21.2.2公式法
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21.2.2公式法-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步课件+练习(人教版)
人教版数学九年级上册
（2）b2-4ac=0时，
b 2 4ac
=0 ，由①可知，方程有两个相等的实数根
这时
2
4a
（3）b2-4ac＜0时，
b
x1 x2
2a
2
b
b 4ac
这时
＜0 ，而x取任何实数
＜0 ，由①可知 x
2
2a
4a
2
b
都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练
人教版数学九年级上册
2.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方
程一定有两个实数根．
证明：方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)，
其中a=k，b=k+3，c=3，
5
小试牛刀
人教版数学九年级上册
1．用公式法解方程 4x 2－12x=3，得到（ D
3 6
A．x=
2
3 6
B．x=
2
3 2 3
C．x=
2
3 2 3
D．x=
2
）．
小试牛刀
人教版数学九年级上册
2.不解方程，判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0 (2)2x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-2)2+3=1
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
举例1：在推导公式法的过程中，学生需要理解为何要有“±”号，以及如何根据判别式来确定是两个实数根、一个重根还是无实数根。例如，判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；判别式等于0时，方程有一个重根；判别式小于0时，方程无实数根。
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版
合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.
21.2.2公式法
x 2a
4a2
2a
.
方程有两个不等的实数根，
x1 b
b2 4ac , 2a
x2 b
b2 4ac 2a
(2)当b2 4ac 0时，
方程有两个相等的实数根，
x1
x2
b 2a
.
(3)当b2
4a
c＜0时，b2
4a 4a2
c
＜0.
因此方程无实数根.
一般地，式子b2 4ac叫做方程 ax2 bx c 0(a 0)根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示，即Δ b2 4ac.
解：a 2,b 2 2,c 1 Δ b2 4ac (2 2)2 421 0
x (2 2) 0 22
x1 x2
2. 2
例2.解下列方程.
(3)5x2 3x x 1; 解：5x2 4x 1 0 a 5,b 4, c 1
Δ b2 4ac (4)2 45(1) 36
2.利用求根公式解一元二次方程的步骤.
3.对于一元二次方程ax2 bx c 0(a 0).
(1)当Δ＞0，时方程有两个不等的实数根：
x1,2 b
b2 4ac ;
2a
(2)当Δ 0时，方程有两个相等的实数根：
b x1 x2 2a .
(3)当Δ＜0时，方程没有实数根.
x2 7x 8
x7 9 22
x2 7x (7)2 8 (7)2
2
2
x1 8, x2 1
(x 7)2 81 24
3.你能用配方法解方程ax2 bx c 0(a 0)吗？
1.推导求根公式
ax2 bx c 0(a 0).
解：方程两边都除以 a,得x2 b x c 0. aa
2.利用求根公式解一元二次方程的 方法叫做公式法.
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
21.2.2_公式法
x b
b2
4ac
. b2
4ac
;
0.
7.定解:写出原方程的解
2a
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0) ∵a 0,4a2 0 当 b2 4ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
课后作业
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
解：将x=0代入方程, 得m²+2m-3=0， 解得m1=1，m2=-3, 又∵m-1≠0，即m≠1. 故m的值为-3.
5.解下列方程：
（1）x²+x-6=0； （2）x2 3x 1 0 ；
4
（3）3x²-6x-2=0； （4）4x²-6x=0； （5）x²+4x+8=4x+11； （6）x（2x-4）=5-8x.
3.方程 2x2 4 3x 6 2 0 的根是（ D ）
A. x1 2, x2 3 B. x1 6, x2 2 C.x1 2 2, x2 2 D. x1 x2 6
4.关于x的一元二次方程（m-1）x²+x+m²+2m-3=0有 一个根为0，试求m的值.
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 b
b2 2a
人教版数学九年级上册 21.2.2公式法 课件(共20张PPT)
人教版数学九年级上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac 的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次 方程。
2.通过对求根公式的发现和探索过程，提高观察能力、 分析能力和逻辑思维能力。
3.发展独立思考，勇于探索的创新精神，渗透转化思想， 使其感受数学的内在美。
例 用公式法解方程：
解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7．
1．确定系数
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，2．计算 Δ 方程有两个不相等的实数根.
