2018年河南省新乡市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南全省 含所有市 高考数学一模试卷 汇总 (2
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通过我们的努力，能够为您解决问题，这是我们的宗旨，欢迎您下载使用!（８套）2018年河南全省含所有市高考数学一模试卷汇总2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴,则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣, ﹣）, 位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行, 可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意, S=+++…==1﹣≥0.99, 可得：2k≥100, 解得：k≥7,即当n=8时, S的值不满足条件, 退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,=•π•=,∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=e x相切, 切点为（x0, y0）, 则,解得x0=0, k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切, 切点为（x1, y1）, 则,解得x1=e2, k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为t1, t2, t3, t4, 且t1＜t2＜t3＜t4,由图象可知t1＜0, t2=0, 0＜t3＜1, t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解, f（x）=t2有1解, f（x）=t3有3解, f（x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：B．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•=••,令6﹣=0, 解得r=4；∴展开式中的常数项为•=．故答案为：．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为6．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0,转化为：x2+（y﹣1）2=1,则：圆心（0, 1）到直线y=x﹣1的距离d=,由于AB为圆的直径,则：点A到直线的最小距离为：．点B到直线的距离为．则：|PA|2+|PB|2==6,故答案为：616．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体,∴小球可以经过的空间的体积：V==．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9n, n可取5, 6, 7, 8, 9, 代入中,得, a=0.15．销售量在[50, 60）, [60, 70）, [70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率分别是0.1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.3,销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．（Ⅱ）销售量在[70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率之比为2：3：3,所以各组抽取的天数分别为2, 3, 3．X的所有可能值为1, 2, 3,,,．X的分布列为：X123P数学期望．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA, 可得OA=OB=OC．设OA=a, 则, A（a, 0, 0）, B（0, a, 0）, C（0, 0, a）,设D点的坐标为（x, y, z）, 则由,可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2,解得x=y=z=a,∴．又平面OAB的一个法向量为,∴,∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点, 连接CF, DF,则CF⊥AB, DF⊥AB, ∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知, 在△CFD中, , ,则由余弦定理知,即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意, 函数,,令f'（x）=0得．当且x≠0时, f'（x）＜0；当时, f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增．（Ⅱ）根据题意, 注意到f（e）=g（e）=3e, 则ae+b=3e, b=3e﹣ae①．于是, ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0,则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx）, ,若a≤0, 则h'（x）＜0, 得h（x）在（0, +∞）上单调递减, 则当x＞e时, 有h （x）＜h（e）=0, 不合题意；若a＞0, 易知h（x）在上单调递减, 在上单调递增,得h（x）在（0, +∞）上的最小值．记, 则, 得m（a）有最大值m（3）=0, 即m （a）≤m（3）=0,又m（a）≥0, 故a=3, 代入①得b=0．当a=3, b=0时, f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3, 则φ'（x）=6x（x﹣e）, 得φ（x）在（0, +∞）上有最小值φ（e）=0, 即φ（x）≥0, 符合题意．综上, 存在a=3, b=0, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴复数所对应的点的坐标为（）, 位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1, s=0, 满足条件s＜0.8, s==0.5, n=2,第二次运行n=2, s=0.5, 满足条件s＜0.8, s=+=0.75, n=3,第三次运行n=3, s=0.75, 满足条件s＜0.8, s=0.75+=0.75+0.125=0.875, n=4, 此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出, n=4,故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,∴S阴影=•π•=,∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{an}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根,即函数y=a, g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞, ﹣3）, （2, +∞）时, g（x）递增, x∈（﹣3, 2）递减,函数g（x）图如下, 结合图象, 只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可,即﹣＜＜,故选：B．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R, 使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题, 可得命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R, 使得”．故答案为：∃x0∈R, 使得．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上,∴球半径R==,∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是[0, 3]．【解答】解：设点M（x, y）, 由|MA|=2|MO|,得到：,整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0,∴点M在圆心为D（0, 1）, 半径为2的圆上．又点M在圆C上, ∴圆C与圆D有公共点,∴1≤|CD|≤3,∴1≤≤3,解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0, 3]．故答案为：[0, 3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9, n可取5, 6, 7, 8, 9,代入中,得,解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3,则抽取的5天中, 滞销日有2天, 记为a, b, 畅销日有3天, 记为C, D, E,再从这5天中抽出2天, 基本事件有ab, aC, aD, aE, bC, bD, bE, CD, CE, DE, 共10个,2天中恰有1天为畅销日的事件有aC, aD, aE, bC, bD, bE, 共6个,则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F, 连接BF, EF．在△PAD中, EF为中位线,则, 又, 故,则四边形BCEF为平行四边形, 得CE∥BF,又BF⊂平面PAB, CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点, 知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍, 则．由题意知, 四边形ABCD为等腰梯形, 且AB=BC=CD=2, AD=4, 其高为,则．取AD的中点O, 在等腰直角△PAD中, 有, PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD, 故PO⊥平面ABCD,则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．,故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由, 得,令f′（x）=0, 得．当且x≠0时, f′（x）＜0；当时, f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线, 且切点横坐标为x0＞0,则, 即, 其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3, x∈（0, +∞）, 则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e）,得h（x）在上单调递减, 在上单调递增,又h（0）=﹣e3, , h（e）=0,故方程h（x0）=0在（0, +∞）上有唯一实数根x0=e, 经验证也满足（1）式．于是, f（x0）=g（x0）=3e, f′（x0）=g'（x0）=3,曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e）,即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R, 复数z=, 若=z, 则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}, N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}, 则M∩N=（）A．[1, ] B．（, 3] C．（1, ）D．（, 2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据, 绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系, 则根据该折线图, 下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{an}中, 若a2=, a3=, 则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题：“今有阳马, 广五尺, 褒七尺, 高八尺, 问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥, 它的底面长, 宽分别为7尺和5尺, 高为8尺, 问它的体积是多少？”若以上条件不变,。
2018年河南省新乡市高考数学一模试卷(文科)
n=23,m=77,sm100,
n=24,m=76,sm100,
n=25,m=75,s=100,
输出n=25,
故选：B.
9.（5分）若函数f（x）=-x2+ax+2lnx在（1,2）上有最大值，则a的取值范围 为（ ）
A
2
【解答】解：f'(x)=-2x+a+2=P‘+自x+2
16.（5分）在厶ABC中，si nA:si nB: si nC=2: 3:4,则厶ABC中最大边所对角
的余弦值为.
17.（5分）已知函数f（x）=1八’，则f（Iog26）+f（._-
212（”+1） “
三、解答题：共70分•解答应写出文字说明•证明过程或演算步骤•第仃〜21
题为必考题•每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题•考生根据要求
2018
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）复数z=8+（-i）17可化简为（）
A.1-i B.0C. 1+i D.2
2.（5分）已知集合A={x|x2-x<0},B={x| a- 1<xva}，若AQB只有一个元
素，则a=（）
(2)若直线’|(t为参数)与曲线C有公共点，求m的取值范围.
o
X
［选修4-5:不等式选讲］(10分)
24.已知函数f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)+f(2x)vf(12)的解集；
(2)若X1=3x3-X2,|X3-2|>4,证明：f(X1)+f(X2)>12.
河南省新乡市2017-2018学年高三上学期第一次调研测试数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}|,2,1,0,1,2A x y B ⎧⎪===--⎨⎪⎩，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2.已知复数1534iz i=+，则z 的虚部为（ ） A ．95i - B ．95i C ．95- D ．953.统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000克内的频率为（ ）A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.34.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．12πD ．8π5.函数()ln 21f x x x =+-的零点必落在区间（ ） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,26.已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．257.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,0-C ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9.执行下面的程序框图，则输出结果s =（ ）A ．54B ．2116C ．6332D ．856410.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人，从该车间6名工人中任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为（ ）A ．19B ．13C ．815D ．71511.已知函数()()1,1010lg 2,10xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()2,4-D ．()(),42,-∞-+∞12.已知双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>，过双曲线Γ的右焦点，且倾斜角为2π的直线l 与双曲线Γ交地,A B 两点，O 是坐标原点，若AOB OAB ∠=∠，则双曲线Γ的离心率为（ ） A ．BD第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,m =，若,m n 间的夹角为3π，则23m n -=____________．14. n S 为数列{}n a 的前n 项和，且233n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为n a =_________．15.经过抛物线28y x =的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________．16.已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=． （1）求a ； （2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 18.（本小题满分12分）网络购物已经被大多数人接受，随着时间的推移，网络购物的人越来越多，然而也有部分人对网络购物的质量和信誉产生怀疑．对此，某新闻媒体进行了调查，在所有参与 调查的人中，持“支持”和“不支持”态度的人数如下表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取m 个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了9人，求m 的值；（2）是否有99.9%的的把握认为支持网络购物与年龄有关？ 参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，19.（本小题满分12分）如图①所示，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，且01,135,3AD BC a BAD AE BC ==∠=⊥于点,E F 为BE 的中点．将ABE ∆沿着AE 折起至AB E '∆的位置，得到如图②所示的四棱锥B ADCE '-.（1）求证：//AF 平面B CD '；（2）若平面AB E '⊥平面AECD ，三棱锥A B ED '-的体积为916，求a 的值． 20.（本小题满分12分） 已知函数()22xf x e x ax =-+．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围． 21.