湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案(无答案)新人教版选修2_1

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椭圆及其标准方程(一)

椭圆及其标准方程(一)

数学 学科 高二年级教学案 No.
2.1.1椭圆及其标准方程(一)
课型新授课主备审核授课时间
教学目标知识

能力
经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过
程,掌握椭圆的定义,
标准方程
过程与方法展示椭圆产生过程,并引导学生分析椭圆上的
点所满足的几何条件
情感
态度
价值观
体会数形结合思想



椭圆的标准方程;坐标法的基本思想




椭圆的标准方程的推导与化简;坐标法的思想




三、课堂练习:
1、 求到两个定点F(-2 ,0),
F(2,0)的距离之和为6的点的轨
迹方程
2、求到两个定点F(0,4),
F(0,-4)的距离之和为10的点
的轨迹方程
3、已知| FF|=8,动点满足|
MF|+| MF|=8,则M点的轨迹是
_______
四、课堂小结





思。

高二数学《椭圆及其标准方程》教案.docx

高二数学《椭圆及其标准方程》教案.docx

2.1.1椭圆及其标准方程教案一、教学目标1 •知识与技能(1)了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;(2)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握其定义、标准方程、几何图形及简单性质;2.过程与方法(1)通过椭圆标准方程的推导,能初步运用坐标法解决简单的几何问题;(2)通过椭圆的学习,进一步体会数形结合的思想;3 •情感态度与价值观(1)感受数学在其他领域的广泛运用,培养对数学的热爱。

二、教学重点、难点1 •重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.2.难点:椭圆标准方程的建立和推导.三、教学方法引导探究式四、教学过程:1 •创设情境(2分钟〉(1)2008年9月25日“神州七号”载人飞船发射成功,将三名中国航天员送上太空。

你知道“神州七号”载人飞船运行轨道是什么图形吗?(PPT展示图片〉(2)太阳系中各行星的运行轨道也是椭圆形的.(PPT展示图片〉(3)你能说出生活中还有什么是椭圆形的?(PPT展示图片〉(设计意图:让学生了解椭圆在各领域的广泛运用,知道数学不是枯燥无味的, 而是有用的,激发学生学习数学的兴趣・》三、教学过程:⑷化简方程:<1>请一位基础较好,书写规范的同学板演〈2>教师在巡视过程中及时发现问题给予点拨培养学生战胜困难的意志品质并感受数学的简洁美、对称美.(5)证明:讨论推早的等价性养成学生扎实严谨的科8. 1椭圆及其标准方程2.椭圆的标准方程 总体说明:本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念,体现“教师为 主导,学生为主体”的现代教学思想•在对椭圆定义的讲授中,遵循从生动直观到 抽象概括的教学原则和教学途径,通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的 形成过程进而归纳岀椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力;让椭圆 生动灵活地呈现在学生面前,更有助于学生理解椭圆的内涵和外延.对本课另一 难点标准方程推导的讲授中,在关键处设疑,以疑导思,让学生先从目的、再从方 法上考虑,引导学生对比、分析,师生共同完成.通过经历椭圆方程的化简,增强了 学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导 的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.设计的例题及变式练习,充分利用新知 识解决问题,使所学内容得以巩固.变式(2)的设计让学生站在方程的角度认清椭 圆两种标准方程形式上的特征,将学生的思维提升到了 一个新的高度.课后分层 次布置作业,帮助学生巩固所学知识;课后探索更为学有余力的学生留有进一步 探索、发展的空间.在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重 点.自始至终很好地调动学生的积极性,挖掘他们的内在潜能,提高学生的综合素 质.一、复习引入 二、新课讲解 1 .椭圆的定义三、习题研讨四、板书设计。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.3.1双曲线及其标准方程(1)学案(无答案)新人教版选修21

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.3.1双曲线及其标准方程(1)学案(无答案)新人教版选修21

2.2.1双曲线及其标准方程导学案⒈ 本节重点:①双曲线的定义及相关概念.②双曲线的标准方程.⒉ 本节难点:① 利用双曲线的定义解题.② 求双曲线的标准方程.⒊ 注意问题:在双曲线的有关计算和证明中,注意双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上. ⒋ 解题指导:① 求双曲线的标准方程常用方法是待定系数法和轨迹方程法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤是:⑴ 依题意设方程22221x y a b -=(0,0)a b >>或22221y x a b -= (0,0)a b >>或2mx +2ny 1=(0mn <);⑵ 根据条件,建立关于a 、b (或m 、n )的方程;⑶解方程求出 a 、b (或m 、n ),然后代入所设方程.求曲线轨迹方程的一般步骤:(1)建立直角坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,“补漏”和“去掉增多的点”④.解有关双曲线的题,要注意数型结合,提倡画出合理图形.⑤ 解有关双曲线的题, 要灵活运用双曲线的定义解题.⒌ 本节主要题型: ① 求双曲线的标准方程的题型.② 利用双曲线的定义求解的题型.③ 直线与双曲线的位置关系的题型.预习验收填空:(1)________________________________________________________叫做双曲线, ______________ 叫做双曲线的焦点, 叫做双曲线的焦距.(2)焦点在x 上的双曲线的标准方程为____________________,焦点坐标分别为 ___________ ;焦点在y 上的双曲线的标准方程为________________, 焦点坐标分别为 ___________ __(3)的关系式为、、c b a _______________且要满足的条件是___________________. 其中b a 与的大小关系为_______________(4)双曲线的定义可以用代数式表示为:________________当____________ 时,轨迹是两条射线;当_________时,轨迹不存在.(5)如何判断双曲线焦点的位置:___________________________(6)求双曲线的标准方程常用方法是 和(7)用待定系数法求双曲线方程的一般步骤是: .(8)求曲线轨迹方程的一般步骤: .【例1】 已知双曲线两个焦点分别为)0,5(),0,5(21F F -,双曲线上一点P 到1F ,2F 距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(课本第47页例1)【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程:(课本第54 页A 组第2题)(1) 焦点在x 轴上,52=a ,经过点A (-5,2);(2) 经过两点A )()(3,72,26,7B --.练 习1、求适合下列条件的双曲线的标准方程:(课本第48 页第1 题)(1)焦点在x 轴上,34==b a ,;(2)焦点在x 轴上,经过点),),(,(2,3153-2-;(3)焦点(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).2、根据下列条件求双曲线的标准方程:(新学案第20页例2)(1)过点)(415,3P ,Q )(5,316-且焦点在坐标轴上;(2)6=c ,经过点(-5,2),焦点在x 轴上;(3)与双曲线141622=-y x 有相同的焦点且经过点)(2,23.。

高中数学《椭圆及其标准方程》教案(精选7篇)

高中数学《椭圆及其标准方程》教案(精选7篇)

高中数学《椭圆及其标准方程》教案作为一名专为他人授业解惑的人民教师,就难以避免地要准备教案,教案是备课向课堂教学转化的关节点。

教案要怎么写呢?下面是小编精心整理的高中数学《椭圆及其标准方程》教案,欢迎阅读与收藏。

高中数学《椭圆及其标准方程》教案篇1一、教材分析1、教材的地位及作用圆锥曲线是高考重点考查内容。

“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线与方程》第一节内容,是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。

