第六章离散系统的Z域分析xg
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第六章离散系统的z域分析
z 1
z a
4 5
a n u n 1
1 z 1 1 az za
za z 0
RN n
1 zN zN 1 1 z 1 z N z N 1
6
nun
z 1
1 z
na n u n
1 2
z z 12
z 1
7 8 9
(6-4)
z 变换收敛域有一个很重要的特性，就是在收敛域内不能有 X z 的极点。
3 几种序列的 z 变换收敛域 6.1.3 6.1.
下面的讨论假设下标变量 n1 , n2 是有限值且 n1 n2 。 1. 有限长序列 有限长序列只在有限区间 n1 ~ n2 范围内序列的值不为零，它的 z 变换为
Rx z Rx
。
如图 6-13(c)所示。如果 R x R x ，则 X z 没有收敛域， 即 z 变换实际上不存在 。 比如周期序列和双边指数增长的序列的 z 变换都是不存在的。jIm jIm jIm来自收敛域 Re收敛域
Re Re
0
0
收敛域
0
Rx
(a) 右 边 序 列 收 敛 域
x lim x n limz 1X z
n z 1
(6-21)
【例 6-14】已知因果序列 x n 的 z 变换为
X z
1 1 z 1 ，求序列的初值 x 0 和终值
x 。
解：根据初值定理有
x 0 lim X z 1
Im
右边序列
z 平 面
Im
左边序列
Re
z 平 面
Re
0
Im
a b c
第六章 离散z域..
n n
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
第6章 离散系统的Z域分析
k→∞ Z→1
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
第六章离散系统的频域和z域分析
F4 1
k 0
3
fN
k
-2
11 2
j
k
2 k
f4 k
1 4
[ 2 (1 j ) e
j
j
2
k
e
j
2
k 0
fN
k e
k
1 j
2
(0 )e
1 2
2k
2
(1 j ) e
3k
]
3
F4 2
F4 3
k 0
第
具体对应关系
（1）s平面的原点
σ 0 ，z平面 0
r 1 ，即 z 1 。 θ 0
19 页
（2）典型区域 s平面
σ0
σ0 σ0
为常数 :
左半平面 z平面
r 1
虚轴
r 1
右半平面
r 1
左向右移
r为常数 : 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外
一、从傅立叶级数到傅立叶变换（DFS→DTFT）
N 1
第 7 页
FN
n
k 0
fN
k
e
jn
2 N
k
fN (k )
1 N
N 1
1
FN
ne
jn
2 N
k
n0 N 1
2
d
N→∞
N
2
n0
FN
ne
jn
2 N
k
2 N
n
2 N
n
k 0
3
fN
k
-2
11 2
j
k
2 k
f4 k
1 4
[ 2 (1 j ) e
j
j
2
k
e
j
2
k 0
fN
k e
k
1 j
2
(0 )e
1 2
2k
2
(1 j ) e
3k
]
3
F4 2
F4 3
k 0
第
具体对应关系
（1）s平面的原点
σ 0 ，z平面 0
r 1 ，即 z 1 。 θ 0
19 页
（2）典型区域 s平面
σ0
σ0 σ0
为常数 :
左半平面 z平面
r 1
虚轴
r 1
右半平面
r 1
左向右移
r为常数 : 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外
一、从傅立叶级数到傅立叶变换（DFS→DTFT）
N 1
第 7 页
FN
n
k 0
fN
k
e
jn
2 N
k
fN (k )
1 N
N 1
1
FN
ne
jn
2 N
k
n0 N 1
2
d
N→∞
N
2
n0
FN
ne
jn
2 N
k
2 N
n
2 N
n
第六章 离散系统的z域分析
∞
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
信号与系统 第六章 离散时间系统的Z域分析
2z z X ( z) z 1 z 0.5
z 1, 即x n 为因果序列
x n = 2-0.5n u n
第六节 z变换的基本性 质
一、 Z变换的基本性质
１线性性：
若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
n
-n
<1 x(n) Rx1
即: z lim
n
看出：
z Rx1
则该级数收敛.其中Rx1是级数的收敛半径. 可见：右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。 1）如果n10，则收敛域包括z=。即收敛域为 z Rx1 2）如果n1<0，则收敛域不包括z=。即收敛域为 Rx1< z 3）如果n1=0，则右边序列变成因果序列，即因果 序列是右边序列的一种特殊情况，其收敛域为： z Rx1
b0 b1 z = a0 a1 z br 1 z r 1 br z r ak 1 z k 1 ak z k
对因果序列 z R为X z 的收敛域， 需k r保证X z 在z=处收敛。
逆Z变换
则（1）当X(z)仅含一阶极点时 X z 部分分式展开 k Am 先
二、 典型序列的Z变换
Z 1 单位样值序列 ( n ) 1
( n)
1
0
z , z 1 2 单位阶跃序列 u(n) z 1
Z
Z 3 斜变序列 nu(n)
n u ( n)
1
z
0
2
z 1
z , 1
n
典型序列的Z变换
4 单边指数序列 a u(n)
举例
求序列 a u(n) a u(n 1)的z变换.
