高考专题蚌埠市20高三年级第三次教学质量检查考试

蚌埠市2015届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考 试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置. 1.已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}2,3,4M =,{}0,1,4N =,则集合{}0,1可以表示为（） A.MN B.()U M N C.()UM N D.()()U UM N1.【答案】B 【解析】2.复数21iz i-=+（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（）A.1322i - B.1322i -- C.1322i + D.1322i -+ 2.【答案】C3.双曲线()222214x y m Z m m+=∈-的离心率为()23 3.【答案】B【解析】由题意240m -<,得22m -<<，故1m =或1-，所以221a m ==，()22244c m m =-+=，得2ce a==.故选B. 4.已知d R ∈，命题:p 对于任意n N *∈，21n n a a d ++-=；命题:q 数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则p ⌝是q ⌝的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.【答案】A【解析】本题也就是找q 是p 的什么条件，因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列⇒对于任意n N *∈，21n n a a d ++-=，反之不能得出.5.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()322f x g x x x -=-，则()()22f g +=()A.16B.16-C.8D.8- 5.【答案】B【解析】由题意得，分别令2x =和2x =-，可得()()220f g -=且()()2216f g ---=-，即()()2216f g +=-，则()()228f g ==-，故选B.6.执行如图所示的程序框图，则输出结果S =（） A.15 B.25 C.50 D.100 6.【答案】C【解析】根据程序框图，()()()1357979950S =-++-+++-+=，输出的S 为50．7.如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形.则该几何体表面积等于（） A.47122π+B.1223π+C.1224π+D.45122π+7.【答案】A【解析】该几何体是半个圆台中间被挖掉一个半个圆柱， 表面积为120547204884122332ππππππ⎛⎫+⨯⨯-⨯+--+=+ ⎪⎝⎭ 8.将函数()()3sin 2,22f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点320,P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则ϕ的值不可能是（）A.34πB.πC.54πD.74π 8.【答案】C【解析】把0,2P ⎛ ⎝⎭代入()()3sin 2f x x θ=+，得sin 2θ=，故4πθ=，所以()3sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，把0,2P ⎛ ⎝⎭代入得sin 242πϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，k ϕπ=或()4k k Z πϕπ=-∈，观察选项，故选C.9.若变量,x y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，且满足(1)(2)0t x t y t ++++=，则参数t 的取值范围为（） A.423t -<<-B.423t -<≤-C.423t -≤≤-D.423t -≤<- 9.【答案】C【解析】:(1)(2)0l t x y x y ++++=，所以直线恒过定点()2,1-，画出可行域，由题意知，直线恒过定点()2,1-点及可行域内一点，直线l 方程可改写成：(2)(1)t y t x t +=-+-，①由图知，当斜率不存在时，符合题意；②当斜率存在时，11,22t k t +⎡⎫⇒=-∈+∞⎪⎢+⎣⎭⇒423t -<≤-；综上：423t -≤≤-. 10.如图，四面体D ABC -的体积为14，且满足060ACB ∠=，1BC =，2AD +=，则四面体D ABC -中最长棱的长度为（）B.2D.360DAC10.【答案】B【解析】因为111sin 60324D ABC AD BC AC V -⎛⎫⋅⋅⋅⋅≥= ⎪⎝⎭，即1AD ≥，因为22AD =≥=，当且仅当1AD ==时，等号成立，这时1AC AD ==，且AD ⊥面ABC ，所以2CD =，AB =，得BD =2.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.11.在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为_______.11.【答案】84 【解析】法一：()()9218319911rrr rrr r T Cx C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，故常数项为6349984T C C ===；法二：按比例分配2x 与1x-这两项中x 的次数之比为2:1，所以把9分为1:2两份，前项用1份，后项用2份，才会出现常数项，所以常数项为3984C =.12.在极坐标系中,O 是极点,设点,A B 的极坐标分别是2,3,63ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则O 点到直线AB 的距离是 .12.【答案】7【解析】,A B的直角坐标分别是(3,2⎛-⎝⎭,故直线AB的方程为)3y x-=-，即120x+-=，所以O点到直线AB的距离是7=.13.某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答）13.【答案】24【解析】将B，C两道工序看成一个整体与A，D，E三道工序全排列共有44A不同排列法，再将B，C两道工序全排列有22A，因为A和D只有两钟可能，要么在左，要么在右，故A必须在D的前且B与C必须相邻的不同排列顺序为4242124.2A A⋅=14.已知函数()11f xx=+，点O为坐标原点,点()()(),nA n f n n N*∈,向量()0,1=i,nθ是向量nOA与i的夹角，则912129coscos cossin sin sinθθθθθθ+++= .14.