高考数学难点突破-难点18--不等式的证明策略
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。
不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。
本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。
一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。
在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。
例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。
解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。
接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。
因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。
二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。
这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。
可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。
例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。
解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。
具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。
高考数学难点突破_难点18__不等式的证明策略
证法三：∵∴a2+b2+c2≥
∴a2+b2+c2≥
证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ.
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2
=+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2
(1+n)m=1+Cn+Cn2+...+Cnm，
由(1)知miA＞niA (1＜i≤m，而C=
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，...，
mmC＞nmC，mm+1C＞0，...，mnC＞0，
∴1+Cm+Cm2+...+Cmn＞1+Cn+C2mn2+...+Cnm，
技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max；若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.
故x′2≤，x′∈［－，］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］
证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0，=x2+y2+z2≥x2+＞，矛盾.
不等式的证明技巧
不等式的证明技巧不等式是数学中常见的一种重要的数学关系。
证明一个不等式一般有以下几种常用的技巧：1.分析前提条件：首先，我们需要对不等式中的前提条件进行仔细的分析，了解这些条件约束下的数学性质。
在证明过程中，有时可以通过对前提条件的适当利用来简化证明过程，或者削弱不等式的限制，使得问题更容易处理。
2.求导和函数分析：对于一些关于函数的不等式，我们可以通过函数的导数来进行分析。
在求导的过程中，我们可以得到函数的最大值、最小值以及增减性质等重要的信息。
根据这些信息，我们可以判断函数的取值范围和不等式的成立条件。
3.数学归纳法：对于一些具有递推性质的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。
首先，我们可以验证当n=1时不等式的成立，然后假设对于一些n成立，即不等式成立，再通过证明当n+1时也成立来得出结论。
4.分割法：对于一些含有多个变量的不等式，我们可以通过分割法将问题转化为多个单变量的不等式进行分析。
通过分析这些单变量的不等式，可以帮助我们更好地理解原始不等式的性质和结论。
5.套用已知不等式：在证明过程中，我们可以尝试将一些已知的不等式进行变形运用。
通过套用已知的不等式，可以简化证明过程，加快解题速度。
尤其是一些经典的不等式如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等，它们已经被广泛研究和应用，具有较强的普适性。
6.代入与化简：有时我们可以通过代入一些特殊的数值或者特定的变量取值，使得不等式变得更简单。
这样可以进一步分析不等式的性质，加深对问题本质的理解，从而得出证明结论。
7.反证法：给定一个不等式，我们假设其不成立，然后通过一系列逻辑推导和推理来推导出矛盾的结论。
这时我们可以得出原不等式的成立。
总之，证明不等式需要深入理解数学性质和灵活的数学思维。
结合前述的证明技巧，可以帮助我们更好地解决不等式问题。
最重要的是，需要积极锻炼数学证明的能力，通过练习和实践才能够提高。
专题01不等式(3大重难点详细讲解)…难点及压轴题突破
第1讲——不等式（3大难点）难点1：基本不等式（1）——配凑均值不等式在高考数学中，我们经常会遇到求两个数的积的最大值，对于这类题我们需要构造不等式，利用基本不等式来求解，即a b +≥【例题】（多选）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式一定成立的有 A.18ab ≤C.2214a b +≥ B.12a b +>D.41313a b +≥++ 【答案】ABD 【解析】由题意， 对于选项A ，我们发现要求的是从a 和b 的乘积的范围，而题目中所给的是2a 和b ，因此我们考虑配凑一个2ab .∵0a >，0b >，且21a b +=，∴22a b+≥ 化简得出ab 的不等式，而我们知道21a b +=，即可得出的范围.∴2121228a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当122a b ==时，等号成立， A 正确； 对于选项B ，我们知道21a b +=，而我们要求的是a 和b 的和的取值范围，我们发现条件是两个数字的和，让我们求的也是两个数字的和，不能使用均值不等式，那该怎么办呢？对于题目条件是两个数字和的形式，我们可以借助题目条件进行换元，我们把其中一个字母用另一个字母来表示，进而利用等式和0a >，0b >求出a 和b 的和的取值范围. ∵12(0,1)b a =-∈，∴0,2a ∈ ⎪⎝⎭ ，∴11,12a b a ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭ ，B 正确； 对于选项C ，我们要求2a 和2b b 用含a 的式子表达，得出只含a 的表达式，即可求出2a 和2b 的和的取值范围.∵10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴222222211(12)5415555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， C 错误； 对于选项D ， 我们要求411a b ++的范围，分母不是单独的a 和b 1a +和b 分别设为x 和y ，将求411a b++的范围转化为求41x y+的范围，将已知等式化为23x y +=.而所求的是分母中含有x 和y ，已知等式中含有x 和y ，因此我们为了消去分母中的x 和y 考虑用乘法，而由于等式和是3，因此用乘法时需要乘13.设110,x a y b =+>=>， ∴23x y +=，∴24814141141(2)133x y y xx y a b x y x y +++⎛⎫+=+=++= ⎪+⎝⎭，这样，分子和分母中都包含了x 和y ，相乘即可消掉，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出411a b++的范围.∴8133y x+++≥=+，当且仅当2y x =时， ∵23x y += ，∴当3(4737x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，D 正确. 故选：ABD.【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点：（1）换元法一般是将分母的式子设成两个新的未知量，然后将已知的等式化为两个未知数的等量关系，进而利用“1”的性质求解；（2）如果给出了一个含有,a b 等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有,a b ，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练1】（多选）已知正实数,a b 满足4a b +=，则下列说法正确的是 A. 4ab ≤ B. 223a b +≤ C.1494a b +≥ D.1111a b≤+【答案】ACD 【解析】对于 A ， 利用基本不等式2a b+≥， 将 4a b += 代入，得 4ab ≤ ， 当且仅当 2,2a b == 时等号成立， 故A 正确；对于B ， 222()21628a b a b ab ab +=+-=-≥ ， 当且仅当 2,2a b == 等号成立，故B 错误； 对于C ，1414559444444a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当 48,33a b == 时等号成立，故C 正确； 对于D ，111114ab aba b a b a bab===≤+++， 当且仅当 2,2a b == 时等号成立， 故D 正确； 故选：ACD【变式训练2】已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为 . 【答案】164【解析】由题意，211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭, 当且仅当11,164a b ==时取等号， ∴ab 的最大值为164.故答案为：164.难点2：基本不等式（1）——两个复杂分式求和的最小值在高考数学中，我们经常会遇到两个复杂分式求和的最小值，对于这类题我们需要通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，进而构造不等式，利用基本不等式来求解，即a b +≥【例1】已知实数,x y 满足0x y >>且2x y +≤，则213x y x y++-的最小值为 .【答案】34+ 【解析】由题意，题目给的是,x y 和x y +范围，我们要求的是213x y x y ++-的最小值，即是求213x y x y++-的范围，我们在上一道题中发现，对于这种分式的加和，我们一般是通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，因此我们需要先求3x y x y ++-的范围.∵()2,3222x y x y x y x y x y +≤++-=+=+， ∴()324x y x y x y ++-=+≤，即()1314x y x y ++-≤， 和难点1一样，我们将3x y +和x y -分别看成一个整体，已知的等式中含有3x y +和x y -，我们要求的式子分母中含有3x y +和x y -，若消去分母则需用乘法，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出213x y x y++-的范围. ∴()2112112233334343x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-++≥++-+=++ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭， ∵0x y >>，∴0x y ->，∴2233x y x yx y x y-++≥+-当且仅当5xy=+∴min21334x y x y ⎛⎫++= ⎪+-⎝⎭，故答案为：34+. 【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点： （1）求和的最小值的时候，往往考虑正用基本不等式；（2）如果给出了一个含有,a b 等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有,a b ，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练】若,00x y >>，且224log 3log 9log 81x y +=，则213x y+的最小值为 .【答案】43+ 【解析】由题意，∵0,0x y >>∴4224222222log 31log 3log 3log 3log 3log 42xy+===，()222222log 3log 9log 33log 3x y x y x y ++=⋅=，∴2222log 3log 3x y +=， ∴22x y +=，即()1212x y +=， ∴()21121124182232323323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝1823⎛== ⎝⎭当且仅当43y x x y =，即4322y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得61x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴min21433x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭难点3：三个及以上正数的算术——几何平均不等式在高考数学中，我们遇到的不等式证明题往往是两个数以上的，对于两个数以上的这类不等式证明，如何配凑是解决此类问题的难点。
