有限元第九讲等参单元共26页

等参单元

5．等参单元本章包括以下内容： 5.1等参单元的基本概念 5.2四边形八节点等参单元 5.3等参单元的单元分析 5.4六面体等参单元5.1等参单元的基本概念在进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差：1）提高单元划分的密度，被称为h 方法（h-method ）；2）提高单元位移函数多项式的阶次，被称为p 方法（p-method ）。

在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，如图5-1所示，该矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。

图5-1 四结点矩形单元同第三章的方法类似，将单元的位移模式选为，xy a y a x a a u 4321+++= xy a y a x a a v 8765+++=（5-1）可得到，p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=p p m m j j i i v N v N v N v N v +++=（5-2）形态函数为， )1)(1(41b y a x N i --=)1)(1(41b y a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++= )1)(1(41by ax N p +-=（5-3）上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 1）反映了单元的刚体位移和常应变， 2）单元在公共边界上位移连续。

在矩形单元的边界上，坐标x 和y 的其中一个取常量，因此在边界上位移是线性分布的，由两个结点上的位移确定。

与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下。

表5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位移连续性条件。

为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变换。

图5-2任意四结点四边形单元图5-3四结点正方形单元在图5-2所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系),(ηξ，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令四条边上的ξ及η值分别为1±。

有限元法和应用总结课件

线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象旳，所考虑旳变形建立在小变形假设旳基础上。在此类问题中，材料旳应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少旳计算时间。假如采用高效旳代数方程组求解措施，也有利于降低有限元分析旳时间。
平面单元划分原则
• 1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。他们旳特点是单元旳节点数越多，其计算精度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。
• 2.划分原则： • 1）划分单元旳个数，视计算机要求旳精度和计算机容量
而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要旳计算机容量越大，所以，须根据实际情况而定。 • 2）划分单元旳大小，可根据部位不同有所不同，在位移或应力变化大旳部位取得单元要小；在位移或应力变化小旳部位取得单元要大，在边界比较平滑旳部位，单元可大。
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程旳系统性、规律性强，尤其合适于编程求解。一般除板壳问题旳有限元应用一定量旳混正当外，其他全部采用有限元位移法。所以，一般不做尤其申明，有限元法指旳是有限元位移法。
• 有限元分析旳后处理主要涉及对计算成果旳加工处理、编辑组织和图形表达三个方面。它能够把有限元分析得到旳数据，进一步转换为设计人员直接需要旳信息，如应力分布状态、构造变形状态等，而且绘成直观旳图形，从而帮助设计人员迅速旳评价和校核设计方案。
• 虚位移原理是平衡方程和力旳边界条件旳等效积分旳“弱”形式；
• 虚应力原理是几何方程和位移边界条件旳等效积分“弱”形式。
3.虚功原理（续）

等参数单元

(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。在上述分析的基础上，利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件，进而进行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据特定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等参元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一般具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标变换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元（子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x

第九章--板壳结构有限元

应用举例承受均布荷载q的方板，四边简支。4×4网格，挠度=？
h/L 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4
有限元 0.04438 0.04628 0.05202 0.06160 0.07500
厚板 0.04439 0.04632 0.05217 0.06192 0.07557
薄板 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437
将三个结点的位移代入进去，则可以反推出
单元位移=形函数×结点位移的三个表达式（u,v,w）。
根据位移函数的表达形式，不难看出其就是平面应力单元和薄板弯曲单元的结合。后续分析过程较复杂，因此在这里只做文字性叙述注意事项。
单元位移表达式（u,v,w）建立后，下面的工作就是进行应变
计算。但是注意up,vp并不是u,v
壳结构基础理论知识
任何单曲或双曲薄壳，在单元较小时均可用薄板单元组成的单向或双向折板体系来近似，也就是采用平面壳单元进行分析。平面壳单元可以视为平面应力单元与板弯曲单元的组合体。
平面应力单元（亦称膜单元）仅仅能够承受作用于平面内的载荷，不能够承受其它载荷。假设z方向上的位移w=0，每一结点仅存在沿x轴和y轴的位移
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。面积坐标采用面积坐标表达的位移模式为：

有限元法与程序-等参单元的处理(中大)

n
n
u Niui
i 1
w= Ni wi
i 1
对于4结点等参数单元，n=4，形函数Ni 如下 1 N i (1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4) 4
对于8结点等参数单元n=8，形函数Ni 取为
N 1 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 2 (1 )(1 ) / 2 N 3 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 4 (1 )(1 ) / 2 N 5 (1 )(1 )( 1) / 4 N 6 (1 2 )(1 ) / 2 N 7 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 8 (1 )(1 ) / 2
式中： 0 i ,0 i, 0 i
2、单元中应变
e
{} [B]{ } [B1 B2 B20 ]{ }
e
e
{ } [u1 v1 w1 u2 v2 w2 u20 v20 w20 ]
N i x 0 0 [ Bi ] N i y 0 N i z 0 N i y 0 N i x N i z 0 0 0 N i z (i 1,2, ,20) 0 N i y N i x
三维高斯积分公式
Leabharlann 1111f ( , , )d d d H i H j H k f (i , j , k )
i 1 j 1 k 1
n
n
n
式中积分点和权函数仍按上表采用。等参元数值积分中一般取3-4就可取得足够精度
单元刚度矩阵[k ] H m H n H p [ B]T [ D][ B] | J |

