瓦将二项方程作为预解方程研究时，他发现其相应的置换子群应是正规子群且指数为素数才行．正规子群概念的引入及其性质和作用的研究，是伽罗瓦工作的又一重大突破．属于伽罗瓦的另一个群论概念是两个群之间的同构．这是两个群的元素之间的一一对应，使得如果在第一个群中有a·b=c，则对第二个群的对应元素，有a′·b′=c′．他还引进了单群和合成群的概念．一个没有正规子群的群是单群，否则是合成群．他表述了最小单群定理：阶是合成数的最小单群是60阶的群．伽罗瓦还利用正规子群判别已知方程能否转化为低次方程的可解性问题．用现代语言可将他的思想方法描述如下：首先定义正规子群的概念，即群G的子群N叫做G的正规子群，是指对于每个g∈G，g－1Ng=N；其次是寻找极大正规子群列，确定极大正规子群列的一系列合成因子．如果一个群所生成的全部合成因子都是素数，伽罗瓦就称这个群为可解的．他利用可解群的概念全面刻画了用根式解方程的特性，给出了判别方程可解性的准则：一个方程可用根式解的充要条件是这个方程的伽罗瓦群是可解群．虽然这一准则不能使一个确定方程的精确求解更为简单，但它确实提供了一些方法，可以用来得出低于五次的一般方程，以及二项方程和某些特殊类型方程的可解性的有关结果，还可以直接推导出高于四次的一般方程的不可解性．因为一般的n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn；当n＞4时，n次交错群An是非交换的单群(不可解)，An又是Sn的极大正规子群．由此可推出Sn 是不可解的．既然对于所有这样的n值，都存在其Sn是伽罗瓦群的n次方程，所以一般的高于四次的方程不可能得到根式解．在“关于方程代数解法论文的分析”中，伽罗瓦提出了一个重要定理(未加证明)：一个素数次方程可用根式求解的充要条件是这个方程的每个根都是其中两个根的有理函数．伽罗瓦用它判别特殊类型方程的根式解问题．他所研究的这种方程，现在称之为伽罗瓦方程，是阿贝尔方程的推广．在“数的理论”一文中，伽罗瓦用现在所谓的“伽罗瓦虚数”对同余理论作了推广并将之应用于研究本原方程可用根式求解的情况．关于伽罗瓦虚数，在伽罗瓦之前只知道特征0的域，如有理数域、实数域、复数域等，伽罗瓦在这篇论文中给出了一类新的域，即伽罗瓦域，现在称为有限域，它们是素数特征的城．有限域在现在通讯中的重要作用是尽人皆知的．伽罗瓦的数学遗作，首次(1846)发表在刘维尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．1897年，E．皮卡(Picard)再次出版了《伽罗瓦数学手稿》(Ocuvres mathématiques d’Evariste Galois)．之后，J．塔涅伊(Tannery)编辑的《伽罗瓦的手稿》(Manuscriste d’Evariste Galo－is)于1908年正式出版．1962年，R．布尔哥涅(Bourgne)和J．P．阿兹拉(Azra)编辑出版了带有评论性的典型版本《伽罗瓦数学论文全集》(Ecrists et mémoires mathématiques d’EvaristeGalois)，它汇集了伽罗瓦所有已发表的著作，以及绝大部分还保存的数学提纲、信件和原稿．这些史料证实了伽罗瓦的数学研究，与他对数学本质尤其对数学方法的追求、探索是密不可分的，展示了他对现代数学精神的远见卓识．从中精选出的有关数学观、方法论的原文，已成为当今研究的方向．伽罗瓦不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论．D．希尔伯特(Hilbert)曾把伽罗瓦的理论称为“一个明确的概念结构的建立”．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一．”伽罗瓦还是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他的理论是群与域这两种代数结构综合的结果．在他的论文序言部分明确表述了这种思想，他提出：“使计算听命于自己的意志，把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类——这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路．”这种深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神．伽罗瓦“‘把数学运算归类”这句话，毫无疑问是指现在所谓群论．群的功能正是将所研究的对象进行分类，而不管研究对象本身及其运算的具体内容，它是在错综复杂的现象中探讨共同的结构．一般说来，一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，一旦引进了运算或变换就形成了结构；所形成的结构中必须包含着元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的．