高中数学不等式的证明
高中数学不等式的证明高中数学中，不等式是一种重要的课程内容，也是数学证明的一个重要方向。
在本文中，我将对高中数学不等式的证明进行详细讨论。
不等式证明的一般步骤如下：1.提取已知条件：将不等式中的已知条件提取出来，以得到更清晰的表达式。
2.化简和变形：根据不等式的性质，对不等式进行适当的化简和变形操作，以便于进一步的证明。
3.应用不等式性质：应用已知的不等式性质、定理和公式，将给定的不等式与这些知识相结合，引入新的变量或不等式形式。
4.利用已知条件和定理进行推导：根据已知条件和定理，进行推导，从当前推导出的结论重新应用已知条件和定理。
5.逆向思考和反证法：如果直接的推导困难，可以尝试使用逆向思考或反证法来换一种证明的角度。
下面，我将通过实际的例子，对高中数学不等式的证明进行详细解释。
例子1：证明对于任意正实数a、b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解：要证明这个不等式，我们可以根据一般的证明步骤来进行推导。
1.提取已知条件：已知条件为a、b是正实数。
2. 化简和变形：将不等式进行展开和化简得到a² + 2ab + b² ≥4ab。
3. 应用不等式性质：根据已知条件和定理，我们可以将不等式右边的4ab化简成2ab + 2ab，即得到a² + 2ab + b² ≥ 2ab + 2ab。
4. 利用已知条件和定理进行推导：我们可以继续推导，将左边的a² + b²进行分解成(a + b)² - 2ab，得到(a + b)² - 2ab ≥ 2ab + 2ab。
5. 逆向思考和反证法：我们可以将不等式进行变形，得到(a + b)² ≥ 4ab，即相当于证明了(a + b)² - 4ab ≥ 0。
由于(a + b)² - 4ab = (a - b)² ≥ 0，这是显然成立的，因为平方数是非负的。
黄冈中学高考数学典型例题18---不等式的证明策略
黄冈中学高考数学典型例题详解不等式的证明每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1. 求证：(a +a 1)(b +b1)≥425.●案例探究［例1］证明不等式n n2131211<++++Λ(n ∈N *)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n =k 到n =k +1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即1+k13121+++Λ＜2k ，,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k Λ则∴当n =k +1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n ∈N *时，都有1+n13121+++Λ＜2n .另从k 到k +1时的证明还有下列证法：,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+=+++>++=-++<++∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k ΘΘΘ又如.12112+<++∴k k k证法二：对任意k ∈N *，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221n n n nk k k k k k k =--++-+-+<++++--=-+<+=ΛΛ因此证法三：设f (n )=),131211(2nn ++++-Λ那么对任意k ∈N*都有：1)1(])1(2)1[(11]1)1(2)1(2[1111)1(2)()1(2>+-+=++-+⋅+=-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f∴f (k +1)＞f (k )因此，对任意n ∈N * 都有f (n )＞f (n －1)＞…＞f (1)=1＞0， ∴.2131211n n <++++Λ［例2］求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与cos θ、sin θ来对应进行换元，即令x =cos θ，y =sin θ(0＜θ＜2π)，这样也得a ≥sin θ+cos θ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y =1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f (x )，则a min =f (x )max ；若 a ≤f (x )，则a max =f (x )min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )，①∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ，②当且仅当x =y 时，②中有等号成立. 比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2. 解法二：设yx xyy x xy y x y x y x yx yx u ++=+++=++=++=212)(2. ∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)， ∴y x xy +2≤1，yx xy+2的最大值是1. 从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为yx+1≤a 1+yx，设y x =tan θ，θ∈(0，2π). ∴tan θ+1≤a 1tan 2+θ；即tan θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)，③又∵sin(θ+4π)的最大值为1(此时θ=4π). 由③式可知a 的最小值为2.●锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练 一、填空题1.(★★★★★)已知x 、y 是正变数，a 、b 是正常数，且ybxa +=1，x +y 的最小值为__________.2.(★★★★)设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是__________.3.(★★★★)若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________.二、解答题4.(★★★★★)已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1. 求证：(1)a 2+b 2+c 2≥31(2)232323+++++c b a ≤65.(★★★★★)已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明：x ，y ，z ∈［0，32］6.(★★★★★)证明下列不等式： (1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则cb a y b ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则zy x y x z x z y +++++≥2(z y x 111++)7.(★★★★★)已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . (1)证明：n i A i m ＜m i A i n ； (2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m8.(★★★★★)若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1.参考答案 难点磁场证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立. 证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即 证法五：(三角代换法）∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π) .425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得αααααααααααααααααΘ 2歼灭难点训练一、1.解析：令xa =cos 2θ，yb =sin 2θ，则x =a sec 2θ，y =bc s c 2θ，∴x +y =a sec 2θ+b csc 2θ=a +b +a tan 2θ+b co t 2θ≥a +b +2ab b a b a 2cot tan 22++=θ⋅θ.答案：a +b +2ab2.解析：由0≤|a －d |＜|b －c |⇔(a －d )2＜(b －c )2⇔(a +b )2－4ad ＜(b +c )2－4bc∵a +d =b +c ，∴－4ad ＜－4bc ，故ad ＞bc . 答案：ad ＞bc3.解析：把p 、q 看成变量，则m ＜p ＜n ，m ＜q ＜n . 答案：m ＜p ＜q ＜n二、4.(1)证法一：a 2+b 2+c 2－31=31(3a 2+3b 2+3c 2－1)=31［3a 2+3b 2+3c 2－(a +b +c )2］=31［3a 2+3b 2+3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ］ =31［(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31 证法二：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c2 ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法三：∵33222c b a c b a ++≥++∴a 2+b 2+c 2≥3cb a ++ ∴a 2+b 2+c 2≥31证法四：设a =31+α，b =31+β，c =31+γ. ∵a +b +c =1，∴α+β+γ=0∴a 2+b 2+c 2=(31+α)2+(31+β)2+(31+γ)2=31+32 (α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31 ∴a 2+b 2+c 2≥31629)(323232323323,23323,21231)23(23:)2(=+++<+++++∴+<++<+++<⨯+=+c b a c b a c c b b a a a 同理证法一Θ ∴原不等式成立.