第6章 离散时间系统的z域分析
1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )
在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1
第六章 离散系统的z域分析
Z Zn
=
k0 Z
n i 1
ki
Z
1 Zi
FZ
②ki=(Z- Z i ) Z Z= Zi
③F(Z)=k0+
n i 1
2.因果序列 :
a f1(k)=
k
ε(k)
←→Z/(Z-a),
︱Z︱＞
︱a︱
F1(Z)=
ak Z k
k 0
k 0
aZ 1
K 1 aZ 1 = 1 aZ 1
=
Z/(Z-a)
︱a
Z
1
︱＜
1,︱Z︱＜
︱a︱
不定
︱Z︱=︱a︱→收敛圆
无界
︱Z︱＜ ︱a︱
Im[Z]
︱a︱ 0
Re[Z]
Z平面---积坐标R e j S平面---直角坐标
FZ =
BZ
Z ZAZ
(m≤n) m＜n 变为真分式
求分母多项式的根→极点 极点:A(Z)=0的根，Z1,Z2,…,Zn.F(Z) →∞
极点类型: 实数单极点
共轭复数单极点
实数重极点
复数二重极点
1①.实F数Z单 极= 点k0:Z1,Zk12,… ,Zkn互2 不 .相.. 等.kn
Z
Z Z Z1 Z Z2
F(Z) →f(0),f(1)和f(∞)
1.初值定理：因果序列
F(Z) =
f k Z k
k 0
=f(0)+f(1) Z 1+f(2) Z 2+…+f(m) Z m2+…
∴ZF(Z)=Zf(0)+f(1)+f(2) Z 1+..+f(m) Z m1..
∴f(0)=limF(Z)
《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析
第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。
Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。
当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。
6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。
当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。
因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。
而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。
那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。
只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。
X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。
在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。
6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。
在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。
第六章离散系统的Z域分析
z z F (z) （ a z b ） za zb
a z 当 1且 1即a z b 收敛 z b
j Im [z ]
b
0
a
Re [ z ]
5
由上可知 （1） z变换的收敛域与f(k) 与z值的范围有关，两 个不同的序列由于收敛域不同可能对应于同一个z 变换，为了单值的确定z变换对应的序列，在给出 序列的z变换式的同时，必须明确其收敛域。
m
n m
f (n)z
1
n m
f (n)z
n
1
n
]
]
14
z f ( k m ) ( k ) f ( k m )z
k 0
k
z
m
f (k m )z
k 0
( k m )
z
m
z [ f ( n)z
n 0
m m 1 n 0
据定义
zkf ( k )
k 1
z ( kz
k
d k d z z f (k ) z F ( z ) dz k dz
时域序列线性加权的z变换为原序列象函数微 20 分后乘以（z）
kf (k )z dz ) f ( k ) z [ dz
k k
k
k
] f (k )
推广：
m
d m k f ( k ) ( z ) F ( z ) ( 1 z 2 ) dz
d m ( z ) F ( z )表示对F ( z )求导并乘以 ( z )共m次 dz
z 例4、 若 已 知 z[ ( k )] ,求 斜 变 序 列 k ( k )的z变 换 z 1
信号与系统课件第六章-离散系统的Z域分析
域内都有 f kzk ；如果不能绝对收敛，就
认为该序列f(k)的z变换不存在。
上一页
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
9