（本小题满分12分）设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =． （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知四边形ABDC 是圆O 的内接四边形，,B D 是圆O 上的动点，AD 与BC 交于F ，圆O 的切线()CE C 为切点与线段AB 的延长线交于,E BCD CBD ∠=∠．（1）证明：CD 是BCE ∠的平分线；（2）若AD 过圆心，,2BC BE AE ==，求AB 的长．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为11x t y t=-+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=，点P 的极坐标为74π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线l '，设l '与C 相交于,A B 两点，求PAB ∆的面积．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =-++． （1）求不等式()7f x >的解集；（2）若实数,0m n >，且()f x 的最小值为m n +，求22m n +的最小值，并指出此时,m n 的值．参考答案一、选择题二、填空题1,124,2n n n =⎧⎨-≥⎩15. 3 16. 1283π三、解答题从而1sin 2ABC S bc A ∆=≤b c ==时取等号），即ABC ∆面积的最大值为．．．．12分 18.解：（1）由题意，得8009008002001003009m++++=， 所以14m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）根据题意得22⨯列联表如下，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以()21400800300100200376.44410.8289005001000400k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以有99.9%的把握认为是否支持网络购物与年龄有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）取B C '的中点G ，连接,FG DG ． ∵F 为B E '的中点， ∴//FG EC ，且12FG EC =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵图①中四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，且01,,1353AD BC a AE BC BAD ==⊥∠=，∴12,//,2EC a AD EC AD EC ==，∴//,AD FG AD FG =，∴四边形ADGF 为平行四边形，∴//AF DG ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵AF ⊄平面,B CD DG '⊂平面B CD '，∴//AF 平面B CD '．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）易证B E '⊥平面ADE ，∵21,2AED S a B E a ∆'==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴2311119332616A B ED B AED AED V V S B E a a a ''--∆'===⨯⨯==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ∴32a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）∵()22xf x e x '=-+，∵()1f e '=，即(),11k e f e ==+，．．．．．．．．．3分∴ 所求切线方程为()()11y e e x -+=-，即10ex y -+=．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）()22xf x e x a '=-+，∵()f x 在R 上单调递增，∴()0f x '≥在R 上恒成立，∴2x e a x ≥-在R 上恒成立，令()2x e g x x =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()12xe g x '=-，令()0g x '=，则ln 2x =，∵在(),ln 2-∞上()0g x '>；在()ln 2,+∞上，()0g x '<，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()g x 在(),ln 2-∞上单调递增，在()ln 2,+∞上单调递减，∴()()max ln 2ln 21g x g ==-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ∴ln 21a ≥-，∴实数a 的取值范围为[)ln 21,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）由题意得142a =，∴2a =，故抛物线2C 的方程为22x y =-，又e =c =1b =，从而椭圆1C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1122:2,,,,l y kx P x y Q x y =+．由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221416120k x kx +++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()()2216412140k k ∆=-⨯+>，∴3,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．9分1212221612,1414k x x x x k k-+==++， 根据题意，得000900POQ OP OQ <∠<⇔>，∴()()()()()2121212121212222222212412116164240141414OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k k k =+=+++=+++++--=+⨯+=>+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴22k -<<，综上得32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）因为CE 是圆的切线，所以ECD CBD ∠=∠，又BCD CBD ∠=∠， 所以ECD BCD ∠=∠，故CD 是BCE ∠的平分线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为AD 为圆心，易得,,BD AB AC CD AC AB ⊥⊥=，因为BC BE =，所以BEC BCE EAC ∠=∠=∠，所以AC EC AB ==， 由切割线定理得2=EC AE BE ，即()2AB AE AE AB =-，即2240AB AB +-=，解得1AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.解：（1）根据题意，直线l 的普通方程为2y x =+，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）l '的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为4πθ=，所以ρ=，故AB =，因为OP l '⊥，所以点P 到直线l '的距离为，所以162PAB S ∆=⨯=．．．．．．．．10分 24.解：（1）原不等式等价于212121737127x x x x x ⎧>-≤≤<-⎧⎧⎨⎨⎨->>->⎩⎩⎩或或，解得34x x <->或，综上所述，不等式()7f x >的解集为()(),34,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）依题意，可知3m n +=，()()22222222222m n m n mn m n m n m n +=++≤+++=+，故2292m n +≥，当且仅当32m n ==时等号成立…………………………10分。
2018年河南省六市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．124．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．185．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．2008．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．49．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．411．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x212．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{1，2，3}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，若为纯虚数，则，解得a＝，则z＝（2a+1）+i＝z＝2+i，则复数z＝（2a+1）+i的模为，故选：C．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．12【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×4+2＝10．即目标函数z＝2x+y的最大值为10．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5＝a1+a1+2d+a1+4d＝105，即a1+2d＝35，①a2+a4+a6＝a1+d+a1+3d+a1+5d＝99，即a1+3d＝33，②由①②联立得a1＝39，d＝﹣2，∴S n＝39n+×（﹣2）＝﹣n2+40n＝﹣（n﹣20）2+400，故当n＝20时，S n达到最大值400．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）由2x+＝kπ，即x＝﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）＝cos（2×（﹣）+φ）＝cos（kπ﹣+φ）＝±cos（φ﹣）＝0，即φ﹣＝kπ+，则φ＝kπ+，k∈Z当k＝﹣1，φ＝﹣π+＝﹣，故选：D．6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β【解答】解：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B错误；对于C，若b⊂α，显然结论不成立，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．200【解答】解：由频率分布直方图得支出金额在[30，50]的学生所在频率为：1﹣（0.01+0.025）×10＝0.65，∵支出金额在[30，50]的学生有17人，∴n＝＝180．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．9．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．【解答】解：可令|x|＝t（1≤t≤4），g（t）＝﹣，由y＝，y＝﹣在[1，4]上递增，可得g（t）在[1，4]递增，g（t）的最小值为1﹣1＝0；最大值为2﹣＝，又f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，则f（x）的最小值为m＝0，最大值为M＝，则M﹣m＝，故选：A．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正面递增等比数列，则q＞1，数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0，则有1＝（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）＝（1+λq）（a4﹣a2），∴1+λq＝，a6+λa7＝a6（1+λq）＝＝，令g（q）＝，（q＞1），∴g′（q）＝．分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数，当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数，则当q＝时，g（q）取得最小值，此时g（q）＝g（）＝4，∴a6+λa7的最小值为4．故选：D．11．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x2【解答】解：由题意及框图，在①应填y＝﹣x；在②应填y＝x2；在③应填y ＝0故选：B．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．【解答】解：，，＝（k+1，k+2），，则：k+1+k+2＝0，解得k＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝4．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝1﹣，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣a，由切线方程为y＝﹣2x+5，可得1﹣a＝﹣2，解得a＝3，由切点（1，3），可得3＝1+3+b，解得b＝﹣1，则a﹣b＝4，故答案为：4．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，代入双曲线的方程可得y2＝4（1+）＝4+，可设M（﹣，），∠MFN＝120°，可得tan＝tan60°＝＝，解得a＝，故答案为：．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．【解答】解：∵{a n}和{}都是等差数列，且公差d相等，则＝+（n﹣1）d，S n＝na1+d，令n＝2，3，可得：＝+d，＝+2d，化为：2d2＝d，解得d＝，或d＝0．d＝0时，a1＝0，与a1＞0矛盾，舍去．把d＝代入：＝+d，化为：﹣+＝0，解得a 1＝，则a2＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sin A cos B﹣sin B cos C＝sin C cos B；∴4sin A cos B＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A；∵sin A≠0；∴；（2）由得ac cos B＝3，ac＝12；由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2＝24，所以可得．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．【解答】解：（Ⅰ）由平均数相同，列方程得93+90+x+81+73+77+61＝90+94+84+72+76+63，解得x＝4；（Ⅱ）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名，设赋3分的学生为A1，A2，赋2分的学生为B1，B2，赋1分的学生为C1，C2，…（6分）则从6人抽取两人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2共15种，其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为P＝＝．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE＝2，又∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴，∴SE2+BE2＝SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1++lnx﹣a，∴f″（x）＝，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y＝的导数为y′＝，由y＝x﹣﹣2lnx的导数为y′＝1+﹣＝＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y＝在x＞1递增，则＝＝2，可得＞2恒成立，即有a≤2．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。
2018年河南省高考数学一诊试卷(文科)