．
3．代入
即
，
．
4．定根
Байду номын сангаас
例 用公式法解方程： 解：
．
例 用公式法解方程：
解： (3)方程化为5x2－4x－1＝0．
a＝5，b＝－4，c＝－1．
导入新知
同学们，用直接开平方法和配方法解一元二 次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的 方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
合作探究
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
x2 b x c 0 aa
1．化1: 把二次项系数化为1 2．移项: 把常数项移到方程的右边
3．配方: 方程两边都加上一次项 系数的一半的平方
故选B．
A
A．2x2+4x+1=0 B．2x2-4x+1=0 C．2x2-4x-1=0 D．2x2+4x-1=0
4.当 a<0 时，方程x|x|+|x|-x-a=0 的解为
．
再见
2．计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号．
第二十一章 二元一次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac 的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次 方程。
2.通过对求根公式的发现和探索过程，提高观察能力、 分析能力和逻辑思维能力。
3.发展独立思考，勇于探索的创新精神，渗透转化思想， 使其感受数学的内在美。
例 用公式法解方程：
解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7．
1．确定系数
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，2．计算 Δ 方程有两个不相等的实数根.
．
3．代入
即
，
．
4．定根
Байду номын сангаас
例 用公式法解方程： 解：
．
例 用公式法解方程：
解： (3)方程化为5x2－4x－1＝0．
a＝5，b＝－4，c＝－1．
导入新知
同学们，用直接开平方法和配方法解一元二 次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的 方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
合作探究
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
x2 b x c 0 aa
1．化1: 把二次项系数化为1 2．移项: 把常数项移到方程的右边
3．配方: 方程两边都加上一次项 系数的一半的平方
故选B．
A
A．2x2+4x+1=0 B．2x2-4x+1=0 C．2x2-4x-1=0 D．2x2+4x-1=0
4.当 a<0 时，方程x|x|+|x|-x-a=0 的解为
．
再见
2．计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号．
21.2.2《公式法解一元二次方程》教案
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法解法有着不同的接受程度。在导入新课环节，通过日常生活中的问题引导，大部分学生能够很快地进入学习状态，表现出对数学应用的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生在求根公式的推导上存在理解上的困难，这让我意识到在讲解过程中需要更加细致和具体。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的一般形式和求根公式这两个重点。对于难点部分，如求根公式的推导和判别式的理解，我会通过举例和逐步推导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过图形展示方程的根与判别式的关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的一般形式及其求根公式；
-掌握求根公式的推导过程；
-熟练运用公式法解决一元二次方程问题；
-明确判别式Δ的含义及其与方程根的关系。
举例解释：
-通过具体方程实例，让学生理解一元二次方程的一般形式，强调a≠0的条件；
-通过几何图形或代数推导，让学生直观感受求根公式的来源；
最后，我意识到教学反思是提高教学质量的重要途径。在今后的工作中，我要不断总结经验，针对学生的实际情况，调整教学策略，以期达到更好的教学效果。同时，我也将更加关注学生的个体差异，给予每个学生足够的关注和指导，帮助他们克服学习中的困难，提高数学素养。
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法解法有着不同的接受程度。在导入新课环节，通过日常生活中的问题引导，大部分学生能够很快地进入学习状态，表现出对数学应用的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生在求根公式的推导上存在理解上的困难，这让我意识到在讲解过程中需要更加细致和具体。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的一般形式和求根公式这两个重点。对于难点部分，如求根公式的推导和判别式的理解，我会通过举例和逐步推导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过图形展示方程的根与判别式的关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的一般形式及其求根公式；
-掌握求根公式的推导过程；
-熟练运用公式法解决一元二次方程问题；
-明确判别式Δ的含义及其与方程根的关系。
举例解释：
-通过具体方程实例，让学生理解一元二次方程的一般形式，强调a≠0的条件；
-通过几何图形或代数推导，让学生直观感受求根公式的来源；
最后，我意识到教学反思是提高教学质量的重要途径。在今后的工作中，我要不断总结经验，针对学生的实际情况，调整教学策略，以期达到更好的教学效果。同时，我也将更加关注学生的个体差异，给予每个学生足够的关注和指导，帮助他们克服学习中的困难，提高数学素养。
21.2.2公式法
视频：求根公式的趣味记忆
二 公式法解方程
典例精析
例1 用公式法解方程 x2-4x-7=0
x b b2 4ac 2a
解：∵a=1,b=-4,c=-7， =b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.