“把数学运算归类，而不是按照它们的外部特征加以分类”，其思想实质是：数学由研究具体的数和形的外部特征转变成研究一般的、抽象的结构．伽罗瓦对代数结构的探索，深化了人们关于数学研究对象的认识——按照这种观念，数学的研究对象不是孤立的量，而是数学的结构．从自发到自觉转变的意义上说，伽罗瓦已经处于近代数学的开端．他为19世纪数学家们提出的问题及任务，导致了公理方法的系统发展和代数基本结构的深入研究．因此，伽罗瓦是近世代数学的创始人．伽罗瓦在数学上做出了巨大的贡献，他在数学观、认识论方面也有不少独立的见解．他认为科学是人类精神的产物，与其说是用来认识和发现真理，不如说是用来研究和探索真理．科学作为人类的事业，它始于任何一个抓住它的不足并重新整理它的人．伽罗瓦指出：“科学通过一系列的结合而得到进展，在这些结合中，机会起着不小的作用，科学的生命是无原由的、没有计划的(盲目的)，就像交错生长的矿物一样．”在数学中，正像在所有的科学中一样，每个时代都会以某种方式提出当时存在的若干问题，其中有一些迫切的问题，它们把最聪慧的学者吸引在一起，这既不以任何个人的思想和意识为转移，也不受任何协议的支配．伽罗瓦向往着科学家之间的真诚合作，认为科学家不应比其余的人孤独，他们也属于特定时代，迟早要协同合作的．伽罗瓦的奠基性工作及其思想中孕育的开创精神，并未得到他同时代人的充分赏识和理解，其原因不是人为的偏见，而是当时人们认识上的不足．直到伽罗瓦去世14年后的1846年，刘维尔编辑出版了他的部分文章；1866年，J．A．塞雷特(Serret)出版的《高等代数教程》(第三版)(Cours d’algébre superieure)，澄清了伽罗瓦关于代数方程可解性理论的思想，建立了置换理论；1870年，C．若尔当(Jordan)出版的《置换和代数方程专论》(Traitédes substitutions et deséquations algébriques)，全面介绍了伽罗瓦的理论．从此，群论和伽罗瓦的全部工作才真正被归入数学的主流．伽岁瓦的理论导致了抽象代数学的兴起．。
有关分数的数学家
有关分数的数学家在数学领域，分数是一个重要的概念，它可以表示一个数与另一个数的比值关系。
分数的研究和运用涉及到各个领域，吸引了众多数学家的关注和探索。
本文将介绍几位与分数相关的数学家及他们的贡献。
1. 亚里士多德（Aristotle）亚里士多德是古希腊的一位哲学家和科学家，他对于分数的研究有着重要的贡献。
他提出了分数的基本概念，并指出分数可以表示不完全的量。
亚里士多德的研究为后来的数学家奠定了基础。
2. 爱因斯坦（Albert Einstein）虽然爱因斯坦更为人熟知的是他在相对论和量子力学方面的突出贡献，但他在分数的研究上也有着独到的见解。
爱因斯坦提出了分数的无限性，并将其与无理数相联系。
他认为，分数和无理数都是数学中不可或缺的一部分，二者共同构成了数学的基础。
3. 斯特恩（Moritz Stern）斯特恩是一位德国数学家，他在分数的研究中做出了重要的贡献。
他提出了斯特恩-布洛赫树（Stern-Brocot tree）这一概念，用于生成所有正分数的一种方法。
斯特恩-布洛赫树不仅在分数的研究中有着广泛的应用，还可以用于解决一些实际问题，如比例关系和连续分数的计算等。
4. 爱德华·伽罗瓦（Évariste Galois）伽罗瓦是一位法国数学家，他对于分数的研究有着重要的贡献。
他提出了伽罗瓦理论，该理论在代数学中有着广泛的应用。
伽罗瓦理论将分数的运算规则和代数方程的解法联系在一起，为分数的研究提供了新的视角和方法。
5. 卡尔·费尔迈尔（Carl Friedrich Gauss）费尔迈尔是一位德国数学家，他在分数的研究中有着卓越的成就。
他提出了费尔迈尔定理，该定理阐述了分数的有限循环性质。
费尔迈尔定理对于分数的表示和计算有着重要的指导意义，被广泛应用于数论和代数学等领域。
6. 欧几里德（Euclid）欧几里德是古希腊的一位数学家，他对分数的研究产生了深远的影响。
他提出了欧几里德算法，该算法可以用于求解最大公约数和最小公倍数等问题。
伽罗瓦：20岁的数学大师
伽罗瓦：２０岁的数学大师作者：王熙章来源：《中学生百科·文综理综》2008年第12期１８１１年，埃瓦里斯特·伽罗瓦出生在法国巴黎。
从小，他便有一个梦，长大后，当一个伟大的科学家。
为此，自启蒙阶段，他便勤苦学习，并暗暗发誓，要用实际行动来完成梦想中的人生。
１２岁那年，他以优异的成绩考入当时有名的路易·勒格兰皇家中学。
因为具有“杰出的才干”，“举止不凡”但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”的性格，伽罗瓦１５岁那年，老师竟以他体格不够强壮、判断力还有待“成熟”等理由，让他降级重修学业。
伽罗瓦特别偏爱数学。
没了过多的新学业，从此他把大量的时间和精力用在研究、探讨数学课本以外的高等数学上。
他经常到图书馆阅读数学专著。
很快，他就熟读了欧拉、高斯、雅可比的著作，从而更增强了自信心。