2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．212．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵A={x∈R|3≤32﹣x＜27}={x∈R|﹣1＜x≤1}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}={﹣2，﹣1，0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．故选：B．2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：△ABC中，A=，b=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=36+c2﹣6c①；又=2sinAsinB，∴=2ab，即cosC==，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=﹣6（不合题意，舍去）；∴c=4．故选：C．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN∥AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得=，即=，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．【解答】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）=0在（0，+∞）上有解，即e x+2x2+ax﹣lnx﹣e x﹣x2=0，即x+a﹣=0在（0，+∞）上有解，即函数y=x+a与y=在（0，+∞）上有交点，y=的导数为y′=，当x＞e时，y′＜0，函数y=递减；当0＜x＜e时，y′＞0，函数y=递增．可得x=e处函数y=取得极大值，函数y=x+a与y=在（0，+∞）上的图象如右：当直线y=x+a与y=相切时，切点为（1，0），可得a=0﹣1=﹣1，由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．【解答】解：如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则，，∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=．故答案为：．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．【解答】解：α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，∴cos（α+）==，则====，故答案为：．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）设公差为d，由，得，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n﹣3．（2）因为，所以﹣（36×（2n）2﹣9），所以，即S2n=﹣36（1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n）=．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．（2）要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60，70）内的男生中选：6×=3人，体重在[70，80）内的男生中选：6×=2人，体重在[80，90]内的男生中选：6×=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n==15，∴这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率p=1﹣=．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．【解答】证明：（1）∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，∴DE∥BC，DB A 1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D∥BB1，∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE∥平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C∥平面A1DE．解：（2）∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．∴AE=3，DE=1，B1E==3，∠AED=90°，∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：=﹣=S△ADE•B1E﹣====3．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．【解答】解：（1）由题意可得，∴故W的标准方程为．（2）联立得∴，∴，易知B（0，1），∴l的方程为y=﹣3x+1．联立，得37x2﹣24x=0，∴x=0或，∴，联立，得31x2﹣18x﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，故．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），则，所以x0=e，所以所求切线方程为．（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．欲使函数的值域为R，须a＞0．①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．综上所述：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。
河南省新乡市2018届高三第三次模拟测试数学(文)试卷(含答案)
2018届河南省新乡市高三第三次模拟测试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}6,5,5,4,3,8122==-≤∈=B C A x x Z x U u ，则B A I =（ ） A ．{}6,5 B ．{}4,3 C ．{}3,2 D ．{}6,5,4 2.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=21z z （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +-2 D ．i --2 3.已知1010sin ),2,0(=∈απα，则)42tan(πα+=（ ） A ．71 B ．-71C ．7D ．-7 4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15 C.20 D ．215.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++02074024y x y x y x ，则y x z +-=3的最大值与最小值之和为（ ）A ．-7B ．-2 C. -1 D ．66.已知等差数列{}n a 中，2017,320171010==S a ，则=2018S （ ） A ．2018 B ．-2018 C.-4036 D ．40367.将函数21sin )(2-=x x f 的图像向右平移6π个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g y =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛65πg （ ） A ．21-B ．21C.23- D ．238.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．31B ．33 C.35 D ．399.设函数xex f x++-=+24)(32，则不等式)3()52(x f x f --π成立的x 的取值范围是（ ） A ．（-1,5） B ．（-∞，-1）∪（5，+∞） C.（-5,1） D ．（-∞，-5）∪（1，+∞）10..下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．23224++B ．434+ C.23422++ D ．428+ 11.如图，在正方体1111DC B A ABCD -中，FE ,分别为1111,D C C B 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且∥AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ）A ．2B ．2 C.22 D ．2312.已知双曲线()0,01:2222φφb a by a x C =-的离心率332=e ，对称中心为O ，右焦点为F ，点A是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，OAF OAF AOF ∆∠=∠,的面积为33，则双曲线C 的方程为（ ）A ．1123622=-y x B ．1322=-y x C. 141222=-y x D ．13922=-y x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量)3,1(),0,(-==b t a ρρ，若4-=⋅b a ρρ，则b a ρρ2+与b ρ的夹角为 ．14.已知函数x e x f x =)(，在区间)3,21(上任取一个实数0x ，则()00≥'x f 的概率为 ．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9863=S S ，则=--+11n n n a a a （,2≥n 且N n ∈）． 16.已知抛物线)0(2:2φp py x C =的焦点为O F ,为坐标原点，点)2,1(),2,4(pN p M ---，射线NO MO ,分别交抛物线C 于异于点O 的点B A ,，若F B A ,,三点共线，则p 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，c b a 、、分别是内角C B A 、、的对边，已知C c a B b A a sin )(sin sin -=-.（1）求B 的大小； （2）若6,31cos ==a A ，求ABC ∆的面积S 18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时），又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（1）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[0,5),[5,10),···[30,35),[35,40]，在答题卡上完成频率分布直方图；（2）以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（3）以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20的男生有50人.请完成答题卡中的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”)(02k K P ≥0.10 0.05 0.010 0.005 0k2.7063.8416.6357.879附：)())()()(()(22d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=. 19.在如图所示的几何体中，⊥AC AC DE ,∥平面ο60,1,2,42,=∠====BCD DC BC DE AC BCD .（1）证明：⊥BD 平面ACDE ；（2）过点D 作一平行于平面ABE 的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE 之间的几何体的体积.20.已知椭圆()01:2222φφb a by a x E =+的焦距为c 2，且c b 3=，圆)0(:222φr r y x O =+与x 轴交于点P N M ,,为椭圆E 上的动点，PMN a PN PM ∆=+,2面积最大值为3. （1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）圆O 的切线l 交椭圆E 于点B A ,，求AB 的取值范围.21.已知函数)ln ()(bx x a e x f x-=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为2)4(+--=e x e y .（1）求b a ,的值；（2）证明：2()0f x x +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为N M ,，求MN .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数35)(+--=x x x f . （1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为m ，若420,0,abab m a b e ee ->>⋅=，求ab 的最小值.新乡市高三第三次模拟测试数学（文科）一、选择题1-5:BACAA 6-10:DBDCA 11、12：CD二、填空题13.3π 14.54 15.21- 16.2 三、解答题17.解：（1）因为C c a B b A a sin )(sin sin -=-. 所以222c ac b a -=-，即ac b c a =-+222.又212cos 222=-+=ac b c a B ， 所以3π=B .（2）因为()π,0,31cos ∈=A A ， 所以322sin =A . 由B b A a sin sin =，可得469322236sin sin =⨯==A B a b . 又6322233121322)sin(sin +=⨯+⨯=+=B A C . 所以82273366322469621sin 21+=+⨯⨯⨯==C ab S . 18.解：（1）由题意知样本容量为20，频率分布表如下：[0,5) 1 201 0.01 [5,10) 1 201 0.01 [10,15) 4 51 0.04 [15,20) 2 101 0.02 [20,25) 4 51 0.04 [25,30) 3 203 0.03 [30,35) 3 203 0.03 [35,40) 2 101 0.02 合计201频率分布直方图为：（2）因为（1）中的[30,40]的频率为41101203=+， 所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为41. （3）因为（1）中[0,20)的频率为52，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是4052100=⨯.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生 女生 总计 累计观看时间小于20小时 50 40 90 累计观看时间不小于20小时15060210总计200 100 300结合列联表可算得635.6143.790210100200)401506050(30022φ≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K .所以，有%99的把握认为“该校学生观看冬奥会时间与性别有关”. 19.（1）证明：在BCD ∆中，360cos 2121222=⨯⨯-+=οBD . 所以222DC BD BC +=，所以BCD ∆为直角三角形，CD BD ⊥. 又因为⊥AC 平面BCD ，所以BD AC ⊥. 而C CD AC =I ，所以⊥BD 平面ACDE .（2）解：取AC 的中点F ，BC 的中点M ，连接MF DM DF ,,，平面DFM 即为所求. 理由如下：因为AF DE AC DE =,∥，所以四边形AEDF 为平行四边形，所以AE DF ∥，从而∥DF 平面ABE ，同理可证∥FM 平面ABE .因为F DF FM =I ，所以平面∥DFM 平面ABE . 由（1）可知，⊥BD 平面ACDE ，⊥FC 平面CDM . 因为()33214231=⨯⨯+⨯=-ACDE B V ， 63260sin 21131=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=-οCDM F V ， 所以，所求几何体的体积635633=-=V .20.解：（1）因为c b 3=，所以c a 2=.①因为a PN PM 2=+，所以点N M ,为椭圆的焦点，所以22241a c r ==. 设),(00y x P ，则b y b ≤≤-0，所以0021y a y r S PMN =⋅=∆. 当b y =0时，()321max ==∆ab S PMN ，② 由①，②解得2=a ，所以3=b ，1=c .所以圆O 的方程为122=+y x ，椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1=x ，解得3),23,1(),23,1(=-AB B A . ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为),(),,(,2211m kx x B m kx x A m kx y +++=. 因为直线l 与圆相切，所以112=+k m ，即221k m +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，消去y 可得01248)34(222=-+++m kmx x k ， 34124,348,0)23(48)34(482221221222+-=+-=++=-+=∆k m x x k km x x k m k φ.()3434134412222212212+-+⋅+⋅=-+⋅+=k m k k x x x x k AB=()()3441433414333423134222222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=+++k k k k k k=3431214311613222++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅k k . 令4312+=k t ，则4343102≤+=k t π，所以AB =340,32116132≤++-⋅t t t π，所以AB =4)4(16132+--⋅t ，所以3643≤AB π. 综上，AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡364,3. 21. （1）解：由已知得)0)(ln ()(φx b xa bx x a e x f x -+-=' 因为⎩⎨⎧-='-=4)1(2)1(e f f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==e b a 21. （2）证明：由（1）知)(x f 12ln )(--=x x rex e x f ， 所以221ln 2()0ln 2x x x x x f x x e x x re x e e -+<⇔+<⇔-p . 设x ex e x h x x x g -==2)(,ln )(，要证2()0f x x +<，即要证)()(x h x g π在（0，+∞）恒成立. 因为)0(ln 1)(2φx x x x g -='，所以xx x g ln )(=在),0(e 上为增函数，在[)+∞,e 上为减函数， 所以ee g x g 1)()(=≤.① 又x e x x h 1)(-='，所以x ex e x h -=2)(在)1,0(上为减函数，在[)+∞,1上为增函数， 所以eh x h 1)1()(=≥.② 由于不等于①和②不能同时取等号，故)()(x h x g φ.所以0)(2πx x f +成立.22.解：（1）因为θθρsin 8cos 2=所以θρθρsin 8cos 22=，即y x 82=，所以曲线C 表示焦点坐标为（0,2），对称轴为y 轴的抛物线. （2）直线l 过抛物线焦点坐标（0,2），且参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，得020522=--t t ， 所以20,522121-==+t t t t . 所以()1042122121=-+=-=t t t t t t MN .23.解：（1）当3-≤x 时，由135+≥++-x x x ，得7≤x ， 所以3-≤x ；当35x -<<时，由135+≥---x x x ，得31≤x ， 所以133x -<≤； 当5≥x 时，由135+≥---x x x ，得9-≤x ，无解. 综上可知，31≤x ，即不等式1)(+≥x x f 的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,. （2）因为83535=---≤+--x x x x ，所以函数)(x f 的最大值8=m .应为844-=⋅ab b a e e e ，所以844+=+ab b a .又0,0a b >>， 所以ab ab b a 4424=≥+，所以0484≥--ab ab ，即02≥--ab ab . 所以有.()0)2(1≥-+ab ab .0>，所以2≥ab ，4≥ab ，即ab 的最小值为4.。
高三数学-2018学年新乡市高三第一次调研考试数学(文) 精品
2018—2018学年新乡市高三第一次调研考试数学（文科）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径。