【答案】910【解析】画图像可知912129coscos cos111,,,sin12sin23sin910θθθθθθ===⨯⨯⨯，所以912129coscos cos11111sin sin sin122391010θθθθθθ+++=+++=-⨯⨯⨯910=.15.已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00)(x x f =，则称0x 为函数)(x f y =的不动点；若存在I x ∈0，使得00))((x x f f =，则称0x 为函数)(x f y =的稳定点.则下列结论中正确的是 .（填上所有正确结论的序号） ①1,12-是函数2()21g x x =-有两个不动点； ②若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点；③若0x 为函数)(x f y =的稳定点，则0x 必为函数)(x f y =的不动点；④函数2()21g x x =-共有三个稳定点；⑤若函数)(x f y =在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同. 15.【答案】①②⑤【解析】对于①，令()g x x =，可得12x =-或1x =，故①正确； 对于②，因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，即00))((x x f f =，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点，故②正确；对于③④，2()21g x x =-，令x x =--1)12(222，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21-=x ，由此因式分解，可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x 还有另外两解451±-=x ，故函数()g x 的稳定点有1,21-，451±-，其中451±-是稳定点，但不是不动点，故③④错误；对于⑤，若函数)(x f y =有不动点0x ，显然它也有稳定点0x ；若函数)(x f y =有稳定点0x ，即00))((x x f f =，设00)(y x f =，则00)(x y f =即),(00y x 和),(00x y 都在函数)(x f y =的图象上，假设00y x >，因为)(x f y =是增函数，则)()(00y f x f >，即00x y >，与假设矛盾；假设00y x <，因为)(x f y =是增函数，则)()(00y f x f <，即00x y <，与假设矛盾；故00y x =，即00)(x x f =，)(x f y =有不动点0x ，故⑤正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,已知sin tan 1cos CA=C-，c =（Ⅰ）求b a；（Ⅱ）若三角形ABC ∆的面积为6，求角C .17．（本小题满分12分）从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试.（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率； （Ⅱ）若设选出男生的人数为X ，求X 的分布列和EX .18．（本小题满分12分）设*n N ∈，函数ln ()n x f x x=，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若存在直线:l y c =()c R ∈，使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值.(参考数据：ln 4 1.386,ln5 1.609≈≈)19.(本小题13分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点. （Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE9，求AG 的长.BF A CDG E20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 共有()22,k k k Z ≥∈项，11a =，前n 项和为n S ，前n 项乘积为n T ，且()112n n a a S +=-+()1,2,,21n k =-，其中2212k a -=，数列{}n b满足2log n b =（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若122123333322222k k b b b b --+-++-+-≤，求k 的值.21.(本小题14分)设()()0000,0A x y x y ⋅≠是椭圆()22:101x y m m τ+=>+上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依次为,,B C D .E 是椭圆τ上不同于A 的另外一点，且AE AC ⊥,如图所示.(Ⅰ)若点A ，且BD AE ∥，求m 的值；(Ⅱ)求证：直线BD 与CE 的交点Q 总在椭圆21x y m ++蚌埠市2015届高三年级第二次教学质量检查考试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准二、填空题：11.84；12.7；13.24；14.910；15.①②⑤.三、解答题：16．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）由题，sin sin cos 1cos A C=A C-，即有sin sin cos sin cos sin A=A C+C A=B 故1ba=；………………………………6分 （Ⅱ）有2222sin 32cos 2a C a a C a ⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，得cos 1C C +=，1cos 2C =-，解得120C =.………………………………12分 17.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）若4人全是女生，共有4735C =种情况；若4人全是男生，共有4870C =种情况；故全为女生的概率为47448730170353C C C ==++.………………………6分 （Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是415C ，选出男生的人数为0,1,2,3,4X =………………………………7分01874151(0)39C C P X C ===；13874158(1)39C C P X C ===；(2)P X =22874152865C C C ==； 318741556(3)195C C P X C ===； 43874152(4)39C C P X C ===.………………………………10分故X 的分布列为012343939651953915EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………12分 18.