定积分在物理中的应用教学设计

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数)(t v v = (0)(≥t v ) 在时间区间[a,b]上的定积分，即⎰
=
b
a
dt t v s )(。

试回答下面的问题：
问题1：当0)(≥t v 时，路程和位移是否相同？能否直接用定积分来求？ 问题2：当0)(<t v 时路程和位移是否仍然一致？此时，用定积分⎰b
a
dt t v )(表示的是路程吗？如果不是，
那它表示的是什么？ 问题3：如果定积分
⎰b
a
dt t v )(表示的不是路程，应该怎么求路程？
问题4：如果在区间[a,b]上，速度有正有负，比如，当],[c a t ∈ 时，0)(≥t v ；当],[b c t ∈时，0)(<t v 。

又应该怎么求路程？
情境二：通过以上的探索，你是如何认识变速直线运动的路程和位移这两个物理量的？（小组讨论，最后形成结论后，由小组代表阐述本组最终观点，跟其它各组比较，体会相互沟通、交流的乐趣和必要性） 问题1：用定积分解决变速直线运动的路程和位移问题时的关键是什么？（分清物体的运动状态，明确运动状态改变的“节点”） 总结：求变速直线运动的路程s 和位移1s 的方法： （1）若)(0)(b t a t v ≤≤≥，则⎰
==b
a
dt t v s s )(1；
（2）若)(0)(b t a t v ≤≤≤，则⎰
-
=b
a
dt t v s )(；⎰=b a
dt t v s )(1。

（3）若在区间],[c a 上0)(≥t v ，在区间],[b c 上0)(<t v ，则⎰⎰
-=
b c
c
a
dt t v dt t v s )()(，⎰=b
a
dt t v s )(1
对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图像得到速度的解析式及积分的上、下限，若是分段函数，则需要先分别求出各段上的路程，然后再求和。

例1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1分钟内行驶的路程。

情境三： 变力作功 一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力做功的问题。

可以得到
⎰=b
a
dx x F W )(
例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所
作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到
22
0011|()22
l
l W kxdx x kl J ==
=⎰
答：克服弹力所作的功为2
12kl J .
总结：
（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键。

（2）由功的物理意义，已知物体在变力)(x F 的作用下，沿力)(x F 的方向做直线运动，使物体从a x =移到b x =
（b a <）。

因此，求功之前还应求出位移的起始位置和终止位置。

（3）根据变力做功公式⎰=
b
a
dx x F W )( 即可求出变力)(x F 所做的功。

情境四：定积分在物理上的综合应用 【课堂练习】： 1.A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，
t/s
v(m/s)
O A B C
10 40
60
50
20 30 30 20 10
到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求：（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需时间。

2.直径为20cm ，高为80cn 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2
的蒸气，设温度保持不变，要
使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？ 习题设计：
1.一质点沿直线以23+=t v （t 的单位：s ；v 的单位：m/s ）的速度运动，则该质点在第3a 到第6s 间的运动路程为（ ）A.46m B.46.5m C.87m D.47m （知识点1，易）
2.一物体在力523)(2
+-=x x x F （力的单位：N ；位移的单位：m ）作用下沿与力)(x F 相同的方向由m x 5=直线运动到m x 10=处，作用力)(x F 所做的功为（ ） A.925J B.850J C.825J D.800J （知识点2，易）
3.一物体以)/(83)(2
s m t t t v +-=的速度运动，则其在前30s 内的平均速度为 （知识点3，中） 4.有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为2
28)(t t t v -=（速度的正方向与x 轴的正方向一致）求：（1）点P 从原点出发，当6=t 时，求点P 离开原点的路程和位移；
（2）点P 从原点出发经时间t 后又返回原点时的t 值。

（知识点1，中） 5.一物体在力2
315)(x x F -=（力的单位：N ；位移的单位：m ）作用下沿与力)(x F 成
30角的方向由1=x 直线运动到2=x 处，作用力)(x F 所做的功为（ ） （知识点2，难）
A. J 3
B. J 32
C. J 34
D.
J 2
3。