球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在平面直角坐标系中，到x 轴的距离是到y 轴距离的2倍的点P （x ，y ）的轨迹方程是A 、x-2y=0B 、2x-y=0C 、|x|-2|y|=0D 、2|x|-|y|=02、ΔABC 中，A ＜B 是cosA ＞cosB 成立的A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充分且必要条件D 、既不充分也不必要条件3、不等式（x-1）2+x ≥0的解集是A 、{x|x ≥1}B 、{x|x ≥1或x=-2}C 、{x|x ≥-2}D 、{x|x ≥-2且x ≠1}4、已知A+B=2π，tanA+tanB=2，则cosAcosB= A 、22 B 、2 C 、21 D 、1 5、已知m ，n ，m+n 成等差数列，又m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆ny m x 22+=1的离心率为A 、22B 、21C 、42 D 、25 6、O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（-）·（-）=0，则ΔABC 的形状一定为A 、正三角形B 、等腰直角三角形C 、直角三角形D 、斜三角形7、数列{a n }中，a 1=1，对所有的n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n =n 2，则a 3+a 5=A 、925B 、1625C 、1661D 、1531 8、若三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，PA=PB=1，PC=2，则P 到底面ABC 的距离为： A 、2 B 、23 C 、65 D 、329、曲线y=-24x -（x ≤1）的长度为A 、34πB 、32πC 、35πD 、3π 10、使得C n 1+C n 2+C n 2+…C n n ＜2018不成立的最小的正整数n 的值为A 、8B 、9C 、10D 、1111、函数f （x ）=-x 3-x ，已知x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1+x 2≥x 3，x 2+x 3≥x 1，x 3+x 1≥x 2，则f （x 1+x 2+x 3）的值A 、大于0B 、小于0C 、不大于0D 、不小于012、已知函数f （x ）=log 21x ，若0＜c ＜b ＜a ＜1，则a a f )(、c c f )(、bb f )(的大小关系是 A 、a a f )(＞b b f )(＞c c f )( B 、c c f )(＞bb f )(＞a a f )( C 、b b f )(＞a a f )(＞c c f )( D 、a a f )(＞c c f )(＞b b f )( 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
河南省新乡市2018届高三第三次模拟测试数学(文)试题 Word版含解析
新乡市高三第三次模拟测试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得集合U，据此可得结合B，最后求解交集运算即可.详解：求解二次不等式可得：，则：，结合可得：，故=.本题选择B选项.点睛：本题主要考查补集的概念，交集的概念与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由复数，在复平面内对应的点分别为，，可得，利用复数的除法法则可得结果.详解：因为复数，在复平面内对应的点分别为，，，，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知，则=（）A. B. - C. 7 D. -7【答案】C【解析】分析：由，从而利用二倍角公式可得的正弦值与余弦值，从而可得的正切值，利用两角和的正切公式可得结果.详解：，，可得，故选C.点睛：给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.4. 某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A. 12B. 15C. 20D. 21【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.详解：因为分层抽样的抽取比例为，所以初中生中抽取的男生人数是人.本题选择A选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．5. 已知实数满足，则的最大值与最小值之和为（）A. -7B. -2C. -1D. 6【答案】A【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求得最大值与最小值，最后两者作差即可求得最终结果.详解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线：z=-3x+y过点A(-2,0)时，z取得最大值6，过点B(2，-1)时，z取得最小值-7，它们的和为.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6. 已知等差数列中，，则（）A. 2018B. -2018C. -4036D. 4036【答案】D【解析】分析：由题意首先求得，然后结合等差数列前n项和公式求解前n项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：，则，据此可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 将函数的图像向右平移个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定伸缩变换和平移变换之后的函数解析式，然后求解三角函数值即可，注意诱导公式和特殊角的三角函数值的应用.详解：因为，所以y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数的解析式为，各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，所以.本题选择B选项.点睛：本题主要考查三角函数图象的平移变换与伸缩变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为（）A. 31B. 33C. 35D. 39【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图中的循环结构运行程序，确定输出值即可.详解：结合题中所给的流程图运行程序如下：首先初始化数据：，第一次循环：，满足；第二次循环：，满足；第三次循环：，满足；第四次循环：，满足；第五次循环：，满足；第六次循环：，不满足；此时结束循环，输出.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 设函数，则不等式成立的的取值范围是（）A. （-1,5）B. （-∞，-1）∪（5，+∞）C. （-5,1）D. （-∞，-5）∪（1，+∞）【答案】C【解析】分析：先判断函数奇偶性，利用奇偶性结合解析式可得函数的单调性，利用单调性化简不等式求解即可.详解：函数是偶函数，且在上是减函数，可得在上是增函数，不等式可化为：，即，解得，即，不等式成立的的取值范围是,故选C.点睛：将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.10. .下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的表面积即可.详解：该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥，则其表面积为四个面面积之和：.本题选择A选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．11. 如图，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】分析：利用面面平行，可得线面平行，从而可得点轨迹，利用“垂线段最短”，可得结果.详解：如图，取分别为与的中点，连接，设与的交点为，则平面平面，因为平面，点在线段上运动，，如果正方体的棱长为，要使取得最大值，最小，只需即可此时点与点重合，，故选C.点睛：求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用“垂线段最短”求出正切的最值.12. 已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题点所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为，则所以直线的倾斜角为则与联立解得因为双曲线的离心率，与联立得，故双曲线的方程为.故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知非零向量，若，则与的夹角为__________．【答案】【解析】分析：利用求得，然后利用平面向量数量积公式求解即可.详解：因为向量，，与的夹角的余弦值，从而，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知函数，在区间上任取一个实数，则的概率为__________．【答案】【解析】分析：由,可得，利用几何概型概率公式可得结果.详解：，由，可得，的概率为，故答案为.点睛：本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15. 已知等比数列的前项和为，且，则__________（且）．【答案】【解析】分析：由题意首先求得数列的公比，然后结合数列的通项公式即可求得最终结果. 详解：很明显等比数列的公比，则由题意可得：，解得：，则：.点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.16. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则的值为__________．【答案】2【解析】分析：由题意联立直线方程与抛物线方程可得A,B两点的坐标，然后利用斜率相等得到关于p的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：直线OM的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.直线ON的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.又，所以，，因为A，B，F三点共线，所以k AB=k BF，即，解得p=2.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，分别是内角的对边，已知.（1）求的大小；（2）若，求的面积【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1)由题意角化边可得，则.(2)由题意结合同角三角函数基本关系可得.结合正弦定理可得.且又.由面积公式可得.详解：(1)因为.所以，即.又，所以.(2)因为，所以.由，可得.又.所以.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时），又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.(1)将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[0,5),[5,10),···[30,35),[35,40]，在答题卡上完成频率分布直方图；(2)以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；(3)以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20的男生有50人.请完成答题卡中的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”附：.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析.【解析】分析：（1）由题意知样本容量为，得到频率分布表，进而得到频率分布直方图. （2）因为（1）中的频率为，进而得到名女生观看冬奥会时间不少于小时的概率；....................................（3）因为（1），根据题意，得出列联表，求得的值，即可作出判断. 详解：解：（1）由题意知样本容量为，频率分布表如下：频率分布直方图为：（2）因为（1）中的频率为，所以名女生观看冬奥会时间不少于小时的概率为.（3）因为（1）中的频率为，故可估计位女生中累计观看时间小于小时的人数是.所以累计观看时间与性别列联表如下：结合列联表可算得，所以，有的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.点睛：本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.19. 在如图所示的几何体中，平面.（1）证明：平面；（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由余弦定理结合勾股定理可证明，利用线面垂直的性质可证明，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中点，的中点，连接，截面即为所求，由（1）可知，平面，平面，由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）证明：在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.（2）取的中点，的中点，连接，平面即为所求.理由如下：因为，所以四边形为平行四边形，所以，从而平面，同理可证平面.因为，所以平面平面.由（1）可知，平面，平面.因为，，所以，所求几何体的体积.点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.20. 已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点为椭圆上的动点，面积最大值为.（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围.【答案】(1)圆的方程为，椭圆的方程为.(2).【解析】分析：(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得，，.则圆的方程为，椭圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，计算可得.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与椭圆方程可得，由弦长公式有.令，换元后结合二次函数的性质可得.则的取值范围是.详解：(1)因为，所以.①因为，所以点为椭圆的焦点，所以.设，则，所以.当时，，②由①，②解得，所以，.所以圆的方程为，椭圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，.==.令，则，所以=，所以=，所以.综上，的取值范围是.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求得,由，解方程即可得结果；（2）.设，要证，即要证在（0，+∞）恒成, 利用导数研究函数的单调性，可得，，从而可得结果.详解：（1）由已知得因为，所以.（2）证明：由（1）知，所以.设，要证，即要证在（0，+∞）恒成立.因为，所以在上为增函数，在上为减函数，所以.①又，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.②由于不等于①和②不能同时取等号，故.所以成立.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线与曲线的交点分别为，求.【答案】(1)答案见解析；(2)10.【解析】分析：(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得，则曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线参数方程为(t为参数)，与C的直角坐标方程联立可得，由弦长公式可得.详解：(1)因为所以，即，所以曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线过抛物线焦点坐标(0,2)，且参数方程为(t为参数)，代入曲线的直角坐标方程，得，所以.所以.点睛：本题主要考查直线的参数方程的几何意义，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数.(1)解关于的不等式；(2)记函数的最大值为，若，求的最小值.【答案】(1)；(2)4.【解析】分析：(1)结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为. (2)由绝对值三角不等式的性质可得.结合指数运算可得.结合均值不等式的结论有.则的最小值为4.详解：(1)当时，由，得，所以；当时，由，得，所以；当时，由，得，无解.综上可知，，即不等式的解集为.(2)因为，所以函数的最大值.应为，所以.又，所以，所以，即.所以有.又，所以，，即的最小值为4.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【高三数学试题精选】2018新乡市高考数学(文)第三次模拟测试题(附答案)
2018新乡市高考数学（文）第三次模拟测试题（附答案）
5 c 新乡市高三第三次模拟测试
数学（科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1已知全集，则 =（）
A． B． c． D．
2已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）
A． B． c． D．
3已知，则 =（）
A． B．- c．7 D．-7
4某中学有高中生3000人，初中生2 c -1 D．6
6已知等差数列中，，则（）
A．4036 D．4036
7将函数的图像向右平移个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原的2倍，得到函数的图像，则（）
A． B． c D．
8我国古代数学著作《九算术》有如下问题“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为（）
A．31 B．33 c35 D．39
9设函数，则不等式成立的的取值范围是（）
A．（-1,5） B．（-∞，-1）∪（5，+∞） c（-5,1） D．（-∞，-5）∪（1，+∞）
10下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）。
河南省新乡市2018届高三上学期第一次模拟考试数学文试题 含答案
