2015年深圳一模(理数)答案及评分标准
2015深圳一模数学理答案
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8 CDACBCDA二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9．23； 10． 18； 11．9； 12．46； 13．22； 14．2； 15． 4． 三、解答题 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值； （2）若03sin 3x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分 （2）由03s i n 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴ 20022sin 21cos 23x x =-=， …………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+221132232232323+=⨯⨯+⨯⨯=． 00π223()2sin(2)33f x x +∴=+=． …………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47 佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格： 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50，100）[100,150)[150,200)城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望． 解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法，空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50，100）[100,150)[150,200)城市频数21261从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分 从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：ξ1 2 3 P15 3515所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分 答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B PA C --的正切值； （3）求点C 到面PAB 的距离．侧视图正视图 42322z图6OPyxEF H Az图2O (B )P y CxH Az图3O (B )PyCx解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． ……………………3分 （2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ， 由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，23PH =，4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA 于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ， 且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =，所以BE ⊥面PAC ， 由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --的平面角．………6分~PEF PAC ∆∆，PE EFPA AC∴=， 2,4,42PE AC PA ===，2EF ∴=， ……………………………………8分∴在直角CFE ∆中，有tan 6BEBFE EF∠==． 所以，二面角B PA C --的正切值为6． ………………………………………9分 （法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，23PH =，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，(2,0,23)P ，(4,4,0)A ，则(4,4,0)BA =，(2,0,23)BP =，(0,4,0)CA =，(2,0,23)CP =-,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ． 设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=m ，0BP ⋅=m ，得11114402230x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =， 得13x =-，13y =，即(3,3,1)=-m ． …………………6分Az图1 O (B )Py Cx设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=n ，0PA ⋅=n ，得222402230y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ， 得23x =，20y =，即(3,0,1)=n ． ………………………7分27cos ,727⋅-∴<>===-m n m n m n ，tan ,6m n <>=-．…………………8分 而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --的正切值为6．…9分 （3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知42,4PA AB PB ===，47PAB S ∆∴=，14733C PAB PAB V S h h -∆=⋅=， ………………………………12分 三棱锥-P ABC 的体积116333-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分 由P ABC C PAB V V --=，可得：4217=h ． ………………………………………14分 （法二）：由（2）知，平面PAB 的法向量(3,3,1)=-m ，(0,4,0)CA = 记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=m m 437=4217=． ………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19． （本小题满分14分）已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n nn b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）：数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分 （法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①111(1)n n n n b b n n-+--=+， 11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）． ……………………………………………………6分 令(1(1)nn nn b c -=-），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥．∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21nn n b n λ-+=-)(-1)． ………8分 因此，数列{}n b 的通项1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)． (9)分 ②11b =-，2b λ=，312b λ+=-， ………………………………………10分∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2λλ+=--， 解得1λ=或12λ=-． …………………………………………………………11分 当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n nbb 不是常数，数列{}n b 不是等比数列，当1λ=时，11b =-，(1)(2)n n b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列． ………………………………14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b 的离心率为22，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为423． （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：（1）因为椭圆E 的离心率为22，所以2222-=a b a ，解得222a b =，故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ， 过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==， 因为21242421133b AB x x =+-==，解得1b =． 故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分 （2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩………………………9分 222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k -++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合①式． …………………………12分 （iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合①式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ， 消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分 因为MQ 与直线l 垂直，有01-=x k y ， ②……………………………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时(2,0)Q 或(2,0)-，符合③式． ………13分2-xyo21-11-1图a综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（本小题满分14分）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）． 