从知识上说,它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上说,它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式;所以,无论从教材内容,还是从教学方法上都起着承上启下的作用,它是学好本章内容的关键。

因此搞好这一节的教学,具有非常重要的意义。

2、教学目标根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教学目标:(1)、知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,通过对椭圆标准方程的探求,熟悉求曲线方程的一般方法。

(2)、能力目标:让学生通过自我探究、合作学习等,提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

(3)、情感目标:在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体会数与形的统一,激发学生学习数学的兴趣,培养学生勇于探索,勇于钻研的精神。

3、教学重点、难点教学重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程。

教学难点:椭圆标准方程的建立和推导。

在学习本课前,学生已学习了直线与圆的方程,对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验,用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。

但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅,对坐标法解决几何问题掌握还不够。

另外,学生对含有两个根式之和(差)等式化简的运算生疏,去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

据以上对教材及学情的分析,确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点;椭圆标准方程的推导为本课的难点。

中职数学高二椭圆及其标准方程优质教案

中职数学高二椭圆及其标准方程优质教案

中职数学高二椭圆及其标准方程优质教案一、教学目标1. 理解椭圆的概念,掌握椭圆的标准方程,能解决简单的实际问题。

2. 通过观察椭圆的形状,提高学生的空间想象能力。

3. 通过学习椭圆的方程,培养学生的数学逻辑思维。

二、教学内容1. 椭圆的定义与标准方程2. 椭圆的几何性质三、教学重点与难点重点:椭圆的标准方程,椭圆的几何性质。

难点:理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导。

四、教具和多媒体资源1. 黑板2. 投影仪3. 教学软件:几何画板五、教学方法1. 激活学生的前知:通过回顾与椭圆的相关的知识,激活学生的前知。

2. 教学策略:采用讲解、示范、小组讨论和案例分析等多种教学策略。

3. 学生活动:组织学生进行小组讨论,自己推导椭圆的标准方程。

六、教学过程1. 导入:通过观察生活中的椭圆形状,例如橄榄球、鸡蛋等,引导学生思考椭圆的定义。

2. 讲授新课:讲解椭圆的标准方程,推导过程采用引导式,让学生理解推导的思路。

通过几何画板展示椭圆在平面上的形成过程,帮助学生理解椭圆的定义。

3. 巩固练习:给出几个点,让学生自己尝试画出椭圆,进一步理解椭圆的形状。

再根据椭圆的标准方程,进行求解点的坐标的练习。

4. 归纳小结:总结椭圆的定义、标准方程以及几何性质,让学生对椭圆有完整的认识。

布置作业,要求学生完成相关练习题,巩固所学知识。

七、评价与反馈1. 设计评价策略:通过课堂小测验、小组报告和观察学生的表现,了解学生的学习情况。

2. 为学生提供反馈:根据评价结果,为学生提供学习建议,帮助他们进一步掌握椭圆的有关知识。

八、作业布置1. 完成教材上的相关练习题。

2. 自己尝试给出几个点的坐标,求出对应的椭圆方程。

2.2.1 椭圆的标准方程学案

2.2.1  椭圆的标准方程学案

高二数学选修1-1 2.1.1 选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程学案一、学习任务:1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 二、探究新知:阅读课本的有关内容,并完成下列问题。

问题1:阅读课本“探究”指出圆上的点具有怎样的几何特征?和同学合作画一个椭圆或利用信息技术,指出椭圆上的点的几何特征。

你能用自己的语言给椭圆一个定义吗?问题2:对照课本,明确椭圆的定义及相关概念,思考:在定义椭圆时,对常数加上了一个条件,即常数要大于|F 1F 2|,为什么要这样规定呢?如果常数等于|F 1F 2|点的轨迹还是椭圆吗?如果常数小于|F 1F 2|,点的轨迹又会是什么图形?(结合信息技术说明)问题3:用坐标法研究椭圆,首先应求出椭圆的方程,请你想一想应如何根据椭圆的几何特征,建立适当的坐标系。

问题4:化简方程 + =2a 总结化简这类方程的一般方法。

问题5 回答P 39思考,想想为什么将 + =1化成 + =1(a>b>0)? 问题6:回答P34、P 40a 、b 、c 满足什么关系;它与勾股定理有什么区别联系?(用信息技术能更清楚地演示这种关系吗?) 问题7:看例1,回答边框“?” 2、自学检测1.设P 是椭圆x 225+y 216=1上的点,若F 1,F 2是椭圆的两个焦点,则|PF 1|+|PF 2|等于( )A .4B .5C .8D .102.椭圆x 216+y 225=1的焦点坐标是( )A .(±4,0)B .(0,±4)C .(±3,0)D .(0,±3)3.已知椭圆的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),且2a =6,则椭圆的标准方程为________. 4.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,求椭圆的方程.探究一.椭圆的标准方程的推导1.根据定义推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程探究二.求椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).变式训练:根据下列条件,求椭圆的标准方程.坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2)和B(12,3);(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.探究三.利用椭圆的定义求轨迹方程.3.已知动圆M 过定点A(-3,0),并且内切于定圆B :(x -3)2+y 2=64,求动圆圆心M 的轨迹方程.变式训练 已知动圆M 和定圆C1:x 2+(y -3)2=64内切,而和定圆C2:x 2+(y +3)2=4外切.求动圆圆心M 的轨迹方程.探究四.椭圆定义的应用4.已知P 为椭圆x216+y29=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点,∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积S.巩固训练 一、选择题1.椭圆x 29+y 225=1的焦点为F 1、F 2,AB 是椭圆过焦点F 1的弦,则△ABF 2的周长是( )A .20B .12C .10D .62.椭圆x 225+y 2=1上一点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另一个焦点的距离为( )A .5B .6C .7D .83.已知椭圆x 2a 2+y 22=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( )A.x 24+y 22=1B.x 23+y 22=1 C .x 2+y 22=1 D.x 26+y 22=1二、填空题4.椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为________. 5.若方程x 25-k +y 2k -3=1表示椭圆,则k 的取值范围是________.拓展提升1.已知椭圆8x 281+y 236=1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标;(2)求过M 且与x 29+y 24=1共焦点的椭圆的方程.2.已知椭圆的两焦点为F 1(-1,0)、F 2(1,0),P 为椭圆上一点,且2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|. (1)求此椭圆方程;(2)若点P 满足∠F 1PF 2=120°,求△PF 1F 2的面积.三、本节课收获:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧(x +c ) +y 2 2 (x -c ) +y 2 2 y a -c2 2 2 x a 2 2x a 2 2 y b 22。