2018~2018学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷文 数一． 函数的性质部分1．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，则有A ．且B ．或C ．D ．2．定义在上的函数满足，当时，，当时，．则A ．335B ．338C ．1678D ．20183．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A ．B ．C ．D ．二． 函数与导数小题部分4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为A ．2018B ．2018C ．1D ．-15．函数2cos y x x =+[0,]2π上的最大值是 6．已知函数()323f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则m +n =A ． 0B ．2C ．-4D ．-2三．函数与导数大题部分7．设和是函数的两个极值点，其中．(1)．求的取值范围；(2)．若，求的最大值．8．已知函数．(1)．求函数的最小值；(2)．设，讨论的单调性．9．设．(1)．如果存在使得成立，求满足上述条件的最大整数；(2)．如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．四．不等式部分10．若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为______11．若，则的最小值是______12．已知正数满足，则的最小值为______五．空间几何体三视图部分13．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为______14．某几何体的三视图(单位:)如图所示，则该几何体的体积为_______，表面积为_________．15．已知一个空间几何体的三视图及有关数据如下图所示，则该几何体的表面积为_____六．圆锥曲线小题部分16．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与的离心率之积为，则的渐近线方程为A．B．C．D．17．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于两点，若，则A．B．C．D．七．圆锥曲线大题部分19．椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．（1）．求椭圆的标准方程；（2）．设不过原点的直线与椭圆交于两点两点，且直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．20．已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（1）．求椭圆的方程；（2）．过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证为定值，并计算出该定值．21．已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为．经过点的直线与椭圆交于两点．（1）．求椭圆方程；（2）．当直线的倾斜角为45°时，求线段的长；（3）．记与的面积分别为和，求的最大值．2018~2018学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷答案文数参考答案1．B 解析：由已知得，又因，所以，解得或．故选B ．2．B 解析：根据题意函数的周期为，所以，所以．所以答案为：B ．3．C 解析：是奇函数，选项A 错;是指数函数，非奇非偶，选项B 错;是偶函数，但在上单调递增，选项D 错;只有选项C 是偶函数且在上单调递减．故选C ．4．D 5．66．D 7．答案：（1）函数的定义域为．依题意，方程有两个不等的正根(其中)．故 ， 并且，故的取值范围是．（2）．当时，．若设，则．于是有，∴，构造函数(其中)则．所以在上单调递减，．故的最大值是e ．8．答案：（1），令，得．当时，，当时，，∴当时，取得最小值，最小值为．（2）∵，∴，当时，恒有在上是增函数;当时，令，得，解得，令，得，解得，综上，当时，在上是增函数;当时，在上单调递增，在上单调递减．9．答案：（1）存在使得成立，等价于，由，得，故在单调递减，在单调递增，所以，故，则满足条件的最大整数（2）依题有，在上函数由（1）可知，在上，在上，恒成立等价于恒成立．设可知，在上是减函数，又，所以当时，，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即实数的取值范围为10．答案：11．答案：解析： 由，得，且，∴，由，得．∴(当且仅当时取等号)，即的最小值为．12．答案：9解析：因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．13．答案：由三视图可得，这是一个四棱锥底面是一个上下底分别为2和4，高为2的直角梯形，棱锥高为2．故答案为：414．答案：;解析：由三视图可知该几何体是如下图所示侧棱底面矩形的四棱锥：所以其体积为：，又，所以其表面积为：;故应填入;．15．答案：解析：下图为三视图对应的直观图，其表面由两个全等的正方形，两个全等的梯形和两个矩形组成．由三视图中数据可得该几何体的表面积．16．答案：A解析：椭圆的离心率为，双曲线的离心率为．由题意知，即．两边平方得，∴，∴的渐近线方程为，即，故选A．17．答案：A解析：如图，过作准线的垂线，垂足分别为，由于到直线的距离为定值，∴，又∵，由抛物线定义知，∴，由知，，∴直线的方程为，把代入上式，求得，，∴，故，故选A。
2018年河南省高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x<0, 或x>2}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52. 若复数(a+3i)(1−2i)（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A.−6B.13C.32D.√133. 已知f(x)=sinx−tanx，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则（）A.p是假命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0B.p是假命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)≥0C.p是真命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0D.p是真命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)≥04. 已知程序框图如图，则输出i的值为（）A.7B.9C.11D.135. 设不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，表示的平面区域为D，则z=y+1x的取值范围为（）A.[32, 4] B.(32, 4) C.[2, 4] D.[32, 2]6. 已知a=0.63.1，b=4.10.6，c=log0.64.1，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b7. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A.1+√2B.1+2√2C.2+√2D.2+2√28. 已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2018项a 2018等于（ ） A.131 B.163C.64D.6329. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM →−3CA →=2CB →，则AM →⋅BM →的值为( ) A.−152B.−2C.2D.15210. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是（ ） A.由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍 B.y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C.y =f(x)的图象关于点(3π4, 1)对称 D.y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称11. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1, 3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.(−∞, 0]B.[0,57) C.(−∞,0)∪(0,57) D.(−∞,57)12. 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，若双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于（ ） A.35B.√73C.53D.√7二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知圆的方程为x 2+y 2−6x −8y =0，则该圆过点(3, 5)的最短弦长为________．若函数f(x)={x(x −b),x ≥0,ax(x +2),x <0(a, b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为________．a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S15=________．在等差数列{a n}中，a6=12已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为________．三、解答题（共70分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B+sin2C−sin2A= sinBsinC．求A；（2）已知D为BC中点，AD=√19，BC=√7，求△ABC的面积．2如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB // CD，∠BAD=90∘，DC=DA=2AB=2√5，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH= 4．（1）求证：PC⊥BD（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P−BFD的体积为5√2？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，统计他们的数学成绩（均为整数），得到频率分布直方图如图所示．(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设成绩在[90,100]的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取2人，求这两人成绩相同的概率．x2y222px(p >0)的焦点，点(2, 4)在抛物线C 2上． （1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆C 1交于A ，B 两点，记△ABP 三条边所在直线斜率乘积为t ，求t 的最大值．已知a ≠0，函数f(x)={−x 3+x 2,x <ealnx,x ≤e．（1）讨论函数f(x)的零点的个数；（2）若函数的图象上存在两点M ，N ，使得△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边MN 的中点恰好在y 轴上，求实数a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1:{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），l 2:{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)（t 为参数），其中α∈(0, 3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0．（1）写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B （非坐标原点），求|AB|的值． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x −a|(a >0)．（1）当a =2时，解不等式f(x)≥1−2x ；（2）已知f(x)+|x −1|的最小值为3，且m 2n =a(m >0, n >0)，求m +n 的最小值．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可先求出∁R A={x|0≤x≤2}，然后进行交集的运算即可．【解答】∁R A={x|0≤x≤2}；∴(∁R A)∩B={0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0联立求得a值．【解答】∵(a+3i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i是纯虚数，∴{a+6=03−2a≠0，解得a=−6．3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定【解析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．【解答】f(x)=sinx−tanx，x∈(0, π2)，当x=π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，是真命题，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0．4.【答案】D【考点】【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件，故S=105，i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件，故S=945，i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395，i=13；当S=10395时，满足退出循环的条件，故输出的i=13，5.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，表示的平面区域为D，如图：则z=y+1x的几何意义是可行域内的点与(0, −1)连线的斜率，由图象可知QB的斜率最小，QA的斜率最大，B(2, 2)，A(1, 3)，则z=y+1x 的最大值为：4，最小值为：32．6.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵0<a=0.63.1<0.60=1，b=4.10.6>4.10=1，c=log0.64.1<log0.61=0，∴a，b，c的大小关系为b>a>c．7.【答案】C【考点】由三视图求表面积由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积． 【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴ 四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱PD =1，∴ 四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴ 四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △PAD +2S △PAB=1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选C . 8.【答案】 D【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】观察数列的特征，得出它的项数是1+2+3+...+k =k(k+1)2(k ∈N ∗)，在每一个k 段内是k 个分数(k ∈N ∗, k ≥3)，且它们的分子分母和为k +1；进而求出第2018项即可． 【解答】观察数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…， 得出：它的项数是1+2+3+...+k =k(k+1)2(k ∈N ∗)，并且在每一个k 段内，是k 个分数(k ∈N ∗, k ≥3)，且它们的分子分母和为k +1(k ∈N ∗, k ≥3)； 由k =63时，k(k+1)2=2016<2018(k ∈N ∗)，故a 2018在64段中，∴ 该数列的第2018项a 2018为第64组的第2项， 故a 2018=632，【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据条件可先求出CA →∗CB →=92，而由6CM →−3CA →=2CB →即可得出CM →=12CA →+13CB →，这样即可用CA →,CB →分别表示出AM →,BM →，然后进行数量积的运算即可． 【解答】解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴ CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cos60∘=92；6CM →−3CA →=2CB →； ∴ CM →=12CA →+13CB →；∴ AM →=AC →+CM →=−CA →+12CA →+13CB →=−12CA →+13CB →，BM →=BC →+CM →=−CB →+12CA →+13CB →=12CA →−23CB →； ∴ AM →⋅BM →=(−1CA →+1CB →)⋅(1CA →−2CB →)=−14CA →2+12CA →⋅CB →−29CB →2=−94+94−2=−2． 故选B . 10.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】得x =kπ2+π6(k ∈Z)，所以x 1=k 1π2+π6(k 1∈Z ),x 2=k 2π2+π6(k 2∈Z )，所以x 1−x 2=π2(k 1−k 2)(k 1,k 2∈Z )，是π2的整数倍，故A 错误；由f(x)=3sin (2x −π3)+1，得f(x)=−3cos (2x −π3+π2)+1=−3cos (2x +π6)+1，故B 错误；由2x −π3=kπ(k ∈Z)，得x =kπ2+π6(k ∈Z)．令kπ2+π6=3π4(k ∈Z)，解得k =76，不符合题意，故C 错误；由2x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，得x =kπ2+5π12(k ∈Z)．令k =−1，则x =−π12，即y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称，故D 正确． 故选D ． 11.【答案】 D【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1, 3]上的最大值，即可求m 的取值范围． 