J10-2c

则
x v 0 ， y v
f (x, y)dxdy f [x(u, v), y(u, v)]| J | dudv ．
D D*
（3）J 的性质：
( x, y) 1 ． ( u , v) (u, v) ( x, y)
（4）变量替换的方法 ① 由 xOy 平面上的积分区域 D 边界曲线表达式，通过变量替换等式，建立起 uOv 平面上的边界 曲线表达式，从而得到 uOv 平面上的积分区域 D*，再找到变量 u、v 的变化范围． ② 在变量替换中，若能使新变量 u、v 的积分限为常数，即把旧变量 x、y 的非矩形积分区域化 为新变量 u、v 的矩形积分区域，则达到变量替换的最佳目的． 例 1（一般替换方法） （华东师大下 P242） 将下列积分区域 D 通过变量变换到新的积分区域 D*： （1）D： 0 x 2, 1 x y 2 x; u x y, v x y ； （2）D： x y a; x 0, （3）D： x y a; x 0, 解
故
O
π x x y π
O
π
u
(x y)sin(x y)dxdy
D
π 1 1 π π2 u sin vdudv udu sin v 0 2 2 0 2 D*
（2）设
1 1 u x y 1, 即 J (u, v) 1． ，则 J ( x, y) 0 1 v y
一对应的．做变换
D2 Duv D1 D1
f (x, y)dσ f (x, y)dxdy f (u, v) | J | dudv f (x, y)dxdy f (x, y)dσ
D2

D
0, f ( x, y)dσ [ f ( x, y) f (x, y)]dσ 2 f ( x, y)dσ , D1 D1 0, f ( x, y)dσ 2 f ( x, y)dσ, D1 0, f ( x, y)dσ 2 f ( x, y)dσ, D1 f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) ．
D D1 D2
而

D2
f ( x, y)dσ
a
b b
dx
φ(x )
ψ ( x )
f ( x, y)dy du
b
xu
a
φ( u )
ψ (u )
f (u, y)dy du
a
b
φ( u )
ψ (u )
f (u, y)dy
dx
a
φ( x )
2．二重积分与二次积分的积分限
二次积分是二元函数中的一个自变量看作常量，先对另一个变量积分后，再对看作常量的变量进 行积分．在这二次积分中，积分的上下限哪个大不作要求． 二重积分是面积元素与二元函数的乘积作为积分表达式，因此在化为二次积分时，要求这时二次 积分的上限必须大于下限．
3．二重积分的变量替换
故
u y, v y u v u 2 y, v 2 y u 4 v ， u 1 u2
y
x y2
v
u 4v
O
x y 1
x
O
u v
u
D* {(u, v) |1u 2, u v 4 u}．
（2）D 边界与 D*边界的对应为：
y 0, x u cos4 v, y u sin4 v ；
y 0, x y u, y uv ．
按（4）①的方法进行变换．
（1）D 边界与 D*边界的对应为：
722
§10.2 参考内容
x 0 x 2 x y 1 x y 2
设被积函数 f (x, y) 在区域 D 上连续，若变换 x x(u, v), y y(u, v) 满足 （1）将 uOv 平面上的区域 D*上的点一一对应地变为 D 上的点； （2）x(u, v)，y(u, v) 在 D*上有连续的一阶偏导数，且 Jacobi 行列式
x ( x, y) u J (u, v) (u, v) y u
平面轮换对称性区域 平面区域关于 y x 对称．
（3）空间轮换对称性区域 若将空间区域解析表达式中的 x 换为 y，y 换为 z，z 换为 x 后（轮换对称） ，空间区域不变，则称 空间区域具有轮换对称性．由平面轮换对称性区域关于直线 y x 是对称的结论可知，空间轮换对称
724
§10.2 参考内容
（3）D 边界与 D*边界的对应为：
y
x ya
1
v
x 0 u uv v 1 y 0 uv 0 v 0 或 u 0 ， x y a u a
故
O
x
O
a u
D* {(u, v)| 0 u a, 0 v 1} ．
π x 0 0 u cos4 v v 或 u 0 2 y 0 0 u sin 4 v v 0 或 u 0 ， x y a ua
故
y
π 2
v
x y a
O
x
O
a u
π D* {(u, v) | 0 u a, 0 v } ． 2
依据被积函数表达式及积分区域共同确定变量替换．
（1）设
1 1 u x y 1 2, 即 J (u, v) ． ，则 J ( x, y) 1 1 v x y 2
y
x yπ
π
v
D 边界与 D*边界的对应为：
0 x y π 0u π 0 x y π 0 v π
D D* 0 0 0 0
y
v
1
u
v
1
v
u
1
e 1 ． 2
例 3（特殊替换方法） 求证： f ( xy)dxdy ln 2 f (u)du ， D ：xy 1 ，xy 2，y x，y 4x (x 0，y 0) 所围区域．
D 1 2
证 设 xy u ，
y y 1 1 y, uy x, vx 2 , uy ，于是 | J | ，故 v ，则 ux x x x 2v 2 4 1 2 f (xy)dxdy 1 f (u)du1 2v dv ln 21 f (u)du ． D
f (x, y) f ( x, y) f (x, y) f ( x, y) ．
（2）设 D 对称于 x 轴