等参单元

5．等参单元本章包括以下内容： 5.1等参单元的基本概念 5.2四边形八节点等参单元 5.3等参单元的单元分析 5.4六面体等参单元5.1等参单元的基本概念在进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差：1）提高单元划分的密度，被称为h 方法（h-method ）；2）提高单元位移函数多项式的阶次，被称为p 方法（p-method ）。

在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，如图5-1所示，该矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。

图5-1 四结点矩形单元同第三章的方法类似，将单元的位移模式选为，xy a y a x a a u 4321+++= xy a y a x a a v 8765+++=（5-1）可得到，p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=p p m m j j i i v N v N v N v N v +++= （5-2）形态函数为， )1)(1(41b y a x N i --=)1)(1(41by a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++=)1)(1(41b y a x N p +-=（5-3）上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求：1）反映了单元的刚体位移和常应变， 2）单元在公共边界上位移连续。

在矩形单元的边界上，坐标x 和y 的其中一个取常量，因此在边界上位移是线性分布的，由两个结点上的位移确定。

与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下。

如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位移连续性条件。

为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变换。

图5-2任意四结点四边形单元图5-3四结点正方形单元在图5-2所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系),(ηξ，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令四条边上的ξ及η值分别为1±。

有限元基础知识

一、课程论文：等参单元及其应用1.概述：等参单元的原理及其对有限元法在工程应用的意义工程中一些结构的形状是比较复杂的，有的具有曲面边界，而常用的三角形单元、矩形单元、四面体单元和六面体单元都是直线边界，不能模拟任意形状几何体，在处理曲边界几何体时误差较大。

为解决这些单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，如果再增加边中间点还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度使用单元，就引入了等参单元的概念。

等参单元也就是运用了等参变换方法的单元，即采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。

等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要的意义。

如图1为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。

将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。

但在建立单元位移模式时产生了新的问题：单元上没有一个如矩形单元中的简单直接的局部坐标系，而又不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式（位移沿边界二次变化，不协调）。

图1、4节点任意四边形单元及其母单元需建立一种新的局部坐标系ξ-η，使得4条边的坐标为常数（±1）,则在ξ-η平面内，单元成为一个边长为2的正方形。

同时，该局部坐标系的建立在x-y 平面上的任意四边形单元与ξ-η平面上的正方形之间形成了一个1-1对应的映射关系。

称ξ-η平面内的正方形单元为基本单元或母单元，x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。

显然，母单元节点对应不同的x，y坐标就可以得到不同大小、形状和方位的任意四边形实际单元。

建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在ξ-η平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。

任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为ξ-η坐标系下的位移模式）与矩形单元相同：44332211u N u N u N u N u +++= 44332211v N v N v N v N v +++= 其中，形函数为：)1)(1(41ηηξξi i i N ++=(i=1,2,3,4) 当然，该位移模式在x ，y 坐标系下不是双线性位移模式，位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。

弹塑性力学与有限元-等参元数值分析

《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —等参元和数值积分
等参元和数值积分
等参元和数值积分
等参元
➢ 等参单元的基本概念和单元矩阵的变换 ➢ 等参变换的条件和等参元的收敛性 ➢ 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式
数值积分
➢ 数值积分方法 ➢ 等参元计算中数值积分阶次的选择
《弹塑性力学与有限元》
x a 2 b c
y d 2 e f
（4-13）
可见在整体坐标系中，单元的边是一条抛物线或退化为一条直线。
《弹塑性力学与有限元》
等参元和数值积分
等参单元的矩阵变换
图4-6 ANSYS提供的Plane82单元
《弹塑性力学与有限元》
等参元和数值积分
等参单元的矩阵变换
如图4-6所示，ANSYS提供的PLANE82单元是一个四边形八结点等参单元，局部坐标定义为s和t，如图4-7所示。PLANE82单元可以退化为三角形六结点单元。
《弹塑性力学与有限元》
等参元和数值积分
等参单元的基本概念和单元矩阵的变换
形函数为，
1x y
Ni
(1 4
)(1 a
) b
Nj
1 (1 4
x )(1 y ) ab
Nm
1 (1 4
x )(1 a
y) b
Np
1 (1 4
x )(1 a
y) b
上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求：反映了单元的刚体位
因此给出任意四边形单元的结点位移就能得到整个单元上的位移，上式给出的位移模式就是所要找的正确的位移模式。把局部坐标与整体坐标的变换式也取为:
x N1x1 N2 x2 N3x3 N4 x4 （4-8） y N1 y1 N2 y2 N3 y3 N4 y4