【解答】由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵ 当x ∈[1, 3]时，x 2−x +1∈[1, 7]， ∴ 不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵ 当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴ 若要不等式m <5x 2−x+1恒成立，则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞, 57)，12.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d =4，再根据点到直线的距离公式可得3|sinP|2c 2R2c 2a =53【解答】双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M:x2+y2−10x=0，即(x−5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=√25−9=4，∴√a2+b2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】4√6【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析可得其圆心与半径，设P为(3, 5)，圆心为M，分析可得当过点P(3, 5)的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦最短，结合点到直线的距离公式分析可得答案．【解答】根据题意，圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，其标准方程为(x−3)2+(y−4)2=25，其圆心为(3, 4)，半径为5，设P为(3, 5)，圆心为M，分析可得当过点P(3, 5)的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦最短，则弦长l=2×√r2−|MP|2=4√6；【答案】−1【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a，b的值，进而可得f(a+【解答】解：∵ 函数为奇函数， 故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{a =−1,−b =2a,即{a =−1,b =2, ∴ f(x)={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0,∴ f(a +b)=f(1)=1−2=−1. 故答案为−1． 【答案】 120【考点】等差数列的前n 项和 【解析】等差数列{a n }中，a 6=12a 4+4，可得2a 6−a 4=8=a 8．代入S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8，即可得出． 【解答】等差数列{a n }中，a 6=12a 4+4，∴ 2a 6−a 4=8=a 8． S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8=15×8=120．【答案】 2√3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度． 【解答】由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、D 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1， 在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴ EF =√3， ∴ DE =2√3， ∴ AA 1=2√3．三、解答题（共70分）【答案】（1）由正弦定理：sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ． 转换为：b 2+c 2−a 2=bc ， 即：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于：0<A <π，则：A =π3．（2）由于：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7， 所以：b 2+c 2−bc =7①． 由于：D 为BC 中点， 则：AD →2=12(AB →+AC →)，所以：4AD →2=(AB →+AC →)2， 即：b 2+c 2+bc =19② 由①②得：bc =6， 所以：S △ABC =12bcsinA =3√32【考点】 三角形求面积 【解析】（1）直接利用余弦定理求出A 的值．（2）利用余弦定理和向量的线性运算及三角形的面积公式求出结果． 【解答】（1）由正弦定理：sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ． 转换为：b 2+c 2−a 2=bc ， 即：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于：0<A <π， 则：A =π3．（2）由于：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7， 所以：b 2+c 2−bc =7①． 由于：D 为BC 中点， 则：AD →2=12(AB →+AC →)，所以：4AD →2=(AB →+AC →)2， 即：b 2+c 2+bc =19② 由①②得：bc =6， 所以：S △ABC =12bcsinA =3√32【答案】证明：∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，∴ ∠EDC =∠BAD =90∘，∵ DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴ AB =ED ，则△BAD ≅△EDC ， ∴ ∠DBA =∠DEH ．∵ ∠DBA +∠ADB =90∘，∴ ∠DEH +∠ADB =90∘，则BD ⊥EC ． 又∵ PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥PH ． 又∵ PH ∩EC =H ，且PH 、EC ⊂平面PEC ， ∴ BD ⊥平面PEC ，∵ PC ⊂平面PEC ，∴ PC ⊥BD ；假设线段PC 上存在一点F ，使三棱锥P −BFD 的体积为5√2，由（1）可知，△DHE∽△DAB，且求得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3．∵PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，∴∠HPC=45∘，∵BD⊥平面PEC，∴V P−BFD=V B−PHF+V D−PHF=13S△PHF×BD=13×12×PH×PF×sin45∘×5=5√23PF=5√2．∴PF=3，∵PC=4√2>3，∴线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】（1）由已知证明△BAD≅△EDC，得到∠DBA=∠DEH，再由∠DBA+∠ADB=90∘，可得∠DEH+∠ADB=90∘，即BD⊥EC．又PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PEC，进一步得到PC⊥BD；（2）由（1）可知，△DHE∽△DAB，解三角形可得EH，HC，DH，HB的值，结合PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，求得∠HPC=45∘，则BD⊥平面PEC，再由等积法求得PF=3，可得线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【解答】证明：∵AB // CD，∠BAD=90∘，∴∠EDC=∠BAD=90∘，∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，则△BAD≅△EDC，∴∠DBA=∠DEH．∵∠DBA+∠ADB=90∘，∴∠DEH+∠ADB=90∘，则BD⊥EC．又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH．又∵PH∩EC=H，且PH、EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD；假设线段PC上存在一点F，使三棱锥P−BFD的体积为5√2，由（1）可知，△DHE∽△DAB，且求得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3．∵PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，∴∠HPC=45∘，∵BD⊥平面PEC，∴V P−BFD=V B−PHF+V D−PHF=13S△PHF×BD=13×12×PH×PF×sin45∘×5=5√23PF=5√2．∴PF=3，∵PC=4√2>3，∴线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【答案】解：（1）利用区间中点值估算这160名学生的平均分为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72（分），众数的估计值为75分．（2）由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0.005×10=8(人)．设“从8人中任取2人，这两人成绩相同”为事件A，记这8人编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，其中4号、5号成绩为99分，6号、7号、8号的成绩为100分．由题意，从8人中任取2人，基本事件有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(1, 7)，(1, 8)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(2, 7)，(2, 8)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(3, 7)，(3, 8)，(4, 5)，(4, 6)，(4, 7)，(4, 8)，(5, 6)，(5, 7)，(5, 8)，(6, 7)，(6, 8)，(7, 8)，共28个．其中事件A所包含的基本事件为(4, 5)，(6, 7)，(6,8)，(7, 8)，共4个．由古典概型概率计算公式得P(A)=428=17．【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）利用区间中点值估算这160名学生的平均分为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72（分），众数的估计值为75分．（2）由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0.005×10=8(人)．设“从8人中任取2人，这两人成绩相同”为事件A，记这8人编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，其中4号、5号成绩为99分，6号、7号、8号的成绩为100分．由题意，从8人中任取2人，基本事件有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(1, 7)，(1, 8)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(2, 7)，(2, 8)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(3, 7)，(3, 8)，(4, 5)，(4, 6)，(4, 7)，(4, 8)，(5, 6)，(5, 7)，(5, 8)，(6, 7)，(6, 8)，(7, 8)，共28个．其中事件A所包含的基本事件的个数为(4, 5)，(6, 7)，(6,8)，(7, 8)，共4个．由古典概型概率计算公式得P(A)=428=17．【答案】点(2，在抛物线C 2上，∴ p =4，即c =2，即a 2+b 2=c 2=4，① ∵ 点P(2,（1）在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，∴ 4a 2+9b 2=1，②，由①②解得a 2=16，b 2=12， ∴ 椭圆方程为x 216+y 212=1；(Ⅱ)椭圆的右焦点为F(2, 0)，由题意可得直线k 的斜率存在， 设直线l 的方程为y =k(x −(2)，(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，当k ≠0时，y k =x −2，得t =k ⋅y 1−3x 1−2⋅y 2−3x 2−3=k 3⋅y 1−3y 1⋅y 2−3y 2=k 3[1−3(1y 1+1y 2)+9y 1y 2]联立直线方程和椭圆方程，消去x ，得(4+3k 2)y 2+12ky −36=0，显然可知△>0，则y 1+y 2=−12k4k 2+3，y 1y 2=−−36k 24k 2+3，∴ t =k 3(1−3y 1+y 2y 1y 2+9y1y 2)=−k 2−34k =−(k +38)2+964则当k =0时，t =0也满足上式，即t =−k 2−34k =0， ∴ 当k =−38时，t max =964． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）先求出c ，再根据点P(2, 3)在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，即可求出a 2=16，b 2=12，问题得以解决．（2）右焦点F(2, 0)，直线l:y =k(x −2)，（与椭圆的交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA ，k PB ，从而化简t =k PA ⋅k PB ⋅k ．从而求最大值即可． 【解答】 点(2，在抛物线C 2上，∴ p =4，即c =2，即a 2+b 2=c 2=4，① ∵ 点P(2,（1）在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上， ∴ 4a 2+9b 2=1，②，由①②解得a 2=16，b 2=12， ∴ 椭圆方程为x 216+y 212=1；(Ⅱ)椭圆的右焦点为F(2, 0)，由题意可得直线k 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x −(2)，(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，当k ≠0时，y k =x −2，得t =k ⋅y 1−3x 1−2⋅y 2−3x 2−3=k 3⋅y 1−3y 1⋅y 2−3y 2=k 3[1−3(1y 1+1y 2)+9y 1y 2]联立直线方程和椭圆方程，消去x ，得(4+3k 2)y 2+12ky −36=0，显然可知△>0，则y 1+y 2=−12k4k 2+3，y 1y 2=−−36k 24k 2+3，∴ t =k 3(1−3y 1+y 2y 1y 2+9y 1y 2)=−k 2−34k =−(k +38)2+964则当k =0时，t =0也满足上式，即t =−k 2−34k =0， ∴ 当k =−38时，t max =964．【答案】若−x 3+x 2=0，解得x =0或x =1，此时有两个零点，x =0或x =1， 若a >0时，f(x)=alnx ≥alne =a >0此时无零点， 当a <0时，f(x)=alnx ≤alne =a <0此时无零点， 综上所述，函数f(x)有两个零点0或1，假设曲线y =f(x)上存在两点M 、N 满足题设要求，则点M 、N 只能在y 轴两侧．不妨设M （t, f(t)）(t >0)，则N(−t, t 3+t 2)，∵ △MON 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴ OM →⋅ON →=0，即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M 、N ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M 、N ．若0<t <e ，则f(t)=−t 3+t 2代入①式得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0， 即t 4−t 2+1=0，而此方程无解，因此t ≥e ，此时f(t)=alnt ， 代入①式得：−t 2+(alnt)(t 3+t 2)=0，即1a =(t +1)lnt ②，令ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥e)， 则ℎ′(x)=lnx +1+1x >0，∴ ℎ(x)在[e, +∞)上单调递增，∵ t ≥e ，∴ ℎ(t)≥ℎ(e)=e +1，∴ ℎ(t)的取值范围是[e +1, +∞)． ∴ 对于0<a ≤1e+1，方程②总有解，即方程①总有解， 故a 的取值范围为(0, 1e+1]．【考点】分段函数的应用 【解析】（1）根据函数零点和方程根的关系即可判断，（2）假设曲线y =f(x)上存在两点M 、N 满足题设要求，则点M 、N 只能在y 轴两侧．不妨设M （t, f(t)）(t >0)，则N(−t, t 3+t 2)，运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥e)，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a 的范围． 【解答】若−x3+x2=0，解得x=0或x=1，此时有两个零点，x=0或x=1，若a>0时，f(x)=alnx≥alne=a>0此时无零点，当a<0时，f(x)=alnx≤alne=a<0此时无零点，综上所述，函数f(x)有两个零点0或1，假设曲线y=f(x)上存在两点M、N满足题设要求，则点M、N只能在y轴两侧．不妨设M（t, f(t)）(t>0)，则N(−t, t3+t2)，∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴OM→⋅ON→=0，即−t2+f(t)(t3+t2)=0①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M、N；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M、N．若0<t<e，则f(t)=−t3+t2代入①式得：−t2+(−t3+t2)(t3+t2)=0，即t4−t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f(t)=alnt，代入①式得：−t2+(alnt)(t3+t2)=0，即1a=(t+1)lnt②，令ℎ(x)=(x+1)lnx(x≥e)，则ℎ′(x)=lnx+1+1x>0，∴ℎ(x)在[e, +∞)上单调递增，∵t≥e，∴ℎ(t)≥ℎ(e)=e+1，∴ℎ(t)的取值范围是[e+1, +∞)．∴对于0<a≤1e+1，方程②总有解，即方程①总有解，故a的取值范围为(0, 1e+1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化．重点都是消去参数t．（2）利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．【解答】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【解答】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．。
