统计学 第七章 抽样推断

lim P( x X
n
) 1
如果变量总体存在有限的平均数和方 中心极限定律 差，那么不论这个总体的分布如何， 随着样本容量的增加，样本平均数的 分布，便趋近于正态分布。
抽样推断的基本概念 全及总体
又称总体或母体，是所要认识研究对 象的全体，它由具有某种共同性质或 特征的单位所组成。常用N表示全及 总体的单位数目。 又称样本或子样，是指从全及总体中 按照随机原则抽取的那部分个体的组 合。抽样总体的单位数称为样本容量， 通常用n表示。1＜n＜N 。
2
n)
《统计学》第七章 抽样推断
比率的抽样分布 全部可能样本比率的均值等于总体比率， 即： E ( p ) P ( p P) 从非正态总体中抽取的样本比率，当n 足够大时其分布接近正态分布。 从正态总体中抽取的样本比率，不论容 量大小其分布均为正态分布。 1 样本比率的标准差为总体标准的 n。
样本的可能数目
考虑顺序的不重复抽样 考虑顺序的重复抽样
p
n N
N ! /( N n )!
n
N
不考虑顺序的不重复抽样
不考虑顺序的重复抽样
C
nபைடு நூலகம்N
C
n N n 1
把填湖南风采35选7福利彩票号码看作一次抽 样，则它属于哪一种抽样？中特等奖的概率 是多少？（0—9选6呢？）
不考虑顺序的不重复抽样， 1 / C 1 / 8347680
随机数表法
计算机模拟法
是将随机数字编制为程序存储在计算 机中，需要时将总体中各单位编上号 码，启用随机数字发生器输出随机数 字，然后从总体中找到相应总体单位 形成样本。
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随机样本
与总体分布 特征相同
与总体分布 特征不同 总体
非随机样本
并非所有的抽样估计都按随机原 则抽取样本，也有非随机抽样
ABCE 47.5 Ｂ Ｃ 57.5 BCFG 学生 Ａ 62.5 ACEF67.5 Ｄ 72.5 75 65 Ｇ Ｅ Ｆ 65 70 样本均值
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50 52.5 55 Ｆ Ｇ 样本均值 45 47.5 2 Ｄ Ｅ 57.5 60 学生 Ａ Ｂ Ｃ
N 1 n 1 2 3 4 4 5 出现次数 x 30 40 50 60 70 80 90 成绩 差 N 1 n-10 -7.5 -5 -2.5 0 -15 -12.5 离
比率 离差样P 本 p本 0.5 样
比率的抽样分布 p
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p
n
N 1
4
5
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比率的抽样分布
全部可能样本比率的均值等于总 p ~ N ( P , p ( P ) n 体比率，即： E (P) 1 P( p P) ) 从非正态总体中抽取的样本比率当n np 5 足够大时其分布接近正态分布。 从正态总体中抽取的样本比率不论容 n(1 p ) 5 量大小其分布均为正态分布。 样本比率的标准差为总体标准差 的1 n。
7 36
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样本的概率分布
把某一抽样方法的全部可能的样本指标与其相 应的概率排列起来，就得到样本的概率分布。
若将样本指标的取值分别记为 x1 , x 2 ,... x n , 其相应的 概率记为P1，P2，…Pn，将它们按顺序排列起来， 可得如下概率分布表。
Pn
x
x1
x2
P2
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抽样推断
全及总体指标：
参数（未知量）
统计推断
样本总体指标：统
计量（已知量）
随机原则的实现
抽签法
是将总体中每个单位的编号写在外形完全 一致的签上，将其搅拌均匀，从中任意抽 选，签上的号码所对应的单位就是样本单 位。 将总体中每个单位编上号码，然后使 用随机数表，查出所要抽取的调查单 位。
《统计学》第七章 抽样推断
抽样推断的特点
按随机原则抽取样本单位
以样本的数量特征推断总体的数量特征
抽样推断产生抽样误差，但抽样误差可 以事先计算并控制
与全面调查相比，抽样调查既节省了人力、物力、 财力和时间，又达到了认识总体数量特征的目的。 我国在1994年确立了以周期性普查为基础，以经常 性抽样调整为主体，同时辅之以重点调查、科学核 算等综合运用的统计调查方法体系。
平均数的抽样分布
全部可能样本平均数的均值等于总体均 值，即： E ( x ) X ( x X ) 从非正态总体中抽取的样本平均数当n 足够大时其分布接近正态分布。 从正态总体中抽取的样本平均数不论容 量大小其分布均为正态分布。 1 样本均值的标准差为总体标准差的 n。
x ~ N ( X ,