证法二：3)23()23()23(3232323+++++≤+++++c b a c b a 336)(3=+++=c b a∴232323+++++c b a ≤33＜6 ∴原不等式成立.5.证法一：由x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，得x 2+y 2+(1－x －y )2=21，整理成关于y 的一元二次方程得：2y 2－2(1－x )y +2x 2－2x +21=0，∵y ∈R ，故Δ≥0∴4(1－x )2－4×2(2x 2－2x +21)≥0，得0≤x ≤32，∴x ∈［0，32］ 同理可得y ，z ∈［0，32］证法二：设x =31+x ′，y =31+y ′，z =31+z ′，则x ′+y ′+z ′=0， 于是21=(31+x ′)2+(31+y ′)2+(31+z ′)2 =31+x ′2+y ′2+z ′2+32 (x ′+y ′+z ′)=31+x ′2+y ′2+z ′2≥31+x ′2+2)(2z y '+'=31+23x ′2故x ′2≤91，x ′∈［－31，31］，x ∈［0，32］，同理y ，z ∈［0，32］证法三：设x 、y 、z 三数中若有负数，不妨设x ＜0，则x 2＞0，21=x 2+y 2+z 2≥x 2+21232)1(2)(2222+-=+-=+x x x x z y ＞21，矛盾.x 、y 、z 三数中若有最大者大于32，不妨设x ＞32，则21=x 2+y 2+z 2≥x 2+2)(2z y +=x 2+2)1(2x -=23x 2－x +21=23x (x －32)+21＞21；矛盾. 故x 、y 、z ∈［0，32］0)()()()()()(222)(4)(2))(()(2)]()()([)(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(22:)1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222≥-+-+-+-+-+-⇔++≥+++++⇔+++++≥+++++++⇔++≥+++++⋅⇔++≥+++++++≥+++++∴≥-+-+-=-++-++-+=++-+++++y x z x z y z y x y x xy x z zx z y yz xyz z xy yz x xy y x zx x z yz z y xyz z xy yz x x z z y y x xy y x zx x z yz z y z y x zx yz xy y x xy x z zx z y yz xyz zx yz xy z y x y x z x z y z y x zx yz xy z cb a y b ac x a c b x ac z c a z c b y b c y b a x a b zx x ac z c a yz z c b y b c xy y b a x a b zx yz xy z cb a y b ac x c b 所证不等式等介于证明证明Θ ∵上式显然成立，∴原不等式得证.7.证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A im =m ·…·(m －i +1)，n i n n n n n n m i m m m m m m iim i im 11A ,11A +-⋅⋅-⋅=+-⋅⋅-⋅=ΛΛ同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有mk m n k n ->-， 所以im i in i i im i in n m m n A A ,A A >>即 (2)由二项式定理有：(1+m )n =1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ，(1+n )m =1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，由(1)知m i A i n ＞n i A i m (1＜i ≤m)，而C i m =!A C ,!A i i i n i n i m = ∴m i C i n ＞n i C i m (1＜m ＜n ) ∴m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m ，…，m m C m n ＞n m C m m ，mm +1C 1+m n ＞0，…，m n C nn ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，即(1+m )n ＞(1+n )m 成立.8.证法一：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以(a +b )3－23=a 3+b 3+3a 2b +3ab 2－8=3a 2b +3ab 2－6=3［ab (a +b )－2］=3［ab (a +b )－(a 3+b 3)］=－3(a +b )(a －b )2≤0. 即(a +b )3≤23，又a +b ＞0，所以a +b ≤2，因为2ab ≤a +b ≤2， 所以ab ≤1.证法二：设a 、b 为方程x 2－mx +n =0的两根，则⎩⎨⎧=+=ab n b a m ， 因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0，且Δ=m 2－4n ≥0① 因为2=a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］=m (m 2－3n )所以n =m m 3232- ②将②代入①得m 2－4(mm 3232-)≥0， 即m m 383+-≥0，所以－m 3+8≥0，即m ≤2，所以a +b ≤2， 由2≥m 得4≥m 2，又m 2≥4n ，所以4≥4n ，即n ≤1，所以ab ≤1.证法三：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以2=a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2－ab )≥(a +b )(2ab －ab )=ab (a +b )于是有6≥3ab (a +b )，从而8≥3ab (a +b )+2=3a 2b +3ab 2+a 3+b 3= (a +b )3，所以a +b ≤2，(下略）证法四：因为333)2(2b a b a +-+ 8))((38]2444)[(22222b a b a ab b a ab b a b a -+=----++=≥0， 所以对任意非负实数a 、b ，有233b a +≥3)2(b a + 因为a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以1=233b a +≥3)2(b a +， ∴2b a +≤1，即a +b ≤2，(以下略）证法五：假设a+b＞2，则a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)。
高考数学难点突破与解题方法
高考数学难点突破与解题方法随着高考日益逼近，数学作为一门重要的科目，成为许多考生头疼的难题。
其中，存在着一些难点，对于许多考生来说是必须要突破的难关。
本文将介绍一些高考数学难点的突破方法和解题技巧，帮助考生在考试中取得更好的成绩。
一、代数与函数代数与函数是高考数学中的一大难点，其中包括方程、函数和不等式。
首先，要熟练掌握基本的代数知识，比如一元二次方程、分式方程等，切忌死记硬背，要通过大量的练习来加深理解。
其次，要了解各类函数的性质，包括基本初等函数的图像、性质和变化规律等。
高考中常见的函数类型有线性函数、二次函数和指数函数等，掌握它们的性质和变化规律能够解决不少难题。
最后，对于不等式的解法，要掌握常见的不等式性质，比如绝对值不等式、二次式不等式等，通过画图或代入法来解决。
二、立体几何立体几何也是高考数学中的难点之一。
在解题时，要注重对图形性质的理解和几何关系的把握。
了解常见几何图形的特征和性质，包括正方体、正四面体和圆锥等，会对解题有很大帮助。
同时，还需要掌握立体几何的投影问题，如求柱体、圆柱和圆锥的截面面积和体积等。
通过多做一些相关的题目进行练习，能够提高解决立体几何难题的能力。
三、概率与统计概率与统计在高考数学中占有一定的比重，也是一些考生容易忽视的部分。
在解题时，要注意理解概率与统计的基本概念和原理。
掌握概率计算的方法，包括排列组合、事件的计算和条件概率等。
对于统计的问题，要熟悉常见统计量的计算，如均值、中位数和标准差等。
此外，还要注意对数据的分析与解读，包括直方图和折线图的解读，以及数据的比较和推断分析。
四、解题技巧在考试时，掌握一些解题技巧对于突破数学难点是非常有效的。
首先，要学会研读题目，理解题目所给的条件和要求，抓住关键信息。
其次，学会尝试多种解题方法，从不同的角度入手，比较其优劣并选择最合适的方法。
此外，要善于归纳总结，在做题过程中，记录解题思路和方法，方便日后进行复习和总结。
2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破： 基本不等式及其应用【21类题型全归纳】(解析版)
1/45热点题型：基本不等式及其应用【题型1】基本不等式的直接使用...............................................................................................................2【题型2】常规凑配法求最值......................................................................................................................3【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法.........................................................................................................5【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换.......................................................................................................6【题型5】二次比一次型................................................................................................................................8【题型6】分离常数型..................................................................................................................................10【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题.........................................................................................11【题型8】利用对勾函数..............................................................................................................................13【题型9】判断不等式是否能成立...........................................................................................................16【题型10】换元法（整体思想）...............................................................................................................19【题型11】基本不等式的实际应用问题....................................................................................................22【题型12】与a +b 、平方和、ab 有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）...........................26【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题...........................................................................................28【题型14】消元法........................................................................................................................................31【题型15】因式分解型................................................................................................................................33【题型16】同除型（构造齐次式）...........................................................................................................35【题型17】万能“k ”法..................................................................................................................................36【题型18】三角换元法（利用三角函数）...............................................................................................38【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题...............................................................................40【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）...........................................................................42【题型21】多次运用基本不等式 (43)2/45【题型1】基本不等式的直接使用如果00a b >>，2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，的算a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用不等式：若a b ∈，R，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式：若a b ∈，R +，则2a b+≥（或a b +≥），当且仅当a b =时取等号．1．若0a >，0b >，且41a b +=，则2216a b +的最小值是________【答案】12【详解】221624a b ab ≥+⨯，则()()2222221616244a b a b ab a b +≥++⨯=+，所以()222411622a b a b +≥+=，当且仅当142a b ==时，等号成立，所以2216a b +有最小值122．若00>>y x ，，10=xy ，则yx 52+的最小值为______．【答案】2【简析】252x y +≥=【巩固练习1】若00>>y x ，，1410x y+=，则xy 的最小值为______．【答案】425【简析】14441052525xy x y xy +=≥⇒≥⇒≥⇒≥【巩固练习2】已知0x >，0y >，且21x y +=，则24x y +的最小值是________3/45【答案】当且仅当【题型2】常规凑配法求最值配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．常见的配凑法求最值模型(1)模型一：)0,02>>≥+n m mn x n mx ，当且仅当mn x =时等号成立；(2)模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma a x n a x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立3．若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.4．已知>2，则2+8K2的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.【解答过程】因为>2，所以−2>0所以2+8K2=2−2+8K2+4≥216+4=12，当且仅当2−2=8K2，即=4时，等号成立．所以2+8K2的最小值为12.4/45【巩固练习1】函数()4321x x f x =+++（0x >）的最小值为．【答案】1【解析】因为0x >，所以11x +>，所以()44323311111x x x x x f =++=++-≥-=++，当且仅当()4311x x +=+时，即13x =-时，等号成立，故()f x 的最小值为1.【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可．【详解】因为正数a ，b 满足34a b +=，所以()()1318a b +++=，所以()()()()31311311311311011811811b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+⋅+++=++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦()1110106288⎡⎢≥+=+=⎢⎣，当且仅当()()313111b a a b ++=++即1a b ==时，等号成立，所以1311a b +++的最小值为2．【巩固练习3】已知0t >，则3321t t t +++的最小值为.1【解析】因为0t >，所以()()()33212133221212221231t t t tt t t t +++++=+=+++++11≥+=，当且仅当()()2321221t t +=+，即t =.所以3321t t t +++1.5/45【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x +y =t (t 为常数),求的最值”的问题，先将再用基本不等式求最值注意：验证取得条件．5．（2023·广东广雅中学校考）若正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值是________【答案】9【详解】121222()(2)5529b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当2213b a a b a b =⇒==时等号成立6．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112y x+=，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y xxy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭313332222222xy xy =++≥+=+⨯=+当且仅当12112xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等.6/45【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号．所以2x y +的最小值为8【巩固练习2】若0,0x y >>，且25x y +=，则92x y+的最小值为．【答案】5【解析】因为0,0x y >>，且25x y +=，则2155x y+=，可得9292218213135555555x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当18255y xx y=，即33x y ==时，等号成立，所以92x y+的最小值为5．故答案为：5．【巩固练习3】已知0x >，0y >，且122x y +=，则21x y +的最小值为．【答案】16【解析】()212182228816,y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当82y x x y =时等号成立.即当11,48x y ==时，21x y +取得最小值为16.【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．7/45【分析】利用基本不等式求得1aa b+的最小值．【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=．当且仅当12a b ==时等号成立．【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．【详解】由条件1x y +=可得2212()()232244x y x y y x y y x x xy x xy x y x xy+++=+=++++=++≥+．当且仅当+=13=x y y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时等号成立【巩固练习2】正实数x ，y 满足1x y +=，则11y x y++的最小值是（）A ．3+B ．2+C ．5D ．112【答案】B 【分析】11y x y++中的“1”用“x y +”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．8/45【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1122y x y y x y y x x y x y x y +++++=+=++22≥+=+当且仅当1x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即21==x y 时等号成立．故11y x y ++的最小值是2+．【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．4B．C．1D．1【答案】D【分析】由21x y +=，可得221y x y xxy x y +=++，再利用基本不等式计算即可得.【详解】2122111y x y y x y y x xy x y x y x y ++=+=+=++≥+=，当且仅当2y x x y =，即1,12y x =-=-时，等号成立.【题型5】二次比一次型基本模型：)0,0(2112>>+≤++=++c a b ac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立9．已知>0，则2−r4的最小值为（）A ．5B ．3C ．−5D ．−5或3【解题思路】由已知可得2−r4=+4−1.【解答过程】由>0，得2−r4=+4−1≥2−1=3，当且仅当=4，即=2时等号成立，所以2−r4的最小值为3．9/4510．函数()2322x x y x x ++=>-的最小值为．【答案】11【分析】将函数化为9252y x x =-++-，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.【详解】由2(2)5(2)992522x x y x x x -+-+==-++--，又20x ->，所以511y ≥+=，当且仅当922x x -=-，即5x =时等号成立，所以原函数的最小值为11.【巩固练习1】已知1x >-，则函数241x x y x ++=+的最小值是．【答案】3【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.【详解】因为1x >-，()()221(1)44411111x x x x y x x x x +-++++===++-+++13≥-=当且仅当()411x x +=+，即1x =时，等号成立.