解：（1）()f x 为奇函数，(0)0f ∴=．当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩ ………………………………………2分 [0,2]x ∈时，[]()1,0f x ∈-，[)2,0x ∈-，[]()0,1f x ∈，()f x ∴的值域为[]1,1-． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程()f x t = 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程()f x t =只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程()f x t =有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x 的值域为[]1,1-，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+在[]1,1-上的图象特征．设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+，令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=． 当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<，图bxyoln 221-11e又32ln 2ln 3<，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、时， 直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-、(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =有两个交点，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当ln 33a =时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当ln 313ea <<时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当1ea >时，函数()g x 在[]1,1-上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-， 0a >，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，()0g x '>，当1(2,)x a∈-+∞时，()0g x '<， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值1ln10a -<，即1e a >时，函数()g x 在区间[]1,1-上无零点，因此函数()(())F x gf x =无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值1ln10a -=，即1ea =时， 02(0,1)x e =-∈，函数()g x 的图像如图c 所示，函数()g x 有零点2e -． 2-xyo 21-11-1图c 0x由图a 可知方程()e 2f x =-有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a=->，即103a <≤时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为()10g a -=-<，22222(0)ln 22ln 2lnln1033e 3g a =->-=>=，函数()g x 的图像如图d 所示，函数()g x 在[]1,1-存在唯一零点1t ，其中1(1,0)t ∈-．由图a 可知方程1()f x t =有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． （Ⅳ）当()g x 的极大值1ln10a ->且0121x a =-<，即113ea <<时： 由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<． （ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图e 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数()(())F x g f x =有两个零点． （ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=， (1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图f 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点． （ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的 图e2-xy o 1-11-10x 图d2-xyo21-11-10x 图f2-xyo 1-11-10x图像如图g 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =有两个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数()g x 的图像如图h 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程4()f x t =有两个非1-的不等实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点． （ⅴ）当ln 313ea <<时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-<， 函数()g x 的图像如图i 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有两个 零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =都有两个不等的实根， 且这四个根互不相等，因此函数()(())F x g f x =有四个零点．综上可得：当ln 2ln 2ln 310223a a a e <<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分 当ln 22a =、ln 33a =时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当ln 313e a <<时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分 当1e a >时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k∴+=-=+-+=，图g2-xyo 1-11-10x 0x 图h2-xy o 1-11-10x 图i2-xy o 1-11-1221ln(1)11k k a k +∴=+，1,2,,k n =． …………………………………………10分 记()ln(1)m x x x =+-，1()111x m x x x -'=-=++， 当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k +<，则2222211ln(1)111111k k k a k k k +=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分 当1n =时，11726a <<； 当2n ≥时， （法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<； 当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+， ………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．命题：喻秋生黄文辉袁作生审题：魏显锋。
2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。
广东省深圳市高三上学期第一次五校联考数学理试题 Word版含解析
2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +＝（ ） A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i + 【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析： 解：由题可知2,1a b ==()()22234a bi i i ∴+=+=+，所以D 正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2. 设集合{} 12A x R x =∈-<，{}2,x B y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A ．∅B ．[)0 3，C ．()0 3，D ．()1 3-， 【知识点】集合.A1 【答案解析】C解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为（ ） A ．()0 1，B ．()1 2，C ．()2 3，D ．()3 4， 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为()()32ln 210,3ln 302f f =-<=->，函数为连续函数，所以函数的零点在()2,3之间.【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间.4. 已知m (),2a =-，n ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“m //n ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“m //n ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系. 5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．233 B ．223C ．6D ． 7 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
