第八章(续)-最大流问题

30 15 5
武
10
10 2
广
8
10 6
8
沈
18
源点s=成都，汇点t=北京。前面已订购机票情况表中的数字即是各边 上的容量（允许通过的最大旅客量），当各边上的实际客流量为零时 略去不写，以零流作为初始可行流。
利用标号法（经5次迭代）可以得到从成都发送旅客到北京 的最大流量如图所示
0 重 10 成 5 武 12 6 10 0 广 0 10 0 沈 上 0 6 12 0 昆 西 0 2 10 10 30 8 18 10 10 京 8 6 郑
割集的例子
v1 s v3
v2
t
v4
边集（s,v1），（v1,v3），（v2,v3），（v3,t），（v4,t）是G 的割集。其顶点分别属于两个互补不相交的点集。去掉这五条边， 则图不连通，去掉这五条边中的任意1-4条，图仍然连通。
定义7.9.5 割集的容量(简称割量) 最小 割集 割集(V1, V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量的和称为 割集容量。例如下图中所示割集的容量为5
7.9
网络流
基本概念
v2 3 s 5 v1 2 v3 1 1 3 2 4 v4 5 t
定义7.9.1 设G＝〈Ｖ，Ｅ，Ψ〉是弱连通有向图且 C:E→R0(其中R0为非负实数集合。) 如果加权图〈G，C〉满足： i) 图中恰有一个结点入度为0，称为源。ii)图中恰有一个结点出 度为0，称为汇。则称〈G，C〉为网络，C为该网络的容量函数。 对G的任意边e,称C(e)为e的容量。
所谓网络上的流，是指定义在弧集E上的函 数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量， 简记为fij。
v2 3,1 s 5,2 1,0 v1 1,0 3,1 2,1 2,2 v3 4,1 v4 5,2 t
标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二 是流量
可行流、可行流的流量、最大流。
W ( f* ) =10+6+12+30+12+10+5 = 85
7.9 作业
• 2
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流 v2
(4, 0) (1, 0) [-, ∞] s (5, 2) (1, 0) (3, 2) (2, 0) [s, 4] (4, 0) [v2, 4]
v4
(v5
[s, 3]
v1
(2, 2)
v3
(4, 0)
[-v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可 行流。 所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可 行流。 一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的， 否则称f对边(vi, vj)不饱和。 最大流问题实际上是一个线性规划问题。 但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求 解。
v2 3 s 5 v1 2 v3 1 1 3 2 4 v4 5 t
在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为最小割集 （最小割）。
对于可行流f＝{fij}，我们把网络中使fij＝cij的弧称为饱和弧， 使fij<cij的弧称为非饱和弧；把使fij＝0的弧称为零流弧，使fij>0 的弧称为非零流弧。 若µ是联结源点s和汇 点t的一条链，我们规定链的 方向是从s到t，则链上的弧 被分成两类：前向弧、后向 弧。
调整后的可行流如下图： v2
(4, 4) (1, 0) [-, ∞] vs (5, 2) (1, 0) (3, 1) (2, 1) (4, 4)
v4
(5, 5)
t
v5 v1
[vs, 3] (2, 2)
v3
(4, 1)
如图所示最小割集的容量（即当前可行流的流量），就是最大 流的流量。注：用该方法可以同时得到最小割集，即图中连结 已标号的点与未标号的点的边集。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (3,3) s (5,1) v1 (2,2) v3 v2 v4 (4,3) (1,1) v4 (5,3) (3,0) (2,1)
(1,1)
在图中给出的可行流的 基础上， 到 的最大流 的最大流。 基础上，求s到t的最大流。
t
(-v1,1)
v2
(v2,1)
v4 (5,3) (3,3) t s (1,1) (3,0) v3
成都 成都 重庆 武汉 上海 西安 郑州 沈阳 昆明 广州
重庆 10
武汉 5 5
上海 15 10
西安 8 6
郑州
沈阳
昆明 12 15
广州 10
北京 30 25
15 8 6
8 14 8 18 10 6 10
8 8 2
用图来描述就是
6
重 西
6 8 8 15