所以函数241x x y x ++=+的最小值是【巩固练习2】已知正数x ，y 满足23x y +=，则8xyx y+的最大值为．【答案】16【解析】∵正数x ，y 满足23x y +=，∴()()181181161121010210863333x y x y y x y xy x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+=⨯+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当16y xx y=，即42x y ==时取等号，则111886xy x y y x=≤++，其最大值为16．10/45【巩固练习3】已知x ，y 为正实数，且+=1，则r6r3B的最小值为（）A ．24B ．25C ．6+42D ．62−3【解题思路】把r6r3B变为9+4，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.【解答过程】因为x ，y 为正实数，且+=1，所以r6r3B==4r9B=9+4=+=13+9+4≥13+=25，当且仅当9=4+=1即=35=25时，等号成立，所以r6r3B的最小值为25.【题型6】分离常数型方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数例1：2121124x x y x x x xxxx+=+=++=++≥（x >0）例2：()()222222212121111x x y x x x x x x x -=+=-++=+++----11．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C D ．9【答案】C【解析】因为1x >，所以10x ->，所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()4421323711x x x x =++=-++≥=--，当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号，所以函数221x y x x +=+-的最小值为7；故选：C【巩固练习1】已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】将已知条件等式化为()227x y ++=，整体代入结合基本不等式即可得解．11/45【详解】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，所以()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++26≥+=，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y ++++的最小值为6，故选：B ．【答案】[,]35【分析】将函数变形为2()24xf x x x =+++，当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，11()24f x x x=+++，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解．【详解】函数()222224238()24442x x x x f x x x x x x x x x ++++===++++++++，当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，11()24f x x x=+++，根据对勾函数的性质可知：当0x >时，44x x +≥，则110451x x<≤++，所以112()5f x <£，当0x <时，44x x +≤-，则110431x x -≤<++，所以5()23f x £<，综上所述，函数22238()4x x f x x x ++=++在x ∈R 上的值域是511[,]35．【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解12．（多选）已知2102105ab ==，则下列结论正确的是（）12/45【分析】由题意可知lg 2a =，b =，根据对数函数的单调性可知D错误；2101010a b ⋅=，可知A 正确；利用基本不等式可知2a b +B 正确；在根据lg 2b =>，利用不等式的性质，即可判断C 正确．【详解】由题可知lg 2a =，1lg52b ==2>，所以a b <，D 错误；因为2210101010a b a b +⋅==，有21a b +=．所以A 正确；由基本不等式得2a b +≥18ab ≤，当且仅当2a b =时，取等号；又因为lg 2a =，2lg5b =，所以2a b ≠，故18ab <，B 正确；由于lg 20a =>，lg 2b =>，所以2lg 2ab >，C 正确13．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2ab +≥-D≤【答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D，因为2112a b =+≤++=，，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确【详解】22422a b a b +=+≥=222,a b =即11,24a b ==时等号成立13/45【巩固练习2】已知实数x y ，满足32x y +=，则3271x y z =++的最小值是________．【答案】7【解析】33271331117x y x y z =++=++≥==，当且仅当333x y =，即1x =，13y =时取等号．所以3271x y z =++的最小值为7【分析】对于A ，根据对数函数的性质分析判断，对于C ，由已知可得34log 12,log 12x y ==，从而可得111x y +=，对于D ，利用基本不等式判断，对于B ，由111x y+=，得x y xy +=分析判断．【详解】对于A ，因为3412x y ==，所以34121211log 120,log 120log 3log 4x y ==>==>，因为1212log 4log 30>>，所以121211log 3log 4>，所以x y >，所以A 正确；对于C ，由3412x y ==，得34log 12,log 12x y ==，所以121212341111log 3log4log 121log 12log 12x y +=+=+==，所以C 错误；对于D ，因为0x y >>，所以111x y=+>，得4xy >，所以D 正确；对于B ，因为111x y+=，所以4x y xy +=>，所以B 错误．【题型8】利用对勾函数当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值14/4514．当2x ≥时，42x x ++的最小值为.【答案】3【分析】根据对勾函数的单调性求最值.【详解】设2x t +=，则4422x t x t+=+-+，又由2x ≥得4t ≥，而函数42y t t=+-在[)4,+∞上是增函数，因此4t =时，y 取得最小值44234+-=15．已知函数()|lg |f x x =．若0a b <<，且()()f a f b =，则4a b +的取值范围是（）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】C【分析】根据函数图象得lg lg a b -=，则1b a=，令1()44g b a b b b =+=+，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围．【详解】由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =．根据函数|lg |y x =的图象及0a b <<，则lg lg a b -=，即lg 1ab =，可得01a b <<<，1b a=，令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数可得()g b 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)5g b g >=．所以4a b +的取值范围是(5,)+∞【巩固练习1】函数y ＝x ＋51x +（x ≥2）取得最小值时的x 值为．【答案】2【分析】令x ＋1＝t (t ≥3)，则有()f t ＝t ＋5t－1在[3,＋∞)上单调递增，当t ＝3时，即可求解.【详解】依题意，y ＝x ＋51x +＝x ＋1＋51x +－1(x ≥2)，15/45设x ＋1＝t (t ≥3)．因为f (t )＝t ＋5t－1在[3,＋∞)上单调递增，所以当t ＝3，即x ＝2时，y ＝x ＋51x +(x ≥2)取得最小值．【巩固练习2】已知函数()lg 2f x x =+，若实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =，则2a b+的取值范围是_______．【答案】(3,+∞）【分析】易知()lg 2lg 2lg lg 11a b a b ab a +=+⇒=⇒=，＜22a b a a+=+≥()22=a b a a ++∈+∞3，【巩固练习3】若对任意[]1,2x ∈，()2110mx m x -+-≤恒成立，求实数m 的取值范围法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质当1x =时，20-<，成立；当(]1,2x ∈时，由题可得21x m x x+≤-对任意(]1,2x ∈恒成立，令21x y x x+=-，则有min m y ≤，(]1,2x ∈，()()21121312131x y x x x x +==+-++++-+，令211t x x =+++，(]12,3x +∈，根据对勾函数的性质可得113,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以13,32y t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢-⎣⎭，所以当2x =时，min 32y =，故实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；法二：分类讨论令()()211f x mx m x =-+-，①当0m =时，()1f x x =--，对任意[]1,2x ∈，()()120f x f ≤=-<恒成立；16/45②当0m >时，函数()f x 图象开口向上，若对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立，只需()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得32m ≤，故当302m <≤时，对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立；③当0m <时，对任意[]1,2x ∈，10x -≥，10mx -<，()()()11220f x mx x =---≤-<恒成立；综上可知，实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【题型9】判断不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC ，根据复合函数最值求法求解判断D ．【详解】对于A ，114x y x =++，当4x =-时，104y =-<，不符合要求，错误；对于B，2y ==时取等号，=得241x +=显然不成立，所以等号取不到，即y 的最小值不是2，错误；对于C ，因为01x <<，所以10x ->，211111112212(1)212y x x x x ⎛⎫=+=⋅≥⋅= ⎪--⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，17/45当且仅当12x =时取等号，最小值是2，正确；对于D，y =22x -≤≤，0y ≥，则2224y x x =-+++=+，当240x -=即2x =或2-时，2y 有最小值4，即y 有最小值2，故D 正确．【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是（）A ．若,R a b ∈，则2b a a b +≥=B ．