2015年广东省深圳市校联考中考数学一模试卷
2015深圳市中考数学模拟试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）．CD ．3．小明从正面观察如图所示的物体，看到的是（ ）．C D ．4．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣与函数y=x 的图象交点个数是（ ）5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，DE 垂直平分AC ，则∠BCD 的度数为（ ）第5题 第7题 第8题 第9题7．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为8．如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点C，P 是线段OB上的动点，连接CP，设△ACP的面积为S，则下列说法正确的是（）9．如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）．C D．10．已知一次函数y=ax+b的图象过点（﹣2，1），则关于抛物线y=ax2﹣bx+3的三条叙述：①过定点（2，1）；②对二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为_________．12．在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为_________．13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第_________象限．第12题第13题第14题14．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE 为_________米．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．16．（5分）（2008•广州）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是_________．三、解答题（共7小题，满分0分）17．计算：．18．小王、小李和小林三人准备打乒乓球，他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场，三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，属于不能确定．（1）请你完成下图中表示“抛硬币”一个回合所有可能出现的结果的树状图；（2）求一个回合能确定两人先上场的概率．19．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．20．在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．21．（2015•深圳一模）如图，泰州园博园中有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度．（参考数据：，）22．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DAC．23．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．2015年广东省深圳市校联考中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）．C D．，3．（4分）（2015•深圳一模）小明从正面观察如图所示的物体，看到的是（）．C D．4．（4分）（2008•长沙）在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣与函数y=x的图象交点个数是（）的图象在第二、四象限内，但不过原点，的图象是双曲线，当5．（4分）（2008•德阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（）6．（4分）（2006•辽宁）一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角7．（4分）（2012•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）8．（4分）（2015•深圳一模）如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点C，P是线段OB上的动点，连接CP，设△ACP的面积为S，则下列说法正确的是（）|k|中|k|9．（4分）（2007•南宁）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）．C D．AM=AB=AG=CG的面积为+﹣=因此图中的阴影部分的面积是10．（4分）（2007•绵阳）已知一次函数y=ax+b的图象过点（﹣2，1），则关于抛物线y=ax2﹣bx+3的三条叙述：①，对称轴为﹣=﹣二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）（2008•无锡）若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为2．y=12．（5分）（2007•泉州）在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为12．×=1213．（5分）（2015•深圳一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第一象限．＞14．（5分）（2008•沈阳）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为12米．BAE=15．（5分）（2009•鄂尔多斯）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m≠2且m≠1．16．（5分）（2008•广州）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是．是平行四边形，所以其概率为=三、解答题（共7小题，满分0分）17．（2015•深圳一模）计算：．）（××+2×+2．=18．（2009•钦州）小王、小李和小林三人准备打乒乓球，他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场，三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，属于不能确定．（1）请你完成下图中表示“抛硬币”一个回合所有可能出现的结果的树状图；（2）求一个回合能确定两人先上场的概率．=．19．（2015•深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．20．（2015•深圳一模）在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．21．（2015•深圳一模）如图，泰州园博园中有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度．（参考数据：，）中，因为∴∴22．（2015•深圳一模）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DAC．ME=AB MD=ABME=MD=AB=MA23．（2015•深圳一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．∴x AC=，∴OP=（BP=，∴xAB=周长的最小值为：+参与本试卷答题和审题的老师有：438011；开心；CJX；未来；HJJ；zcx；haoyujun；csiya；zhjh；137-hui；mmll852；蓝月梦；733599；自由人；zhangCF；fuaisu；lf2-9；zhehe；张超。
广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学试题(理)
2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．命题人：二高董正林注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5、考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1、已知a b R ∈，，是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +＝（ ）A 、54i -B 、54i +C 、34i -D 、34i +2、设集合{}12A x R x =∈-<，{}2,x B y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A 、∅B 、[)0 3，C 、()0 3，D 、()1 3-，3、函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为（ ） A 、()0 1，B 、()1 2，C 、()2 3，D 、()3 4，4、已知m (),2a =-，n ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“m //n ”的（ ）A 、充要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件5、一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A 、233 B 、223C 、6D 、 7 6、在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
广东省深圳市宝安区2015届中考数学一模试卷(解析版)