学案5:2.2.1 椭圆及其标准方程

学案5:2.2.1  椭圆及其标准方程

2.2.1 椭圆及其标准方程◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.◆ 过程与方法目标(1)预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究P 41页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约10cm 长,两端各结一个套),教师准备无弹性细绳子一条(约60cm ,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.2.1椭圆及其标准方程.(2)新课讲授过程(i )由上述探究过程容易得到椭圆的定义.〖板书〗把平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆(ellipse ).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=.(ii )椭圆标准方程的推导过程提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义. 类比:写出焦点在y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>. (iii )例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求它的标准方程.例2 如图,在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么?例3如图,设A ,B 的坐标分别为()5,0-,()5,0.直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为49-,求点M 的轨迹方程.当堂检测1.已知a =13,c =23,则该椭圆的标准方程为( )A.x 213+y 212=1 B.x 213+y 225=1或x 225+y 213=1 C.x 213+y 2=1 D.x 213+y 2=1或x 2+y 213=1 2.椭圆x 225+y 2=1上一点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另一个焦点的距离为( ) A .5 B .6C .7D .83.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P (2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )A.x 24+y 23=1B.x 24+y 2=1 C.y 24+x 23=1 D.y 24+x 2=1 4.设F 1,F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△F 1PF 2的面积等于( )A .5B .4C .3D .15.“m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.椭圆x 2m +y 215=1的焦距等于2,则m 的值是________. 7.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是________.8.已知椭圆的焦点是F 1(-1,0),F 2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项,则椭圆的方程为__________.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8;(2)椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.10.已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2是椭圆左、右焦点,若 PF 1⊥PF 2,试求:(1)椭圆方程;(2)△PF 1F 2的面积.答 案例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭,求它的标准方程.分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出,,a b c .引导学生用其他方法来解. 另解:设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>,因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上,则22222591104464a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩例2 【解析】点P 在圆224x y +=上运动,由点P 移动引起点M 的运动,则称点M 是点P 的伴随点,因点M 为线段PD 的中点,则点M 的坐标可由点P 来表示,从而能求点M 的轨迹方程.引申:设定点()6,2A ,P 是椭圆221259x y +=上动点,求线段AP 中点M 的轨迹方程.【解法剖析】①(代入法求伴随轨迹)设(),M x y ,()11,P x y ;②(点与伴随点的关系)∵M 为线段AP 的中点,∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹),∵22111259x y +=,∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=;④伴随轨迹表示的范围. 例3 【解析】若设点(),M x y ,则直线AM ,BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示,由于直线AM ,BM 的斜率之积是49-,因此,可以求出,x y 之间的关系式,即得到点M 的轨迹方程.当堂检测1.【答案】D.【解析】由a 2=b 2+c 2,∴b 2=13-12=1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程.2.【答案】D.【解析】∵a =5,|PF 1|=2.∴|PF 2|=2a -|PF 1|=2×5-2=8.3.【答案】 A.【解析】c =1,a =12()2+12+0+2-12+0=2,∴b 2=a 2-c 2=3. ∴椭圆的方程为x 24+y 23=1. 4.【答案】B.【解析】由椭圆方程,得a =3,b =2,c =5,∵|PF 1|+|PF 2|=2a =6且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,∴|PF 1|=4,|PF 2|=2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴△PF 1F 2是直角三角形,故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=12×2×4=4. 5.【答案】C. 【解析】mx 2+ny 2=1可化为x 21m +y 21n=1,因为m >n >0,所以0<1m <1n ,因此椭圆焦点在y 轴上,反之亦成立.6.【解析】当焦点在x 轴时,m -15=1,m =16;当焦点在y 轴时,15-m =1,m =14.【答案】16或147.【解析】原方程可化为x 22+y 22k=1,因表示焦点在y 轴上的椭圆. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k >0,2k >2.解得0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1).【答案】(0,1)8.【解析】由题设知|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=4,∴2a =4,2c =2,∴b =3, ∴椭圆的方程为x 24+y 23=1. 【答案】x 24+y 23=19.【答案】解:(1)①若焦点在x 轴上, 可设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0). 由题意知2a =8,∴a =4,又点P (3,2)在椭圆上,∴916+4b 2=1,得b 2=647. ∴椭圆的标准方程为x 216+y 2647=1. ②若焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为: y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0), ∵2a =8,∴a =4.又点P (3,2)在椭圆上,∴416+9b2=1,得b 2=12.∴椭圆的标准方程为y 216+x 212=1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216+y 2647=1或y 216+x 212=1. (2)由题意知,2c =16,2a =9+15=24,∴a =12,c =8,∴b 2=80.又焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上, ∴所求方程为x 2144+y 280=1或y 2144+x 280=1. 10.【答案】解:(1)由PF 1⊥PF 2,可得|OP |=c ,即c =5. 设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-25=1代入P (3,4), 得9a 2+16a 2-25=1,解得a 2=45,a 2=5(舍去). ∴椭圆方程为x 245+y 220=1. (2)S △PF 1F 2=12|F 1F 2||y P |=5×4=20.。