方程有两个 不b 等的b实2数根4ac x 2a
(4) 44 2 11 即 x1 2 21 11, x2 2 11
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 根．
b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）有实数
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
这里的a、b、
c的值是什么？
=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.
方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x
2a
x b b2 4ac (4) 36 4 6
2a
25
10
即
x1
1,
x2
1 5
例4 解方程：x2 17 8x
解：∵a=1,b=-8,c=17，
这里的a、b、
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方
程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0,它的根是 :
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
当 b2 4ac 0
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是二次函数求解的一部分，主要介绍了公式法在解决二次方程中的应用。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的基本性质和图像的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用公式法求解二次方程，并理解其背后的数学原理。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。
但是，对于公式法在解决二次方程中的应用，学生可能还存在一些困惑，需要通过实例讲解和练习来加深理解。
三. 教学目标1.了解公式法在解决二次方程中的应用。
2.能够熟练运用公式法求解二次方程。
3.理解公式法背后的数学原理。
四. 教学重难点1.重点：公式法在解决二次方程中的应用。
2.难点：理解公式法背后的数学原理。
五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、提问法等，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对公式法的理解和应用能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾二次函数的基本性质和图像，引导学生思考如何解决二次方程。
进而引入本节课的主题——公式法。
2.呈现（15分钟）讲解公式法的原理，通过PPT展示公式法的步骤和应用实例。
让学生跟随老师一起动手操作，加深对公式法的理解。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些运用公式法求解二次方程的练习题。
老师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组讨论，让学生互相交流解题心得，总结公式法的应用技巧。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法在解决二次方程中的局限性是什么？是否存在其他解决方法？如何比较各种方法的优劣？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，回答问题：什么是公式法？如何运用公式法求解二次方程？公式法背后的数学原理是什么？7.家庭作业（5分钟）布置一些运用公式法求解二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。
21.2.2公式法
1) 6t 0
24 y
35(t
2
当△≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数 根可写为
b b 4ac x 2a
2
这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的 求根公式。 解一元二次方程时，把各系数直接代入求根 公式，直接得出根。这种利用求根公式解一 元二次方程的方法叫公式法。
2 ax bx c 解：移项得
b c 2 x x 二次项系数化为1得 a a
2
当b2 2 a 4a a 4a
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
b x1 x2 2a
2、公式法：解一元二次方程时，把各系数直接 代入求根公式，直接得出根。这种利用求根公式 解一元二次方程的方法叫公式法。 3、用公式法解一元二次方程的步骤： （1）（2）（3）（4）（5）
一元二次方程的解法（三）
公式法
温故知新！
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤。
2、用配方法解下列方程：
（1）
（ 2）
3 x x 0 4
2
2
3x 6 x 5 0
学习目标： 1、了解求根公式的推导过程， 并能记住求根公式。 2、会用公式法解一元二次方程。
ax2 bx c 0(a 0)
自学方法指导：自学例2，总结用公式法解一 元二次方程的一般步骤，把你的想法在小 组内交流。时间为2+1分钟。 1、化为一般形式； 2、确定a、b、c的值； 3、求出b2-4ac的值； 4、当b2-4ac≥0时，代入求根公式求出一元二 次方程的根；当b2-4ac＜0时，方程无实数根。
24 y
35(t
2
当△≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数 根可写为
b b 4ac x 2a
2
这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的 求根公式。 解一元二次方程时，把各系数直接代入求根 公式，直接得出根。这种利用求根公式解一 元二次方程的方法叫公式法。
2 ax bx c 解：移项得
b c 2 x x 二次项系数化为1得 a a
2
当b2 2 a 4a a 4a
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
b x1 x2 2a
2、公式法：解一元二次方程时，把各系数直接 代入求根公式，直接得出根。这种利用求根公式 解一元二次方程的方法叫公式法。 3、用公式法解一元二次方程的步骤： （1）（2）（3）（4）（5）
一元二次方程的解法（三）
公式法
温故知新！
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤。
2、用配方法解下列方程：
（1）
（ 2）
3 x x 0 4
2
2
3x 6 x 5 0
学习目标： 1、了解求根公式的推导过程， 并能记住求根公式。 2、会用公式法解一元二次方程。
ax2 bx c 0(a 0)
自学方法指导：自学例2，总结用公式法解一 元二次方程的一般步骤，把你的想法在小 组内交流。时间为2+1分钟。 1、化为一般形式； 2、确定a、b、c的值； 3、求出b2-4ac的值； 4、当b2-4ac≥0时，代入求根公式求出一元二 次方程的根；当b2-4ac＜0时，方程无实数根。
21.2.2公式法3--由根的情况求参数的值