他认为别人能够做到的，他也一定能做到！１８２９年，伽罗瓦１８岁。
在报考巴黎综合技术学校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷·德·富尔西对他阐述的见解不理解，大肆嘲笑他。
面对狂笑声，伽罗瓦忍无可忍地将黑板擦布扔到了主考人的头上，又拒绝回答有关对数这样的过于简单的问题。
结果自然没有意外，他再次落选了。
后来，他听从中学数学专业班教师里夏尔的劝告，进入一家师范大学就读。
这样，使他能够继续深造，同时生活费用也有了着落。
也就是同一年，他把他关于群论初步研究结果的论文提交到法国科学院。
科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。
１８３０年１月１８日，柯西曾计划对他的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。
结果，因为柯西生病，这个计划被迫推迟。
谁知，当柯西在第二周向科学院宣读他自己的一篇论文时，竟然又忘记介绍伽罗瓦的著作，让他的论文“尘封”。
面对种种“厄运”，伽罗瓦没有气馁。
相反，在从事科学研究的同时，面对腐败的法国政府，他决定积极投身于政治活动。
他参加了当时最先进的革命政治集团——共和派的秘密组织“人民之友”。
抽象代数中的伽罗瓦理论应用实例分析
抽象代数中的伽罗瓦理论应用实例分析伽罗瓦理论是抽象代数中的一个重要分支，它研究了数学中的对称性和方程的解的关系。
本文将通过分析一些实际应用例子，来说明伽罗瓦理论在数学和其他领域中的重要性和应用。
第一部分：引言伽罗瓦理论是法国数学家伽罗瓦提出的一套理论，它于19世纪初被引入抽象代数领域。
伽罗瓦理论通过研究方程的根与对称性之间的关系，解决了某些方程无解或难解的问题。
随着时间的推移，伽罗瓦理论逐渐在代数和其他数学领域中得到了广泛的应用。
第二部分：密码学中的应用伽罗瓦理论在密码学中有重要的应用。
以RSA加密算法为例，它使用了多个大素数的乘积作为密钥的生成过程。
伽罗瓦理论提供了一种分析加密算法安全性的方法，通过研究数论中的群论、环论和域论等概念，可以对加密算法进行分析和验证。
伽罗瓦理论不仅提供了密码学算法设计的数学基础，还为破解密码提供了重要的分析工具。
第三部分：数论中的应用伽罗瓦理论在数论中的应用也是非常广泛的。
以费马大定理为例，它是数论中的一个著名问题，直到费马在17世纪提出后，经过多年的探索和猜想，直到20世纪初伽罗瓦理论的发现，才成功地解决了这个问题。
伽罗瓦理论通过研究方程的解的对称性，可以得到方程的不变量，进而推断方程是否有有理根。
这为费马大定理的证明提供了理论基础和思路。
第四部分：物理学中的应用在物理学中，伽罗瓦理论的应用同样也非常广泛。
以量子力学为例，量子力学描述了微观领域中的粒子行为和物质的性质。
伽罗瓦理论提供了一种研究对称性和变换的方法，可以用于描述量子力学中的对称性和守恒律，如自旋守恒、空间反演对称性等。
伽罗瓦理论在量子力学中的应用为探索微观世界提供了重要的数学工具。
第五部分：工程中的应用在工程领域中，伽罗瓦理论也有广泛的应用。
以信号处理为例，信号处理是指对信号进行采集、传输和处理的技术。
伽罗瓦理论提供了一种分析和处理信号的方法，通过研究信号的变换和对称性，可以对信号进行编码、解码和处理，提高信号处理系统的效率和性能。
伽罗瓦
伽罗瓦埃瓦里斯特·伽罗华（Eacute;variste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
伽罗华死于一次近乎自杀的决斗，引起了后人的种种猜测。
可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为是数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
数学世界的顽强斗士19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576年)问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
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关于伽罗瓦2008-06-07 22:21人物 2009-09-05 15:15:14 阅读241 评论0 字号：大中小订阅（一）1811―1830年距巴黎18公里，有一座十分宁静的小城――布尔―拉―林。
大街两旁至今仍峙立着几幢完好地幸存下来的、门上有宽檐的19世纪初叶的尖顶房屋；城里依然是那几条用玫瑰色岩石砌成的马路。
在大街第54号房的正面有一块纪念碑，写着“法国著名数学家埃瓦里斯特?伽罗瓦，生于此。
卒年20岁，1811―1832年”。
就在这所房子里，1811年10月26日，新生儿响亮的哭声充斥了整座房屋，埃瓦里斯特?伽罗瓦来到了这个世界上。
18世纪末至19世纪初叶的法国，处于资产阶级大革命和拿破仑战争时期。