学案3:2.2.1 椭圆的标准方程

学案3:2.2.1 椭圆的标准方程

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决实际问题.(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习,培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程,提升学生的逻辑推理、数学运算素养.新知初探1.椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.(2)相关概念:两个定点F1,F2叫做椭圆的,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的.思考1:椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0,±c) a,b,c的关系a2=初试身手1.已知点M 到两个定点A (-1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2,则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B .线段ABC .线段AB 的垂直平分线D .直线AB2.以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225+y 225=1 B.2x 2-3y 2=2 C.-2x 2-3y 2=-1D.x 2n 2+y 2n 2+2=0 3.以坐标轴为对称轴,两焦点的距离是2,且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25+y 24=1 B.x 23+y 24=1 C.x 25+y 24=1或x 23+y 24=1 D.x 29+y 24=1或x 23+y 24=1 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点A (3,-2)和点B (-23,1). 规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax 2+By 2=1(A >0,B >0,A ≠B ). 跟踪训练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32); (2)经过两点(2,-2),⎝⎛⎭⎫-1,142.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1.如何用集合语言描述椭圆的定义?2.如何判断椭圆的焦点位置?3.椭圆标准方程中,a ,b ,c 三个量的关系是什么?例2 如图所示,已知椭圆的方程为x 24+y 23=1,若点P 为椭圆上的点,且∠PF 1F 2=120°,求△PF 1F 2的面积.母题探究(改变问法)在例题题设条件不变的情况下,求点P的坐标.类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3如图,圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.规律方法在求动点的轨迹方程时,要对动点仔细分析,当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时,由椭圆的定义知其轨迹是椭圆,这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a,c,即可写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,求动圆圆心的轨迹方程.规律方法椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积,若已知∠F 1PF 2,可利用S =12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体,利用定义|PF 1|+|PF 2|=2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|,这样可以减少运算量. 当堂达标 1.思考辨析(1)平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)椭圆x 216+y 225=1的焦点坐标是(±3,0). ( )(3)y 2a 2+x 2b2=1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆. ( )2.已知椭圆x 225+y 216=1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3,则到另一个焦点的距离为( )A .1B .5C .2D .73.椭圆x 225+y 29=1的两个焦点为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,则△ABF 1的周长为( )A .10B .20C .40D .504.设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右两个焦点,若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1,32到F 1,F 2两点的距离之和为4,则椭圆C 的方程是________.参考答案新知初探 1.(1)和等于常数 (2)焦点 焦距思考1:[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表:思考2:[提示] a ,b 的值及焦点所在的位置. 初试身手 1.【答案】B【解析】定值2等于|AB |,故点M 只能在线段AB 上. 2.【答案】C【解析】A 中方程为圆的方程,B ,D 中方程不是椭圆方程. 3.【答案】C【解析】若椭圆的焦点在x 轴上,则c =1,b =2,得a 2=5,此时椭圆方程是x 25+y 24=1;若焦点在y 轴上,则a =2,c =1,则b 2=3,此时椭圆方程是x 23+y 24=1.] 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解:(1)由于椭圆的焦点在x 轴上, ∴设它的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).∵2a =(5+4)2+(5-4)2=10,∴a =5. 又c =4,∴b 2=a 2-c 2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为x 225+y 29=1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上,∴设它的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),∴⎩⎨⎧4a 2+0b 2=1,0a 2+1b 2=1,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=1. 故所求椭圆的标准方程为y 24+x 2=1.(3)法一:①当焦点在x 轴上时,a b依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2+(-2)2b2=1,(-23)2a2+1b2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=15,b 2=5.故所求椭圆的标准方程为x 215+y 25=1.②当焦点在y 轴上时,设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(-2)2a 2+(3)2b2=1,1a 2+(-23)2b2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=5,b 2=15.因为a >b >0,所以无解.综上,所求椭圆的标准方程为x 215+y 25=1.法二:设所求椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m +4n =1,12m +n =1,解得⎩⎨⎧m =115,n =15.所以所求椭圆的标准方程为x 215+y 25=1.跟踪训练1.解:(1)法一:因为椭圆的焦点在y 轴上, 所以可设它的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).由椭圆的定义知2a =(4-0)2+(32+2)2+(4-0)2+(32-2)2=12,所以a =6. 又c =2,所以b =a 2-c 2=4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236+x 232=1.法二:因为椭圆的焦点在y 轴上,所以可设其标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2+16b 2=1,a 2=b 2+4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=36,b 2=32.所以椭圆的标准方程为y 236+x 232=1.(2)法一:若椭圆的焦点在x 轴上,a b由已知条件得⎩⎨⎧4a 2+2b 2=1,1a 2+144b 2=1,解得⎩⎨⎧1a 2=18,1b 2=14.所以所求椭圆的标准方程为x 28+y 24=1.同理可得:焦点在y 轴上的椭圆不存在. 综上,所求椭圆的标准方程为x 28+y 24=1.法二:设椭圆的一般方程为Ax 2+By 2=1(A >0,B >0,A ≠B ). 将两点(2,-2),⎝⎛⎭⎫-1,142代入, 得⎩⎪⎨⎪⎧4A +2B =1,A +144B =1,解得⎩⎨⎧A =18,B =14,所以所求椭圆的标准方程为x 28+y 24=1.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1.[提示] P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a,2a >|F 1F 2|}.2.[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”.3.[提示] 椭圆的标准方程中,a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.a ,b ,c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边,a 是斜边,所以a >b ,a >c ,且a 2=b 2+c 2(如图所示).例2 解:由已知a =2,b =3, 得c =a 2-b 2=4-3=1,|F 1F 2|=2c =2, 在△PF 1F 2中,由余弦定理,得|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2|2-2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°, 即|PF 2|2=|PF 1|2+4+2|PF 1|. ①由椭圆定义,得|PF 1|+|PF 2|=4,即|PF 2|=4-|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|=65.所以S △PF 1F 2=12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°=12×65×2×32=335,即△PF 1F 2的面积是35 3.母题探究解:设P 点坐标为(x 0,y 0).由本例解答可知S △PF 1F 2=12|F 1F 2|·|y 0|=353,解得|y 0|=353,即y 0=±353, 将y 0=±353代入x 24+y 23=1得x =±85,所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±85,±353. 类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3 解:由垂直平分线性质可知|MQ |=|MA |, |CM |+|MA |=|CM |+|MQ |=|CQ |. ∴|CM |+|MA |=5.∴M 点的轨迹为椭圆,其中2a =5, 焦点为C (-1,0),A (1,0), ∴a =52,c =1,∴b 2=a 2-c 2=254-1=214.∴所求轨迹方程为:x 2254+y 2214=1.跟踪训练2.解:如图所示,设动圆圆心为M (x ,y ),半径为r ,由题意动圆M 内切于圆C 1, ∴|MC 1|=13-r . 圆M 外切于圆C 2,∴|MC 2|=3+r .∴|MC 1|+|MC 2|=16>|C 1C 2|=8,∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆, 且2a =16,2c =8, b 2=a 2-c 2=64-16=48, 故所求轨迹方程为x 264+y 248=1.当堂达标1.[提示] (1)× 需2a >|F 1F 2|. (2)× (0,±3).(3)× a >b >0时表示焦点在y 轴上的椭圆. 2.【答案】D【解析】由|PF 1|+|PF 2|=10可知到另一焦点的距离为7. 3.【答案】B【解析】由椭圆的定义得|AF 1|+|AF 2|=2a =10,|BF 1|+|BF 2|=2a =10,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB |=20,故选B. 4.【答案】x 24+y 23=1【解析】由|AF 1|+|AF 2|=2a =4得a =2,∴原方程化为x 24+y 2b 2=1,将A ⎝⎛⎭⎫1,32代入方程得b 2=3,∴椭圆方程为x 24+y 23=1.。

(高二数学教案)椭圆及其标准方程1高中二年级教案

(高二数学教案)椭圆及其标准方程1高中二年级教案

椭圆及其标准方程1高中二班级教案教学目标1.把握椭圆的定义,把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;2.能依据条件确定椭圆的标准方程,把握运用待定系数法求椭圆的标准方程;3.通过对椭圆概念的引入教学,培育同学的观看力量和探究力量;4.通过椭圆的标准方程的推导,使同学进一步把握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的力量;5.通过让同学大胆探究椭圆的定义和标准方程,激发同学学习数学的乐观性,培育同学的学习爱好和创新意识.教学建议教材分析1.学问结构2.重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点是椭圆标准方程的建立和推导.关键是把握建立坐标系与根式化简的方法.椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要争辩的三种圆锥曲线中首先遇到的,所以教材把对椭圆的争辩放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中稳固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然.学好椭圆对于同学学好圆锥曲线是格外重要的.〔1〕对于椭圆的定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满足的条件,即椭圆上点的几何性质,可以比照圆的定义来理解.另外要留意到定义中对“常数〞的限定即常数要大于.这样规定是为了防止消灭两种特殊状况,即:“当常数等于时轨迹是一条线段;当常数小于时无轨迹〞.这样有利于集中精力进一步争辩椭圆的标准方程和几何性质.但讲解椭圆的定义时留意不要忽视这两种特殊状况,以保证对椭圆定义的精确性.〔2〕依据椭圆的定义求标准方程,应留意下面几点:①曲线的方程依靠于坐标系,建立适当的坐标系,是求曲线方程首先应当留意的地方.应让同学观看椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理,发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴,以这两条对称轴作为坐标系的两轴,不但可以使方程的推导过程变得简洁,而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁.②设椭圆的焦距为,椭圆上任一点到两个焦点的距离为,令,这些措施,都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁,要让同学认真领悟.③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简,这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题,又是同学的难点.要留意说明这类方程的化简方法:①方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移至另一侧;②方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两侧,并使其中一侧只有一项.④教科书上对椭圆标准方程的推导,实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明,〞方程的解为坐标的点都在椭圆上〞.这实际上是方程的同解变形问题,难度较大,对同学们不作要求.〔3〕两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上,轴上的椭圆标准方程分别为:,.它们的相同点是:外形相同、大小相同,都有,.不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同.椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大.另外,形如中,只要,,同号,就是椭圆方程,它可以化为.〔4〕教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法.例3有三个作用:第一是教给同学利用中间变量求点的轨迹的方法;其次是向同学说明,假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆;第三是使同学知道,一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.教法建议〔1〕使同学了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用,激发同学的学习爱好.为激发同学学习圆锥曲线的爱好,体会圆锥曲线学问在实际生活中的作用,可由实际问题引入,从中提出圆锥曲线要争辩的问题,使同学对所要争辩的内容心中有数,如书中所给的例子,还可以启发同学查找身边与圆锥曲线有关的例子。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学1.2.1几个常用函数的导数导学案(无答案)新人教版选修22