21.2.2公式法3--由根的情况求参数的值一．【知识要点】1.由根的情况求参数的值二．【经典例题】1.k 为何值时，关于x 的方程：21290kx x -+=.（1）有两个不相等的实数根?（2）有两个根?（3）无实数根？2. 关于x 的方程：()()21230m x mx m +++-=有实根. （1）求m 的取值范围？（2）M 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出这两个根?3．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．三．【题库】【A】1.若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥﹣3且m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠﹣2 D．m≥﹣3【B】1.关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根,则k可能的最大整数为______.2.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实根,则k的取值范围是________.3.如果关于x的一元二次方程kx2-√2k+1x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )A.k<12B.k<12且k≠0 C.-12≤k<12D.-12≤k<12且k≠0【C】2.已知:ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+m2−14=0的两个实数根.(1)当m为何值时,ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;(2)若AB的长为2,那么ABCD的周长是多少?3.(满分10分)已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值. 【D】。
21.2.2 公式法
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等
的实数根吗？给出你的答案并说明理由. 解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
∴Δ>0
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
个不等的实数根.
课堂小结
公 式 法 ห้องสมุดไป่ตู้求根公式 解一元二次 方程的方法 求根公式
(b2－4ac≥0)
b b2 4ac x 2a
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
b c 二次项系数化为1，得 x x a a
2
b b 2 c b 2 配方，得 x x ( ) ( ) a 2a a 2a
( 4) 36 4 6 2 5 10 1 x1 1, x2 5
思考：说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤， 有哪些易错点？ 步骤：先将方程化一般形式，确定a,b,c的值； 计算判别式，Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
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ax2 bx c 0a 0
（2） 2 x2 -2 2 x +1=0 （3） 5x2-3x= x +1
(4)
板书设计 2.归纳 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程 例题 2： 作业 设计 教学 反思 必做 选做 同步练习册第页，第题到第题。 。
b b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0） 的求根公式． 2a b b 2 4ac 就得到方程的根，当 b2-4ac 2a
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根，也可能有实根或者 实根。 （5）一般地，式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式， 通常用希腊字Δ 表示它，即Δ = b2-4ac (老师要强调是两个相等的实数根,而不是一个实数根.)
b 2 c b 2 ， 2 b a ( 2a ) a ( 2a )
b 2 4 ac 4a2
4a
直接开平方，得：即 x= ∴x1=，x2=
b b 2 4ac 2a
2 ac （2） b2-4ac=0，则 b 4 =0 此时方程的根为即一元二次程 2
4a
ax +bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
课题：第二十一章一元二次方程
上课时间
年月日
21.2.2 公式法 教 知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 学 通过判别式判断根的情况. 目 3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 标 过程与方法：1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次 方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法 是理解公式的基础.； 2.通过对公式的推导， 认识到一元二次方程的求根公式适用 于所有的一元二次方程，操作简单. 3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯. 情感、态度、价值观：1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体 验，建立学习信心.. 教学重点：求根公式的推导，公式的正确使用 教学难点：求根公式的推导 教学方法：引导法,观察法,合作学习方法 教学准备：多媒体课件 课时安排：1 课时 教学过程 一、 复习引入 【教师活动】 提出问题,引导学生. 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解 一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 ？ 能否也用配方法得出的解呢? 二、讲授新课 【学生活动】 学生自主探索,请两名学生板演. 我们可以根据用配方法解一元二次的经验来解决这个问题. 移项 ,
三、课堂训练 【教师活动】 通过给学生展示教材 6 页,让不同学生板演,完成后互相交流,老师点评. 【学生活动】 分组讨论做练习. 1、用公式法解下列方程． （1） x2-4x-7=0 x2+17=8x. 2、教材书，第 12 页练习题，第 1 题。 四、课堂小结 【师生活动】. 学生归纳,老师总结. 本节课应掌握： 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程 21.2.2 公式法 1. 探究题：
2 ac （3） b2-4ac＜0，则 b 4 ＜0，此时（x+ b ）2 ＜0，而 x 取任何实数 2
2
4a
2a
Байду номын сангаас
都不 能使（x+ b ）2 ＜0，因此方程实数根。
2a
【师生活动】 学生归纳,老师总结. 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1） 解一元二次方程时， 可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0， 当 b2-4ac ≥0 时，将 a、b、c 代入式子 x= ＜0，方程没有实数根。 （2） x=
ax2 bx - c.