郑
10 8
成
5 12
25 15
昆
14
8
10
京 上
v2 3,1 s 5,2 1,0 v1
4,1 1,0
v4 5,2 3,1 2,1 v3 t
2,2
设f是一个可行流，µ是从s到t的一条链，若µ满足前向弧都是 非饱和弧,后向弧都是都是非零流弧,则称µ是（可行流f的）一条 增广链。
对最大流问题有下列定理： 定理7.9.1 容量网络中任一可行流的流量不超过其 定理7.9.1 任一割集的容量。 任一割集的容量。 定理7.9.2（最大流-最小割定理）任一容量网络中， 定理7.9.2 最大流-最小割定理）任一容量网络中， 7.9. 割定理 最大流的流量等于最小割集的割 最大流的流量等于最小割集的割量。 推论1 可行流f 是最大流， 推论 可行流 *＝{fij*}是最大流，当且仅当 中不存 是最大流 当且仅当G中不存 在关于f 的增广链。 在关于 *的增广链。
(-,+∞)
s
(3,3)
(4,3)
(4,3) (1,0)
(v3,1) (-,+∞)
(1,0) (5,2) v1
(5,3) t
(1,1) (5,1) v1
(3,0) (2,2) v3
(2,1) (2,2)
(2,2)
(s,4)
(-v2,1)
(vs,3)
得增广链，标号结束，进入调 整过程
无增广链，标号结束，得最大 流。同时得最小割。
调整后的可行流如下图：
[vs, 1]
v2
(4, 3)
[v2, 1]
v4
(5, 5) (4, 3) (1, 0) [-, ∞] vs (5, 2) (1, 0) (3, 2)
t [v , 1] 5
(2, 0)
v5 v1
[vs, 3] (2, 2)
v3
(4, 0)
[v3, 1]
[-v4, 1]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
可行流是指满足如下条件的流： （1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj), 有
0 ≤ f ij ≤ cij
（2）平衡条件： 对中间点，有：
∑f
j
ij
= ∑ f ki
k
（即中间点vi的物资输入量等于输出量） 对收点vt与发点vs，有： ∑ f si = ∑ f jt = W
i j
（即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量），W是 网络的总流量。
具有实际背景的例子
• 国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一 家旅行社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行 情看好，要求参加的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱 辗转取道它地也愿参加此游。旅行社只好紧急电传他在全 国各地的办事处要求协助解决此问题。很快，各办事处将 其已订购机票的情况传到了总社。根据此资料，总社要作 出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如何取道 转机。下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
求最大流的标号法 (Ford , Fulkerson)
标号法思想是：先找一个可行流。对于一个可 行流，经过标号过程得到从源点s到汇点t的增广链 ；经过调整过程沿增广链增加可行流的流量，得 新的可行流。重复这一过程，直到可行流无增广 链，得到最大流。
标号过程: (1)给s标号(-,+∞)，s成为已标号未检查的点，其余都是未标 号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非 饱和弧(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj 成为已标号未检查的点；若有非零弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))， 其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的点。vi成为已 标号已检查的点。 (3)重复步骤(2)，直到t成为标号点或所有标号点都检查过。 若t成为标号点，表明得到一条s到t的增广链，转入调整过程； 若所有标号点都检查过，表明这时的可行流就是最大流，算 法结束。 调整过程：在增广链上，前向弧流量增加l(vt)，后向弧流量 减少l(vt)。
给定容量网络G＝(V,A,E)，若点集V被剖分为两 个非空集合V1和V2，使 s∈V1 ，t∈V2，则把弧集 (V1,V2)称为（分离s和t的）割集。 割
v2 3 s 5 v1 2 v3 1 1 3 2 4 v4 5 t
显然，若把某一割集的弧从网络中去掉，则从s 到t便不存在路。所以，直观上说，割集是从s到t的必 经之路。 注：有向边也称为弧。