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学1.2.1几个常用函数的导数导学案(无答案)新人教版选修22

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.2.1 几个常用函数的导数 导学案(无答案)新人教版选修 2导学案 1. 学习目标: 能 根 据 导 数 定 义 , 求 函 数y  c, y  x, y  x 2 , y  x 3 , y 等函数的导数公式.1 , y  x 的导数 ;2. 熟记基本初 x学习重点: 学习难点: 学法指导:求函数 y  c, y  x, y  x , y  x , y 2 31 , y  x 的导数; x.熟记基本初等函数的导数公式.知识链接 1.函数 y  f ( x) 在 x  x0 处的导数定义为________________________; 2 .导数的几何意义和物理意义分别是什么? 3. 导函数的概念:若函数 y  f ( x) 在 x  x0 处的导数存在,则称函数 f ( x) 在 x  x0 是 可导的.如果 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都是可导的 ,则称 f ( x) 在区间 ( a, b) 可导. 这样,对开区间 ( a, b) 内每一个值 x ,都对应一个确定的导数 f ' ( x) .于是,在区间 ( a, b) 内, f ' ( x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y  f ( x) 的导函数.记为 f ' ( x) 或 y (或 y x ).导函数通常简称为导数.今后,如果不特别指明求某一点的导数,那么求导 数就是求导函数. 自主学习 例 1.根据导数的定义求下列函数的导数 ,并说明(1)(2)所求结果的几何意义和物理意 义.(1) (1) y  f ( x)  C ( C 为常数); (2) y  f ( x)  x' '1(3) y  f ( x)  x2(4) y  f ( x)  x3(5) y  f ( x)  x1(6) y  f ( x) x以上结果即为(2) x =_______;(3) ( x 2 ) ' =___________;(4) ( x 3 ) ' =_____________; (5) ( x ) =______________;(6) ( x ) ' =______________. 由此,我们可以推测,对任意幂函数 y  x  ,当   Q 时,都有 ( x  ) ' =______________ _. 例 2.画出函数 y  f ( x)  x2 和 y  f ( x)  x1 的图象,结合图象以及例 1 中所求结果, 分别描述它们的变化情况.1 ''1 2例 3.利用上述结论,求下列函数的导数: (1) y  x15(2) y  x35( x  0)(3) y  x 4 ( x  0)(4 )2y13x2( x  0)例 4.求曲线 y  程.1 (1)在点(1,1)处的切线方程;(2)求曲线 y  x 2 过点(2,3)的切线方 x合作探究 1.熟记教材第 14 页基本初等函数的导数公式,并默写如下:2.函数 f ( x)  101的导数是________________. 3.函数 y  3 x 在 x  1 处的导数为_______;5 4.物体的运动方程为 s  t ,则物体在 t  2 时的瞬时速度为______.5.给出下列命题,其中正确的命题是________________ ___(填序号) (1)任何常数的导数都为零;(2)直线 y  2 x 上任一点处的切线方程是这条直线本身; (3)双曲线 y 1 上任意一点处的切线斜率都是赋值; x2 (4)函数 y  2 x 和函数 y  x 在( 0,) 上函数值增长的速度一样快.6.函数 y  ln x 在 x  1 处的切线方程为________________________________37.函数 y  lg x 的导数为()A.1 x1 aB.1 ln 10 xC.1 x ln 10D.1 x lg e8.函数 y  ( ) (a  0, 且a  1) 的导数为(x)xA. ( ) ln a1 axB.  axln aC. aln aD. a lnx1 a9.求三次曲线 y  x 3 过点(2,8)的切线方程.10.求证 两曲线 y  sin x 和 y  cos x 在点 P (4,2 ) 处的 切线互相垂直. 211.某小型企业最初在年初投资 10000 元生产某种产品,在今后 10 年内估计资金年平均 增长率为 50%。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第一章 第一节 命题及其关系、充分条件与必要条件导学案 新人教

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第一章 第一节 命题及其关系、充分条件与必要条件导学案 新人教

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第一章 第一节 命题及其关 系、充分条件与必要条件导学案 新人教版选修 2导学案 1、理解命题的概念; 2、了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题, 学习目标: 会分析四种命题的相互关系; 3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

学习重点: 学习难点: 充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点; 分析四种命题的相互关系; 多以选择题、填空题的形式出现,由于知识载体丰富,具有较强的综 学法指导: 知识链接 1、命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真 命题,判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系 (1)四种命题 命题表述形式原命题若 p,则 q 逆命题若 q,则 p 否命题若,则逆否命题若,则(2)四种命 题间的相互关系 (3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为命题,它们的真假性没有关系; 注:否命题是命题的否定吗?答:不是。

命题的否命题既否定命题的条件,又否定命题的结 论,而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件 (1)“若 p,则 q”为真命题,记,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。

(2)如果既有,又有,记作,则 p 是 q 的充要条件,q 也是 p 的充要条件。

合性,属于中、低档题目;有时也在解答题中出现,考查对概念的理 解与应用,难度不会太大。

自主学习 1、相关链接 (1)对于命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结 合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

(2)四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题, 否命题和逆命题的等价性, 当一个命题直接判断它的真假不易进行 时,可以转而判断其逆否命题的真假。