在资产阶级革命的狂潮中，腐朽的波旁王朝被推翻了，资产阶级掌握了国家政权，建立了法兰西共和国。
法国的革命引起了英国、俄国、西班牙、土耳其等国的不满、怨恨，它们联合起来进攻法国，欲消除法国革命在欧洲的影响，恢复波旁王朝在法国的统治。
与此同时，法国国内的王党分子积极进行复辟活动，国内局势也很紧张。
为此，法国大资产阶级迫切希望一个新的强有力的政权来保证资本主义的正常发展，在国内防止波旁王朝的复辟，并有效地击败外国干涉军和向海外扩展势力。
于是，在1799年11月，通过政变，拿破仑?波拿巴，这位军事天才做了被战争弄得精疲力竭的法兰西共和国所需要的军事独裁者。
此后，拿破仑建立了法兰西第一帝国，并进行了征服欧洲，确立霸权的战争。
但是，拿破仑的对内专制独裁，对外侵略扩张，造成了推翻第一帝国的巨大力量。
1814年，在英国、俄国、奥地利、普鲁士等国的强大军事攻势下，法兰西第一帝国被冲垮了。
波旁王朝复辟了。
小伽罗瓦的出生给他的父母带来了无比的喜悦，夫妇俩决心把儿子培养成为优秀人材。
小伽罗瓦的父亲尼古拉―加布里埃尔?伽罗瓦是布尔―拉―林城少年学校的校长。
1789年，法国资产阶级革命后，学校改为巴黎学区的一所中学，老伽罗瓦仍旧担任校长。
伽罗瓦理论
伽罗瓦理论伽罗瓦图册经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。
19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程 (p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。
他还发现一类能用根式求解的特殊方程。
这类方程现在称为阿贝尔方程。
阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。
到1832年他完全解决了这个问题。
在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。
1846年他的手稿才公开发表。
伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
[1]思想建立/伽罗瓦理论编辑在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。
伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。
戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。
随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。
人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。
这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。
[2]内容介绍/伽罗瓦理论编辑1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。
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伽罗瓦12岁进入一家皇家中学学习， 由于声望很高而且是专制学校，到了 16岁他才被允许学习数学，之后，他 独专于数学研究，其它科目都引不起 他的重视。迦罗瓦对数学的渴求和表 现，已超出老师的能力范围，他直接 拿当代数学大师所写的著作当做学习 的教材。17岁时，他提出生平的第一 篇论文。
17岁就有很好的进展，向法兰西科学 院提出两篇论文。当时的评审是数学 家柯西，迦罗瓦的表现深深震撼着柯 西。这段时间他的市长父亲因政治阴 谋被迫自杀，增强了他对政治活动的 热衷。他赶在参赛截止前，重新将他 的研究论文改写成一篇专题论文，并 送交由科学院的秘书傅立叶转交委员 会，不幸的是，就在评审前几个星期 ，傅里叶病逝，而迦罗瓦的论文也从 未出现在委员会上。
迦罗瓦认为他的论文是被染有政治偏 见的委员刻意封杀，后来他加入了反 政府的人民兵，被捕入狱，在狱中又 差点被政治暗杀。在狱中，他深怕他 研究的成果会永远消失，他彻夜工作 ，写出所有定理，他一直相信这些定 理全面的阐明有关于解五次方程式的 疑难之处。在出狱后，他又卷入一场 风流韵事，因一位钟爱的女人，与人 以枪决战，结果中弹身亡。
坎坷重重永不气馁 应该很少有人会像伽罗华一样为 了自己的目标永远永不停息的前行着 ，为了自己的兴趣爱好执着的追求着 。 他的一生从来没有被他人的否认 打败过，永远站立在属于自己的精神 世界里，勇敢地扬帆远航，这种不气 馁、不放弃，在激励着我们，面对理 想敢于追求，就像是他在追求自己的在个人角度看问题 ，还能为国家挺身 而出的作风。 面对困境的态 度，那么泰然，那 么坚强。
“我请求我的爱 国朋友门不要责 备我不是为自己 的祖国而献出生 命。”
谢谢大家！