若x ＞0，y ＞0，则lg lg x y +≥C ．若x ＜0，则4x x+4≥-=-D ．若x ＜0，则222x x -+>=【答案】D【解析】∵,b a a b 可能为负数，如1b aa b ==-时，2b a a b+=-，∴A 错误；∵lg ,lg x y 可能为负数，如lg lg 1x y ==-时，lg lg 2,2x y +=-=，∴B 错误；∵40,0x x <<，如441,x x =-=-时，544x x+=-<-，∴C 错误；∵0x <，2(0,1)x ∈，21x ->，∴222x x -+>=，当且仅当22-=x x ，即0x =等号成立，∴D 正确．【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题．【详解】解：对于A ，()22212110x x x x x x -≥-⇒-+=-≥ 恒成立，则x ∀∈R ，都有21x x x -≥-，A 选项正确；对于B ，当(1,)x ∈+∞时，1(0,)x -∈+∞，18/4544111511x x x x ∴+=-++≥=--（当且仅当3x =时取等号），4[5,)1x x ∴+∈+∞-，(1,)x ∴∃∈+∞，使得461x x +=-，B 选项正确；对于C ，当0a b <<时，0b aa b+<，C 选项错误；对于D ，当(2,)x ∈+∞)+∞，令)t =+∞，4y t t=+在)+∞上单调递增，44t t ∴+>，4，D 选项错误【分析】利用基本不等式求最值判断ABD ，结合二次函数的性质判断C ．【详解】12x <时，120x ->．112212xx -+≥=-，当且仅当11212x x -=-，即=0x 时等号成立，所以11212x x -+-的最小值是2，即1212x x-+-的最小值是1，从而1221x x +-的最大值是1-，A 正确；2y ==+≥1=1=无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B 错；1[,2]2x ∈时，11[,2]2x ∈，y ===，因为1122x ≤≤，所以112x =时，y =，12x=时，y =，19/45154x =时，4y ==．所以值域是4，C 正确；0x >，0y >且2x y +=，13x y ++=，31x y x ++23333311111y y x y x y x-=+=-+=+-+++，则33111(1)()224111x y x y y x y x y x ++=+++=++≥+=+++，当且仅当11x y y x +=+，即1x y =+时等号成立，所以31x y x++的最小值是4－1＝3，D 正确．【题型10】换元法（整体思想）对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元17．（单分母换元）已知20<<a ，则aa 21421-+的最小值是________A ．6B ．8C ．4D ．9【解题思路】可以设12b a =-，则有21a b +=，求142a b+的最小值，用乘“1”法即可【答案】9【解答过程】解：设12b a =-，则有21a b +=，()91414252122a b a a a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当1−22=81−2，即a =16时取等号，所以12+41−2的最小值是9．18．（双分母换元）已知正数b a ，满足2=+b a ，则141+++b ba a 的最大值是（）A ．29B ．411C ．1D ．3720/45【解题思路】设1,1x a y b =+=+，则有4x y +=，求144145x y x y x y ⎛⎫--+=-+ ⎪⎝⎭最小值，结合乘1法即可【解答过程】解：+1+4+1=1−1+1+4−4+1=5﹣（1+1+4+1），∵a +b ＝2，∴a +1+b +1＝4，1+1+4+1=14（1+1+4+1）（a +1+b +1）=14（1+4++1+1+4(+1)+1），+1+1+4(+1)+1≥24=4（当且仅当+1+1=4(+1)+1，即a =13，b =53时，等号成立），故14（1+4++1+1+4(+1)+1）≥14×9，即1+1+4+1≥94，故+1+4+1=5﹣（1+1+4+1）≤11419．已知x ，y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】x ，y 为正实数，利用基本不等式求162y x x x y++的最小值．【详解】x ，y 为正实数，则2161622622yx y xx x x yx x y ++=+-≥=++，当且仅当2162x y xx x y+=+，即2y x =时等号成立．最小值为6【巩固练习1】已知1a b c ++=，其中a ，b ，0c >，则19a b c++的最小值为．【答案】16【解析】因为1a b c ++=，,,0a b c >，则19199[()]()10b c a a b c a b c a b c a b c ++=+++=+++++1016≥+=，当且仅当9b c a a b c +=+，即13,44a b c =+=时取等号，所以19a b c++的最小值为16【巩固练习2】已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是．【答案】24【解析】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+⎡⎤⎡⎤+=++-+=+++⎣⎦⎢⎥+-+-⎣⎦1224≥+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。
高考数学中不等式的证明方法和技巧有哪些
高考数学中不等式的证明方法和技巧有哪些在高考数学中，不等式的证明是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的问题。
不等式的证明方法多种多样，需要我们灵活运用数学知识和思维方法。
下面，我们就来详细探讨一下高考数学中不等式的证明的一些常见方法和技巧。
一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法之一，分为作差比较法和作商比较法。
作差比较法的基本步骤是：将两个式子作差，然后对差进行变形，判断差的正负性。
如果差大于零，则被减数大于减数；如果差小于零，则被减数小于减数。
例如，要证明 a ＞ b ，我们可以计算 a b ，然后通过因式分解、配方等方法将其变形为易于判断正负的形式。
作商比较法适用于两个正数比较大小。
将两个正数作商，然后与 1比较大小。
如果商大于 1，则被除数大于除数；如果商小于 1，则被除数小于除数。
比如，要证明 a ＞ b （a、b 均为正数），计算 a/b ，若 a/b ＞ 1 ，则 a ＞ b 。
二、综合法综合法是从已知条件出发，利用已知的定理、公式、性质等，经过逐步的逻辑推理，最后推导出所要证明的不等式。
例如，已知 a ＞ 0 ，b ＞ 0 ，且 a ＋ b ＝ 1 ，要证明 a^2 ＋b^2 ≥1/2 。
因为 a ＋ b ＝ 1 ，所以（a ＋ b)＾2 ＝ 1 ，即 a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＝1 。
又因为2ab ≤ a^2 ＋ b^2 ，所以 a^2 ＋ b^2 ＋2ab ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，即1 ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，从而得出 a^2 ＋b^2 ≥ 1/2 。
三、分析法分析法是从要证明的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直到所需条件为已知条件或明显成立的事实。
比如，要证明√a ＋√b ＜√（a ＋ b) （a ＞ 0 ，b ＞ 0 ）。
先将不等式移项得到√a ＋√b √（a ＋ b) ＜ 0 ，然后对其进行分析，逐步转化为易于证明的形式。
分析法的书写格式通常是“要证……，只需证……”。
高考数学冲刺攻略不等式的解法与证明
高考数学冲刺攻略不等式的解法与证明高考数学冲刺攻略：不等式的解法与证明高考数学中，不等式是一个重要的考点，其解法与证明在解题中常常发挥关键作用。
在高考冲刺阶段，掌握不等式的解法与证明技巧，对于提高数学成绩至关重要。
一、不等式的基本性质在学习不等式的解法之前，我们先来回顾一下不等式的基本性质：1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
3、加法性质：若 a ＞ b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
这些基本性质是我们解决不等式问题的基础，必须牢记于心。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式的一般形式为 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中 a ≠ 0 ）。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但需要注意不等式两边乘以或除以负数时，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2x 5 ＞ 7 ，首先将常数项移到右边得到 2x ＞ 12 ，然后两边同时除以 2 ，得到 x ＞ 6 。
再比如，解不等式－3x ＋ 4 ＜ 10 ，先移项得到－3x ＜ 6 ，由于系数－3 为负数，所以两边同时除以－3 时，不等号方向改变，得到 x ＞－2 。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。
解一元二次不等式的关键是求出对应的一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c＝ 0 的根。
我们可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断方程根的情况：当Δ ＞ 0 时，方程有两个不同的实根 x₁和 x₂，此时不等式的解集在“两根之外”或“两根之间”，具体取决于不等式的符号。
当Δ ＝ 0 时，方程有一个重根 x₀，不等式的解集为x ≠ x₀。
高考数学一轮复习第十八章不等式选讲不等式的证明课件
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3．已知 a>2，b>2，则 a＋b 与 ab 的大小关系是_a_＋__b_<_a_b_． 解析 ∵ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1>0.∴ab>a＋b.故填 a＋b<ab.
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[解] (1)①因为 f(x＋2)＝m－|x|，
所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m，
由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为 {x|－m≤x≤m}．
又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1.
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[考法综述] 不等式的各种证明方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、柯西不等式法 等．在应用柯西不等式时，注意常数的巧拆、结构的巧变、巧设数等．
命题法 不等式的证明 典例 (1)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． ①求 m 的值； ②若 a，b，c∈R＋，且1a＋21b＋31c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (2)已知实数 x，y 满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<158.
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高考数学难点突破难点(三角形中的三角函数式-不等式的证明策略)
4
1 cos
cos B ,
2 2.