收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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23 2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
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序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
17
认为该序列f(k)的z变换不存在。
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
9
收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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23 2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
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序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
17
第六章 离散系统的z域分析
z z 1 3
1 2
序列部分和的z变换:
f ( n) ε ( n) =
∑
k =0
∞
f (k )ε (n k ) =
∑
k =0
n
f (k )
n f ( k ) = [ f ( n) ε ( n) ] k =0
∑ ∑
n z f (k ) = F (z) z 1 k =0
F ( z) =
3,指数序列
F (z) = = 1 + az
z n
[δ (n)]
∞ ∞
[δ (n)] = 1
2,阶跃序列 F ( z ) = [ε (n)] =
∑
n =0 1
∞
an zn =
∑
∞
( a n z 1 ) n
n =0
∑
n=0
ε ( n) z
n
=
∑
n =0
+ a2 z 2 + 1 = z za
∑
证明:
单边z变换:
[ f ( n m) ] ∑ f ( n m) z n = z m ∑ f ( n m) z ( n m )
n =0 n =0
∞
∞
令:k = n m
[ f ( n m) ] = z m ∑ f ( k ) z ( k )
k = m
∞
= z m
∑
k =0
n =0 k =0 n =0
∞
∞
∞
= F1 ( z ) F2 ( z )
零状态的响应:
∵ y ( n ) = f ( n ) h ( n) ∴ y ( n) Y ( z ) = F ( z ) H ( z )
例6-8
1 2
序列部分和的z变换:
f ( n) ε ( n) =
∑
k =0
∞
f (k )ε (n k ) =
∑
k =0
n
f (k )
n f ( k ) = [ f ( n) ε ( n) ] k =0
∑ ∑
n z f (k ) = F (z) z 1 k =0
F ( z) =
3,指数序列
F (z) = = 1 + az
z n
[δ (n)]
∞ ∞
[δ (n)] = 1
2,阶跃序列 F ( z ) = [ε (n)] =
∑
n =0 1
∞
an zn =
∑
∞
( a n z 1 ) n
n =0
∑
n=0
ε ( n) z
n
=
∑
n =0
+ a2 z 2 + 1 = z za
∑
证明:
单边z变换:
[ f ( n m) ] ∑ f ( n m) z n = z m ∑ f ( n m) z ( n m )
n =0 n =0
∞
∞
令:k = n m
[ f ( n m) ] = z m ∑ f ( k ) z ( k )
k = m
∞
= z m
∑
k =0
n =0 k =0 n =0
∞
∞
∞
= F1 ( z ) F2 ( z )
零状态的响应:
∵ y ( n ) = f ( n ) h ( n) ∴ y ( n) Y ( z ) = F ( z ) H ( z )
例6-8
信号与系统 -第六章离散系统z域分析
收敛域的定义：
对于序列f(k)，满 f (k) zk
足
k
所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
第6-4页
■
6.1 z变 换
（1）整个z平面收敛；
第6-5页
■
6.1 z变
换
例1 求以下有限序列的z变换 (1) f1(k)= (k)
解
(2) f2(k↓)=k{=10, 2 , 3 ,
(1) F1 (z) (k )z k
则
f (k ) zm k m
kz+Fm(m> )0d
1
,
| z |
证明：F(z)
f (k)zk
k
F ( )d
z
m1
f (k) k
k
d
z
m1
f (k ) d (k m1)
z
f (k ) m ) k
(k
(k m)
z
k
f (k ) z(k m) z m
例2：cos( k) (k) ? sin( k) (k) ?