2018年全国高考新课标1卷文科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A ∩B=A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{-2,-1,0,1,2} 解析：选A2．设z=1-i1+i+2i ，则|z|=A ．0B ．12 C ．1 D ． 2解析：选C z=1-i1+i+2i=-i+2i=i3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．22D ．223解析：选C ∵ c=2，4=a 2-4 ∴a=2 2 ∴e=225．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选B 设底面半径为R,则(2R)2=8 ∴R=2,圆柱表面积=2πR ×2R+2πR 2=12π6．设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A ．y=-2x B ．y=-x C ．y=2x D ．y=x解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2+1 f′(0)=1 故选D 7．在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →= A ．34AB → - 14AC →B ． 14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC →解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC →8．已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2，则A ．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B ．f(x) 的最小正周期为π，最大值为4C ．f(x) 的最小正周期为2π，最大值为3D ．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 解析：选B f(x)= 32cos2x+52故选B9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．2 5C ．3D ．2 解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长10．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为300，则该长方体的体积为 A ．8 B ．6 2 C ．8 2 D ．8 3解析：选C ∵AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为300，AB=2 ∴AC 1=4 BC 1=2 3 BC=2 ∴CC 1=2 2 V=2×2×22=8 2 11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=23，则|a-b|= A ．15B ．55C ．255D ．1解析：选B ∵cos2α=23 2cos 2α-1=23 cos 2α=56 ∴sin 2α=16 ∴tan 2α=15又|tan α|=|a-b| ∴|a-b|=5512．设函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧2-x，x ≤01，x>0，则满足f(x+1)< f(2x)的x 的取值范围是A ．(-∞,-1]B ．(0,+ ∞)C ．(-1,0)D ．(-∞,0)解析：选D x ≤-1时，不等式等价于2-x-1<2-2x,解得x<1,此时x ≤-1满足条件-1<x ≤0时，不等式等价于1<2-2x, 解得x<0, 此时-1<x<0满足条件 x>0时，1<1不成立 故选D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=log 2(x 2+a)，若f(3)=1，则a=________． 解析：log 2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-714．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x-2y-2≤0x-y+1≥0 y ≤0 ，则z=3z+2y 的最大值为_____________．解析：答案为615．直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点，则|AB|=________．解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=2,|AB|=2R 2-d 2=2 216．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bsinC+csinB=4asinBsinC ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC 得2sinBsinC=4sinAsinBsinC ∴sinA=12由余弦定理及b 2+c 2-a 2=8得2bccosA=8,则A 为锐角，cosA=32, ∴bc=833∴S=12bcsinA=233三、解答题：共70分。
2018届河南省新乡许昌平顶山三市高三第一次调研考试文
新乡许昌平顶山2018届高三第一次调研考试数学（文）试题第I 卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） (1)已知集合P={}|12x x <≤, Q={}2|20x x x +-≤ ,那么P Q 等于(A)∅ （B ）｛1｝ （C)｛x ｜－2≤x ≤2｝ （D){x ｜1<x ≤2｝(2)在复平面内，复数(12)z i i =+的共轭复数 (A)2－i (B)－2－i (C)2＋i (D)－2＋i （3) 在平面直角坐标系xoy 中，已知点O(0,0),A(0,1),B(1，－2),C （m, 0），若OB AC ，则实数m 的值为(A)－2 (B)－12（C ）12(D)2(4)等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 1＝一100，且5S 7一7S 5= 70，则S 101等于(A) 100 (B)50 (C)0 (D) －50(5）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则此几何体的表面积是（A) (80＋1 6) cm2(B)84cm 2(C)（96＋2(D) 9 6cm 2(6)在区间〔一1，1〕上随机取一个数x ，使sin 2x π的值介于0到12之间的概率为(A)13(B) 16 (C)13π(D)16π（7）三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为 （A ）7 （B ）7.5 （C ）8 （D ）9（8）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（A2 （B 1 （C 1 （D ）1（9）将函数f （x ）=sin2x 的图象向左平移4π个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（10）执行如图所示的程序框图，如果输入m＝30，n＝18，则输出的m的值为（A）0（B）6（C）12（D）18（11）若关于x的不等式20+-<的解集为｛x｜一2＜x＜1｝，x ax c则函数g（x）＝2axe x的单调递减区间为（A）（一∞，0）（B）（一∞，一2）（C）（一2，一1）（D）（一2，0）（12）对实数a与b，定义运算设函数f（x）＝（x一1），若函数y＝f（x）一c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（A）（一1，l〕U（2，＋co）（B）（一2，一1〕U（1，2〕（C）（一co，一2）U（1，2〕（D）〔一2，一1〕二、填空题（20分） （13）设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，(2)()(2)f x f x f +=+，则(5)f ＝＿＿（14）已知实数x ，y 满足31y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则函数5z x y =+的最大值是 ·（15）在△ABC 中，AC ＝7，∠B ＝23π，△ABC 的面积S，则边AB 的长为＿＿＿（16）已知点A （－2,0），B （0,2），若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，△ABC 的面积的最小值为＿＿＿＿三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河南省新乡市陈桥镇中学2018年高三数学文测试题含解析
河南省新乡市陈桥镇中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，集合B为函数的定义域，则 ( )A．B．C．D．参考答案：D略2. 已知复数，则z的实部为A. －1B. 0C. 1D. 3参考答案：B3. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.参考答案：D略4. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.参考答案：A5. 复数的虚部为A. 2B.C.D.参考答案：B略6. 若，是第二象限的角，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：B略7. 若函数f（x）＝8x2－lnx在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，＋∞）B．[1，） C．[1， 2）D．[，2）参考答案：B8. 已知直线与圆相交于A、B两点，若，则实数m的值等于（）A．-7或-1 B．1或7 C.－1或7 D．－7或1参考答案：C由圆的方程可知，圆心坐标(0,3)，圆半径，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，解得m=－1或m=7，故选C.9. 已知，那么的值为（）A．B．C．D．参考答案：B10. 下列程序框图的输出结果为A. B. C.D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x，y，满足约束条件，若z的最大值为12，则k= 。
参考答案：6【知识点】简单线性规划作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．此时z=x+y=12由，解得，即A（6，6），同时A也在y=k上，∴k=6．故答案为：6【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求K的值．12. 观察下列等式：1=1 13=11+2=3 13+23=91+2+3=6 13+23+33=361+2+3+4=10 13+23+33+43=1001+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225……可以推测：13+23+33+…+n3= 。
河南省新乡市2018届高三第三次模拟测试文数试题(精编含解析)
1．B【解析】分析：由题意首先求得集合U，据此可得结合B，最后求解交集运算即可.详解：求解二次不等式可得：，则：，结合可得：，故=.本题选择B选项.点睛：本题主要考查补集的概念，交集的概念与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．C【解析】分析：由，从而利用二倍角公式可得的正弦值与余弦值，从而可得的正切值，利用两角和的正切公式可得结果.详解：，，可得，故选C.点睛：给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.4．A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.详解：因为分层抽样的抽取比例为，所以初中生中抽取的男生人数是人.本题选择A选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B【解析】分析：首先确定伸缩变换和平移变换之后的函数解析式，然后求解三角函数值即可，注意诱导公式和特殊角的三角函数值的应用.详解：因为，所以y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数的解析式为，各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，所以.本题选择B选项.点睛：本题主要考查三角函数图象的平移变换与伸缩变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9．C【解析】分析：先判断函数奇偶性，利用奇偶性结合解析式可得函数的单调性，利用单调性化简不等式求解即可.详解：函数是偶函数，且在上是减函数，可得在上是增函数，不等式可化为：，即，解得，即，不等式成立的的取值范围是,故选C.点睛：将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．点睛：求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用“垂线段最短”求出正切的最值.12．D【解析】由题点所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为，则所以直线的倾斜角为则与联立解得因为双曲线的离心率，与联立得，故双曲线的方程为.故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14．【解析】分析：由,可得，利用几何概型概率公式可得结果.详解：，由，可得，的概率为，故答案为.点睛：本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度. 15．【解析】分析：由题意首先求得数列的公比，然后结合数列的通项公式即可求得最终结果.详解：很明显等比数列的公比，则由题意可得：，解得：，则：.点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17．(1)；(2).【解析】分析：(1)由题意角化边可得，则.(2)由题意结合同角三角函数基本关系可得.结合正弦定理可得.且又.由面积公式可得.详解：(1)因为.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18．（1）见解析（2）（3）有99%的把握【解析】分析：（1）由题意知样本容量为，得到频率分布表，进而得到频率分布直方图.（2）因为（1）中的频率为，进而得到名女生观看冬奥会时间不少于小时的概率；（3）因为（1），根据题意，得出列联表，求得的值，即可作出判断.详解：解：（1）由题意知样本容量为，频率分布表如下：分组频数频率10.0110.0140.0420.0240.0430.0330.0320.02合计201频率分布直方图为：（2）因为（1）中的频率为，所以名女生观看冬奥会时间不少于小时的概率为.（3）因为（1）中的频率为，故可估计位女生中累计观看时间小于小时的人数是.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生女生总计累计观看时间小于20小时504090累计观看时间不小于20小时15060210总计200100300结合列联表可算得，所以，有的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.点睛：本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.19．(1)证明见解析；(2).，所以，所求几何体的体积.点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.20．（1）圆的方程为，椭圆的方程为.；（2）.所以圆的方程为，椭圆的方程为.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求得,由，解方程即可得结果；（2）.设，要证，即要证在（0，+∞）恒成, 利用导数研究函数的单调性，可得，，点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.22．（1）见解析；（2）10.【解析】分析：(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得，则曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线参数方程为(t为参数)，与C的直角坐标方程联立可得，由弦长公式可得.详解：(1)因为所以，即，所以曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线过抛物线焦点坐标(0,2)，且参数方程为(t为参数)，代入曲线的直角坐标方程，得，所以.所以.点睛：本题主要考查直线的参数方程的几何意义，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．(1)；(2)4.又，所以，所以，即.所以有.又，所以，，即的最小值为4.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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2018年河南省新乡市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i8+（﹣i）17可化简为（）A．1﹣i B．0 C．1+i D．22．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|a﹣1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．1或23．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则（）A．事件“m=2”的概率为B．事件“m＞11”的概率为C．事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件D．事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件4．