注:当一个命题有大前提而写出其他三种命题时,必须保留大前提,大前提不动。

湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学导学案必修五2-2-1等差数列

湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学导学案必修五2-2-1等差数列

高中数学高一年级必修5第二章第二节等差数列第一课时等差数列(导学案)制作单位:沙市五中作者:杨春亮目标定位:1.了解等差数列与方程,一次函数的联系。

2.理解等差数列的概念。

(重点)3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认识并能运用。

(难点)1.有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为:16,32,48,64,80,96,112,128, (320)2.2012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg)分别为:48,53,58,63.3.鞋的尺码,按照国家规定,有:22,22.5,23,23.5,24,24.5,…问题1:上面三组数构成数列吗?提示:构成.问题2:若上面三组数构成数列,试观察它们从2项起,每一项与前一项的差有什么特点?提示:等于同一常数.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.1.“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.2.“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了:①作差的顺序;②这两项必须相邻.3.定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.问题:观察上面三个数列,每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系? 提示:前一项与后一项的和是中间项的2倍.等差中项如果三个数a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.这三个数满足的关系式是A =a +b2.1.A 是a 与b 的等差中项,则A =a +b2或2A =a +b ,即两个数的等差中项有且只有一个.2.当2A =a +b 时,A 是a 与b 的等差中项.若一等差数列{a n }的首项为a 1,公差是d . 问题1:试用a 1、d 表示a 2、a 3、a 4. 提示:a 2=a 1+d ,a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d . 问题2:由此猜想等差数列的通项公式a n . 提示:a n =a 1+(n -1)d .等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d由等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 可得a n =dn +(a 1-d ),如果设p =d ,q =a 1-d ,那么a n =pn +q ,其中p ,q 是常数.当p ≠0时,a n 是关于n 的一次函数;当p =0时,a n =q ,等差数列为常数列.(1)在数列{a n }中a n =3n +2; (2)在数列{a n }中a n =n 2+n .(1)a n +1-a n =3(n +1)+2-(3n +2)=3(n ∈N *).由n 的任意性知,这个数列为等差数列. (2)a n +1-a n =(n +1)2+(n +1)-(n 2+n )=2n +2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.定义法是判定(或证明)数列{a n }是等差数列的基本方法,其步骤为: (1)作差a n +1-a n ; (2)对差式进行变形;(3)当a n +1-a n 是一个与n 无关的常数时,数列{a n }是等差数列;当a n +1-a n 不是常数,是与n 有关的代数式时,数列{a n }不是等差数列.1.已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,数列{b n }中,b n =3a n +4,问:数列{b n }是否为等差数列?并说明理由.解:数列{b n }是等差数列.理由:∵数列{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列, ∴a n +1-a n =d (n ∈N *).∴b n +1-b n =(3a n +1+4)-(3a n +4)=3(a n +1-a n )=3d . ∴根据等差数列的定义,数列{b n }是等差数列.(1)n 512n (2)已知数列{a n }为等差数列a 3=54,a 7=-74,求a 15的值.(1)∵a 5=10,a 12=31,则a 1+4d =10,a 1+11d =31,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2,d =3.∴a n =-2+(n -1)×3=3n -5 ∴通项公式a n =3n -5.(n ∈N *)(2)法一:由⎩⎨⎧a 3=54,a 7=-74,得⎩⎨⎧a 1+2d =54,a 1+6d =-74.解得a 1=114,d =-34.∴a 15=a 1+(15-1)d =114+14×(-34)=-314. 法二:由a 7=a 3+(7-3)d , 即-74=54+4d ,解得d =-34.∴a 15=a 3+(15-3)d =54+12×(-34)=-314.1.应用等差数列的通项公式求a 1和d ,运用了方程的思想.一般地,可由a m =a ,a n =b ,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(m -1)d =a ,a 1+(n -1)d =b ,求出a 1和d ,从而确定通项公式. 2.若已知等差数列中的任意两项a m ,a n ,求通项公式或其他项时,则运用a m =a n +(m -n )d 则较为简捷.2.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 解:(1)由a 1=8,d =5-8=-3,n =20, 得a 20=8+(20-1)×(-3)=-49. (2)由a 1=-5,d =-9-(-5)=-4, 得这个数列的通项公式为 a n =-5-4(n -1)=-4n -1, 由题意知,-401=-4n -1.得n =100,即-401是这个数列的第100项.已知等差数列{a n }234234{a n }的通项公式. 在等差数列{a n }中, ∵ a 2+a 3+a 4=18, ∴3a 3=18,a 3=6.⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+a 4=12a 2·a 4=11, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=11a 4=1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1,a 4=11.当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=11a 4=1时,a 1=16,d =-5. a n =a 1+(n -1)d =16+(n -1)·(-5) =-5n +21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1a 4=11时,a 1=-4,d =5. a n =a 1+(n -1)d =-4+(n -1)·5=5n -9.三数a ,b ,c 成等差数列的条件是b =a +c 2(或2b =a +c ),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{a n }为等差数列,可证2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *).3.(1)已知数列8,a,2,b ,c 是等差数列,则a ,b ,c 的值分别为________,________,________.(2)已知数列{a n }满足a n -1+a n +1=2a n (n ≥2),且a 2=5,a 5=13,则a 8=________. 解析:(1)因为8,a,2,b ,c 是等差数列, 所以⎩⎪⎨⎪⎧8+2=2a ,a +b =2×2,2+c =2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-1,c =-4.(2)由a n -1+a n +1 =2a n (n ≥2)知,数列{a n }是等差数列,∴a 2,a 5,a 8成等差数列. ∴a 2+a 8=2a 5,∴a 8=2a 5-a 2=2×13-5=21. 答案:(1)5 -1 -4 (2)211.已知等差数列{a n }的首项a 1=2,公差d =3,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =3n -1 B .a n =2n +1 C .a n =2n +3D .a n =3n +2解析:选A ∵a n =a 1+(n -1)d =2+(n -1)·3=3n -1.2.等差数列的前3项依次是x -1,x +1,2x +3,则其通项公式为( ) A .a n =2n -5 B.a n =2n -3 C .a n =2n -1D .a n =2n +1解析:选B ∵x -1,x +1,2x +3是等差数列的前3项, ∴2(x +1)=x -1+2x +3,解得x =0. ∴a 1=x -1=-1,a 2=1,a 3=3, ∴d =2,∴a n =-1+2(n -1)=2n -3.3.等差数列的第3项是7,第11项是-1,则它的第7项是________. 解析:设首项为a 1,公差为d ,由a 3=7,a 11=-1得,a 1+2d =7,a 1+10d =-1,所以a 1=9,d =-1,则a 7=3. 答案:34.已知:1,x ,y,10构成等差数列,则x ,y 的值分别为________. 解析:由已知,x 是1和y 的等差中项,即2x =1+y ①, y 是x 和10的等差中项,即2y =x +10 ②, 由①,②可解得x =4,y =7. 答案:4,75.在等差数列{a n }中,(1)已知a 5=-1,a 8=2,求a 1与d ; (2)已知a 1+a 6=12,a 4=7,求a 9.解:(1)由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧a 1+ (5-1)d =-1,a 1+(8-1)d =2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5,d =1.(2)由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 1+(6-1)d =12,a 1+(4-1)d =7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2.。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案(无答案)新人教版选修21

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案(无答案)新人教版选修21

2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)导学案学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形;2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图.学习过程一、学情调查、情境导入复习1:椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2,那么它到右焦点的距离是.复习2:方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.二、问题展示、合作探究学习探究问题1:椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>,它有哪些几何性质呢?图形:范围:x:y:对称性:椭圆关于轴、轴和都对称;顶点:(),(),(),();长轴,其长为;短轴,其长为;离心率:刻画椭圆程度.椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率,记cea=,且01e<<.试试:椭圆221169y x+=的几何性质呢?范围:x:y:对称性:椭圆关于轴、轴和都对称;顶点:(),(),(),();长轴,其长为;短轴,其长为;离心率:cea== .反思:b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗? 典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.变式:若椭圆是22981x y +=呢?小结:①先化为标准方程,找出,a b ,求出c ;②注意焦点所在坐标轴.例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45,求点M 的轨迹.小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆 . 动手试试练.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴焦点在x 轴上,6a =,13e =; ⑵焦点在y 轴上,3c =,35e =; ⑶经过点(3,0)P -,(0,2)Q -;⑷长轴长等到于20,离心率等于35.三、达标训练、巩固提升(时量:5分钟 满分:10分)计分:1.若椭圆2215x y m+=的离心率e =,则m 的值是( ).A .3B .3或253C D 2.若椭圆经过原点,且焦点分别为1(1,0)F ,2(3,0)F ,则其离心率为( ).A .34B .23C .12D .14323e =的椭圆两焦点为12,F F ,过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆的周长为( ). A .3 B .6 C .12 D .244.已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点,且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,则点P 的坐标是 .5.某椭圆中心在原点,焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 .四、知识梳理、归纳总结课后作业1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?⑴22936x y +=与2211612x y += ; ⑵22936x y +=与221610x y += . 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴经过点(P -,Q ;⑵长轴长是短轴长的3倍,且经过点(3,0)P ;⑶焦距是8,离心率等于0.8.。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.4.1抛物线及其标准方程学案(无答案)新人教版选修21