2015年广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF 等于（）A．60°B．55°C．45°D．30°4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.55．如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（）A．AP=PN B．NQ=QDC．四边形PQNM是矩形D．△ABN是等边三角形6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．2 B．4C．4 D．88．已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（）A．4 B．2 C．1 D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）．10．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA=．11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE的面积为20，则sin∠BOE的值为．12．（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为．（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为．（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为．三、解答题（共6小题，满分39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．14．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．15．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．16．（2011•随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D 的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．18．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．19．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD﹣PB|最大值．2015年广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值=窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．【解答】解：∵光线与地面成80°角，∴∠ACB=80°．又∵tan∠ACB=，∴AC=．故选D．【点评】此题考查三角函数定义的应用．2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC=150°，∴∠DAB=30°，∵AB=20米，∴BD=20sin30°=10米，∴S△ABC=×30×10=150（米2）．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要150a元．故选C．【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF 等于（）A．60°B．55°C．45°D．30°【考点】菱形的性质．【分析】连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解．【解答】解：如图，连接AC，∵AE⊥BC，点E是BC的中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.5【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】由矩形的性质得出∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=，OA=OC=AC，根据勾股定理求出AC，得出OA，再证明△AOE∽△ADC，得出比例式，即可求出AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=，OA=OC=AC，∴AC==，∴OA=，∴∠AOE=90°，∴∠AOE=∠ADC，又∵∠OAE=∠DAC，∴△AOE∽△ADC，∴，即，∴AE=1.5；故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（）A．AP=PN B．NQ=QDC．四边形PQNM是矩形D．△ABN是等边三角形【考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定；矩形的判定．【分析】连接MN，由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，再证出AM=AD，BN=BC，得出AM∥BN，AM=BN，证出四边形ABNM是平行四边形，即可得出AP=PN．【解答】解：连接MN，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，∴AM=AD，BN=BC，∴AM∥BN，AM=BN，∴四边形ABNM是平行四边形，∴AP=PN；同理NQ=QD；∴A、B正确；∵AM∥CN，AM=CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴AN∥MC，同理：BM∥ND，∴四边形MPNQ是平行四边形，∵AD=2AB，∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形，∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°，∴四边形MPNQ是矩形；∴C正确，D不正确；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】勾股定理．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．2 B．4C．4 D．8【考点】平行四边形的性质．【分析】由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，易求得∠C的度数，又由在平行四边形ABCD 中，证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形，继而求得答案．【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，∴∠C=180°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=180°﹣∠C=45°，∴AB=AE，AD=AF，∴AB+AD=（AE+AF）=×2=4，∴平行四边形ABCD的周长是：4×2=8．故选D．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形是关键．8．已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（）A．4 B．2 C．1 D．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】设P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a 表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．【解答】解：作FG⊥x轴，∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN=1﹣，在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），∴NF=BN=1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2=（1﹣1+）2+（）2=，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2，∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的性质，关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论是①②④．（把你认为正确结论的序号都填上）．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|x D|•|y D|=k，同理可求得△CEF 的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．【解答】解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）．由函数的图象可知：x＞0，k＞0．∴S△DFE=DF•OF=|x D|•||=k，同理可得S△CEF=k，故S△DEF=S△CEF．若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．①由上面的解题过程可知：①正确；②∵CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，故②正确；③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，∴四边形DBEF是平行四边形，∴S△DEF=S△BED，同理可得S△ACF=S△ECF；由①得：S△DBE=S△ACF．又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，∴BD=AC，④正确；法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，而且EF是公共边，即AC=EF=BD，∴BD=AC，④正确；因此正确的结论有3个：①②④．【点评】此题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．10．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA=．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABO=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ABO 和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE，CE=OB，然后求出OE的长，再利用勾股定理列式求出OC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠OCE=∠COA，再根据锐角的正切等于对边比斜边解答即可．