（5分）点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=tan（φ﹣x）（＜φ＜）的图象经过原点，若f （﹣a）=，则f（a+）=（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（）A．8﹣πB．8﹣2πC．8﹣πD．8+2π7．（5分）若log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a8．（5分）我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为（）A．20 B．25 C．30 D．759．（5分）若函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有最大值，则a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，3） C．（3，+∞）D．（1，3）10．（5分）设k∈R，函数f（x）=sin（kx+）+k的图象为下面两个图中的一个，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．x=+（k∈Z）B．x=kx+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=kπ﹣（k∈Z）11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．6πC．πD．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知向量，满足||=2||=2，与的夹角为120°，则|﹣2|=．14．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为．15．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为．16．（5分）已知函数f（x）=﹣，则f（log26）+f（）=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．（1）证明：a1，a5，a41成等比数列；（2）求数列{a n•3n}的前n项和T n．18．（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？19．（12分）如图，几何体ABC﹣A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB=4，AA1=3，A1D=1，AA1⊥平面ABC，M为AB的中点，E为棱AA1上一点，且EM∥平面BC1D．（1）若N在棱BC上，且BN=2NC，证明：EN∥平面BC1D；（2）过A作平面BCE的垂线，垂足为O，确定O的位置（说明作法及理由），并求线段OE的长．20．（12分）已知直线l：y=2x﹣2与椭圆Ω：（m≠0）交于A，B两点．（1）求Ω的离心率；（2）若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求Ω的方程及圆C的标准方程．21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2x﹣2）e x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，f（x）﹣4x+a恒成立，求a的最大值；（3）设F（x）=xf（x）+（2x﹣x2）e x，若F（x）在[t，t]的值域为[（6﹣18）e，0]，求t的取值范围．（提示：≈2.4，e≈11.6）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（0≤θ≤）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C；（2）若直线（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣3|．（1）求不等式f（x）+f（2x）＜f（12）的解集；（2）若x1=3x3﹣x2，|x3﹣2|＞4，证明：f（x1）+f（x2）＞12．2018年河南省新乡市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i8+（﹣i）17可化简为（）A．1﹣i B．0 C．1+i D．2【解答】解：z=i8+（﹣i）17=（i4）2+[（﹣i）4]4•（﹣i）=1﹣i．故选：A．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|a﹣1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：集合A={x|x2﹣x≤0}=[0，1]，B={x|a﹣1≤x＜a}=[a﹣1，a），A∩B只有一个元素，则a=2，故选：C．3．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则（）A．事件“m=2”的概率为B．事件“m＞11”的概率为C．事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件D．事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则事件“m=2”的概率为，故A错误；事件“m＞11”的概率为，故B错误；事件“m=2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；a=b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件，故D正确；故选：D．4．（5分）点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣【解答】解：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，如图可知AO的斜率最小，A（﹣3，5），则的最小值为：﹣．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=tan（φ﹣x）（＜φ＜）的图象经过原点，若f （﹣a）=，则f（a+）=（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【解答】解：∵函数f（x）=tan（φ﹣x）（＜φ＜）的图象经过原点，∴tanφ=0，∴φ=π，∴f（x）=tan（φ﹣x）=﹣tanx．若f（﹣a）=﹣tan（﹣a）=tana=，则f（a+）=﹣tan（a+）=﹣=﹣3，故选：A．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（）A．8﹣πB．8﹣2πC．8﹣πD．8+2π【解答】解：由三视图可知几何体是正方体，挖去两个半圆柱后的几何体．如图：几何体的体积为：2×2×2﹣12π×2=8﹣2π．故选：B．7．（5分）若log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【解答】解：由log2（log3a）=1，可得log3a=2，lga=2lg3，故a=32=9，由log3（log4b）=1，可得log4b=3，lgb=3lg4，故b=43=64，由log4（log2c）=1，可得log2c=4，lgc=4lg2，故c=24=16，∴b＞c＞a．故选：D．8．（5分）我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为（）A．20 B．25 C．30 D．75【解答】解：输入n=20，m=80，s≠100，n=21，m=79，s≠100，n=22，m=78，s≠100，n=23，m=77，s≠100，n=24，m=76，s≠100，n=25，m=75，s=100，输出n=25，故选：B．9．（5分）若函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有最大值，则a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，3） C．（3，+∞）D．（1，3）【解答】解：f′（x）=﹣2x+a+=要使函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有最大值则函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有极大值大值即方程﹣2x2+ax+2=0又两个不等实根，且较大根在区间（1，2）∴，解得0＜a＜3故选：B．10．（5分）设k∈R，函数f（x）=sin（kx+）+k的图象为下面两个图中的一个，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．x=+（k∈Z）B．x=kx+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=kπ﹣（k∈Z）【解答】解：设k∈R，由于函数f（x）=sin（kx+）+k的最大值为1+k，最小值为k﹣1，在（1）中，由最大值为1+k=3，最小值为k﹣1=1，可得k=2，∴f（x）=sin（2x+）+2．令2x+=kπ+，可得x=•kπ+，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=•kπ+，k∈Z，联系图象（1），满足条件．在第（2）个图中，1+k=2，1﹣k=0，故有k=1，故f（x）=sin（x+）+1．令x+=kπ+，可得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈Z，联系图象（2），不满足条件，故选：A．11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，故选：D．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．6πC．πD．π【解答】解：如下图所示：三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为三棱锥F﹣ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，外接圆半径为，内切圆半径为，高为1，设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得：R=故此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=π，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知向量，满足||=2||=2，与的夹角为120°，则|﹣2|=．【解答】解：∵||=2||=2，与的夹角为120°，∴，，∴|﹣2|2=，∴|﹣2|=．故答案为：．14．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的实轴长是10，即2a=10，则a=5，又由双曲线的焦点在x轴上且b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x；故答案为：y=±x．15．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴由正弦定理化简得：a：b：c=2：3：4，分别设a=2k，b=3k，c=4k，则最大角为C，∴cosC===﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=﹣，则f（log26）+f（）=6．【解答】解：∵函数f（x）=﹣，设h（x）==，g（x）=，则g（﹣x）==﹣=﹣g（x），∴h（x）+h（﹣x）=g（x）+g（﹣x）+，﹣log26=log2，∴h（log26）+h（）=，∵（）+（）=，∴f（log26）+f（）=6．故答案为：6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．（1）证明：a1，a5，a41成等比数列；（2）求数列{a n•3n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a17=33，S7=49，则：，解得：a1=1，d=2，所以：a n=2n﹣1．则：a1=1，a5=9，a41=81，即：=a1•a41．所以：a1，a5，a41成等比数列．（2）解：由（1）得：a n•3n=（2n﹣1）•3n，则：+…+（2n﹣1）•3n①，则：3+…+（2n﹣1）•3n+1②①﹣②得：﹣（2n﹣1）•3n+1，整理得：．故数列的前n项和为：18．（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【解答】解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+194+196+193+194+197+196+195+193+197）=195（cm），乙厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+196+193+192+195+194+195+192+195+193）=194（cm）．（2）甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，平均数为=（195+194+196+194+196+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2]=，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为=（195+196+195+194+195+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2+（194﹣195）2+（195﹣195）2+（195﹣195）2]=，∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轻裘肥马相对更好．19．（12分）如图，几何体ABC﹣A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB=4，AA1=3，A1D=1，AA1⊥平面ABC，M为AB的中点，E为棱AA1上一点，且EM∥平面BC1D．（1）若N在棱BC上，且BN=2NC，证明：EN∥平面BC1D；（2）过A作平面BCE的垂线，垂足为O，确定O的位置（说明作法及理由），并求线段OE的长．【解答】证明：（1）∵EM∥平面BC1D．EM⊂平面ABDA1，平面ABDA1∩平面BC1D=BD，∴EM∥BD；过D作DH⊥AB于H，连接CH，则CH∥C1D，则HM=﹣=，∴HM：MB=CN：NB=1：2，∴MN∥CH，即MN∥C1D，∵EM∩MN=M∴平面EMN∥平面BC1D，又∵EN⊂平面EMN，∴EN∥平面BC1D，解：（2）在线段AB上取一点F，使BF=A1D=1，则A1F∥BD，由（1）知EM∥BD，∴EM∥A1F∴AE：AA1=AM：AF=2：3．∴AE=AA1=2，取BC的中点G，连接AG，EG，过A作AO⊥EG于O，则AO⊥平面BCE，证明如下：由题意得：△ABC为等边三角形，则AG⊥BC，又由AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又∵AG∩AA1=A，AG，AA1⊂平面AEG，∴BC⊥平面AEG，又∵AO⊂平面AEG，∴BC⊥AO，又∵EG∩BC=G，EG，BC⊂平面BCE，∴AO⊥平面BCE，由射影定理得：AE2=OE•EG，由AG=2，EG=2，∴OE=20．（12分）已知直线l：y=2x﹣2与椭圆Ω：（m≠0）交于A，B两点．（1）求Ω的离心率；（2）若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求Ω的方程及圆C的标准方程．【解答】解：（1）e=====，（2）由可得17x2﹣32x+16﹣4m2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=322﹣68（16﹣4m2）＞0，∴x1+x2=，x1x2=，由已知•=x1x2+4（x1﹣1）（x2﹣1）=5x1x2+4（x1+x2）+4=0，即5×﹣4×+4=0，解得m2=1且满足△＞0，故Ω的方程为+y2=1，设圆C的圆心为（x0，y0），则x0=（x1+x2）=，y0=2（x0﹣1）=﹣，由x1x2==，可得|AB|==，故圆C的方程为（x﹣x0）+（y﹣y0）=（）2，即（x﹣）+（y+）=．21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2x﹣2）e x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，f（x）﹣4x+a恒成立，求a的最大值；（3）设F（x）=xf（x）+（2x﹣x2）e x，若F（x）在[t，t]的值域为[（6﹣18）e，0]，求t的取值范围．（提示：≈2.4，e≈11.6）【解答】解：（1）∵f′（x）=（x2﹣4）e x，∴f′（0）=﹣4，又f（0）=﹣2，∴所求切线方程为y+2=﹣4x，即y=﹣4x﹣2．（2）当x＞0时，f（x）≥x3﹣4x+a，即a≤f（x）﹣x3+4x恒成立，设g（x）=f（x）﹣x3+4x（x＞0），g′（x）=（x2﹣4）e x﹣x2+4=（x2﹣4）（e x﹣1），当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增．∴g（x）min=g（2）=﹣2e2+，∴a≤﹣2e2+，a的最大值为﹣2e2+．（3）F（x）=（x3﹣3x2）e x，F′（x）=（x3﹣6x）e x，令F′（x）＜0，得x＜﹣或0＜x＜；令F′（x）＞0，得﹣＜x＜0或x＞．∴当x=±时，f（x）取得极小值，当x=0时，f（x）取得极大值．∵F（﹣）=6（﹣﹣3），F（）=（6﹣18），∴F（）＜F（﹣）＜0．令F（x）=0，得x=0或x=3．∴或，∴t∈[﹣，0]∪{}．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（0≤θ≤）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C；（2）若直线（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（0≤θ≤），∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，化为标准形式是（x﹣1）2+y2=1，又0≤θ≤，∴曲线C表示圆（x﹣1）2+y2=1的，且x≥1，y≥0；∴曲线C如图所示；（2）由直线（t为参数），得y=x+m；当直线y=x+m过点（2，0）时，求得m=﹣2；当直线y=x+m过点（1，1）时，求得m=0；由数形结合求得m的取值范围是[﹣2，0]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣3|．（1）求不等式f（x）+f（2x）＜f（12）的解集；（2）若x1=3x3﹣x2，|x3﹣2|＞4，证明：f（x1）+f（x2）＞12．【解答】解：（1）由f（x）+f（2x）＜f（12）得|x﹣3|+|2x﹣3|＜9，故或或，解得：﹣1＜x＜5故不等式的解集是（﹣1，5）；（2）证明：∵x1=3x3﹣x2，∴x1+x2=3x3，∴f（x1）+f（x2）=|x1﹣3|+|x2﹣3|≥|x1﹣3+x2﹣3|=|3x3﹣6|=3|x3﹣2|，又|x3﹣2|＞4，∴f（x1）+f（x2）＞12．。