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.4.1抛物线及其标准方程学案(无答案)新人教版选修21

2.4.1抛物线的标准方程导学案一、学习目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程 二、学习重点抛物线的定义及标准方程 (一)复习旧知在初中,我们学习过了二次函数2y ax bx c =++,知道二次函数的图象是一条抛物线 例如:(1)24y x =,(2)24y x =-的图象(自己画出函数图像)(二)学习新课 1.抛物线的定义探究1观察抛物线的作图过程,探究抛物线的定义:抛物线的定义: 2.抛物线的标准方程要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系. 探究2 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程?按照你建立直角坐标系的方案,求抛物线的方程. 推导过程:我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程是2p x =-。

在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中,选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程,对于抛物线,当我们选择如图三种建立坐标系的方法,我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程:(三)例题例1(1)已知抛物线的标准方程是26y x =,求它的焦点坐标和准线方程,(2)已知抛物线的焦点是()0,2F -,求它的标准方程. 解:例2 一种卫星接收天线的轴截面如图(课本59页图1),卫星波速呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经放射聚集到焦点处。

已知接收天线的口径(直径)为4.8m ,深度为0.5m 。

试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解:变式训练1:课本(59页) 1. 已知抛物线的准线方程是x =—41,求它的标准方程. 2. 已知抛物线的标准方程是2y 2+5x =0,求它的焦点坐标和准线方程. 解:变式训练2:在抛物线y 2=2x 上求一点P ,使P 到焦点F 与到点A (3,2)的距离之和最小. (四)小结1、抛物线的定义;2、抛物线的四种标准方程;3、注意抛物线的标准方程中的字母P 的几何意义 (五)课后练习1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-;(B)x =4a ;(C)||4a x =- ;(D)x =||4a 2.抛物线21x m y =(m ≠0)的焦点坐标是( ) (A ) (0,4m )或(0,4m-);(B) (0,4m )(C) (0,m 41)或(0,m 41-);(D) (0,m41)3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F (0,3),(2)焦点到准线的距离是2.4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y 2=20x ;(2)x 2+8y =0.5.点M 到点(0,8)的距离比它到直线y =-7的距离大1,求M 点的轨迹方程。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.2.1直线与平面平行的判定导学案新人教版必修2

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.2.1直线与平面平行的判定导学案新人教版必修2

高中数学高一年级必修二第二章2.2.1 直线与平面平行的判定导学案A.学习目标1、知识与技能(1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理;(2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力; 2、过程与方法学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行的判定定理。

3、情感、态度与价值观(1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

B.学习重点、难点重点、难点:直线与平面平行的判定定理及应用。

C.学法指导学生借助实例,通过观察、思考、交流、讨论等,理解判定定理。

D .知识链接创设情景、导入课题教师以生活中的实例以及课本的思考题为载体,提出了:空间中直线与平面平行位置关系(板书课题) E .自主学习引导学生观察身边的实物,如教材第55页观察题:封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系?如何去确定这种关系呢?这就是我们本节课所要学习的内容。

F.合作探究 1、投影问题直线a 与平面α平行吗?若α内有直线b 与a 平行, 那么α与a 的位置关系如何?是否可以保证直线a 与平面α平行?学生思考后,师生共同探讨,得出以下结论 直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示:a ααa α abb β => a∥αa∥b2、例1 引导学生思考后,师生共同完成该例是判定定理的应用,让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。

课堂练习:练习1、长方体的六个面都是矩形,则(1)与直线AB平行的平面是:平面A1C1 与平面 DC1(2)与直线AD平行的平面是:平面BC1与平面A1C1(3)与直线AA1 平行的平面是:平面BC1与平面 DC1练习2、判断命题的真假(1)如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行。

(假)(2)过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行。

湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件 选修2-1 2-2-2 椭圆及其简单几何性质(1)

湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件 选修2-1 2-2-2 椭圆及其简单几何性质(1)

5
3∠.椭A4P圆O=9xa022 ° ,by求22 椭(5圆1a>的b>离0心)的率右的顶取点值是2范A围(a.,0),其上存在一点P,使
第二十八页,编辑于星期日:十五点 四十六分。
【解题探究】1.利用公式求离心率的关键是什么? 2.椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示?
3.求离心率的取值范围的关键是什么? 探究提示:
∴e= c m 解 4得m1=,
16 ,
a m2
3
∴a= 4 c3=, 2 3 , ∴椭圆的3长轴的长3和短轴的长分别为 8,4,3
焦点坐标为F1( 0, )2,F2(3 ),顶点0,坐2 标3 为 3
A1( 0, 4),A32 (
),B01(3,-42,03),B2(2,0).3
3
3
第十五页,编辑于星期日:十五点 四十六分。
心率、焦点和顶点坐标.
第十七页,编辑于星期日:十五点 四十六分。
【解析】椭圆的方程可化为 x2 y2 1, 25 16
∵16> 2,5∴焦点在y轴上,并且长半4 轴长a=4,短半轴长b=
5,
4
2
半焦距 c a2 b2 16 25 39 , 42
∴长轴长2a=8,短轴长2b=5,焦距2c= . 39
【拓展提升】椭圆离心率及范围的求法 椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量,它是椭圆的半焦距和长半轴
长的比值.由于a,b,c的关系,这个比值可以通过三个量中的任意两个量来
刻画.在解决问题的过程中我们更多地用a,c描述,因此,求e的值或范 围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下:
第三十三页,编辑于星期日:十五点 四十六分。
∴离心率 e c 2 2 2 . a4 2

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.2等差数列的性

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.2等差数列的性

第二章第二节等差数列第二课时等差数列性质(导学案)目标定位:1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律。