2 cos2 3
4
整理得 4 2 cos2α+2cosα－3 2 =0(M)
(2cosα－ 2 )(2 2 cosα+3)=0，∵2 2 cosα+3≠0，
AC 2
∴2cosα－ 2 =0.从而得 cos
.
22
解法二：由题设条件知 B=60°，A+C=120°
7.解：由 a、b、3c 成等比数列，得：b2=3ac
∴sin2B=3sinC·sinA=3(－ 1 )［cos(A+C)－cos(A－C)］ 2
∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－ 3 ［cos(A+C)－cos ］
2
2
即 1－cos2(A+C)=－ 3 cos(A+C)，解得 cos(A+C)=－ 1 .
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若 sin2A=sin2B，则△ABC 为等腰三角形；(2)若 sinA=cosB，则△ABC 为直角三角形；(3)若 sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC 为钝角三角形；
(4)若 cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )
三、解答题
4.(★★★★)已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边
形 ABCD 的面积.
5.(★★★★★)如右图，在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
高考不等式专题-讲解
解：
的解集是{x| -7<x 3}
变式3：解不等式
解：
注：如果知道分母的正负，则可以去分母，化分式不等式为整式不等式。
（五）．解高次不等式（可分解的）
1.解高次不等式的步骤：
（1）因式分解
（2）未知数系数化正
（3）穿根（从右上角开始，奇穿偶回）
2.穿根法使用步骤：
①将不等式化为 形式，并将各因式x的系数化“+”；
化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 的形式
将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：
（1）
（2）
（3）
（4）
3.例题讲解：解不等式： .
解法1：化为两个不等式组来解：
∵ x∈φ或 ，
∴原不等式的解集是 .
解法2：化为二次不等式来解：
∵ ，∴原不等式的解集是
点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。
（答： ）；
（2）已知 ，且 则 的取值范围是______
（答： ）
（二）解一元一次不等式（组）
1．一元一次不等式
1.1定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，步骤
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．
2. 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．
不等式解题技巧
不等式解题技巧近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。
“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+- .此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
高考数学归纳不等式的证明策略
高考数学归纳 不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1.求证：(a +a 1)(b +b 1)≥425. ●案例探究［例1］证明不等式n n2131211<++++ (n ∈N *)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n =k 到n =k +1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即1+k13121+++ ＜2k ， ,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k 则∴当n =k +1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n ∈N *时，都有1+n13121+++＜2n .另从k 到k +1时的证明还有下列证法：,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+=+++>++=-++<++∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k 又如.12112+<++∴k k k证法二：对任意k ∈N *，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221n n n n k k k k k k k=--++-+-+<++++--=-+<+=因此证法三：设f (n )=),131211(2nn ++++-那么对任意k ∈N*都有：1)1(])1(2)1[(11]1)1(2)1(2[1111)1(2)()1(2>+-+=++-+⋅+=-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f∴f (k +1)＞f (k )因此，对任意n ∈N * 都有f (n )＞f (n －1)＞…＞f (1)=1＞0，∴.2131211n n <++++［例2］求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与cos θ、sin θ来对应进行换元，即令x =cos θ，y =sin θ(0＜θ＜2π)，这样也得a ≥sin θ+cos θ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y =1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f (x )，则a min =f (x )max ；若 a ≤f (x )，则a max =f (x )min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )， ① ∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ，②当且仅当x =y 时，②中有等号成立.比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2. 解法二：设yx xyy x xy y x y x y x yx yx u ++=+++=++=++=212)(2. ∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)，∴y x xy +2≤1，yx xy+2的最大值是1. 从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为y x+1≤a 1+yx， 设y x =tan θ，θ∈(0，2π). ∴tan θ+1≤a 1tan 2+θ；即tan θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)， ③又∵sin(θ+4π)的最大值为1(此时θ=4π). 由③式可知a 的最小值为2.●锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练 一、填空题1.(★★★★★)已知x 、y 是正变数，a 、b 是正常数，且ybx a +=1，x +y 的最小值为__________.2.(★★★★)设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是__________.3.(★★★★)若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________. 二、解答题4.(★★★★★)已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1. 求证：(1)a 2+b 2+c 2≥31 (2)232323+++++c b a ≤65.(★★★★★)已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明：x ，y ，z ∈［0，32］ 6.(★★★★★)证明下列不等式： (1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则cb a y b ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则z y x y x z x z y +++++≥2(zy x 111++) 7.(★★★★★)已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . (1)证明：n i A i m ＜m i A i n ；(2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m8.(★★★★★)若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1.参考答案难点磁场证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤41或ab ≥8. ∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =21+t 2. ∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立.证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即 证法五：(三角代换法）∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π) .425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααααααααααααα 2 歼灭难点训练 一、1.解析：令xa=cos 2θ，y b =sin 2θ，则x =a sec 2θ，y =bc s c 2θ，∴x +y =a sec 2θ+b csc 2θ=a +b +a tan 2θ+b co t 2θ≥a +b +2ab b a b a 2cot tan 22++=θ⋅θ.答案：a +b +2ab2.解析：由0≤|a －d |＜|b －c |⇔(a －d )2＜(b －c )2⇔(a +b )2－4ad ＜(b +c )2－4bc∵a +d =b +c ，∴－4ad ＜－4bc ，故ad ＞bc . 答案：ad ＞bc3.解析：把p 、q 看成变量，则m ＜p ＜n ，m ＜q ＜n . 答案：m ＜p ＜q ＜n 二、4.(1)证法一：a 2+b 2+c 2－31=31(3a 2+3b 2+3c 2－1) =31［3a 2+3b 2+3c 2－(a +b +c )2］ =31［3a 2+3b 2+3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ］=31［(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31 证法二：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法三：∵33222c b a c b a ++≥++∴a 2+b 2+c 2≥3cb a ++∴a 2+b 2+c 2≥31 证法四：设a =31+α，b =31+β，c =31+γ.∵a +b +c =1，∴α+β+γ=0∴a 2+b 2+c 2=(31+α)2+(31+β)2+(31+γ)2=31+32(α+β+γ)+α2+β2+γ 2 =31+α2+β2+γ2≥31 ∴a 2+b 2+c 2≥31629)(323232323323,23323,21231)23(23:)2(=+++<+++++∴+<++<+++<⨯+=+c b a c b a c c b b a a a 同理证法一 ∴原不等式成立. 证法二：3)23()23()23(3232323+++++≤+++++c b a c b a336)(3=+++=c b a∴232323+++++c b a ≤33＜6 ∴原不等式成立.5.证法一：由x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，得x 2+y 2+(1－x －y )2=21，整理成关于y 的一元二次方程得： 2y 2－2(1－x )y +2x 2－2x +21=0，∵y ∈R ，故Δ≥0 ∴4(1－x )2－4×2(2x 2－2x +21)≥0，得0≤x ≤32，∴x ∈［0，32］同理可得y ，z ∈［0，32］证法二：设x =31+x ′，y =31+y ′，z =31+z ′，则x ′+y ′+z ′=0， 于是21=(31+x ′)2+(31+y ′)2+(31+z ′)2=31+x ′2+y ′2+z ′2+32(x ′+y ′+z ′) =31+x ′2+y ′2+z ′2≥31+x ′2+2)(2z y '+'=31+23x ′2故x ′2≤91，x ′∈［－31，31］，x ∈［0，32］，同理y ，z ∈［0，32］证法三：设x 、y 、z 三数中若有负数，不妨设x ＜0，则x 2＞0，21=x 2+y 2+z 2≥x 2+21232)1(2)(2222+-=+-=+x x x x z y ＞21，矛盾.x 、y 、z 三数中若有最大者大于32，不妨设x ＞32，则21=x 2+y 2+z 2≥x 2+2)(2z y +=x 2+2)1(2x -=23x 2－x +21=23x (x －32)+21＞21；矛盾. 