D
（3）设 D 对称于原点
f (x,y) f ( x, y) f (x,y) f ( x, y) ．

D
证
设积分区域 D D1 D2 ．由于 D 关于原点对称，故点 A( x, y) D1 与点 B(x,y) D2 是一
x ar cos θ, y br sin θ,
( x, y) abr ． (r, θ)
● 常用变量替换：广义极坐标（椭圆变换）主要用于积分区域是椭圆的情况．
J
4．对称的定义（金四岛 P495）
对称分为中心对称和轴对称两种情况． （1）若线段 PP'的中点为 A，就称 P 与 P'关于点 A 成中心对称； （2）若曲线 C 上任意一点关于点 A 的对称点都在曲线 C'上，反之亦然，就称曲线 C 与 C'关于点 A 成中心对称； （3）若线段 PP'的垂直平分线是直线 l，就称 P 与 P'关于直线 l 成轴对称； （4）若曲线 C 上任意一点关于直线 l 的对称点都在曲线 C'上，反之亦然，就称曲线 C 与 C'关于直 线 l 成轴对称．
例 2（一般替换方法） （华东师大下 P242） 作适当变换，计算下列积分： （1）
(x y)sin(x y)dxdy,
D
y D
D {(x, y) | 0 x y π; 0 x y π} ；
y 0}
（2） e x y dxdy, D {( x, y) | x y 1; x 0, 解
证二
设积分区域 D D1 D2 ．由于 D 关于 y 轴对称，故点 A( x, y) D1 与点 B(x, y) D2 是一
一对应的．做变换
x u 1 0 ( x, y) 1 ，由二重积分换元定理即得 ，则 | J | 0 1 (u, v) y v
D1 {( x, y) | a x b, φ( x) y ψ( x)} ， D2 {( x, y) | b x a, φ(x) y ψ(x)}
显然 φ(x) φ(x), ψ(x) ψ(x) ，于是
f (x, y)dσ f (x, y)dσ f ( x, y)dσ ，
区域是以直线 x y z 为对称轴的．
6．对称性求二重积分的证明
（1）设 D 对称于 y 轴
0, f (x, y) f ( x, y) f ( x , y ) d σ 2 f ( x, y)dσ, f (x, y) f ( x, y) ． D D1 证一 设积分区域是 X 型的，且 D D1 D2 ．由于 D 关于 y 轴对称，故
ψ ( x)
f (x, y)dy f (x, y)dσ
D1
于是

D
0, f ( x, y)dσ [ f ( x, y) f (x, y)]dσ 2 f ( x, y)dσ, D1 D1
f (x, y) f ( x, y) f (x, y) f ( x, y) ．