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）结论：函数()f x 求导，得11ln ()n n xf x x+-'=，令()0f x '=，解得1e n x =. 当x 变化时，()f x '与()f x的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间10,n e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递增，区间1,ne ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减.故函数()1max 1n f x f e en ⎛⎫== ⎪⎝⎭.………………………………3分函数()g x 求导，得()1()x n e x n g x x +-'=，令()0g x '=，解得x n =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在区间()0,n 上为单调递减，区间(),n +∞上为单调递增. ………………………………6分（Ⅱ）由（1）知()()min nn e g x g n n==，因为存在直线:l y c =()c R ∈，使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，所以1n n e n en≥，即11n n e n +-≥，可得()11ln n n n +≥-，………………………………8分当1n =时，成立，当2n ≥时，1ln 1n n n +≥-，即21ln 01n n +-≥-， 令()()21ln 21h n n n n =+-≥-，则()h n 是减函数，所以继续验证， 当2n =时，3ln 20->，………………………………10分 当3n =时，2ln30->， 当4n =时，55ln 4 1.4033->-> 当5n =时，33ln 5 1.6022-<-<，所以max 4n =.………………………………12分 19.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G是EF 的中点， 所以AG EF ⊥. 又因为//EF AD ，所以AG AD ⊥. ………………………………3分 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以AG ⊥平面ABCD .………………………………6分（Ⅱ）因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直.以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系 则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -，所以(4,1,)BF t =--，(4,4,0)AC =，(0,1,)AE t =.……………………………8分 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =， 由0AC n ⋅=，0AE n ⋅=，得440,0,x y y tz +=+=⎧⎨⎩令1z =,得(,,1)n t t =-.因为BF 与平面ACE所成角的正弦值为9，所以6cos ,9||||BF n BF n BF n ⋅<>==⋅，………………………………10分=21t =或2172t =.所以1AG =或2.………………………………12分20.（本小题满分13分）【解析】（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； 当221n k ≤≤-时，()112n n a a S +=-+，()112n n a a S -=-+，所以()11n n n a a a a +-=-，故1n na a a +=，即数列{}n a 是等比数列，12n n a a -=， 可得()()1121211222n n n n nk n n T a a a a-+++++-=⋅⋅⋅==，()11112121n n n n b n n k k -⎡⎤-=+=+⎢⎥--⎣⎦； ………………………………7分 （2）令32n b ≤，则12n k ≤+，又n N *∈，故当n k ≤时，32n b <， 当1n k ≥+时，32n b >.………………………………8分 1221233332222k k b b b b --+-++-+- 12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………10分()()()()212111210122212121k k k k k k k k k b b b b k k k k k +⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=++-++=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由23212k k ≤-，得22630k k -+≤k ≤≤，……………………12分 又2k ≥，且k N *∈，所以2k =.………………………………13分 21.（本小题满分14分）【解析】（Ⅰ）因为BD AC ∥，AE AC ⊥，所以BD AC ⊥，可知A ⎝⎭，………………………………4分 故311m =+，2m =；………………………………6分 (Ⅱ)由对称性可知()00,B x y -，()00,C x y --，()00,D x y -，四边形ABCD 为矩形， 设()11,E x y ，由于,A E 均在椭圆τ上，则()()220022111111x m y m x m y m ⎧++=+⎪⎨++=+⎪⎩①②由②－①得：()()()()()1010101010x x x x m y y y y +-+++-=，………8分显然10x x ≠，从而1010010100111111111AC AE y y x x y k x x m y y m k m m x +-=-⋅=-⋅=⋅=⋅++-+++，………………………………10分 因为AE AC ⊥，所以1AE AC k k ⋅=-，所以()()00100000100:1:1BDCE y l y x x y y y l y y x x x x x x m x ⎧=-⎪⎪⎨+⎪+=+=⋅+⎪++⎩，解得0022m x x m m y y m +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，………………………………12分代入椭圆方程，知22212x m y m m ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭.………………………………14分（以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）。