有限元ppt课件

h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2

yi1

yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU

dW

1 2

x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有

1
I (1,2 ,3,

2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值方法.
它从最初的固体力学领域拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复杂问题的计算

等参元单元法演示文稿

➢ 单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点等参
数单元完全相同，具体公式形式也一致。区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见下表：
四结点单元
八结点单元
{δ}
8×1列阵
16×1列阵
[B] 3×8矩阵， 4个分块 3×16矩阵，8个分块
[k]
8×8矩阵
16×16矩阵
面力
分到2个结点
分到3个结点
第十七页，共41页。
[J
]1
N N
i , i ,
[J
]1
|
1 J
|
y, x,
y,
y,
由N i
1 4
(1
i
)(1
i
),
分别对、求导可得：
N i, N i,
i i
(1 (1
i i
) )
/ /
4 4(i
1,2,3,4,5,6,7,8)
8
x Ni xi
i 1
8
y
i 1
N
i
xi
第二十页，共41页。
4
4
4
4
1 直线24的方程
x x2 (1 ) x4 (1 )
2
2
y y2 )(1 ) y4 (1 )
2
2
0 形心坐标
第三页，共41页。
x (x1 x2 x3 x4 ) / 4 y ( y1 y2 y3 y4 ) / 4
子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标
1,2,...,8)
Ø（2）表面力：设单元的某边（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），则
{pS }i
p Sx p Sy
l

有限元第九讲等参单元共26页文档

有限元第九讲等参单元
6、纪律是自由的第一条件。——黑格尔信念。 ——马卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律，否则一切都会陷入污泥中。 ——马克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天真而不幼稚，勇敢而鲁莽，倔强而有原则，热情而不冲动，乐观而不盲目。 ——马克思
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

数学有限元基础PPT课件

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• C点的位移为杆件①和②的总伸长量，即 • 则归纳以上结果完整的解答为
第36页/共73页
• 讨论：1.以上完全按照材料力学的方法，将对象进行分解来获得问题的解答，它所求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则需要变形协调方程(compatibility equation)，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧；2.若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于A、B、C三个点的位移来进行以上问题的求解。
22
第22页/共73页
典型例题1 一个一维函数的两种展开方式的比较
• 设有一个一维函数f （x)，x∈[x0，xl]分析它的展开与逼近形式。
• 首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数(Fourier series)展开，则有：
• f(x）≈c0.φ0（ x∈[x0，xl]）+ c1.φ1（ x∈[x0，xl]）+….
19
第19页/共73页
• 有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)。
• 在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness)等方面的评判，以便对不合理的
3
第3页/共73页
1.2有限元方法的历史
• 有限元方法的思想最早可以追溯到古人的“化整为零”、“化圆为直”的作法，如“曹冲称象”的典故，我国古代数学家刘徽采用割圆法来对圆周长进行计算；这些实际上都体现了离散逼近的思想，即采用大量的简单小物体来“冲填”出复杂的大物体。

有限元等参数单元

1
（3）Gauss积分如果我们调整n个插值点的位置，使得 ϕ (ξ ) 具有(2n-1)次多项式，并对 f (ξ ) 进行逼近，则可以大大提高积分精度。
ϕ (ξ ) = ∑ li( n −1) (ξ ) f (ξi ) + ∑ β iξ i P(ξ )
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎢ ∂x ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N i ⎢ ∂z ⎢ ∂N ⎢ i ⎢ ⎣ ∂y
0 ∂N i ∂y 0 ∂N i ∂z 0 ∂N i ∂x
⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂z ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂y ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂x ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ∂N i ⎥ B=⎢0 ⎥ y ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ∂N i ∂N i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂y ∂x ⎦
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：
⎧ ∂N i ⎫ ⎡ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎢ ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎢ ∂η ⎪ ⎪ η ∂ ⎩ ⎭ ⎣
待定系数可由节点映射条件求出。因此可写出其坐标变换式：
x (ξ ,η ) = N1 (ξ ,η ) x1 + N 2 (ξ ,η ) x2 + N 3 (ξ ,η ) x3 + N 4 (ξ ,η ) x4 ⎫ ⎪ ⎬ y (ξ ,η ) = N1 (ξ ,η ) y1 + N 2 (ξ ,η ) y2 + N 3 (ξ ,η ) y3 + N 4 (ξ ,η ) y4 ⎪ ⎭
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：

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第九章--板壳结构有限元

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