二次备课
得
二次项系数化为 1, 得
c 2 b a a
配方，得
∵a≠0，∴4a2>0，式子 b2-4ac 的值有以下三种情况： 【教师活动】 提出问题. 【学生活动】 学生回答
2 ac （1） b2-4ac＞0，则 b 4 ＞0 2
( 2ba ) 2
（2） 2 x2 -2 2 x +1=0 （3） 5x2-3x= x +1
(4)
板书设计 2.归纳 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程 例题 2： 作业 设计 教学 反思 必做 选做 同步练习册第页，第题到第题。 。
b b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0） 的求根公式． 2a b b 2 4ac 就得到方程的根，当 b2-4ac 2a
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根，也可能有实根或者 实根。 （5）一般地，式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式， 通常用希腊字Δ 表示它，即Δ = b2-4ac (老师要强调是两个相等的实数根,而不是一个实数根.)
b 2 c b 2 ， 2 b a ( 2a ) a ( 2a )
b 2 4 ac 4a2
4a
直接开平方，得：即 x= ∴x1=，x2=
b b 2 4ac 2a
2 ac （2） b2-4ac=0，则 b 4 =0 此时方程的根为即一元二次程 2
4a
ax +bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
课题：第二十一章一元二次方程
上课时间
年月日
21.2.2 公式法 教 知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 学 通过判别式判断根的情况. 目 3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 标 过程与方法：1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次 方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法 是理解公式的基础.； 2.通过对公式的推导， 认识到一元二次方程的求根公式适用 于所有的一元二次方程，操作简单. 3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯. 情感、态度、价值观：1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体 验，建立学习信心.. 教学重点：求根公式的推导，公式的正确使用 教学难点：求根公式的推导 教学方法：引导法,观察法,合作学习方法 教学准备：多媒体课件 课时安排：1 课时 教学过程 一、 复习引入 【教师活动】 提出问题,引导学生. 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解 一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 ？ 能否也用配方法得出的解呢? 二、讲授新课 【学生活动】 学生自主探索,请两名学生板演. 我们可以根据用配方法解一元二次的经验来解决这个问题. 移项 ,
三、课堂训练 【教师活动】 通过给学生展示教材 6 页,让不同学生板演,完成后互相交流,老师点评. 【学生活动】 分组讨论做练习. 1、用公式法解下列方程． （1） x2-4x-7=0 x2+17=8x. 2、教材书，第 12 页练习题，第 1 题。 四、课堂小结 【师生活动】. 学生归纳,老师总结. 本节课应掌握： 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程 21.2.2 公式法 1. 探究题：
2 ac （3） b2-4ac＜0，则 b 4 ＜0，此时（x+ b ）2 ＜0，而 x 取任何实数 2
2
4a
2a
Байду номын сангаас
都不 能使（x+ b ）2 ＜0，因此方程实数根。
2a
【师生活动】 学生归纳,老师总结. 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1） 解一元二次方程时， 可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0， 当 b2-4ac ≥0 时，将 a、b、c 代入式子 x= ＜0，方程没有实数根。 （2） x=
ax2 bx - c.
二次备课
得
二次项系数化为 1, 得
c 2 b a a
配方，得
∵a≠0，∴4a2>0，式子 b2-4ac 的值有以下三种情况： 【教师活动】 提出问题. 【学生活动】 学生回答
2 ac （1） b2-4ac＞0，则 b 4 ＞0 2
( 2ba ) 2