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，∵A（1，0），B（0，3），∴OA=1，OB=3，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∵∠ABO+∠CBE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ABO=∠BCE，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=1，CE=OB=3，∴OE=OB+BE=3+1=4，在Rt△OCE中，OC===5，∵CE⊥y轴，x轴⊥y轴，∴CE∥x轴，∴∠OCE=∠COA，∴sin∠COA=sin∠OCE==．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE的面积为20，则sin∠BOE的值为．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE，S△AEC=2S△AOE=40，由S△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果．【解答】解：如图，连接EC．由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，∴S△AEC=2S△AOE=20．∴AE•BC=20，又BC=8，∴AE=5，∴EC=5．在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE==3．∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣（∠BCE+∠ECO）∴∠BOE+[90°﹣（∠BCE+∠ECO）]+∠EAO=90°，化简得：∠BOE﹣∠BCE﹣∠ECO+∠EAO=0，∵OE为AC中垂线，∴∠EAO=∠ECO．代入上式得：∠BOE=∠BCE．∴sin∠BOE=sin∠BCE==．故答案为：．【点评】此题考查矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点；解题要抓住两个关键：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE．12．（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为2．（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为2．（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN 是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．（2）连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC；（3）根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出CD、BF，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，在△ENG与△BNM中，，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5∴BC==2．故答案为：=2．（2）解：如图2，连接EF，∵点E、点F是AD、DC的中点，∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=1，由折叠的性质可得AE=GE，∴GE=DE，在Rt△EGF和Rt△EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴GF=DF=1，∴BF=BG+GF=AB+DF=2+1=3，在Rt△BCF中，BC==2．故答案为：2．（3）解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则CD=AB=x+1，BF=2x+1，∴12+42=（2x+1）2，解得：x=；故答案为：．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6小题，满分39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．14．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF；（2）连接AC，交EF与G点，由三角形AEF是等边三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，进而求出正方形的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF．又BC=DC，∴BC﹣BE=DC﹣DF，即EC=FC∴CE=CF，（2）解：连接AC，交EF于G点，∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，∴EC=，设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，解得x=，∴AB=+=，∴正方形ABCD的周长为4AB=2+2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．15．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，∴FE：FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；设EF=x，则FC=3x，∵△DEC∽△FDC，∴=，即可得：6x2=12，解得：x=，则CF=3，在Rt△CFD中，DF==，∴BC=2DF=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．16．（2011•随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D 的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由i的值求得大堤的高度h，点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．【解答】解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，∵i=1：=，∴坡AB与水平的角度为30°，∴，即得h==10m，，即得a=，∴MN=BC+a=（30+10）m，∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，∴，解得：DN=MN•tan30°=（30+10）×=10+10≈27.32（m），∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．18．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12，∴BC=AC=12∵AB∥CF，∴BM=BC×sin45°=12×=12CM=BM=12，在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴∠EDF=60°，∴MD=BM÷tan60°=4，∴CD=CM﹣MD=12﹣4．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．19．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD﹣PB|最大值．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）由非负数的性质可求得OA和OC的长，则可得到A、C的坐标，再由矩形的性质可求得B点坐标；（2）由轴对称的性质可知AC⊥BB1，由（1）可知A、C点的坐标，可求得直线AC的解析式，则可求得直线BB1的解析式；（3）由B和B1关于直线AC对称可知，连接BD与直线AC交于点P，则此时PD+PB=PD+PB1，满足条件；再由折叠的性质可证明△AOD≌△CB1D，在Rt△AOD中可求得OD，则可求得CD长，在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的长；（4）由三角形三边关系可知|PD﹣PB|＜BD，只有当P点在线段BD的延长线或反延长线上时，才有|PD﹣PB|=BD，显然不存在这样的点．【解答】解：（1）∵|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．∴OA=2，OC=6，∴A（0，2），C（6，0），∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=2，∴B（6，2）；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A、C坐标代入可得，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+2，由折叠的性质可知AC⊥BB1，∴可设直线BB1的解析式为y=x+m，把B点坐标代入可得2=6+m，解得m=﹣4，∴直线BB1的解析式为y=x﹣4；（3）由（2）可知B和B1关于直线AC对称，如图1，连接BD交AC于点P，则PB=PB1，∴PD+PB=PD+PB1=BD，∴此时PD+PB1最小，由折叠的性质可知B1C=BC=OA=2，∠AOD=∠CB1D=90°，在△AOD和△CB1D中，，∴△AOD≌△CB1D（AAS），∴AD=DC，OD=DB1，设OD=x，则DC=AD=6﹣x，且OA=2，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2+OD2=AD2，即（2）2+x2=（6﹣x）2，解得x=2，∴CD=AD=6﹣2=4，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD===2，综上可知存在使PB1+PD的值最小的点P，PB1+PD的最小值为2；（4）如图2，连接PB、PD、BD，当p在点A时|PD﹣PB|最大，B与B1对称，|PD﹣PB|=|PD﹣PB1|，根据三角形三边关系|PD﹣PB1|小于或等于DB1，故|PD﹣PB1|的最大值等于DB1．∵AB1=AB=6，AD==4，∴DB1=2，∴在直线AC上，存在点P使|PD﹣PB|的值最大，最大值为：2．【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中掌握相互垂直的两直线的解析式的关系是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键，在（4）中注意三角形三边关系的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