解: cos(
k) (k ) 1 (e j k e j k ) (k ) 0.5z
2
z ej
cos( k) (k) z2 z cos ,| z |1 z2 2z cos 1
0.5z z e j
sin(
k) (k) 10.5(ze j k e j k ) (k)
z ,
za
1
f (k ) ak
(k 1) F (z) a
,
z za a
2
2
| z | | z |
(k m) zm , | z | 0
其中：a>0
[信号与系统]第6章 离散系统的Z域分析
![[信号与系统]第6章 离散系统的Z域分析](https://img.taocdn.com/s3/m/c6a801d3a6c30c2258019e8d.png)
信号与系统第6章离散系统的z分析第第6章离散系统的z分析61z变换62z反变换63z变换的主要性质64离散系统的z域分析65系统函数hz66离散系统的稳定性67离散信号与系统的频域分析68数字信号处理信号与系统第6章离散系统的z分析上一章讨论了离散信号与系统的时域分析它的分析过程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处
z esT
的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为
因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 k 0的
部分，则有
F (z) f (k )zk
（6.1-6）
k 0
式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双
f (k ) Z-1 [F (z )] F (z ) f (k )z- k k 0
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由Z变换的定义
F (z ) f (k)zk f (0) f (1)z1 f (2)z-2 k 0
敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会， 故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况 要复杂一些。例如
ak k 0 a, b为正实数
f (k)
bk k 0
双边Z变换为
1
F (z ) akz k bkz k (az 1)k (b1z )k
k 0
k
k 0
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）f (k) , f (1), f (0), f (1),
z esT
的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为
因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 k 0的
部分，则有
F (z) f (k )zk
（6.1-6）
k 0
式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双
f (k ) Z-1 [F (z )] F (z ) f (k )z- k k 0
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由Z变换的定义
F (z ) f (k)zk f (0) f (1)z1 f (2)z-2 k 0
敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会， 故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况 要复杂一些。例如
ak k 0 a, b为正实数
f (k)
bk k 0
双边Z变换为
1
F (z ) akz k bkz k (az 1)k (b1z )k
k 0
k
k 0
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）f (k) , f (1), f (0), f (1),
第6章离散时间体统z域分析ppt课件
a n
a
n
令 f (n) an x(n) ，则它的Z变换
F(z)
f (n)zn
a n x(n) z n
n
n
所以 an x(n) X ( z )
a
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.5 z域微分特性
若x(n)←——→X(z),收敛域为R，则nx(n)←→
z
dX (z) dz
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
u(n) U(z)
1 1 z1
,
z
1
u(n 1)
z1U (z)
z 1 1 z1 ,
z
1
(n)
u(n)
u(n
1)
1 1 z1
z 1 1 z1
1
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.2 移序特性
若 x(n)←——→X(z) 的 收 敛 域 为 A ， 则 x(n-n0)←—— →z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能 发生变化。
z re j eT e jT
(6―11)
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为
B ， 则 有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其 收 敛 域 为 A∩B （这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换 的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证 明从略。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
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3. 时域卷积定理
