三角形的外角课件ppt

120 ° 3.如图所示,∠1=_______.
80 ° 1 140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的 30或75° 底角为_________. 5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则 A 120° ∠BDC=________.
D B C
• ①当150°外角是底角的外角时，底角为： 180°-150°=30°； • ②当150°外角是顶角的外角时，顶角为： 180°-150°=30°，则底角为：（180°30°）×1/2=75°， • ∴底角为30°或75°． • 故答案为：30或75
• ∵在△ABC中∠A：∠B：∠C=2：3：5， • ∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=5x， • ∵∠A+∠B+∠C=180°，即 2x+3x+5x=180°，解得x=18°， • ∴∠A=2×18°=36°， ∠B=3×18°=54°， ∠C=5×18°=90°． • 答：∠A、∠B、∠C的度数分别为：36°， 54°，90°．
学有所用
例1:如图，D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.
70°
A
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
B D
80°
C
• （1）∵∠ADC=∠B+∠BAD=80°（三角 形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和）且∠B=∠BAD， • ∴∠B=40°； • （2）∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形 内角和定理），∠BAC=70°，∠B=40°， • ∴∠C=70°．
∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB ∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
方法二：
擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性 质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同 学证明一下。
（CE//BA）
A
E
1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和
B
C
D
1. 求下列各图中∠1的度数。
1
60° 30° 35°
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角， A 叫做三角形的外角．
三角形的外角的三个特征: 1.顶点在三角形的一个顶点上; 2.一条边是三角形的一条边; 3.另一条边是三角形的某条边的延长线
B
C
D
画一个三角形，再画出它所有的外角。 想一想: 1、每一个三角形有几个外角？ 2、每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3、这些外角中有几个外角相等？ 4、三角形的每一个外角与三角形的三个内 角有什么位置关系?
• • • • • • •
（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD， 又∵∠ADC=80°，∠B=∠BAD， ∴∠B=1/2∠ADC=1/2×80°=40°； （2）在△ABC 中， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°70°=70°．
(1)在△ABC 中,∠A=1/2∠B=1/3∠ C,试判断△ABC的形 状?(2)已知三角形的第 一个角是第二个角的 3/2倍,第三个三角形比 这两个三角形和大30°, 求这三个角的度数.
解: ∵∠A=1/2∠B=1/3∠C ∠A+∠B+∠C=180ˆ ∴∠A=30ˆ,∠B=60ˆ,∠C=90ˆ 1因为∠A=1/2∠B=1/3∠C 所以∠B=2∠A ∠C=3∠A 而∠A＋∠B＋∠C＝180° 所以∠A＋2∠A＋3∠A＝180° 所以∠A＝30° ∠B＝60° ∠C＝90° ∴这是一个直角三角形 2 设第二个角为x 第一个角3／2x 第三个角x＋3／2x＋30° ∵三角形内角和180° ∴3／2x＋x＋x＋3／2x＋30°＝180° ∴x＝30° ∴第一个角45° 第二个角30° 第三个角105°
①三角形的一个外角与它相邻的内角互 补 ② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
三角形的三个性质
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
自信人生两百年， 会当击水三千里！
1
120°
1
45°
50°
∠1= 90º
∠1= 85º
∠1= 95º
2. 如图所示, ∠A=37°, ∠CBE=155°,
求∠1, ∠2, ∠3的度数.
D C 2 3 A 155° 1 B E
37°
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3、三角形的一个外角与它不相邻的任意一 个内角有怎样的大小关系?
A
F D C
B
E
• • • •
∵∠B=45°，∠C=38°， ∴∠ADF=45°+38°=83°， ∴∠DFE=∠A+∠ADF=32°+83°=115°． 故选B．
• • • •
∵∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB=∠A+∠C=70°． ∵∠DFE是△BEF的外角， ∴∠DFE=∠AEB+∠B=115°．
看一看：
A
图中哪些角是三角形的内角， E 哪些角是三角形的外角？
算一算：
125°
若∠ A＝ 55º ， ∠ B=60º ,
55°
试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE 的度数．并说出你的理由．
65° 115°
60°
B
C
D
三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和。
已知：如图：△ＡＢＣ中，点D在BC的延长线上，
求证：∠ACD=∠A+∠B
A
B
C
D
探究:你能用推理的方法来论证∠ACD= ∠B+ ∠A吗？
你能用几种方法呢？相信你一定能行！
A
B
C
D
方法一:
A
B
C
D
解： ∵∠ACD+ ∠ACB=180° （邻补角的定义）
∴∠ACD =180 ° －∠ACB
又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° （三角形内角和定理 ° ）
的地方都转了一个角度（∠ 1， ∠ 2，∠ 3），
那么回到原来位置时，一共转了几度？
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
2 1
3
证明：
∵∠1＋ ∠BAC=180° ∠2＋ ∠ABC=180° ∠3＋ ∠ACB=180°
三个式子相加得到
A
1 3 B C
2
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540° 而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180° ∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
1 1 1、在△ＡＢＣ中，如果 Ａ= B= ∠C 2 3
那么△ＡＢＣ是什么三角形？
解:设∠A=x°,
那么∠B=2x°,∠C=3x°
根据题意得: 解得
x 2 x 3x 180 x 30
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
所以△ＡＢＣ是直角三角形
因为∠A=1/2∠B=1/3∠C 所以∠B=2∠A,∠C=3∠A 因为∠A+∠B+∠C=180度 所以∠A+2∠A+3∠A=180度 ∠A=30度 ∠C=3∠A=90度 所以是直角三角形
• • • •
当外角是顶角的外角时, 它的底角=150°÷2=75° 当外角是底角的外角时, 它的底角=180°-150°=30°
• • • •
如图，连接AD并延长，则 ∠1=∠A+∠BAD， ∠2=∠B+∠CAD， ∴∠BDC=∠1+∠2=∠A+∠BAD+∠B+∠C AD=∠A+∠B+∠BAC， • ∵∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°， • ∴∠BDC=50°+40°+30°=120°． • 故答案为：120°．
B
D
A
C
性质2、三角形的一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角。
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
课堂反馈:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这 个三角形是(c ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D. 无法确定 2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则 ∠DFE等于( B) A.120° B.115° C.110° D.105°
∠B=2∠A, ∠C=3∠A ∠A+∠B+∠C=180 ∠A+2∠A+3∠A=180 6∠A=180 ∠A=30 ∠B=60 ∠C=90 三角形ABC是有一个角是30度的直角 三角形
在△ABC中,若∠A=1/2∠B=1/3∠C,求 △ABC各内角的度数,并判断△ABC是 什么三角形. ∵∠A=1/2∠B=1/3∠C ∴∠B=2∠A, ∠C=3∠A ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+2∠A+3∠A=180° ∴∠A=30° ∠B=60° ∠C=90° ∴△ABC是直角三角形
三角形的外角
1、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= 60° ； （2）∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= 65° . 2、在△ＡＢＣ中， 36° ， ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：5，则∠Ａ＝ ∠Ｂ＝ 54°，∠Ｃ＝ 90° ,
• • • • •
解：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°， （1）∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=180°-∠A-∠C=60°； （2）∵∠A=50°，∠B=∠C， ∴∠B=1/2（180°-∠A）=65°
例题2：一个零件的形状如图所示，按规定 ∠BAC=90°, ∠B=21°, ∠C=20°,检验 工人量得∠BDC=130°，就断定这个零件 不合格，你能运用所学的知识说出其中的 道理吗？