【名师解析】广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学理试题 Word版含解析
2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +＝（ ） A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i + 【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析： 解：由题可知2,1a b ==()()22234a bi i i ∴+=+=+，所以D 正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2. 设集合{} 12A x R x =∈-<，{}2,x B y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A ．∅B ．[)0 3，C ．()0 3，D ．()1 3-， 【知识点】集合.A1 【答案解析】C解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为（ ） A ．()0 1，B ．()1 2，C ．()2 3，D ．()3 4， 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为()()32ln 210,3ln 302f f =-<=->，函数为连续函数，所以函数的零点在()2,3之间.【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间.4. 已知m (),2a =-，n ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“m //n ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“m //n ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系. 5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．233 B ．223C ．6D ． 7 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
广东省深圳市2015届高三数学上学期第一次五校联考试题 理
2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷本试卷共4页，21小题，总分为150分．考试用时120分钟．须知事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2. 选择题每一小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题〔本大题共8小题，每一小题5分，总分为40分．在每一小题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. a b R ∈，，i 是虚数单位，假设a i -与2bi +互为共轭复数，如此()2a bi +＝〔 〕A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i + 2.设集合{}12A x R x =∈-<，{}2,x B y R y x R =∈=∈，如此AB ＝〔 〕A ．∅B ．[)0 3，C ．()0 3，D ．()1 3-， 3. 函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为〔 〕 A ．()0 1， B ．()1 2， C ．()2 3， D ．()3 4， 4. m (),2a =-，n ()1,1a =-，如此 “a ＝2〞是“m //n 〞的〔 〕 A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5. 一个多面体的三视图如右图所示，如此该多面体的体积为〔 〕A ．233 B ．223C ．6D ． 7 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃〞布置一项搜寻空投食物的任务. ：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
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2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．23； 10． 18； 11．9； 12．13．2； 14．2； 15． 4． 三、解答题 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值；（2）若0sin x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由0s i n 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴0sin 2x ==…………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+112223=+⨯=．00π()2sin(2)33f x x ∴=+=． …………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格： （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望． 解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：所以1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分 答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B PA C --的正切值； （3）求点C 到面PAB 的距离．解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． （2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H 由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA 于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ， 且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =，所以BE ⊥面PAC ， 由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --~PEF PAC ∆∆，PE EFPA AC∴=， 2,4,PE AC PA ===EF ∴=， ∴在直角CFE ∆中，有tan BEBFE EF∠== 所以，二面角B PA C --． ………………………………………9分 （法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，P ，(4,4,0)A ，则(4,4,0)BA =，BP =，(0,4,0)CA =， (CP =-,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ． 设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=m ，0BP ⋅=m ，得11420x ⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =， 得1x =1y =，即(=m ． …………………6分设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=n ，0PA ⋅=n，得2224020y x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ，得2x =，20y =，即=n ． ………………………7分cos ,⋅∴<>===m n m n m n，tan ,m n <>=8分 而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --9分 （3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知4PA AB PB ===，PAB S ∆∴=133C PAB PAB V S h h -∆=⋅=， ………………………………12分 三棱锥-P ABC的体积133-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分 由P ABC C PAB V V --=，可得：7=h ． ………………………………………14分 （法二）：由（2）知，平面PAB的法向量(=m ，(0,4,0)CA = 记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=mm=7=． ………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19． （本小题满分14分）已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n nn b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）：数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分 （法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①111(1)n n n n b b n n-+--=+， 11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）． ……………………………………………………6分 令(1(1)nn nn b c -=-），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥．∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21nn n b n λ-+=-)(-1)． ………8分 因此，数列{}n b 的通项1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)． (9)分 ②11b =-，2b λ=，312b λ+=-， ………………………………………10分∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2λλ+=--， 解得1λ=或12λ=-． …………………………………………………………11分 当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n nbb 不是常数，数列{}n b 不是等比数列，当1λ=时，11b =-，(1)(2)n n b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列． ………………………………14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b的离心率为2，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：（1）因为椭圆E的离心率为2，所以2=a 222a b =，故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ， 过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==，因为12AB x =-==1b =． 故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分 （2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩………………………9分 222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k -++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，(1,1)Q -符合①式． ………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(，符合①式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，(1,1)Q -符合③式． ………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ， 消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分 因为MQ 与直线l 垂直，有01-=x k y ， ②……………………………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，(1,1)Q -符合③式． ………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(，符合③式． ………13分综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（本小题满分14分）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）． 解：（1）()f x 为奇函数，(0)0f ∴=．当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩ ………………………………………2分 [0,2]x ∈时，[]()1,0f x ∈-，[)2,0x ∈-，[]()0,1f x ∈，()f x ∴的值域为[]1,1-． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程()f x t = 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程()f x t =只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程()f x t =有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x 的值域为[]1,1-，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+，令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=． 当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<，又32ln 2ln 3<，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当ln 33a =时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当ln 313ea <<时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当1ea >时，函数()g x 在[]1,1-上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-， 0a >，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，()0g x '>，当1(2,)x a∈-+∞时，()0g x '<， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值1ln10a -<，即1e a >时，函数()g x 在区间1,1-上无零点，因此函数()(())F x g f x =无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值1ln10a -=，即1ea =时， 02(0,1)x e =-∈，函数()g x 的图像如图c 所示，函数g由图a 可知方程()e 2f x =-有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值1ln 10a ->且0121x a=->，即103a <≤时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为()10g a -=-<，222(0)ln 22ln 2ln10333g a =->-=>=，函数()g x 的图像如图d 所示，函数()g x 在[]1,1-存在唯一零点1t ，其中1(1,0)t ∈-．由图a 可知方程1()f x t =有两不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有两个零点． （Ⅳ）当()g x 的极大值1ln10a ->且0121x a =-<，即113ea <<时： 由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<． （ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图e 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数()(())F x g f x =有两个零点． （ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=， (1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图f 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数()(())F x g f x =有三个零点． （ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数()g x 的图像如图g 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =()(())F x g f x =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数()g x 的图像如图h 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程()f x t =有两个非1-的不等实根，因此函数()(())F x g f x =（ⅴ）当ln 313ea <<时，(0)0g <，(1)ln 33g a =-<函数()g x 的图像如图i 所示，函数()g x 在区间[1,1]-有两个零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =且这四个根互不相等，因此函数()(())F x g f x =综上可得：当ln 2ln 2ln 310223a a a e <<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分 当ln 22a =、ln 33a =时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当ln 313e a <<时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分 当1e a >时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k∴+=-=+-+=，221ln(1)1k k a k +∴=+，1,2,,k n =． …………………………………………10分记()ln(1)m x x x =+-，1()111x m x x x -'=-=++， 当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k +<，则2222211ln(1)1111k k k a k k k +=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分 当1n =时，11726a <<； 当2n ≥时， （法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<； 当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+， ………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．命题：喻秋生黄文辉袁作生审题：魏显锋。