故x 、y 、z ∈［0，32］)()()()()()(222)(4)(2))(()(2)]()()([)(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(22:)1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222≥-+-+-+-+-+-⇔++≥+++++⇔+++++≥+++++++⇔++≥+++++⋅⇔++≥+++++++≥+++++∴≥-+-+-=-++-++-+=++-+++++y x z x z y z y x y x xy x z zx z y yz xyz z xy yz x xy y x zx x z yz z y xyz z xy yz x x z z y y x xy y x zx x z yz z y z y x zx yz xy y x xy x z zx z y yz xyz zx yz xy zyx y x z x z y z y x zx yz xy z c b a y b a c x a c b x a c z c a z c b y b c y b a x a b zx x acz c a yz z c b y b c xy y b a x a b zx yz xy z cb a y b ac x c b 所证不等式等介于证明证明∵上式显然成立，∴原不等式得证.7.证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A i m =m ·…·(m －i +1)，n i n n n n n nm i m m m m m m i i m i i m 11A ,11A +-⋅⋅-⋅=+-⋅⋅-⋅= 同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有mkm n k n ->-，所以i m i i n i i i mi i n n m mn A A ,A A >>即(2)由二项式定理有：(1+m )n =1+C 1n m +C 2n m 2+…+C nn m n ， (1+n )m =1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，由(1)知m iA i n＞n iA i m(1＜i ≤m )，而C i m=!A C ,!A i i i ni n i m = ∴m i C i n ＞n i C i m (1＜m ＜n )∴m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m ，…， m m C m n ＞n m C m m ，m m +1C 1+m n ＞0，…，m n C n n ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，即(1+m )n ＞(1+n )m 成立.8.证法一：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以 (a +b )3－23=a 3+b 3+3a 2b +3ab 2－8=3a 2b +3ab 2－6=3［ab (a +b )－2］=3［ab (a +b )－(a 3+b 3)］=－3(a +b )(a －b )2≤0. 即(a +b )3≤23，又a +b ＞0，所以a +b ≤2，因为2ab ≤a +b ≤2， 所以ab ≤1.证法二：设a 、b 为方程x 2－mx +n =0的两根，则⎩⎨⎧=+=ab n ba m ，因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0，且Δ=m 2－4n ≥0①因为2=a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］=m (m 2－3n )所以n =mm 3232-②将②代入①得m 2－4(mm 3232-)≥0， 即mm 383+-≥0，所以－m 3+8≥0，即m ≤2，所以a +b ≤2，由2≥m 得4≥m 2，又m 2≥4n ，所以4≥4n ， 即n ≤1，所以ab ≤1.证法三：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以2=a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2－ab )≥(a +b )(2ab －ab )=ab (a +b )于是有6≥3ab (a +b )，从而8≥3ab (a +b )+2=3a 2b +3ab 2+a 3+b 3= (a +b )3，所以a +b ≤2，(下略）证法四：因为333)2(2b a b a +-+8))((38]2444)[(22222b a b a ab b a ab b a b a -+=----++=≥0，所以对任意非负实数a 、b ，有233b a +≥3)2(b a +因为a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以1=233b a +≥3)2(b a +，∴2b a +≤1，即a +b ≤2，(以下略）证法五：假设a +b ＞2，则a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞(a +b )ab ＞2ab ，所以ab ＜1， 又a 3+b 3=(a +b )［a 2－ab +b 2］=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞2(22－3ab )因为a 3+b 3=2，所以2＞2(4－3ab )，因此ab ＞1，前后矛盾，故a +b ≤2(以下略)。
高三数学复习不等式的证明
不等式的证明(一)【知识点精讲】1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。
比较法的两种形式：①比差法：要证a>b ，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b 且b>0，只须证 >ba 0。
说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。
2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。
证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。
基本不等式：(1)若,0,0>>b a 则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取等号。
(2)时取等号当且仅当b a ab b a R b a =≥+∈2,,22 (3)a,b 同号, 时取等号当且仅当b a a b b a =≥+13. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4. 重点难点: 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。
5. 思维方式: 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。
6. 特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
【例题选讲】例1、已知a,b ∈R,求证: a 2+b 2+1>ab+a证明：p= a 2+b 2+1-ab-a=]1)12()2[(212222+++-++-b a a b ab a =]1)1()[(21222++-+-b a b a 显然p>0 ∴得证[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断 例2、P87例1. 设,0,0>>b a 求证.)()(2121212212b a ab b a +≥+ 【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。
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难点18 不等式的证明策略
不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.
●难点磁场
(★★★★)已知a ＞0，b ＞0，且a+b=1. 求证：(a+
a 1)(b+
b 1)≥4
25
.
●案例探究
［例1］证明不等式n n
213
12
11<+
++
+
(n ∈N *
)
命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.
知识依托：本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.
错解分析：此题易出现下列放缩错误：
这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的. 技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k 到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.
证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；
(2)假设n=k(k ≥1)时，不等式成立，即1+
k
13121+
++ ＜2k ，
,
121
1
)1(1
1
)1(21
121131211+=++++<
+++=
++
<+++++k k k k k k k k k k 则
∴当n=k+1时，不等式成立.
综合(1)、(2)得：当n ∈N *
时，都有1+
n
13
12
1+
++
＜2n .
另从k 到k+1时的证明还有下列证法：
,
1
11
1212212:.121
12,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+=
+++>
++=-++<++
∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 又如
.121
12+<++
∴k k k
证法二：对任意k ∈N *，都有：
.
2)1(2)23(2)12(221
31211),
1(21
2
2
1n n n n k k k k k k k =--++-+-+<++++--=-+<
+=
因此
证法三：设f(n)=),13
12
11(2n
n +
++
+
-
那么对任意k ∈N * 都有：
1
)1(])1(2)1[(1
1]1)1(2)1(2[111
1)1(2)()1(2
>+-+=
++-+⋅+=
-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f
∴f(k+1)＞f(k)
因此，对任意n ∈N * 都有f(n)＞f(n －1)＞…＞f(1)=1＞0， ∴.2131211n n <+
+++
［例2］求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值. 命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.
知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解
决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.
错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与cos θ、sin θ来对应进行换元，即令x =cos θ，y =sin θ(0＜θ＜
2
π
)，这样也得a ≥sin θ+cos θ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了
x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y=1”这样一个条件，显然这是不对的.
技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f(x)，则a min =f(x)max ；若 a ≤f(x)，则a max =f(x)min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.
解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x+y+2xy ≤a 2(x+y)，即2xy ≤(a 2－1)(x+y)，
①
∴x ，y ＞0，∴x+y ≥2xy ，
②
当且仅当x=y 时，②中有等号成立. 比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a=2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2. 解法二：设y
x xy
y x xy y x y x y x y
x y
x u ++
=+++=
++=++=
212)(2
. ∵x ＞0，y ＞0，∴x+y ≥2xy (当x=y 时“=”成立)， ∴
y x xy +2≤1，y
x xy
+2的最大值是1. 从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 解法三：∵y ＞0，。