1 N
X
N i 1
i
X 或

2
1

i 1
m
X
m
fi
i 1
i
X

2
fi
⒊ 总体单位标志值的方差：
1 N
2
X
N i 1
i
X 或
2

2
1
f
i 1
m
X
m i 1 i
i
X
f
2
i
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⒋ 总体成数：
N0 N1 P ,Q 1 P N N
…… ……
xn
P ( x ) P1
Pn
第二节
随机抽样的概率分布
样本统计量所有可能值的 抽样分布 概率分布
分布的形状 及接近总体 主要样本 平均数 比率（成数） 方差 参数的程度
统计量
样本统 样本统 样本统 样本统 样本统 计量样本统 计量 计量 样本统 计量 样本统 计量 样本统 计量 样本统 计量 样本统 计量 样本统 计量 样本统 计量 计量 计量 计量


1
m i 1
为 的无偏估计
f i 1 i 1
x x
m i
2
fi
⒊ 样本单位标志值的方差：
1 2 s xi x 或s n 1 i 1
2 2
n


1
为 的无偏估计
2
f 1
i 1 i
m
x x f
m 2 i 1 i
i
《统计学》第七章 抽样推断
72.5 75 样本均值 62.5 65 67.5 0 70 10 20 30 离差 -30 -20 -10 2 74 4 1 1 出现次数 20 4 3 1 2 2.5 5 7.5 100 15.07 7 离 7 差 1 4 2 10 12.5
x 7.07 20
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总体未 知参数
样 本 均 值 47.5 均 值 55 57.5 值 样本均值 45 样 本50 52.5 样 本 均 60 平均数的抽样分布 ABCD 45 1 ACDG 257.5 3 BCEG 4 62.5 1 4 5 出现次数
ABCF 50 ACEG 60 BDEF 62.5 440ACFG 3 62.5 2 70 8065 90 4 50 60 BDEG1 1 出现次数 成绩 30 ABCG 52.5 50 ADEF 2 60 BDFG 67.5 6 ABDE 2 按随机原则抽选出４名学 ABDF 52.5 ADEG 62.5 BEFG 70 5 生，并计算平均分数。 65 55 ADFG 65 CDEF 二者均值相等 4 ABDG 1 55 AEFG 1 67.5 CDEG 67.5 3 ABEF 57.5 BCDE 55 CDFG 70 2 ABEG 60 BCDF 57.5 CEFG 72.5 1 ABFG 0 30 52.5 40 50 60 80 DEFG 90 BCDG 0 70 60 75 0 ACDE 45 50 70 ACDF 5555 60 65 BCEF75 60 30 40 50 60 70 80 90
2 P
《统计学》第七章 抽样推断
抽样方法的分类
重复抽样
根据取样方式不同，可分为：
从总体N个单位中随机抽取一个样本容 量为n的样本，每次从总体中抽取一个， 并把结果登记下来，又放回总体中重新 参加下一次的抽选。又称放回抽样
总体单位数N不变，同一单位可能 多次被抽中。
不重复抽样
每次从总体中抽选一个单位后就不 再将其放回参加下一次的抽选。又 称不放回抽样. 总体单位数减少n，同一单位只可 能被抽中一次。
第七章
第一节 第二节 第三节 第四节
抽样推断
抽样推断概述 随机抽样的概率分布 参数估计 抽样设计
第一节 抽样推断概述
抽样推断 按照随机原则 从全部研究对象中抽取 一部分单位进行调查，并以调查结果对 总体数量特征作出具有一定可靠程度的 估计与推断，从而认识总体的一种统计 方法。
指样本单位的抽取不受主 观因素及其他系统性因素 的影响，每个总体单位都 有均等的被抽中机会
Ｅ
否
＝0.5
比率 离差 n0.5 0 ABCD ACEF 0.5 0 ABCE 0.5 0 2 ADEF 0.5 0 ( p p) f 0.375 -0.25 ABCF 0.75 0.25 BCDE 0.25 0.1581 p ABDE 0.5 0f BCDF 15 0.5 0 ABDF 0.75 0.25 BCEF 0.5 0 ABEF 0.75 0.25 BDEF 0.5 0 ACDE 0.25 -0.25 CDEF 0.25 -0.25 P(0.5 P)0 N n 1 0.5 0.5 2 ACDF
设总体中 N 个总体单位某项标志的标志值分别 为 X 1 , X 2 , X N ，其中具有某种属性的有 N1个 单位，不具有某种属性的有 N 0个单位，则 ⒈ 总体平均数（又叫总体均值）：