2.理解等差数列的性质。

(重点)3.掌握等差数列的性质及其应用。

(难点)等差数列性质的应用[例1] (1)已知{a n}为等差数列,a3+a4+a5+a6+a7=450.求a2+a8的值.(2)(2012·江西高考)设数列{a n},{b n}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.(1)[解] ∵a3+a4+a5+a6+a7=450,由等差数列的性质知:a3+a7=a4+a6=2a5.∴5a5=450.∴a5=90.∴a2+a8=2a5=180.(2)[解析] 法一:设数列{a n},{b n}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.法二:∵数列{a n},{b n}都是等差数列,∴数列{a n+b n}也构成等差数列,∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)∴2×21=7+a5+b5∴a5+b5=35.[答案] 35[类题通法]1.利用通项公式时,如果只有一个等式条件,可通过消元把所有的量用同一个量表示.2.本题的求解主要用到了等差数列的以下性质:若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q.对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7+a8,但a6+a9=a7+a8;a1+a21≠a22,但a1+a21=2a11.[活学活用]1.(1)已知{a n }为等差数列,a 15=8,a 60=20,则a 75=________.(2)如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7=( )A .14B .21C .28D .35解析:法一:因为{a n }为等差数列,所以a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列,其公差为d ,a 15为首项,则a 60为其第四项,所以a 60=a 15+3d ,得d =4.所以a 75=a 60+d ⇒a 75=24.法二:因为a 15=a 1+14d ,a 60=a 1+59d ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+14d =8,a 1+59d =20, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=6415,d =415. 故a 75=a 1+74d =6415+74×415=24. (2)∵a 3+a 4+a 5=12,∴3a 4=12,则a 4=4,又a 1+a 7=a 2+a 6=a 3+a 5=2a 4,故a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.故选C.答案:(1)24 (2)C灵活设元求解等差数列[例2] (1)倍,求这三个数.(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.[解] (1)设这三个数依次为a -d ,a ,a +d ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a -d +a +a +d =9,a -d a =6a +d ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,d =-1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一:设这四个数为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d (公差为2d ),依题意,2a =2,且(a -3d )(a +3d )=-8,即a =1,a 2-9d 2=-8,∴d 2=1,∴d =1或d =-1.又四个数成递增等差数列,所以d >0,∴d =1,故所求的四个数为-2,0,2,4.法二:若设这四个数为a ,a +d ,a +2d ,a +3d (公差为d ),依题意,2a +3d =2,且a (a +3d )=-8,把a =1-32d 代入a (a +3d )=-8, 得(1-32d )(1+32d )=-8,即1-94d 2=-8, 化简得d 2=4,所以d =2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d >0,所以d =2, a =-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.[类题通法]常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:a -d ,a +d ,公差为2d ;(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a -d ,a ,a +d ,公差为d ;(3)四个数成等差数列且知其和,常设成a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ,公差为2d .[活学活用]2.已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.解:设这四个数依次为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ a -3d +a -d +a +d +a +3d =26,a -d a +d =40,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =132,d =32,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =132,d =-32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用[例3] 方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?[解] 由题意可知,设第1年获利为a 1,第n 年获利为a n ,则a n -a n -1=-20,(n ≥2,n ∈N *),每年获利构成等差数列{a n },且首项a 1=200,公差d =-20,所以a n =a 1+(n -1)d =200+(n -1)×(-20)=-20n +220.若a n <0,则该公司经销这一产品将亏损,由a n =-20n +220<0,解得n >11,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.[类题通法]1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.[活学活用]3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )A .1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 解析:选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1+6d =3,3a 1+21d =4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1322,d =766,则a 5=a 1+4d =6766, 故第5节的容积为6766升.[随堂即时演练]1.已知等差数列{a n },则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A .b n =-a nB .b n =a 2nC .b n =a nD .b n =1a n 解析:选A ∵数列{a n }是等差数列,∴a n +1-a n =d (常数). 对于A :b n +1-b n =a n -a n +1=-d ,正确;对于B 不一定正确,如数列{a n }={n },则b n=a 2n =n 2,显然不是等差数列;对于C 、D :a n 及1a n不一定有意义,故选A. 2.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( )A .12B.16 C .20 D .24 解析:选B 因为数列{a n }是等差数列,所以a 2+a 10=a 4+a 8=16.3.已知数列{a n }中,a 5=10,a 12=31,则其公差d =________. 解析:d =a 12-a 512-5=31-107=3. 答案:34.在等差数列{a n }中,已知a 2+2a 8+a 14=120,则2a 9-a 10的值为________. 解析:∵a 2+a 14=2a 8,∴a 2+2a 8+a 14=4a 8=120,∴a 8=30.∴2a 9-a 10=(a 8+a 10)-a 10=a 8=30. 答案:305.已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求此数列的通项公式. 解:∵a 1+a 7=2a 4,∴a 1+a 4+a 7=3a 4=15.∴a 4=5. 又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9,即(a 4-2d )(a 4+2d )=9,亦即(5-2d )(5+2d )=9, 解得d =±2.若d =2,a n =a 4+(n -4)d =2n -3; 若d =-2,a n =a 4+(n -4)d =13-2n .。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.3导数的几何意

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.3导数的几何意

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.3导数的几何意义导学案(无答案)新人教版选修2导学案学习目标:1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.学习重点: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.学习难点: 导数的几何意义. 学法指导:知识链接(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢?自主学习(一)曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么?我们发现,当点nP 图3.1-2沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系?(2)切线PT 的斜率k 为多少?容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,nk 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明: (1)设切线的倾斜角为α,那么当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 记作:()f x '或y ',即0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.(3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一.合作探究例1 (1)求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.(2)求函数23x y =在点(1,3)处的导数.解: (1)222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆ 所以,所求切线的斜率为2因此,所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=(2)因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++,根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴, 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<, 所以,在1t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减. (3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<, 所以,在2t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减.从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度()f t在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线()f t在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作0.8t=处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为0.480.911.41.00.7k-=≈--,所以(0.8) 1.4f'≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'()f t0.4 0 -0.7 -1.4。

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2.2.1椭圆的标准方程
导学案
学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;
2.掌握椭圆的定义;
3.掌握椭圆的标准方程.
学习过程 一、学情调查、情境导入
复习1:过两点(0,1),(2,0)的直线方程 .
复习2:方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 .
二、问题展示、合作探究
学习探究
取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移
动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 .
如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅
笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
思考:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 经过观察后思考:在移动笔尖的过程中,细绳的 保持不变,即笔尖 等于常数.
新知1: 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫
做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .
反思:若将常数记为2a ,为什么122a F F >?
当122a F F =时,其轨迹为 ;
当122a F F <时,其轨迹为 .
试试:
已知1(4,0)F -,2(4,0)F ,到1F ,2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 .
小结:应用椭圆的定义注意两点:
①分清动点和定点;
②看是否满足常数122a F F >.
新知2:焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()22
2210x y a b a b
+=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上,两个焦点坐标 ,则椭圆的标准方程
是 .
典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴4,1a b ==,焦点在x 轴上;
⑵4,a c =y 轴上;
⑶10,a b c +==.
变式:方程214x y m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的范围 . 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,(2,0),并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
,求它的标准方程 .
变式:椭圆过点 ()2,0-,(2,0),(0,3),求它的标准方程.
小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .
动手试试
练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2
213
x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则ABC ∆的周长是( ).
A .
B .6
C .
D .12
练2 .方程219x y m
-=表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数m 的范围. 三、达标训练、巩固提升(时量:5分钟 满分:10分)
1.平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ,则点M 的轨迹为( ).
A .椭圆
B .圆
C .无轨迹
D .椭圆或线段或无轨迹
2.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ).
A.(0,)
+∞ B.(0,2) C.(1,)
+∞ D.(0,1)
3.如果椭圆
22
1
10036
x y
+=上一点P到焦点
1
F的距离等于6,那么点P到另一个焦点
2
F的距
离是().
A.4 B.14 C.12 D.8
4.椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15,则椭圆的标准方程
是.
5.如果点(,)
M x y在运动过程中,总满足关系式10
=,点M的轨迹是,它的方程是.
四、知识梳理、归纳总结
课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴焦点在x轴上,焦距等于4,并且经过点(3,
P-;
⑵焦点坐标分别为()()
0,4,0,4
-,5
a=;
⑶10,4
a c a c
+=-=.
2. 椭圆
22
1
4
x y
n
+=的焦距为2,求n的值.。

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