• 若 Z[x(n)]=X(z), Rx1<|z|<Rx2 • Z[h(n)]=H(z), Rh1<|z|<Rh2 • 则 Z[x(n)*h(n)]=X(z)H(z)
Z[anu(n) ] anzn
z
,za
n0
za
a ej 0,zej 0 1 ,Z [ej 0n u (n ) ]z z ej 0
同样 Z[nna u(n) ]n 0nna zn(z aa)z2
• (5) 正余弦序列sin(0n)u(n)和 cos(0n)u(n)
• Z [ej 0 n u (n ) ]z z ej 0;Z [e j 0 n u (n ) ]z e z j 0
• 序列x(n)的单边Z变换
F(z)Z[f(k)] f(k)zk n0
3. Z变换的收敛域
F(z) f (k)zk 幂级数收敛 n
| f (k)zk |
n
P271
z变换与拉氏变换的关系
s ~ z 平面的映射关系
• 复变量关系 zs : z=esT,
s=(1/T)lnz
• 坐标关系：s=+j, z=rej
Z [ 2 c0 o n ) u ( n ) s Z ] ( [ e j 0 n u ( n ) Z ] [ e j 0 n u ( n )]
1 2 zzej0ze zj0 z2z (z2 zc co o 0 0) ss1
Z[s i0 n n )u ((n ) ]z22 zz sci o n 00s 1
•∵
rej=e(+j)T,
• ∴ r=eT, =T , Ts=2
虚轴 =0 s=j
S平面
左半平面 （<0)
右半平面 （>0)
z平面
单位圆 r=1, 任意
单位圆内 r<1,任意
单位圆外 r>1,任意
实轴 =0 s=
平行直线 =常数
js/2 平行线
正实轴 =0， r任意
辐射线 =常数 r任意
负实轴 = r 任意
• 即两个收敛域的重叠部分
• 例1. 已知 x(n)=anu(n), y(n)= anu(n-1), 求 x(n)-y(n)的z变换。
• 解 ∵ Z[x(n)]=X(z)=z/(z-a), |z|>|a|
•
Z[y(n)]=Y(z)=y(n)z-n
•
=anz-n=a/(z-a), |z|>|a|
• ∴ Z[anu(n)- anu(n-1)]=X(z)-Y(z)=1
n
n0
n
anzn1 bnzn
z
z
n0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n0
za zb
• 若|a|<|b|,收敛域：|a|<|z|<|b|, 若|a| |b|, 则序 列的Z变换不存在
4. 典型序列的Z变换
• (1) 单位脉冲序列 (n)
Z[(n)](n)zn 1 n0
• (2) 单位阶跃序列u(n)
Z[u(n)] u(n)zn zn
n0
n0
Z[u(n)]11z1z z1, z1
• (3) 斜变序列 nu(n)
•
∵
zn
n0
1 1z1
,
z
∴
1
n 0n(z1)n1(11z1)2
Z[n(u n)]n 0nzn(z z1)2,z1
• Z[n2u(n) ]n 0n2zn(zz(z 1)13 ),z1
(4) 单边指数序列an u(n)
• 而左移序列的z变换不变
• 例 2. 求宽度为N的方波序列N(n)的z变换 • N(n)=1， 0 n N-1, 其他为 0 • 解 N(n)=u(n)-u(n-N) • ∵ Z[u(n)]=z/(z-1), |z|>1
• 根据位移性质有
•
Z[u(nN )] zN
z , z1
z1
Z N (n )z z1z Nz z1z zz 1 N 1,z 1
第六章 离散系统的Z域分析
要点： 为什么要提出Z变换？ Z变换及其性质(Z变换、逆Z变换、性质、 与拉氏变换的关系)； 离散系统Z域分析(解差分方程、离散系统 函数)；
§6.1 Z变换
1. 从抽样信号（离散）的拉氏变换引出Z变换
均匀冲
击抽样
fs(t)f(t)T(t) f(kT)(tkT)
k
拉氏
• 级数收敛的充要条件：绝对可和，即
• |x(n)z-n|<∞ • 正向级数收敛性判别法： • 比值判别法：对于级数 |an|,
lim a n 1
n an
<1,收敛 >1,发散 =1,收发
• 根值判别法：
lim n
n
an
<1,收敛 >1,发散 =1,收发
例 已知 x 1 (n ) a n u (n )x ,2 (n ) a n u ( n 1 )
其中0<a<1, 求其双边z变换
X1(z)n 0anznzza,za
x1
x2
X2(z)n1anznn 1azn 收敛域
a 收敛域
a
za z ,za 1za za
单位圆 单位圆
例 求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换
1
• 解 X(z) x(n)zn anzn bnzn
变换
F(s) k f(kT)(tkT)estdt
积分求
和交换
F(s)
f (kT)eskT
k
F(s)
f (kT)eskT
k
令 z esT
得 F(z)
f (kT)zk
k
F(z) zesT F(s)
zesT, s1lnz T
• 2. Z变换的定义 • 序列x(n)的双边z变换
F(z)Z[f(k)] f(k)zk n
•
|a|<|z|
2. 序列位移特性
• 表明序列移动前后z变换之间的关系 • (1) 双边z变换的位移特性 • 若 Z[x(n)]=X(z) • 则 Z[x(nm)]=zmX (z) • 可使z=0或z=处的零极点变化，但收敛
域不会变化，双边X(z)的收敛域为 Rx1<|z|<Rx2
(2) 单边z变换位移特性
• 若 x(n)为双边序列, 其单边z变换为
Z[x(n)u(n)]=X(z)
•
则
Z[x(n+m)u(n)]=zm[X(z)-
m1 k0
x(k)z-k]
• Z[x(n-m)u(n)]=z-m[X(z)+ k1mx(k)z-k]
• 如果x(n)为因果序列，则右移序列的z变 换为
• Z[x(n-m)u(n)]=z-mX(z)
§6.2 Z变换的性质
• 单边Z变换的性质
• 1. 线性
• 若 Z[x(n)]=X(z), Rx1<|z|<Rx2
•
Z[y(n)]=Y(z), Ry1<|z|<Ry2
• 则 Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z),
R1<|z|<R2, 或
max(Rx1,Ry1)<|z|<min(Rx2,Ry2)